因式分解与分式化简
因式分解与分式
1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x a b x a c xa xm m m m 2213 （2）a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：-+--=--+++++a x a b xa c x a x a x a x b x c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 )243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987+++⨯==⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x yx y x x y +-++的值。
因式分解与分式
第二部分 代数式与恒等变形部分★五、多项式的因式分解：1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》2、因式分解的方法、步骤和要求：（1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ⋅-m （ ）。
（2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法.*十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。
*分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。
（4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。
《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++.2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ）A.327b aB.227b aC.b a 27D.3328b a2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ）A.-13B.13C.42D.-423.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----4423；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2-+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x xB.)(2n m m m mn m +=++C.)2)(4(822+-=--a a a aD.22)21(21-=+-x x x 5.若A n m n m mn n m ⋅+=+-+)()()(3，则A 是（ ）A.22n m +B.22n mn m +-C.223n mn m +-D.22n mn m ++6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简是指将一个分式写成一个最简形式的过程。
下面列举一些分式化简的方法与技巧：
1. 因式分解法：如果分子和分母都可以被一个公因子因式分解，可以先进行因式分解，然后约去公因子。
2. 公约法：将分子和分母的公因子约去，使分子和分母无公因子。
3. 分子与分母分别除以最大公约数法：先求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，使得分子和分母互质。
4. 乘法逆元法：如果分子和分母互为乘法逆元，即分子和分母互为倒数关系，可以将分式化简为整数。
5. 积化和差法：对于有相同分子或分母的分式，可以将其化为积或差的形式，然后进行约分或运算。
6. 公倍数法：如果分式的分子和分母都是整数，可以找到一个公倍数使得分子和分母变为整数，然后约去公倍数。
7. 有理化法：对于含有根号的分式，可以通过有理化的方法将其转化为整数或分数。
8. 倒数法：对于一个分式，可以将其倒数的分子和分母对换位
置，然后约分。
以上是一些常见的分式化简的方法与技巧，根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及方法大全待定系数法（因式分解）待走系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛,这里介绍它在因式缠中的应用・在因式分解时” 一些多项式经过分析”可以断走它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待走的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程（或方程组）,解出待走字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待走系数法・常用的因式缠公式:@ 士疔=a2±2ab+i2（。
士b）%±3舄+ 3必2 土护宀宀@一％+3）/士护=（a±b）（a2干必+胪）—护=⑺-耐(严+护門+汁留卄十护一2 *护)(乃为正整数)/ - &1血》心於-…+必心-旷1)(耳为偶数)a尢4•护=0 +血)(严_ d f 4•卅昭--------- 必心十b#】)@为奇数)(&+D+ E)2=a1 +3? 4-e2 + 2ab + 2be + 2caa^ -ib2 +c3-3abc = (a +b +c)((a2 4-^2 4-c?2一ab-bc-ca)例1 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3 .分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y) (x+y),若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一走是x+2y+m和x+y+n的形式应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m + n)x+(m+2 n)y+m n ,比较两边对应项的系数,则有解之得m = 3 z n = l •所以原式=(x+2y+3)(x+y+l).说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下・例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7 ・分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1 , ±7(7的约数)” 经检验,它们都不是原式的根,所以”在有理数集内”原式没有一次因式■如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的开彳式・原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad + bc)x+bd , 所以有由bd=7,先考虑b=「d=7有所以说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-l z d二・7等可以不加以考虑•本题如果b=l,d=7代入方程组后，无法确走a , c的值，就必原式=(X2・7X+1)(X2+5X+7)・须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止・本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式•但利用待定系数法，使我们找到了二次因式•由此可见，待走系数法在因式分解中也有用武之地・求根法(因式分解)我们把开彳如anxn+an-lxn-l+...+alx+aO(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x) , g(x),... 等记号表示，如f(x)=x2-3x+2 z g(x)=x5+x2+6 z..., 当x二a时，多项式f(x)的值用f⑻表示・如对上面的多项式f(x) f(l) = 12-3x我们把开彳如a n x n+a n-ix n-1+...+aix+ao(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x) , g(x) z…等记号表示,如f(x)=x2-3x+2 , g(x)=x5+x2+6 ,...,例2分解因式:x3-4x2+6x-4・当x=a 时,多项式f(x)的值用f(a)表示・如对上面的多 项式f(x) f(l) = l 2-3xl+2=0 ;f(-2)=(-2)2-3x(-2)+2=12 ・若f(a)=O ,则称a 为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理)若a 是一元多项式f(x)的根，即 f(a)=O 成立，则多项式f(x)有一个因式x ・a ・根据因式走理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键 是求多项式f(x)的根・对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时, 根.定理2的根，则必有p 是ao 的约数,q 是an 的约数・特别地, 当ao=l 时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n 的约数・我们根据上述走理,用求多项式的根来确走多项式的_ 次因式，从而对多项式进行因式分解・分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根, 必是・4的约数，逐个检验・4的约数:±1, ±2, ±4,只有即整系数多项式时，经常用下f(2)=23-4x22+6x2-4=0 ,即x=2是原式的一个根,所以根据走理1.原式必有因式x・2・解法1用分组分解法,使每组都有因式(x・2)・原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x・4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)・解法2用多项式除法,将原式除以(x・2),所以原式=(x-2)(x2・2x+2)・说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是・4的反之不成立,即・4的约数不一走是多项式的根・因此，必须对约数z・4的约数逐个代入多项式进行验证・例3 分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2 .分析因为9的约数有±1 , ±3 , ±9 ;・2的约数有±1 ,所以，原式有因式9X2・3X・2・解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+l)=(3x+l)(3x-2)(x2+l)说明若整系数多项式有倉数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2・3x・2 ,这样可以简化分解过程.总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x) 低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了・双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2 + bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式•例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3・我们将上式按x降幕排列，并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式・例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 •我们将上式按x 降幕排列，并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式・对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+l).再利用十字相乘法对关于X的二次三项式分解所以原式二[x+(2y・3)] [2x+(-lly+l)] =(x+2y-3)(2x-lly+l).上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法・如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图：它表不的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-lly)=2x2-7xy-22y2 ;(x-3)(2x+l)=2x2-5x-3 ;(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3 .这就是所谓的双十字相乘法・用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：⑴用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2 z得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上妾求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey ,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx・例1分解因式：(1) x2-3xy-10y2+x+9y-2 ;(2) x2-y2+5x+3y+4 ;(3) xy+y2+x-y-2 ;⑷6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2・解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-l)・(2)原式=(x+y+l)(x・y+4)・G)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解・原式=(y+l)(x+y-2)・(4)原式=(2x・3y+z)(3x+y・2z)・说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似・笔算开平方对于一个数的开方,可以不用计算机,也不用查表,直接笔算出来,下面通过一个例子来说明如何笔算开平方,对于其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步，先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3Z16.48Z41.第二步,找出第一段数字的初商”使初商的平方不超过第一段数字,而初商加1的平方则大于第一段数字,本例中第一段数字为3 ,初商为1 ,因为12 = 1<3 , jfo（l+l）2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字, 组成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步,找出试商”使（20x初商+试商）x试商不超过第一余数，而【20x初商+（试商+1）】x（试商+1）则大于第—余数. 第五步，把第一余数减去（20x初商+试商）x试商，并移下第三段数字组成第二余数本例中试商为7第二余数为2748. 依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零, 则开方运算告结束•若余数永远不为零,则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置,平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐•本例的算式如下：17.79^3,16 .48,411 ...................... -I220 X 1=20 2 16 ................. •第一余毅十7271 89 ................. (27X7)20x17 =340 27 48 .................. ■-第二余+7347 24 29 .............. (347X7)20X177 = 3540 3 19 41 …-第三余数十93549 3 19 41 3549X9【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为需（n为大于1的自然数）•作为代数式，籀称为根式・n称为根指数，a称为根底数•在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根, 其绝对值相同”符号相反. 【算术根】正数的正方根称为算术根•零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的走义，有换式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积; 反过来,同次方根的乘积等于乘积的同次方根”即lfab = ^fa>^/b(ci >Q z b>0)根式的彳【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除, 即恥临 >0,b>0)【根式的乘方】阳仁归牡0)【根式化简］祈=你(心0)(a > 0)、虑 + 4- 4-4- + y/b) _ ^Jb (气心_+ ^fb) a _b\/c 4- ^fd G 亦 + — J^) (dF 4- — \厉)气広 + y/h (气心 + ^b )(、後 _ ^/b) ct — b【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式 称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以合并.亶进位制的基与数字任一醴可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字 的值与数字所在的位置有关’任何位置的数字当小数点向右 移一位时其值扩大10倍,当小数点向左移一位时其值缩小 10倍•例如173.246 = 1X 102 +7X 10+3 + 2X 10-1+4X 10-2 +6X 10-3T 殳地，任一正数a 可表为a = a%i ・・・aA>d ・・・=a n xlO a +。
初中数学知识归纳分式的化简和运算
初中数学知识归纳分式的化简和运算在初中数学中，分式的化简和运算是一个重要的知识点。
我们将在本文中对这一内容进行归纳和总结。
一、分式的化简要化简一个分式，我们需要将其化简为最简形式。
在化简分式时，我们可以使用以下方法：1.因式分解法如果分子和分母都是多项式，我们可以尝试使用因式分解法来化简分式。
首先，我们需要对分子和分母进行因式分解，然后消去分子和分母的公因式，并将得到的结果写成最简形式。
例如，化简分式$\frac{6x^2}{12x}$，我们可以将分子和分母都因式分解为$2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$和$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x$，然后消去公因式$2 \cdot 3 \cdot x$，得到最简形式$\frac{x}{2}$。
2.约分法如果分式的分子和分母存在公因式，我们可以使用约分法来化简。
具体做法是将分子和分母的公因式约去，保留最简形式。
例如，化简分式$\frac{8y}{12}$，我们可以发现分子和分母都可以被2整除，即存在公因式2。
约去公因式2后，得到最简形式$\frac{4y}{6}$。
再次约分，得到$\frac{2y}{3}$。
二、分式的运算在进行分式运算时，我们主要涉及到加法、减法、乘法和除法。
下面我们将分别介绍这些运算的方法。
1.分式的加法和减法要进行分式的加法和减法，我们需要先找到这些分式的公共分母，然后将分子进行相应的加法或减法操作，并保持公共分母不变。
例如，我们要计算$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，首先找到这两个分式的公共分母，由于2和3的最小公倍数为6，因此通分后，我们得到$\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$。
最后，我们可以将$\frac{7}{6}$化简为最简形式，得到$\frac{7}{6}$。
2.分式的乘法对于分式的乘法，我们只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
代数式的因式分解与分式化简
代数式的因式分解与分式化简代数式是数学中常见的一类表达式，由数、字母和运算符号组成。
在数学问题中，经常需要对代数式进行因式分解和分式化简，以方便进行运算和推导。
本文将介绍代数式的因式分解和分式化简的方法和步骤。
一、代数式的因式分解因式分解是指将一个代数式表示为几个乘积的乘积形式，其中每个乘积因子称为因式。
因式分解的目的在于将复杂的代数式拆解为简单的成分，以便进行进一步的计算和推导。
1.1 一元二次三项式的因式分解一元二次三项式的一般形式为ax²+bx+c，其中a、b、c 为已知实数，且a≠0。
对于此类代数式，我们可以通过配方法进行因式分解。
步骤如下：1. 将三项式中的第一项和最后一项相乘，得到 ac。
2. 找出两个因数 m 和 n，使得它们的和等于第二项的系数 b，且乘积等于 ac。
3. 将第二项拆分为 mx 和 nx（注意要保持等式成立）。
4. 通过提取公因式的方式进行因式分解。
例如：ax²+bx+c =a(x+m)(x+n)。
1.2 多项式的因式分解对于多项式的因式分解，一般需要使用更复杂的方法，如提取公因式、分组分解、平方法、差二次平方和公式等。
例如，对于代数式 x³+3x²-4x-12，我们可以通过以下步骤进行因式分解：1. 尝试提取公因式，如果存在公因式，则进行提取。
例如，x³+3x²-4x-12 = x²(x+3)-4(x+3) = (x+3)(x²-4)。
2. 继续对括号中的二次式进行因式分解，如公式 a²-b² = (a+b)(a-b)。
例如，x²-4 = (x+2)(x-2)。
3. 将分解得到的因式整合，得到最终的因式分解形式。
例如，x³+3x²-4x-12 = (x+3)(x+2)(x-2)。
二、代数式的分式化简分式化简是指将一个复杂的分式表示为简单分式和整式的和的形式，以便进行运算和推导。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及方法大全之相礼和热创作待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种紧张的解题方法，运用很广泛，这里引见它在因式分解中的运用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来暗示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性子，两边对应项系数应该相称，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．经常运用的因式分解公式：例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项肯定是x+2y+m 和x+y+n的方式，运用待定系数法即可求出m和n，使成绩得到处理．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．以是原式=(x+2y+3)(x+y+1)．阐明本题也可用双十字相乘法，请同砚们本人解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据后面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，以是，在有理数集内，原式没有一次因式．假如原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的方式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，以是有由bd=7，先考虑b=1，d=7有以是原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．阐明由于因式分解的独一性，以是对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题假如b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因此无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号暗示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a 时，多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对下面的多项式f(x)f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号暗示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对下面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于恣意多项式f(x)，要求出它的根是没有一样平常方法的，但是当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经经常运用下面的定理来断定它能否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐一检验-4的约数：±1，±2，±4，只要f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，以是根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，以是原式=(x-2)(x2-2x+2)．阐明在上述解法中，特别要留意的是多项式的有理根肯定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数纷歧定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐一代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析由于9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，为：以是，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)阐明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，假如能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们经常运用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂陈列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可分解二次三项式时，我们经常运用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x 降幂陈列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解以是原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，施行了两次十字相乘法．假如把这两个步调中的十字相乘图合并在一同，可得到下图：它暗示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步调是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．阐明 (4)中有三个字母，解法仍与后面的类似．笔算开平方对于一个数的开方，可以不必计算机，也不必查表，直接笔算出来，下面经过一个例子来阐明怎样笔算开平方，对于别的数只需摹仿即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点地位向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超出第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，由于12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段数字减往初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超出第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减往(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下往，直到移完全部的段数，若末了余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点地位，平方根小数点地位应与被开方数的小数点地位对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数(n为大于1的自然数).作为代数式，指数实数范围内，负数不克不及开偶次方，一个负数开偶次方有两个方根，其尽对值相反，符号相反.【算术根】负数零.【基赋性子】由方根的定义，有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相反的根式称为同类根式，只要同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一负数一样平常地，任一负数a可表为正整数当作进位制的基，于是就得到q进数暗示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，a n a n-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.经常运用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的互相转换1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步调是：(1) 用q往除[a(10)]，得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的末了一个数字.(3) 用商更换[a(10)]的地位反复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.对于分数部分其步调是：(1)用q往乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分更换{a(10)}的地位，反复(1)和(2)两步，直到乘积变成整数为止，或直到所必要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换通常状况下其步调是：a(p)→a(10)→a(q).假如p,q是同一数s的分歧次幂，其步调是：a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，以是s=2，其步调是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的全部数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐一记下对应的16进数的数字，即正多边形各量换算公式n为边数 R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数 R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形正方形正五边形正六边形正n边形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴味：正多边形作图所谓初等几何作图成绩，是教唆用无刻度的直尺和圆规来作图.若运用尺规无限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不成能.很多立体图形可以用直尺和圆规作出，例如下面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不克不及作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.怎样判别哪些作图可能，哪些作图不成能呢？直到百余年前，用代数的方法完全地处理了这个成绩，即给出一个关于尺规作图可能性的原则：作图可能的充分必要条件是，这个作图成绩中必须求出的未知量可以由多少已知量经过无限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了很多的精力，计划处理所谓“几何三大成绩”：立方倍积成绩，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角成绩，即三等分一已知角.化圆为方成绩，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严厉证明了这三个成绩不克不及用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系非常紧密．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值成绩，每每必要利用乘法公式、尽对值与算术根的性子、分式的基赋性子、通分、求值中的方法技巧次要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一引见．1．利用因式分解方法求值因式分解是紧张的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采取．分析 x的值是经过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很费事．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，以是6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．阐明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能防止解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式得当变形，再将已知的代数式的值团体代入，会使成绩得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即以是a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，以是 a+b+c=±1．以是a+b+c的值为0，1，-1．阐明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减往一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的方式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解由于x+y=m，以是m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，以是求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y 的值恰好是一对共轭在理数，以是很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值假如代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，偶然可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．偶然也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来更换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比方式出现，可引入参数k，用它暗示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．以是x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，以是u2+v2+w2=1，即两边平方有以是4．利用非负数的性子求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性子在代数式求值中经常被运用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而标题却只给了一个方程，似乎无法求值，但细致发掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性子求解．由于x2-4x+|3x-y|=-4，以是x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．以是 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n暗示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程右边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看能否能化成非负数和为零的方式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性子求值分式与根式的化简求值成绩，内容相当丰富，因此设有特地讲座引见，这里只分别举一个例子略做阐明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是蠢笨的解法，可以利用条件将某些项的方式变一变．解根据分式的基赋性子，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变成与第四个相反．同理分析计算时应留意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．由于这样一来，原式的对称性就被毁坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为划一性，来简化我们的计算．异样(但请留意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。
因式分解与分式化简求值
因式分解与分式化简求值因式分解的几种常用方法(1)提公因式法(2)运用公式法： ①平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2(3)二次三项式型：x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)；及十字相乘法(4)分组分解法： ①分组后能提公因式；②分组后能运用公式.(5)求根公式法：因式分解的一般步骤可归纳为：一提二公三分组，十字相乘要彻底；若遇二次三项式，求根公式来帮忙。
(1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。
(2)二“公”：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式)，第二步则看能不能用公式法用x 2+(p+q)x+pq 型分解。
(3)三“分组”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“公”，当然要注意其要分解到底才能结束。
(4)十字相乘法、求根公式法均针对二次三项式的因式分解。
(5)“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确。
(6)若有几个因式乘积再加减单项式的，可以先将几个因式的乘积求出，再进行多项式的因式分解。
(7)要注意整体思想的应用。
典型试题解析：【例1】 因式分解：(1)-4x 2y+2xy 2-12xy ；(2)3x 2(a-b)-x(b-a)； (3)9(x+y)2-4(x-y)2；(4)81a 4-1；(5)(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+1； (6)(a 2+b 2)2-4a 2b 2.(7)m 3+2m 2-9m-18；(8)a 2-b 2-c 2-2bc ； (9) x 4 -5x 2+4； (10) x 3-2x 2-5x+6.专题二 有效分组再分解因式【例2】（2007年广东中山）因式分解xy y x 844122+--，正确的分组是（ ） A ．）（）（xy y x 844122---B ．xy y x 844122+--）（C ．)44()8122y x xy +-+（D ．)844(122xy y x -+-专题三 在实数范围内分解因式 【例3】（2007年潍坊市）在实数范围内分解因式：4m 2+8m －4= ．分式化简求值：一、填空题1．（2009年滨州）化简：2222444m mn n m n -+-= ． 2．(2009年成都)化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ 3．（2009年佳木斯）计算21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭= 二、选择题1.（2009年陕西省8．）化简ba a ab a -⋅-)(2的结果是 （ ）A ．b a -B ．b a +C ．b a -1D ．b a +1 2．（2009年黄冈市4．）化简a a a a a a 2422-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--的结果是（ ）A ．－4B ．4C ．2aD ．－2a 3.（2009年内蒙古包头）化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 4.（2009年吉林省）化简2244xy y x x --+的结果是（ ） A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x - 5.（2009年深圳市）化简62962-+-x x x 的结果是（ ） A ．23+x B ．292+x C ．292-x D ．23-x 6.（2009烟台市）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x x x x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的7.（2009年包头）化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 8．（2009临沂）化简22422b a a b b a+--的结果是（ ） A ．2a b -- B ．2b a - C ．2a b - D ．2b a +三、解答题1．（2009年株洲市）先化简，再求值：23393x x x ++--，其中1x =-．2．（2009年重庆市江津区）先化简，再求值：4421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ．3．（2009年泸州）化简：xx x x x 2)242(2-÷+-+4．（2009仙桃）先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2．5.（2009年常德市）化简:35(2)482y y y y -÷+---6．（2009年桂林市、百色市）先化简，再求值：2211()22x y x y x x y x +--++，其中3x y ==．7.（2009重庆綦江）先化简，再求值：2241222x x x x x⎛⎫-⨯ ⎪--+⎝⎭，其中14x =．8.（(2009年安顺）先化简，再求值：244(2)24x x x x -+⋅+-，其中x =9.（2009年贵州省黔东南州）先化简，再求值：11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x ．10.（2009恩施市）求代数式的值：22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =+11.（2009年娄底）先化简，再求值：-4-2x x +24-4+4x x ÷-2x x ，其中x12.（2009年清远）化简：222692693x x x x x x-+-÷-+13.（2009 黑龙江大兴安岭）先化简：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--a b ab a ab a b a 22222，当1-=b 时，请你为a 任选一个适当的数代入求值．。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及办法大全待定系数法(因式分化)待定系数法是数学中的一种重要的解题办法,应用很普遍,这里介绍它在因式分化中的应用．在因式分化时,一些多项式经由剖析,可以断定它能分化成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未肯定,这时可以用一些字母来暗示待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积,依据多项式恒等的性质,双方对应项系数应当相等,或取多项式华夏有字母的几个特别值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分化的办法叫作待定系数法．经常应用的因式分化公式：例1 分化因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．剖析因为(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分化因式,那么它的两个一次项必定是x+2y+m和x+y+n的情势,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比较双方对应项的系数,则有解之得m=3,n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．解释本题也可用双十字相乘法,请同窗们本身解一下．例2 分化因式：x4-2x3-27x2-44x+7．剖析本题所给的是一元整系数多项式,依据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经磨练,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式．假如原式能分化,只能分化为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的情势．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有由bd=7,先斟酌b=1,d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．解释因为因式分化的独一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以斟酌．本题假如b=1,d=7代入方程组后,无法肯定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止．本题没有一次因式,因而无法应用求根法分化因式．但应用待定系数法,使我们找到了二次因式．由此可见,待定系数法在因式分化中也有效武之地．求根法(因式分化)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…, 当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0;f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a．依据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的症结是求多项式f(x)的根．对于随意率性多项式f(x),请求出它的根是没有一般办法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经经常应用下面的定理来剖断它是否有有理根．定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数．特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们依据上述定理,用求多项式的根来肯定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分化．例2 分化因式：x3-4x2+6x-4．剖析这是一个整系数一元多项式,原式如有整数根,必是-4的约数,逐个磨练-4的约数：±1,±2,±4,只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根,所以依据定理1,原式必有因式x-2．解法1 用分组分化法,使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．解释在上述解法中,特别要留意的是多项式的有理根必定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不必定是多项式的根．是以,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分化因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．剖析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,为：所以,原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)解释若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为9x2-3x-2,如许可以简化分化进程．总之,对一元高次多项式f(x),假如能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分化为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,如许,我们就可以持续对g(x)进行分化了．双十字相乘法(因式分化)分化二次三项式时,我们经常应用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分化因式．例如,分化因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂分列,并把y当作常数,于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分化二次三项式时,我们经常应用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分化因式．例如,分化因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂分列,并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分化为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再应用十字相乘法对关于x的二次三项式分化所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分化的进程,实行了两次十字相乘法．假如把这两个步调中的十字相乘图归并在一路,可得到下图：它暗示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分化的步调是：(1)用十字相乘法分化ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);(2)把常数项f分化成两个因式填在第三列上,请求第二.第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一.第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分化因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;(2)x2-y2+5x+3y+4;(3)xy+y2+x-y-2;(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数算作0来分化．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．解释 (4)中有三个字母,解法仍与前面的相似．笔算开平方对于一个数的开方,可以不必盘算机,也不必查表,直接笔算出来,下面经由过程一个例子来解释若何笔算开平方,对于其它数只需模拟即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数,从小数点地位向阁下每隔两位用逗号,分段,如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步,找出第一段数字的初商,使初商的平方不超出第一段数字,而初商加1的平方则大于第一段数字,本例中第一段数字为3,初商为1,因为12=1<3,而(1+1)2=4>3.第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字,构成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步,找出试商,使(20×初商+试商)×试商不超出第一余数,而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步,把第一余数减去(20×初商+试商)×试商,并移下第三段数字,构成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法持续做下去,直到移完所有的段数,若最后余数为零,则开方运算告停止.若余数永久不为零,则只能取某一精度的近似值.第六步,定小数点地位,平方根小数点地位应与被开方数的小数点地位对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数(n为大于1的天然数).作为代数式,指数实数规模内,负数不克不及开偶次方,一个正数开偶次方有两个方根,其绝对值雷同,符号相反.【算术根】正数零.【基赋性质】由方根的界说,有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积;反过来,同次方根的乘积等于乘积的同次方根,即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子.分母同次方根相除,即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都雷同的根式称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以归并.进位制的基与数字任一正数一般地,任一正数a可表为正整数当作进位制的基,于是就得到q进数暗示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值,a n a n-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分,记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分,记作{a(q)}.经常应用进位制,除10进制外,还有2进制.8进制.16进制等,其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各类进位制的互相转换1 q→10转换实用平日的10进数四则运算规矩2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步调是：(1) 用q去除[a(10)],得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商调换[a(10)]的地位反复(1)和(2)两步,直到商等于零为止.对于分数部分其步调是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分调换{a(10)}的地位,反复(1)和(2)两步,直到乘积变成整数为止,或直到所须要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换平日情形下其步调是：a(p)→a(10)→a(q).假如p,q是统一数s的不合次幂,其步调是：a(p)→a(s)→a(q).例如,8进数127.653(8)转换为16进数时,因为8=23,16=24,所以s=2,其步调是：起首把8进数的每个数字依据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所稀有字从小数点起(左和右)每四位一组分组,从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字,即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形正方形正五边形正六边形正n边形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴致：正多边形作图所谓初等几何作图问题,是指应用无刻度的直尺和圆规来作图.若应用尺规有限次能作出几何图形,则称为作图可能,或者说欧几里得作图法是可能的,不然称为作图不成能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出,例如上面列举的正五边形.正六边形.正八边形.正十边形等.而另一些就不克不及作出,例如正七边形.正九边形.正十一边形等,这些多边形只能用近似作图法.若何断定哪些作图可能,哪些作图不成能呢？直到百余年前,用代数的办法完整地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分须要前提是,这个作图问题中必须求出的未知量可以或许由若干已知量经由有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来很多半学家消耗了很多的精神,妄图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题,即作一个立方体,使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题,即三等分一已知角.化圆为方问题,即作一正方形,使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严厉证清楚明了这三个问题不克不及用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分亲密．很多代数式是先化简再求值,特别是有附加前提的代数式求值问题,往往须要应用乘法公式.绝对值与算术根的性质.分式的基赋性质.通分.求值中的办法技能主如果代数式恒等变形的技能.技能和办法．下面联合例题一一介绍．1．应用因式分化办法求值因式分化是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中,经常被采取．剖析 x的值是经由过程一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形,看一看可否应用已知前提．解已知前提可变形为3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．解释在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能防止解方程(或方程组),而要将所请求值的代数式恰当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题得到简捷的解答．例2 已知a,b,c为实数,且知足下式：a2+b2+c2=1,①求a+b+c的值．解将②式因式分化变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0,则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0,1,-1．解释本题也可以用如下办法对②式变形：即前一解法是加一项,再减去一项;这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的情势．2．应用乘法公式求值例3 已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0,求x2+y2的值．解因为x+y=m,所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy,所以求x2+6xy+y2的值．剖析将x,y的值直接代入盘算较繁,不雅察发明,已知中x,y的值正好是一对共轭无理数,所以很轻易盘算出x+y与xy的值,由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值假如代数式字母较多,式子较繁,为了使求值轻便,有时可增设一些参数(也叫帮助未知数),以便沟通数目关系,这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子,用别的的一个字母来调换,这叫换元法．剖析本题的已知前提是以连比情势消失,可引入参数k,用它暗示连比的比值,以便把它们朋分成几个等式．x＝(a-b)k,y＝(b-c)k,z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1,①由②有把①双方平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1,所以u2+v2+w2=1,即双方平方有所以4．应用非负数的性质求值若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这共性质在代数式求值中经常被应用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4,求y x的值．剖析与解x,y的值均未知,而标题却只给了一个方程,似乎无法求值,但细心发掘题中的隐含前提可知,可以应用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0,即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x,y知足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0, 个中m,n暗示非零已知数,求x,y的值．剖析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经由配方之后,看是否能化成非负数和为零的情势．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．应用分式.根式的性质求值分式与根式的化简求值问题,内容相当丰硕,是以设有专门讲座介绍,这里只分离举一个例子略做解释．例10 已知xyzt=1,求下面代数式的值：剖析直接通分是蠢笨的解法,可以应用前提将某些项的情势变一变．解依据分式的基赋性质,分子.分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变．应用已知前提,可将前三个分式的分母变成与第四个雷同．同理剖析盘算时应留意不雅察式子的特色,若先分母有理化,盘算反而庞杂．因为如许一来,原式的对称性就被损坏了．这里所言的对称性是分应用这种对称性,或称之为整洁性,来简化我们的盘算．同样(但请留意算术根！)将①,②代入原式有演习六2．已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m,求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13·x10的值．。
分式化简的方法和步骤
分式化简的方法和步骤
首先，我们来看一般的分式化简步骤：
1. 因式分解，如果分子和分母都是多项式，我们可以尝试对其
进行因式分解，将分子和分母分别写成不可约的因式相乘的形式。
2. 约分，将分子和分母中的公因式约去，使分式的值保持不变。
3. 化简，对于含有根式、指数、对数等的分式，可以尝试化简
这些部分，使分式更加简洁。
其次，我们来看具体的化简方法：
1. 因式分解，对于多项式的因式分解，可以运用公式、分组、
换元等方法，将多项式分解为不可约的因式相乘的形式。
例如，对
于分式 (x^2-1)/(x^2-4)，我们可以将分子和分母都进行因式分解，然后约分得到最简分式。
2. 约分，约分是化简分式的重要步骤，通过找到分子和分母的
公因式，将其约去，使分式的值保持不变。
例如，对于分式
6x^2/9x，我们可以约去分子和分母中的公因式3和x，得到最简分式2x/3。
3. 化简，对于含有根式、指数、对数等的分式，可以尝试化简这些部分，使分式更加简洁。
例如，对于分式(2√3+√6)/(√2)，我们可以利用根式的性质进行化简，将根式部分合并或者有理化等操作，得到最简分式。
最后，需要注意的是，在化简分式的过程中，我们需要遵循数学运算的基本规则，如乘法法则、除法法则、加法法则、减法法则等，确保化简的过程和结果是准确的。
总的来说，分式化简是数学中的基本操作，通过因式分解、约分和化简等步骤，可以将复杂的分式表达式简化为最简形式，使其更易于理解和计算。
希望以上介绍能够帮助你更好地理解分式化简的方法和步骤。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及要领大齐之阳早格格创做待定系数法(果式领会)待定系数法是数教中的一种要害的解题要领，应用很广大，那里介绍它正在果式领会中的应用．正在果式领会时，一些多项式通过领会，不妨断定它能领会成某几个果式，但是那几个果式中的某些系数尚已决定，那时不妨用一些字母去表示待定的系数．由于该多项式等于那几个果式的乘积，根据多项式恒等的本量，二边对付应项系数该当相等，大概与多项式中本有字母的几个特殊值，列出闭于待定系数的圆程(大概圆程组)，解出待定字母系数的值，那种果式领会的要领喊做待定系数法．时常使用的果式领会公式：例1 领会果式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．领会由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若本式不妨领会果式，那么它的二个一次项一定是x+2y+m战x+y+n的形式，应用待定系数法即可供出m战n，使问题得到办理．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较二边对付应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以本式=(x+2y+3)(x+y+1)．道明本题也可用单十字相乘法，请共教们自己解一下．例2 领会果式：x4-2x3-27x2-44x+7．领会本题所给的是一元整系数多项式，根据前里道过的供根法，若本式有有理根，则只大概是±1，±7(7的约数)，经考验，它们皆不是本式的根，所以，正在有理数集内，本式不一次果式．如果本式能领会，只可领会为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设本式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先思量b=1，d=7有所以本式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．道明由于果式领会的唯一性，所以对付b=-1，d=-7等不妨不加以思量．本题如果b=1，d=7代进圆程组后，无法决定a，c的值，便必须将bd=7的其余解代进圆程组，曲到供出待定系数为止．本题不一次果式，果而无法使用供根法领会果式．但是利用待定系数法，使咱们找到了二次果式．由此可睹，待定系数法正在果式领会中也有用武之天．供根法(果式领会)咱们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非背整数)的代数式称为闭于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等暗号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对付上头的多项式f(x) f(1)=12-3×咱们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非背整数)的代数式称为闭于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等暗号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对付上头的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(果式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0创造，则多项式f(x)有一个果式x-a．根据果式定理，找出一元多项式f(x)的一次果式的闭键是供多项式f(x)的根．对付于任性多项式f(x)，央供出它的根是不普遍要领的，然而当多项式f(x)的系数皆是整数时，即整系数多项式时，经时常使用底下的定理去判决它是可有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特天天，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．咱们根据上述定理，用供多项式的根去决定多项式的一次果式，进而对付多项式举止果式领会．例2 领会果式：x3-4x2+6x-4．领会那是一个整系数一元多项式，本式若有整数根，必是-4的约数，逐个考验-4的约数：±1，±2，±4，惟有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是本式的一个根，所以根据定理1，本式必有果式x-2．解法1 用分组领会法，使每组皆有果式(x-2)．本式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将本式除以(x-2)，所以本式=(x-2)(x2-2x+2)．道明正在上述解法中，特天要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不可坐，即-4的约数纷歧定是多项式的根．果此，必须对付-4的约数逐个代进多项式举止考证．例3 领会果式：9x4-3x3+7x2-3x-2．领会果为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，为：所以，本式有果式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)道明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的果式化为整系数果式，如上题中的果式不妨化为9x2-3x-2，那样不妨简化领会历程．总之，对付一元下次多项式f(x)，如果能找到一个一次果式(x-a)，那么f(x)便不妨领会为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)矮一次的一元多项式，那样，咱们便不妨继承对付g(x)举止领会了．单十字相乘法(果式领会)领会二次三项式时，咱们时常使用十字相乘法．对付于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，咱们也不妨用十字相乘法领会果式．比圆，领会果式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．咱们将上式按x落幂排列，并把y当做常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可领会二次三项式时，咱们时常使用十字相乘法．对付于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，咱们也不妨用十字相乘法领会果式．比圆，领会果式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．咱们将上式按x落幂排列，并把y当做常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，不妨瞅做是闭于x的二次三项式．对付于常数项而止，它是闭于y的二次三项式，也不妨用十字相乘法，领会为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对付闭于x的二次三项式领会所以本式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述果式领会的历程，真施了二次十字相乘法．如果把那二个步调中的十字相乘图合并正在所有，可得到下图：它表示的是底下三个闭系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．那便是所谓的单十字相乘法．用单十字相乘法对付多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f举止果式领会的步调是：(1)用十字相乘法领会ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有二列)；(2)把常数项f领会成二个果式挖正在第三列上，央供第二、第三列形成的十字接叉之积的战等于本式中的ey，第一、第三列形成的十字接叉之积的战等于本式中的dx．例1 领会果式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)本式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)本式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)本式中缺x2项，可把那一项的系数瞅成0去领会．本式=(y+1)(x+y-2)．(4)本式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．道明 (4)中有三个字母，解法仍与前里的类似．笔算启仄圆对付于一个数的启圆，不妨不必估计机，也不必查表，间接笔算出去，底下通过一个例子去道明怎么样笔算启仄圆，对付于其余数只需模仿即可例供316.4841的仄圆根.第一步,先将被启圆的数，从小数面位子背安排每隔二位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的仄圆不超出第一段数字，而初商加1的仄圆则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，果为12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的仄圆，并移下第二段数字，组成第一余数，正在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超出第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继承搞下去，曲到移完所有的段数，若末尾余数为整，则启圆运算告中断.若余数永近不为整，则只可与某一粗度的近似值.第六步，定小数面位子，仄圆根小数面位子应与被启圆数的小数面位子对付齐.本例的算式如下：根式的观念【圆根与根式】数a的n次圆根是指供一个数(n为大于1的自然数).动做代数式，指数真数范畴内，背数不克不迭启奇次圆，一个正数启奇次圆有二个圆根，其千万于值相共，标记差异.【算术根】正数整.【基赋本量】由圆根的定义，有根式运算【乘积的圆根】乘积的圆根等于各果子共次圆根的乘积；反过去，共次圆根的乘积等于乘积的共次圆根，即≥0,b≥0)【分式的圆根】分式的圆根等于分子、分母共次圆根相除，即≥0,b>0)【根式的乘圆】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【共类根式及其加减运算】根指数战根底数皆相共的根式称为共类根式，惟有共类根式才可用加减运算加以合并.进位造的基与数字任一正数普遍天，任一正数a可表为正整数当做进位造的基，于是便得到q进数表示(1)式中数字ai正在{0,1,2,...,q-1}中与值，a n a n-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分，记做[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记做{a(q)}.时常使用进位造，除10进造中，另有2进造、8进造、16进造等，其数字如下2进造 0, 18进造 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进造 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9百般进位造的相互变换1 q→10变换适用常常的10进数四则运算准则2 10→q变换变换时必须分为整数部分战分数部分举止.对付于整数部分其步调是：(1) 用q去除[a(10)]，得到商战余数.(2) 记下余数动做q进数的末尾一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位子沉复(1)战(2)二步，曲到商等于整为止.对付于分数部分其步调是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分动做q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位子，沉复(1)战(2)二步，曲到乘积形成整数为止，大概曲到所需要的位数为止.比圆：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q变换常常情况下其步调是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是共一数s的分歧次幂，其步调是：a(p)→a(s)→a(q).比圆，8进数127.653(8)变换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步调是：最先把8进数的每个数字根据8-2变换表变换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)而后把2进数的所罕见字从小数面起(左战左)每四位一组分组，从16-2变换表中逐个记下对付应的16进数的数字，即正多边形各量换算公式n为边数 R为中接圆半径 a为边少爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形里积沉心G与中接圆心O沉合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数 R为中接圆半径a为边少爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形里积沉心G与中接圆心O沉合正多边形各量换算公式表各量正三角形正圆形正五边形正六边形正n边形图形Sa RR ar大概许您还对付做图感兴趣：正多边形做图所谓初等几许做图问题，是指派用无刻度的曲尺战圆规去做图.若使用尺规有限次能做出几许图形，则称为做图大概，大概者道欧几里得做图法是大概的，可则称为做图不可能.很多仄里图形不妨用曲尺战圆规做出，比圆上头枚举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些便不克不迭做出，比圆正七边形、正九边形、正十一边形等，那些多边形只可用近似做图法.怎么样推断哪些做图大概，哪些做图不可能呢？曲到百余年前，用代数的要领真足天办理了那个问题，即给出一个闭于尺规做图大概性的准则：做图大概的充分需要条件是，那个做图问题中必须供出的已知量不妨由若搞已知量通过有限次有理运算及启仄圆运算而算出.几千年去许普遍教家泯灭了很多的粗力，企图办理所谓“几许三大问题”：坐圆倍积问题，即做一个坐圆体，使它的体积二倍于一已知坐圆体的体积.三仄分角问题，即三仄分一已知角.化圆为圆问题，即做一正圆形，使它的里积等于一已知圆的里积.厥后已庄重道明白那三个问题不克不迭用尺规做图.代数式的供值代数式的供值与代数式的恒等变形闭系格中稀切．许多代数式是先化简再供值，特天是有附加条件的代数式供值问题，往往需要利用乘法公式、千万于值与算术根的本量、分式的基赋本量、通分、供值中的要领本领主假如代数式恒等变形的技能、本领战要领．底下分离例题逐一介绍．1．利用果式领会要领供值果式领会是要害的一种代数恒等变形，正在代数式化简供值中，时常被采与．领会 x的值是通过一个一元二次圆程给出的，若解出x后，再供值，将会很贫苦．咱们不妨先将所供的代数式变形，瞅一瞅是可利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．道明正在供代数式的值时，若已知的是一个大概几个代数式的值，那时要尽大概预防解圆程(大概圆程组)，而要将所央供值的代数式适合变形，再将已知的代数式的值真足代进，会使问题得到简便的解问．例2 已知a，b，c为真数，且谦脚下式：a2+b2+c2=1，①供a+b+c的值．解将②式果式领会变形如下即所以a+b+c=0大概bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．道明本题也不妨用如下要领对付②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；那个解法是将3拆成1+1+1，最后皆是将②式变形为二个式子之积等于整的形式．2．利用乘法公式供值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，供x2+y2的值．解果为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以供x2+6xy+y2的值．领会将x，y的值间接代进估计较繁，瞅察创造，已知中x，y的值正佳是一对付共轭无理数，所以很简单估计出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法供值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使供值烦琐，奇尔可删设一些参数(也喊辅帮已知数)，以便相通数量闭系，那喊做设参数法．奇尔也可把代数式中某一部分式子，用其余的一个字母去替换，那喊换元法．领会本题的已知条件是以连比形式出现，可引进参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分隔成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①二边仄圆得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即二边仄圆有所以4．利用非背数的本量供值若几个非背数的战为整，则每个非背数皆为整，那个本量正在代数式供值中时常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，供y x的值．领会与解x，y的值均已知，而题目却只给了一个圆程，好像无法供值，但是小心掘掘题中的隐含条件可知，不妨利用非背数的本量供解．果为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 已知数x，y谦脚(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非整已知数，供x，y的值．领会与解二个已知数，一个圆程，对付圆程左边的代数式举止恒等变形，通过配圆之后，瞅是可能化成非背数战为整的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的本量供值分式与根式的化简供值问题，真量相称歉富，果此设有博门道座介绍，那里只分别举一个例子略搞道明．例10 已知xyzt=1，供底下代数式的值：领会间接通分是笨笨的解法，不妨利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基赋本量，分子、分母不妨共时乘以一个不为整的式子，分式的值稳定．利用已知条件，可将前三个分式的分母形成与第四个相共．共理领会估计时应注意瞅察式子的特性，若先分母有理化，估计反而搀纯．果为那样一去，本式的对付称性便被损害了．那里所止的对付称性是分利用那种对付称性，大概称之为整齐性，去简化咱们的估计．共样(但是请注意算术根！)将①，②代进本式有训练六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，供x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，供ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，供(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，供(x+y)13·x10的值．。
分式化简的解题思路及方法
分式化简的解题思路及方法分式化简是代数学习中常见的问题，正确化简分式可以简化计算过程，提高求解效率。
本文将介绍分式化简的解题思路及方法，帮助读者更好地掌握这一技能。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《分式化简的解题思路及方法》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《分式化简的解题思路及方法》篇1一、分式化简的解题思路分式化简的解题思路主要包括以下几个方面:1. 熟悉分式的基本形式：分式通常写成 $frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是代数式。
要化简分式，需要先将其转化为这种基本形式。
2. 确定公因式：在分式中，如果有公共的因子，可以先提出来，这样可以简化分式的形式。
3. 利用分式性质：分式具有一些特殊的性质，如分子分母同乘以一个数或一个代数式，分式的值不变。
利用这些性质，可以对分式进行化简。
4. 运用运算法则：分式的化简也需要运用代数运算法则，如合并同类项、分配律、结合律等。
二、分式化简的方法分式化简的方法主要有以下几种:1. 提取公因式法：这种方法是指在分式中提取公共的因子，将分式化简为最简形式。
例如，将 $frac{2x+4y}{x+2y}$ 化简为$frac{2(x+2y)}{x+2y}$，再进一步化简为 $2$。
2. 拆分分式法：这种方法是指将分式拆分成两个或多个分式，以便更好地提取公因式或运用运算法则。
例如，将$frac{x+y}{x-y}$ 拆分成 $frac{x+y}{x-y} cdot frac{x+y}{x+y} = frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}$。
3. 合并同类项法：这种方法是指将分式中的同类项合并在一起，从而简化分式的形式。
例如，将 $frac{3x+2y}{x+y}$ 化简为$frac{3x+2y}{x+y} cdot frac{x+y}{x+y} =frac{3x^2+2xy+2xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2} =frac{3x^2+4xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}$。
因式分解和分式
龙文教育学科教师辅导讲义课 题因式分解，分式教学内容专题一、因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式；②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。
例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．1)1)(1(2-=-+x x xB ．))(())((m n a b n m b a --=--C ．)1)(1(1--=+--b a b a abD ．)32(322mm m m m --=-- 二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正； ⑵公因式的系数和字母应分别考虑：①系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。
例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）A ．)5(522x x y y xy y x +=-+B ．2)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+--C ．)1)(2()2()2(2--=-+-x a x a x a xD ．)12(2422232--=--b b ab ab ab ab 例02．把y x y x y x 3234268-+-分解因式的结果为 。
例03．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.说明：⑴观察题目结构特征 ⑵对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x例04．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x例05．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
整式与分式的运算与化简
整式与分式的运算与化简整式与分式是数学中常见的表达方式，用于表示算式或方程。
整式是由整数与字母通过加、减、乘运算及乘方运算得到的表达式，例如4x² + 3xy - 2y³。
分式则是由两个整式通过除法构成的表达式，例如(x²+ 5x - 6) / (2x + 3)。
整式与分式的运算与化简在数学问题中经常遇到，掌握其运算规则和化简方法对于解题至关重要。
本文将介绍整式与分式的基本运算法则以及化简方法。
一、整式的运算整式的运算包括加法、减法和乘法。
下面以具体的例子来说明。
1. 加法整式的加法是指将同类项相加。
同类项是指具有相同的字母部分和相同的指数。
例如，在表达式3x² + 2xy + 5x² - 3xy中，3x²和5x²是同类项，2xy和-3xy是同类项。
将同类项相加得到8x² - xy。
2. 减法整式的减法是指将减数变为其相反数，然后和被减数相加。
例如，在表达式4x² - 3xy - 2x² + 5xy中，4x² - 2x²可以合并为2x²，-3xy + 5xy 可以合并为2xy。
所以，结果为2x² + 2xy。
3. 乘法整式的乘法是指将每个项相乘，然后将结果相加。
例如，在表达式(3x - 2y)(4x + 5y)中，将每个项相乘得到12x² - 6xy + 15xy - 10y²，然后将结果相加得到12x² + 9xy - 10y²。
二、分式的运算与化简分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面以具体的例子来说明。
1. 加法与减法分式的加法和减法是指将分母相同的两个分式的分子相加或相减，并保持分母不变。
例如，对于分式(2x + 3) / 5 + (x - 1) / 5，由于两个分式的分母相同，可以直接将分子相加，得到(3x + x + 3 - 1) / 5 = (4x + 2) / 5。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及方法年夜全之阿布丰王创作待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时,一些多项式经过分析,可以判定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来暗示待定的系数．由于该多项式即是这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法．经常使用的因式分解公式：例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题获得解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比力两边对应项的系数,则有解之得m=3,n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式．如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有由bd=7,先考虑b=1,d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必需将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止．本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法,使我们找到了二次因式．由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…, 当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经经常使用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数．特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数：±1,±2,±4,只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法,使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数纷歧定是多项式的根．因此,必需对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1,±3,±9；-2的约数有±1,为：所以,原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程．总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时,我们经常使用十字相乘法．对某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列,并把y看成常数,于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分解二次三项式时,我们经常使用十字相乘法．对某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列,并把y看成常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式．对常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法．如果把这两个步伐中的十字相乘图合并在一起,可获得下图：它暗示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步伐是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,获得一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和即是原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和即是原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似．笔算开平方对一个数的开方,可以不用计算机,也不用查表,直接笔算出来,下面通过一个例子来说明如何笔算开平方,对其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数,从小数点位置向左右每隔两位用逗号,分段,如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步,找出第一段数字的初商,使初商的平方不超越第一段数字,而初商加1的平方则年夜于第一段数字,本例中第一段数字为3,初商为1,因为12=1<3,而(1+1)2=4>3.第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字,组成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步,找出试商,使(20×初商+试商)×试商不超越第一余数,而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则年夜于第一余数.第五步,把第一余数减去(20×初商+试商)×试商,并移下第三段数字,组成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法继续做下去,直到移完所有的段数,若最后余数为零,则开方运算告结束.若余数永远不为零,则只能取某一精度的近似值.第六步,定小数点位置,平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数(n为年夜于1的自然数).作为代数式,指数实数范围内,负数不能开偶次方,一个正数开偶次方有两个方根,其绝对值相同,符号相反.【算术根】正数零.【基赋性质】由方根的界说,有根式运算【乘积的方根】乘积的方根即是各因子同次方根的乘积；反过来,同次方根的乘积即是乘积的同次方根,即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根即是分子、分母同次方根相除,即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一正数一般地,任一正数a可表为正整数看成进位制的基,于是就获得q进数暗示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值,a n a n-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部份,记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部份,记作{a(q)}.经常使用进位制,除10进制外,还有2进制、8进制、16进制等,其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的相互转换1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则2 10→q转换转换时必需分为整数部份和分数部份进行.对整数部份其步伐是：(1) 用q去除[a(10)],获得商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步,直到商即是零为止.对分数部份其步伐是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部份作为q进数的分数部份第一个数字.(3)用乘积的分数部份替换{a(10)}的位置,重复(1)和(2)两步,直到乘积酿成整数为止,或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部份的草式分数部份的草式3 p→q转换通常情况下其步伐是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s的分歧次幂,其步伐是：a(p)→a(s)→a(q).例如,8进数127.653(8)转换为16进数时,由于8=23,16=24,所以s=2,其步伐是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组,从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字,即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形正方形正五边形正六边形正n边形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题,是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形,则称为作图可能,或者说欧几里得作图法是可能的,否则称为作图不成能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出,例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出,例如正七边形、正九边形、正十一边形等,这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能,哪些作图不成能呢？直到百余年前,用代数的方法完全地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充沛需要条件是,这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许大都学家耗费了很多的精力,企图解决所谓“几何三年夜问题”：立方倍积问题,即作一个立方体,使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题,即三等分一已知角.化圆为方问题,即作一正方形,使它的面积即是一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值,特别是有附加条件的代数式求值问题,往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基赋性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中,经常被采纳．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形,看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能防止解方程(或方程组),而要将所要求值的代数式适当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题获得简捷的解答．例2 已知a,b,c为实数,且满足下式：a2+b2+c2=1,①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0,则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0,1,-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项,再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积即是零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0,求x2+y2的值．解因为x+y=m,所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy,所以求x2+6xy+y2的值．分析将x,y的值直接代入计算较繁,观察发现,已知中x,y的值正好是一对共轭无理数,所以很容易计算出x+y与xy的值,由此获得以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多,式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参数(也叫辅助未知数),以便沟通数量关系,这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部份式子,用另外的一个字母来替换,这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式呈现,可引入参数k,用它暗示连比的比值,以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k,y＝(b-c)k,z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1,①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1,所以u2+v2+w2=1,即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4,求y x的值．分析与解x,y的值均未知,而题目却只给了一个方程,似乎无法求值,但仔细挖掘题中的隐含条件可知,可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0,即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x,y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0, 其中m,n暗示非零已知数,求x,y的值．分析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经过配方之后,看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题,内容相当丰富,因此设有专门讲座介绍,这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1,求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法,可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基赋性质,分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变．利用已知条件,可将前三个分式的分母酿成与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点,若先分母有理化,计算反而复杂．因为这样一来,原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性,或称之为整齐性,来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)时间：二O二一年七月二十九日将①,②代入原式有练习六2．已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m,求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13·x10的值．时间：二O二一年七月二十九日。
实数化简、整式及因式分解、分式计算
整式和分式一、整式的分类及其中延伸的相关概念0,e π⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⨯⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩正整数整数负整数有理数正分数分数单个数字—实数负分数单项式整式无法开方的二次根式代数式无理数带根式的三角函数值无限不循环小数单个字母字母字母数字母多项式分式二、针对第1题的知识点复习1、负数2、相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（0的相反数是0）3、倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数。
注意： ①零没有倒数。
②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。
一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
4、绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a课堂练习1、4的算术平方根是（ ） A ． ﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ． 162、计算：（﹣）0=（ ）A ． 1B ．﹣C ． 0D ．3、计算：（﹣）×2=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．4 D ．﹣44、计算：（﹣12）2﹣1=（ ） A ．﹣54B ．﹣14C ．﹣34D ．05、﹣的倒数是（ ） A ． B ．C ．D ．6、计算：(－3)0＝（ ） A ．1B ．0C ．3D ．－137、计算：= ．2-的相反数是（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-﹣23的相反数是（ ） A ．﹣8 B ．8C ．﹣6D ．6当1<a<2时，代数式|a －2|＋|1－a|的值是（ ） A ．－1 B ．1C ．3D ．－3若 |x | =－x ，则x 一定是（ ） A ．非正数 B ．正数C ．非负数D ．负数实数1，-1，-12，0，四个数中，最小的数是（）A．0 B．1 C．-1 D．-1 2-94和（-32）2的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．上述答案都不正确- 14的绝对值是（）A．-4 B．14C．4 D．0.4已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a、b同号D．a、b异号，且正数的绝对值较大三、针对15题的计算知识点复习1、有理数计算：（1）计算规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。
高中数学中的因式分解与分式化简
高中数学中的因式分解与分式化简在高中数学中，因式分解与分式化简是常见的数学技巧，它们在解题过程中起着重要的作用。
因式分解是将一个多项式分解为若干个乘积的形式，而分式化简则是将一个分式转化为最简形式。
这两个技巧在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有广泛应用。
一、因式分解因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式。
它可以简化计算过程，拓展问题的解决思路。
因式分解的基本原则是根据乘法的分配律和特定的公式，将多项式中的公因式提取出来，然后进行合并和化简。
例如，对于多项式2x² + 4x，我们可以将其因式分解为2x(x + 2)。
这里，公因式2x被提取出来，然后与原多项式中的剩余部分(x + 2)合并。
这样做的好处是可以简化计算，同时也可以找到多项式的特点和性质。
在因式分解中，常见的技巧包括提取公因式、配方法、差平方公式等。
这些技巧在解决方程、求极限、化简表达式等问题时都有重要应用。
因此，掌握因式分解的方法和技巧对于高中数学的学习至关重要。
二、分式化简分式化简是将一个分式转化为最简形式。
分式是数学中的一种表达形式，它将一个整体分为若干个部分。
分式化简的目的是简化计算过程，提高问题解决的效率。
分式化简的基本原则是根据分数的性质，将分子和分母中的公因子约去，并进行合并和化简。
例如，对于分式(2x²+ 4x)/(x + 2)，我们可以将其化简为2x。
这里，分子和分母中的公因子(x + 2)被约去，得到最简形式2x。
在分式化简中，常见的技巧包括提取公因子、通分、分子分母的因式分解等。
这些技巧在解决方程、求极限、化简表达式等问题时都有重要应用。
因此，掌握分式化简的方法和技巧对于高中数学的学习至关重要。
三、应用举例因式分解与分式化简在数学中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用举例：1. 解方程：通过因式分解和分式化简，可以将一个复杂的方程转化为简单的形式，从而更容易求解。
2. 求极限：在求函数的极限过程中，通过因式分解和分式化简，可以将函数转化为更简单的形式，从而更容易求出极限值。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及方法年夜全之老阳三干创作待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时,一些多项式经过分析,可以判定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来暗示待定的系数．由于该多项式即是这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法．经常使用的因式分解公式：例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题获得解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比力两边对应项的系数,则有解之得m=3,n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式．如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有由bd=7,先考虑b=1,d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必需将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止．本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法,使我们找到了二次因式．由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…, 当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经经常使用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数．特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数：±1,±2,±4,只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法,使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数纷歧定是多项式的根．因此,必需对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1,±3,±9；-2的约数有±1,为：所以,原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程．总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时,我们经常使用十字相乘法．对某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列,并把y看成常数,于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分解二次三项式时,我们经常使用十字相乘法．对某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列,并把y看成常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式．对常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法．如果把这两个步伐中的十字相乘图合并在一起,可获得下图：它暗示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步伐是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,获得一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和即是原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和即是原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似．笔算开平方对一个数的开方,可以不用计算机,也不用查表,直接笔算出来,下面通过一个例子来说明如何笔算开平方,对其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数,从小数点位置向左右每隔两位用逗号,分段,如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步,找出第一段数字的初商,使初商的平方不超越第一段数字,而初商加1的平方则年夜于第一段数字,本例中第一段数字为3,初商为1,因为12=1<3,而(1+1)2=4>3.第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字,组成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步,找出试商,使(20×初商+试商)×试商不超越第一余数,而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则年夜于第一余数.第五步,把第一余数减去(20×初商+试商)×试商,并移下第三段数字,组成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法继续做下去,直到移完所有的段数,若最后余数为零,则开方运算告结束.若余数永远不为零,则只能取某一精度的近似值.第六步,定小数点位置,平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数(n为年夜于1的自然数).作为代数式,指数实数范围内,负数不能开偶次方,一个正数开偶次方有两个方根,其绝对值相同,符号相反.【算术根】正数零.【基赋性质】由方根的界说,有根式运算【乘积的方根】乘积的方根即是各因子同次方根的乘积；反过来,同次方根的乘积即是乘积的同次方根,即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根即是分子、分母同次方根相除,即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一正数一般地,任一正数a可表为正整数看成进位制的基,于是就获得q进数暗示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值,a n a n-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部份,记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部份,记作{a(q)}.经常使用进位制,除10进制外,还有2进制、8进制、16进制等,其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的相互转换1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则2 10→q转换转换时必需分为整数部份和分数部份进行.对整数部份其步伐是：(1) 用q去除[a(10)],获得商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步,直到商即是零为止.对分数部份其步伐是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部份作为q进数的分数部份第一个数字.(3)用乘积的分数部份替换{a(10)}的位置,重复(1)和(2)两步,直到乘积酿成整数为止,或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部份的草式分数部份的草式3 p→q转换通常情况下其步伐是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s的分歧次幂,其步伐是：a(p)→a(s)→a(q).例如,8进数127.653(8)转换为16进数时,由于8=23,16=24,所以s=2,其步伐是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组,从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字,即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形正方形正五边形正六边形正n边形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题,是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形,则称为作图可能,或者说欧几里得作图法是可能的,否则称为作图不成能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出,例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出,例如正七边形、正九边形、正十一边形等,这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能,哪些作图不成能呢？直到百余年前,用代数的方法完全地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充沛需要条件是,这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许大都学家耗费了很多的精力,企图解决所谓“几何三年夜问题”：立方倍积问题,即作一个立方体,使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题,即三等分一已知角.化圆为方问题,即作一正方形,使它的面积即是一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值,特别是有附加条件的代数式求值问题,往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基赋性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中,经常被采纳．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形,看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能防止解方程(或方程组),而要将所要求值的代数式适当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题获得简捷的解答．例2 已知a,b,c为实数,且满足下式：a2+b2+c2=1,①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0,则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0,1,-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项,再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积即是零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0,求x2+y2的值．解因为x+y=m,所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy,所以求x2+6xy+y2的值．分析将x,y的值直接代入计算较繁,观察发现,已知中x,y的值正好是一对共轭无理数,所以很容易计算出x+y与xy的值,由此获得以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多,式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参数(也叫辅助未知数),以便沟通数量关系,这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部份式子,用另外的一个字母来替换,这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式呈现,可引入参数k,用它暗示连比的比值,以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k,y＝(b-c)k,z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1,①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1,所以u2+v2+w2=1,即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4,求y x的值．分析与解x,y的值均未知,而题目却只给了一个方程,似乎无法求值,但仔细挖掘题中的隐含条件可知,可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0,即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x,y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0, 其中m,n暗示非零已知数,求x,y的值．分析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经过配方之后,看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题,内容相当丰富,因此设有专门讲座介绍,这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1,求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法,可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基赋性质,分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变．利用已知条件,可将前三个分式的分母酿成与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点,若先分母有理化,计算反而复杂．因为这样一来,原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性,或称之为整齐性,来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)创作时间：二零二一年六月三十日将①,②代入原式有练习六2．已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m,求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13·x10的值．创作时间：二零二一年六月三十日。
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法脿中学“一、二、四”阳光课堂教学案
科目：数学年级：九年级
主备教师：周继全参加讨论教师：郭子安、郭世学
备课时间：2017-4-13 集体讨论时间：2017-4-21
备课组审批：教科处审批：
阳光校园，阳光课堂，阳光心态，阳光人生！
因式分解与分式化简（复习）
知识点：
1、因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
2、分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算。
教学目标：
1、理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
2、了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。
掌握分式的基本性质，会约分，通分。
会进行分式的加减乘除乘方的运算及分式的化简求值。
教学重点、难点：
1、因式分解能力、提取公因式、应用公式法。
2、分式的化简求值。
考查重难点与常见题型：
1、考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。
重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。
习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
2、考查分式的化简求值。
在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。
注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值。
教学辅助设备：
多媒体
教学过程：
一、导入
通过复习目标导入。
二、课堂前置：
一）复习要点1：
1、什么是因式分解？
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
2、分解因式的常用方法有：
(1)提公因式法
如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
(2)运用公式法，即用
))((,
)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=- 写出结果．
二）复习要点2：
1、分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
2、分式的运算：
三、小组交流（小组讨论）：
1、下列变形是因式分解的是（ ）
A 、（x+1)(x-1)=x2-1
B 、x2+x-1=(x+1)(x-1)+x
C 、4x2+2x=2x(2x+1)
D 、x4-1=(x2+1)(x2-1)
2、分解因式，看谁做得又快又好。
（1）2m3-8m
(2)ab2-2a2b+a3
(3)4x2-25
(4)a2-4a+4
3、化简：
四、分享表达（展示环节）：
0(≠÷÷=⨯⨯=C C
B C A C B C A B A )(;)2(;)1( ad bc c d a b ac bd c d a b ： ad ca bd ad ca ad bd d c a b a c b a c a b ： =÷=∙±=±=±±=±._________1)111(2 -÷-+m m m
交流分享小组讨论交流结果。
五、课堂检测：
1、分解因式，看谁做得又快又好。
1). 3m2-27 2). 1-a4
2、若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=( )
A. 6
B. 12
C. ±6
D. ±12
3、先化简，再求值：
4. 阅读下面题目的计算过程： 23211x x x ---+＝()()()()()
2131111x x x x x x ---+-+- ① ＝()()321x x --- ②
＝322x x --+ ③
＝1x -- ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代
号 。
（2）错误原因是 。
（3）本题的正确结论是 。
六、拓展提升（教师点拨和归纳）：
七、课外作业：
云南省初中学业水平考试标准指南
《优佳学案》
P9 解答题： N012、13
八、教学反思：
2009,1)111(222-=++÷-+++x x x x x x x x ，。