第四章 控制系统的频率特性

第四章控制系统的频率特性本章要点本章主要介绍自动控制系统频域性能分析方法。

内容包括频率特性的基本概念，典型环节及控制系统Bode图的绘制，用频域法对控制系统性能的分析。

用时域分析法分析系统的性能比较直观，便于人们理解和接受。

但它必须直接或间接地求解控制系统的微分方程，这对高阶系统来说是相当复杂的。

特别是当需要分析某个参数改变对系统性能的影响时，需反复重新计算，而且还无法确切了解参数变化量对系统性能影响的程度。

而频率特性不但可以用图解的方法分析系统的各种性能，而且还能分析有关参数对系统性能的影响，工程上具有很大的实用意义。

第一节频率特性的基本概念一、频率特性的定义频率特性是控制系统的又一种数学模型，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。

对线性系统，若输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但是输出信号的幅值和相位一般不同于输入量，如图4-1。

若设输入量为r(t)=A r sin(ωt+υr)其输出量为c(t)=A c sin(ωt+υc)若保持输入信号的幅值A r不变，改变输入信号的角频率ω，则输出信号的角频率也变化，并且输出信号的幅值和相位也随之变化。

图4-1 控制系统的频率响应我们定义系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性，简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。

输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它也随角频率ω变化，常用υ(ω)表示。

其数学定义为 rcA A M =)(ω υ(ω)=υc -υr幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G(j ω)表示。

由此，幅频特性M(ω)又可表示为)(ωj G ，相频特性υ(ω)又可表示为)(ωj G ∠，三者可表示成下面的形式：其中 )()()()()()()(ωωϕωωωωωj G j G M j G j G j G ∠==∠=二、频率特性与传递函数的关系频率特性和传递函数之间存在密切关系：若系统（或元件）的传递函数为G(s)，则其频率特性为G(j ω)。

这就是说，只要将传递函数中的复变量s 用纯虚数j ω代替，就可以得到频率特性。

即)()(ωj G s G →三、频率特性的表示方法 1．数学式表示法频率特性是一个复数，所以它和其他复数一样，可以表示为极坐标式、直角坐标和指数坐标三种形式。

见图4-2所示。

)()()()()()()(ωϕωωωωωωj eM jV U j G j G j G =+=∠=显然，)()()()(22ωωωωV U j G M +==)()(arctan)()(ωωωωϕU V j G =∠= 例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。

图4-2 频率特性的表示方法解：惯性环节的传递函数为 11)(+=Ts s G 其频率特性为 11)(+=ωωTj j G幅频特性为 1)(1)(2+=ωωT A相频特性为 ωωωϕT j G arctan 0)()(-=∠=2．图形表示法1）极坐标图（又称奈奎斯特图）当ω从0→∞变化时，G(j ω)运动的轨迹称为极坐标图。

根据频率特性的极坐标式G(j ω)=M(ω)∠υ(ω)，可以算出每一个ω值所对应的幅值M(ω)和υ(ω)，将它们画在极坐标平面图上，就得到了频率特性的极坐标图。

2）对数频率特性对数频率特性是将频率特性表示在半对数坐标中，通常称为Bode 图。

对数频率特性的定义为： L(ω)=20lgM(ω) υ(ω)= ∠G(ω)引入对数幅频特性L(ω)，可以把幅频特性相乘的关系转化成对数幅频特性相加的关系从而简化计算和方便作图。

另外，以后的分析会表明，L(ω)或它的渐近线大多与lg ω成线性关系。

因此，若以L(ω)为纵轴，lg ω为横轴，则其图线为直线，这也使频率特性的计算和绘制过程大为简化。

①对数幅频特性曲线横坐标表示角频率ω，单位为弧度/秒（rad/s ）,按lg ω均匀分度，但对ω而言是不均匀的，两者的相应关系参见图4-3所示，频率从1到10 的对数值见表4-1所示。

在横坐标上，ω每变化10倍，横坐标就变化一个单位长度，我们以后称为一个“10倍频程”（记为dec ）。

纵坐标表示L(ω)，单位为分贝（dB ），均匀分度，如图4-3所示。

由于只有横坐标为对数坐标，纵坐标不是对数坐标，所以又称为半对数坐标图。

这一点在画图时必须要注意。

② 对数相频特性曲线横坐标表示角频率ω，单位为弧度/秒（rad/s ）,按lg ω均匀分度，但对ω而言是不均匀的，纵坐标表示υ(ω)，单位为度（o ），均匀分度，如图4-4所示。

第二节 典型环节的Bode 图一、比例环节1．传递函数为 K s R s C s G ==)()()(图4-3 Bode 图坐标系2．频率特性为 K j R j C j G ==)()()(ωωω3．对数频率特性为 L(ω)=20lgK (dB) υ(ω)=0o 4．Bode 图1）对数幅频特性L(ω) L(ω)为水平直线，其高度为20lgK 。

如图4-4所示。

2）对数相频特性υ(ω) υ(ω)为与横轴重合的水平直线。

如图4-4所示。

比例环节放大倍数K 变化，系统的L(ω)上下平移，但υ(ω)不变。

二、积分环节1．传递函数为 Ts s R s C s G 1)()()(==2．频率特性为 ωωωωjT j R j C j G 1)()()(==3．对数频率特性为 L(ω)=-20lgT ω=-20lgT-20lg ω (dB) υ(ω)=-90o 4．Bode 图1）对数幅频特性L(ω) L(ω)为过点（1，20lgK ）、斜率为－20dB/dec 的一条直线。

如图4-5所示。

图4-4 比例环节的Bode 图2）对数相频特性υ(ω) υ(ω)为一条－90o 的水平直线。

如图4-5所示。

三、理想微分环节 1．传递函数为 s s R s C s G τ==)()()( 2．频率特性为 τωωωωj j R j C j G ==)()()(3．对数频率特性为 L(ω)=20lg τω (dB) υ(ω)=90o 4．Bode 图1）对数幅频特性L(ω) L(ω)为过点（1，20lg τ）、斜率为20dB/dec 的一条直线。

图4-5 积分环节的Bode 图2）对数相频特性υ(ω) υ(ω)为一条90o 的水平直线。

四、惯性环节1．传递函数为 11)()()(+==Ts s R s C s G 2．频率特性为 11)()()(+==T j j R j C j G ωωωω3．对数频率特性为 1)(lg 201)(1lg20)(22+-=+=ωωωT T Lυ(ω)=-arctanT ω 4．Bode 图1）对数幅频特性L(ω) 惯性环节的对数幅频特性L(ω) 是一条曲线，逐点描绘很繁琐，通常采用近似方法绘制，即先作出L(ω)的渐近线。

①低频渐近线：指ω→0时的L(ω)曲线 当ω《1/T ，T ω《1时01lg 201)(lg 20)(2=-=+-=ωωT L图4-6 理想微分环节的Bode 图为一条0dB 的水平线。

②高频渐近线：指ω→∞时的L(ω)曲线 当ω》1/T ，T ω》1时ωωωT T L lg 201)(lg 20)(2-=+-=为过点（1/T ，0）、斜率为-20dB/dec 的一条直线。

交接频率：指高、低频渐近线交接处的频率， 显然， 惯性环节的交接频率为ω=1/ T 。

修正量：最大误差发生在交接频率ω=1/ T 处，该处的实际值为 dB T L T03.32lg 201)(lg 20)(21-=-=+-==ωωω所以其最大误差约为3dB 。

因此，若需精确曲线，则先在交接频率ω=1/ T 处定一个-3dB 点，然后用一条光滑曲线与渐近线连接起来，就得到精确曲线。

2）对数相频特性υ(ω) 也可用近似画法。

① 低频渐近线：当ω→0时，υ(ω)→0。

因此，低频渐近线为一条υ(ω)→0的水平线。

② 高频渐近线：当ω→∞时，υ(ω) →-90o 。

因此，高频渐近线为一条υ(ω)→-90o 的水平线。

③交接频率处的相位：当ω=1/ T 时，υ(ω)=-arctan1=-45o 。

五、比例微分环节 1．传递函数为 1)()()(+==s s R s C s G τ 图4-7 惯性环节的Bode 图2．频率特性为 1)()()(+==ωτωωωj j R j C j G3．对数频率特性为 1)(lg 20)(2+=τωωLυ(ω)=arctan τω 4．Bode 图同理，比例微分环节的对数幅频特性L(ω)和相频特性υ(ω) 也是曲线，逐点描绘很繁琐，通常也采用近似方法绘制。

因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节只相差一个符号，所以只要把惯性环节的Bode 图向上翻转一下即可。

如图4-8所示。

六、振荡环节1．传递函数为 2222)()()(n n n s s s R s C s G ωξωω++== 2．频率特性为ωξωωωωωωξωωωωωωn n n n n n j j j j R j C j G 2)(2)()()()(222222+-=++== 3．对数频率特性为图4-8 比例微分环节的Bo0de 图222222222)2()1(lg 20)2()(lg20)(n n n nn L ωωξωωωξωωωωω+--=+-=2212arctan )(nnωωωωξωϕ--= 4．Bode 图1）对数幅频特性L(ω) 振荡环节的对数幅频特性L(ω) 是一条曲线，逐点描绘很繁琐，通常也采用近似方法绘制，即先作出L(ω)的渐近线。

①低频渐近线：当ω《ωn 时dB L nn 01lg 20)2()1(lg 20)(2222=-≈+--=ωωξωωω为一条0dB 的水平线。

②高频渐近线： 当ω》ωn 时nn n n nL ωωωωωωωωξωωωlg 40lg 40lg 40)lg(20)2()1(lg 20)(22222+-=-=-≈+--=为过点（ωn ，0）、斜率为-40dB/dec 的一条直线。

③交接频率：振荡环节的交接频率为ω=ωn 。

④修正量：当ω=ωn 时，该处的实际值为 dB L nξξωωω2lg 20)2(lg 20)(2-=-==所以其误差不仅与ω有关，还与ξ有关。

误差计算结果见表4-2。

图4-9 振荡环节的Bode图计算表明，在ω=ωn处，当0.4＜ξ＜0.7时，误差小于3dB，可以不对渐近线进行修正；但当ξ＜0.4或ξ＞0.7时，误差较大，必须对渐近线进行修正。

2）对数相频特性υ(ω) 也可用近似画法。

①低频渐近线：当ω→0时，υ(ω)→0。

因此，低频渐近线为一条υ(ω)→0的水平线。

②高频渐近线：当ω→∞时，υ(ω) →-180o。