matlab 牛顿插值法 三次样条插值法

(){}2

1

()(11),5,10,20:

1252

1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)()()2

35,20:1100

(i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n

x y i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+

=题目：插值多项式和三次样条插值多项式。

已知对作、计算函数在点处的值；

、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max

()n k n k n k n k n k n k k

k

N x S x k E N y N x E S y S x ==-=-和；

、计算，；

解释你所得到的结果。

算法组织:

本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式

)(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两

种插值多项式的算法如下：

一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下：

Newton 插值多项式的表达式如下：

)())(()()(110010--⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N

其中每一项的系数c i 的表达式如下：

1102110)

,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=-

根据i c 以上公式，计算的步骤如下：

⎪⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----)

,,,,(1)

,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下：

所谓三次样条插值多项式)(x S n 是一种分段函数，它在节点

i x 011()n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=分成的每个小区间1[,]i i x x -上是3次多项式，其在

此区间上的表达式如下：

22331111111()[()()]()()666[,]1,2,,.

i i i i i i i i i i i i i i i

i i h x x h x x S x x x M x x M y M y M h h h x x x i n --------=-+-+-+-∈=⋅⋅⋅，

， 因此，只要确定了i M 的值，就确定了整个表达式，i M 的计算方法如下： 令：

11

111111116()6(,,)i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i h h h h h h y y y y d f x x x h h h h μλμ++++--+++⎧

===-⎪++⎪⎨

--⎪=-=⎪+⎩

， 则i M 满足如下n-1个方程：

1121,2,,1i i i i i i M M M d i n μλ-+++==⋅⋅⋅-，

方程中有n+1个未知量，则令0M 和n M 分别为零，则由上面的方程组可得到

(11)i M i n ≤≤-的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式)(x S n 。

计算结果与结果分析

本题中各问的相应计算结果如下：

1、在n 取不同值时,x i 和对应的f(x i )(亦即下图中的y1)的值如下：

n ＝5时:

n ＝10时:

n ＝20时:

2、Newton 插值多项式的表达式如下：

)())(()()(110010--⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N

n ＝5时，其各项系数43210,,,,c c c c c 分别为:

n ＝10时，其各项系数10910,,,,c c c c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别为:

n ＝20时，其各项系数20,1910,,,c c c c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别为:

对于三次样条插值多项式)(x S n ，最重要的是求出其M 矩阵的值，其中M 0和

M n 都为0,M 1～M n-1则存储在矩阵M 中： n ＝5时的M 矩阵(M 1～M 4)的值为：

n ＝10时的M 矩阵(M 1～M 9)的值为：

n ＝20时的M 矩阵(M 1～M 19)的值为：

3、不论n 为多少，)(k x f 是不会改变的，其值存储在矩阵yy 中；当n 取不同值的时候，Newton 插值多项式()n k N x 和三次样条插值多项式()n k S x 的值是不同的，为了使整个结果直观，实验的最终结果还用图形进行的重现（本问中所得函数值

)(k x f 、牛顿插值()n k N x 和三次样条插值()n k S x 的结果分别存在数组变量yy 、Nn

和Sn 中）。

当n ＝5时，整个区间中的()n k N x 、()n k S x 以及)(k x f 的值如图所示：

图5-1 5n 时()n k N x 、()n k S x 与原始值)(k x f 的对比图

n ＝20时，整个区间中的()n k N x 和)(k x f 以及()n k S x 和)(k x f 的对比如下面两图所示：