正项级数的收敛判别法及其推广

引言

数项级数又称无穷级数,简称级数.若数项级数的各项都由正数组成,则称为正项级数.级数理论是数学中一个非常重要的理论,正项级数又是级数中的基础部分,具有很强的实用价值和广泛的应用.作为一种常用的研究工具广泛的应用于其他数学科学和科学技术领域,因此它的收敛判定问题一直被人们所研究.

正项级数的收敛判别法中,常用的且比较典型的判别法有比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法等.

为了比较方便、简单的判别正项级数是否收敛,首先,可以根据其特点选择适当的方法,如：柯西判别法、达朗贝尔判别法或拉贝判别法,使正项级数收敛的判别变得更加简便.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法、对数判别法、次数差审敛法等.一般是,当无法使用柯西判别法时,通常可以选用达朗贝尔判别法,当达朗贝尔判别法也无法使用时,使用比较判别法,若比较判别法还是无法判别时,再使用正项级数收敛的充要条件进行判定.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断.根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率.

本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,并给出了不同通项特点的正项级数选用的不同的判别法.

1关于正项级数的一些基础知识

定义1.1.1[1] 给定一个数列{}n u ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

12n u u u ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ （1）

称为数项级数或无穷级数（也简称级数）,其中n u 称为数项级数的通项. 数项级数（1）也常写作：1n n u ∞

=∑或简单写作n u ∑.

数项级数（1）的前n 项之和记为

12...n S u u u =+++ （2）

称它为数项级数（1）的第n 个部分和,也简称部分和.

若数项级数的各项符号都相同,则称它为同号级数.对于同号级数,只需研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数.

定义1.1.2[1] 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S,则称数项级数（1）收敛,称S 为数项级数（1）的和,记作12......n S u u u =++++或1n n S u ∞

==∑.若{}n S 是

发散数列,则称数项级数（1）发散.

2 正项级数常用的收敛判别法

定理2.1 [1] （基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.

例1 判定正项级数()()

()

112111n

n n a a a a ∞

=+++∑

的敛散性.

分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断.

解 记()()

()

12111n

n n a u a a a =

+++,则

()()

()

()()

()

()()

()

12121121

1

111111111n

n n n n a u a a a a a a a a a -=

=

-

+++++++++级数的前n 项和()()

()

1

121

11111n n k k n S u a a a ===-

<+++∑

所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛. 定理2.2

[2]

(级数收敛的柯西准则) 级数1

n n u ∞

=∑收敛的充要条件是：对任意

给定的正数ε,总存在N ,使得当n N >时,对于任意的正整数1,2,3,p =,都成

立着

12.n n n p u u u ε+++++

+<

对于正项级数1

n n u ∞

=∑,由于0n u >,因此,只要12n n n p u u u ε+++++

+<即可.

注：当级数的通项为等差或等比数列,或通项为含二项以上根式的四则运算,且通项极限无法求出时,可以选用定义和柯西收敛原理进行判断.

例2 111123

n

+++

++

解 取01

0,2

n ε<<∀,若令p n =,则

01111112

222

n p n S S n n n n n ε+-=

+++

>⋅=>++

因此,由柯西收敛原理知级数11

n n

∞

=∑发散.

例3 (

)

1

221n n n n ∞

=+-++∑

解

(

)(

)(

)

(

)

322142325243221n S n n n

=

-++

-++

-++

+

+-++ =1221n n -++-+=1

1221

n n -+

+++

则lim 12n n S S →∞

==-.所以,由级数收敛的定义知原级数收敛.

定理2.3

[1]

若级数1

n n u ∞=∑与1

n n v ∞

=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数

1

1

1

()n

n n n n n n cu

dv c u d v ∞

∞

∞

===+=+∑∑∑也收敛.

定理2.4[1] 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. 定理2.5[1] 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.

定理2.6

[2]

（比较审敛法）

设1n n u ∞=∑和1

n n v ∞

=∑是两个正项级数,如果存在某正

数N,对一切n N >都有n n u v ≤

则（i ）若级数1

n n v ∞=∑收敛,则级数1

n n u ∞

=∑也收敛；

（ii ）若级数1

n n u ∞=∑发散,则级数1

n n v ∞

=∑也发散.

比较审敛法的极限式

设1n n u ∞

=∑和1

n n v ∞

=∑是两个正项级数.若有lim

n

n n

u l v →∞=,则 （1）当0l <<+∞时,级数1

n n u ∞=∑与1

n n v ∞

=∑同时收敛或同时发散；

（2）当0l =时,若级数1

n n v ∞=∑收敛,则1

n n u ∞

=∑也收敛；