(整理)常微分方程第四章

3.4 n 阶常系数线性齐次微分方程的解法

对于齐次方程（3.4）而言，只要能得到该方程的一个基本解组，即，n 个线性无关的解

)(,),(),(21x y x y x y n

我们就能得到方程（3.4）的通解.但是，对于一般的n 阶线性齐次微分方程，它的基本解组很难找到.可是，当齐次方程（3.4）的系数),,2,1)((n i x p i 都是实常数时，求它的基本解组的问题却可以转化为求一个一元n 次多项式方程根的问题.如果能够求得这个一元n 次多项式方程的所有根，就能得到方程（3.4）的基本解组，从而也就得到了方程（3.4）的通解了. 形如

)(1)1(1)(x f y p y p y p y n n n n

的方程（其中),,2,1(n i p i 均为实常数），称为n 阶常系数线性微分方程.如果

0)( x f ，即

01)1(1)( y p y p y p y n n n n

称为n 阶常系数线性齐次微分方程.如果0)( x f ，称为n 阶常系数线性非齐次微分方程.本节主要介绍n 阶常系数线性齐次微分方程的解法，先研究一阶常系数线性齐次微分方程

0 py y

这是一个变量可分离的方程，采用初等积分法，可求得该方程的一个非零解

px e x y )(.

因为方程是一阶的，所以基本解组中只含有一个解，即px e x y )(. 对于n 阶常系数线性齐次微分方程而言，我们猜想该方程也有形如

x e x y )(

的解，其中 是待定常数.为了确定 ，可以将x e x y )(代入方程

01)1(1)( y p y p y p y n n n n .

这时，需要计算y 的各阶导数)(,,,n y y y

),,2,1(,)(n i e y x i i

代入方程得：

0)(111 x n n n n e p p p

因为0 x e ，所以有

0111 n n n n p p p

该一元n 次方程称为常系数线性微分方程的特征方程.该方程的根，称为线性微分方程的特征根.

x e x y )(是n 阶常系数线性齐次微分方程的解，当且仅当 是线性微分方程的特征根.这样，求n 阶常系数线性齐次微分方程的解，就转化为求特征方程的特征根的问题了.

下面根据特征根的情况来讨论常系数线性齐次微分方程的解. 1、特征根互异

首先，假设特征方程有n 个互异的实根n ,,,21 .这时，就可以得到相对应的n 个解

x n x x n e x y e x y e x y )(,,)(,)(2121

因为n ,,,21 两两互异，所以

x n x x n e x y e x y e x y )(,,)(,)(2121

是n 个线性无关的解，即，它们就是齐次微分方程的基本解组，所以齐次微分方程的通解为

x n x x n e C e C e C x y 2121)(.

其中n C C C ,,,21 是任意常数. 例1 求方程

023 y y

的通解.

解 特征方程为

0232

即

0)2)(1(

从而，特征根为

2,121

基本解组为

x x e x y e x y 221)(,)(

因此方程的通解为

x x e C e C x y 221)(

其中21,C C 是任意常数. 例2 求方程

045 y y y

的通解及满足初始条件：4)0(,1)0( y y 的特解. 解 特征方程为

0452

即

0)4)(1(

从而，特征根为

4,121

基本解组为

x x e x y e x y 421)(,)(

因此方程的通解为

x x e C e C x y 421)(

其中21,C C 是任意常数.

下面来求满足初始条件的特解，将初始条件代入

x x e C e C x y 421)( x x e C e C x y 4214)(

得

441

21

21C C C C 所以1,021 C C ，因此所求的特解为

x e x y 4)( .

其次，互异的特征根中含有复根，即n ,,,21 中有复数，不妨设bi a k （b a ,为实数）.这时，bi a k 所对应的解为

x k e x y )(.

由于bi a k 为复数，

x k e 应该如何定义呢？定义之后x k e x y )(的求导与k 为实数时的求导计算是否相同呢？下面我们来解决这些问题. 给出复数的代数形式后，我们可以转化为三角形式，例如

)sin (cos i r bi a z

其中a b

b a r arctan ,22 .

同时，复数也可以写成指数形式，即

i r i r i e e e re bi a z ln ln

所以有

)sin (cos )sin (cos ln ln i r i e e r i r

于是有

)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x k .

有了定义之后，我们来研究k 为复数与k 为实数时的求导计算是否相同.

性质1.无论 是实数还是复数，总有

x x e e )(.

证明 当 为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明 为复数的情形，设

bi a ，b a ,为实数.因为

)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x

所以

)cos sin ()sin cos ()sin ()cos ()(bx b bx a ie bx b bx a e bx e i bx e e ax ax ax ax x x ax ax e bi a bx i bx e b bx i bx i bx i bx a e ))(sin (cos ])sin (cos )sin (cos [.

由性质1，可得：无论 是实数还是复数，总有

x n n x e e )()(.

性质2.无论 是实数还是复数，对任意实数k ，总有

x k k x k e x kx e x )()(1 .

证明 当 为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明 为复数的情形，设

bi a ，b a ,为实数.这时

)sin (cos )(bx i bx e x e x e x ax k x bi a k x k

所以

)sin ()cos ()( bx e x i bx e x e x ax k ax k x k

)]cos sin (sin [)]sin cos (cos [11bx b bx a e x bx e kx i bx b bx a e x bx e kx ax k ax k ax k ax k ])sin (cos )sin (cos [)sin (cos 1b bx i bx i bx i bx a e x bx i bx e kx ax k ax k ))(sin (cos )sin (cos 1bi a bx i bx e x bx i bx e kx ax k ax k

x k k e x kx )(1 .

有了上述定义和性质，bi a k 所对应的解为

)sin (cos )(bx i bx e e x y ax x k

是满足常系数线性齐次微分方程的.但是，这个解是复数形式的解，下面给出复