第二节矩估计法
矩法估计PPT课件
点 估 计 问 题 就 是 要 构 造 一 个 适 当 的 统 计 量
ˆ(1,2,L,n),用 它 的 观 察 值 ˆ(x1,x2,L,xn) 来 估 计 未 知 参 数 .
ˆ(1 ,2 ,L ,n )称 为 的 估 计 量 . 通 称 估 计 ,
ˆ ( x 1 ,x 2 ,L ,x n ) 称 为 的 估 计 值 . 简 记 为 ˆ.
.
5
二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题.
点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
.
6
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
.
19
例 6 .设 X 在 [ 0 ， ] 上 均 匀 分 布 ， 求 的 矩 法 估 计 量 并 确 定
是 否 为 无 偏 估 计 量 ？
1
解 ： f(x,)
0x, 0
（ 列 1） 方矩 程法 ：２ 估 ＝0计 X ： E X 0 x 1 其 dx 它 2 解 方 程 ： ˆ ＝ ２ X 即 为 的 矩 法 估 计 量 。
112X312X7
2 13X232X5
都是EX的无偏估计，并问哪一个比较有效？
解 E 1 E （ 1 2 X 3 1 2 X 7 ） 1 2 E X 3 1 2 E X 7 E X
E 2 E （ 1 3 X 2 2 3 X 5 ） 1 3 E X 3 2 3 E X 5 E X
6.2 点估计的常用方法
（1）似然函数为： 取对数得：
令
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
（3）判断并求出最大似然估计：
p 的最大似然估计值为：
p 的最大似然估计量为：
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
令
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
确定的估计量称为 矩估计量. 相应的估计值称为 矩估计值. 矩估计量与矩估计 值统称为 矩估计.
第二节 点估计的常用方法
一、矩估计法
解：（1）求总体 X 的一阶矩, 即总体 X 的数学期望：
矩估计值为
第二节 点估计的常用方法
一、矩估计法
解:（1）求总体 X 的一阶矩和二阶矩：
第二节 点估计的常用方法
又因为二最大似然估计法第二节点估计的常用方法二最大似然估计法第二节点估计的常用方法二最大似然估计法第二节点估计的常用方法3判断并求出最大值点在最大值点的表达式中用样本值代入即得参数的最大似然估计值点估计的常用方法
一、矩估计法
基本思想：用样本矩来估计总体矩。
（3）判断并求出最大似然估计：
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
（2）由于
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
取对数得
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
最大似然估计量分别为
第二节 点估计的常用方法
作业:
习题 2(1), 4(1)
似 然 函 数
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
第二节 点估计的常用方法
02 第二节 点估计的常用方法
第二节 点估计的常用方法内容分布图示★ 矩估计法 ★ 求矩估计的方法★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 最大似然估计法★ 求最大似然估计的一般方法★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 关于有k 个未知参数的最大似然估计 ★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-2内容要点：一、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由在数定理知, 当总体的k 阶矩存在时,样本的k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X 作为总体均值)(X E 的估计量, 一般地, 记总体k 阶矩 );(k k X E =μ样本k 阶矩 ∑==ni kik X nA 11;总体k 阶中心矩 ;)]([k k X E X E V -= 样本k 阶中心矩 .)(11∑=-=ni kik X XnB用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法. 用矩估计法确定的估计量称为矩估计量. 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计. 求矩估计的方法：设总体X 的分布函数),,;(1k x F θθ 中含有k 个未知参数k θθ,,1 , 则(1) 求总体X 的前k 阶矩k μμ,,1 ，一般都是这k 个未知参数的函数, 记为k i g k i i ,,2,1),,,(1 ==θθμ （*） (2) 从（*）中解得 k j h k j j ,,2,1),,,(1 ==μμθ(3) 再用),,2,1(k i i =μ的估计量i A 分别代替上式中的i μ,即可得),,2,1(k i j =θ的矩估计量:.,,2,1),,,(ˆ1k j A A h k j j ==θ注：求,,,1k V V 类似于上述步骤，最后用k B B ,,1⋅⋅⋅代替k V V ,,1 ，求出矩估计j θˆ),,2,1(k I ⋅⋅⋅=。
二、最大似然估计法引例 某同学与一位猎人一起去打猎,一只野兔从前方窜过, 只听一声枪响, 野兔应声倒下, 试猜测是谁打中的?由于只发一枪便打中,而猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率, 故一般会猜测这一枪是猎人射中的.最大似然估计法的思想: 在已经得到实验结果的情况下, 应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为θ的估计θˆ.注: 最大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出, 英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步的研究.下面分别就离散型总体和连续型总体情形作具体讨论. 离散型总体的情形: 设总体X 的概率分布为),,(}{θx p x X P ==其中θ为未知参数.如果n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本,样本的观察值为n x x x ,,,21 ,则样本的联合分布律,),(},,,{111∏====ni i n n x p x X x X P θ对确定的样本观察值n x x x ,,,21 ,它是未知参数θ的函数,记为∏===ni i n x f x x x L L 121),(),,,,()(θθθ ,并称其为似然函数.连续型总体的情形: 设总体X 的概率密度为),(θx f ,其中θ为未知参数,此时定义似然函数∏===ni i n x f x x x L L 121),(),,,,()(θθθ .似然函数)(θL 的值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小, 在已得到样本值nx x x ,,,21 的情况下, 则应该选择使)(θL 达到最大值的那个θ作为θ的估计θˆ. 这种求点估计的方法称为最大似然估计法.定义 若对任意给定的样本值n x x x ,,,21 , 存在),,,(ˆˆ21n x x x θθ=,使 ),(max )ˆ(θθθL L =则称),,,(ˆˆ21n x x x θθ=为θ的最大似然估计值.称相应的统计量),,,(ˆ21n X X X θ为θ最大似然估计量. 它们统称为θ的最大似然估计(MLE ).三、求最大似然估计的一般方法求未知参数θ的最大似然估计问题, 归结为求似然函数)(θL 的最大值点的问题. 当似然函数关于未知参数可微时, 可利用微分学中求最大值的方法求之. 其主要步骤:(1) 写出似然函数),,,,()(21θθn x x x L L =;(2) 令0)(=θθd dL 或)(ln =θθd L d , 求出驻点;注: 因函数L ln 是L 的单调增加函数,且函数)(ln θL 与函数)(θL 有相同的极值点,故常转化为求函数)(ln θL 的最大值点较方便.(3) 判断并求出最大值点, 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就得参数的最大似然估计值.注：(i) 当似然函数关于未知参数不可微时，只能按最大似然估计法的基本思想求出最大值点。
第56讲 矩估计法(2)
§7.1 点估计矩估计法(2)百度传课两个未知参数的例题得 μ 1 =h (θ, λ)， μ2=g (θ, λ)然后解出 θ = φ(μ1, μ2)， λ =ψ(μ1, μ2) 最后用样本一阶矩(即样本均值) A 1和样本二 阶矩 A 2 代替 μ 1 和 μ 2 ，得 θ 和 λ 的矩估计量百度传课 如果有两个未知参数 θ 和λ ，则需求出总体X 的一阶矩(数学期望) μ1= E (X )和二阶矩 μ 2 = E (X 2) =D (X )+[E (X )]2例4设总体X 的均值μ且方差σ2>0 都存课在，但它们均未知。
设X1, X2, …,X n 是来自总体X 的样本，试求μ和σ 2 的矩估计量。
解总体X 的一阶和二阶矩为课例5 设使用仪器对一批零件的尺寸进行了12次独立的测量，测量数据（单位：mm）如下：120.50120.54120.15120.41120.31121.02 120.14121.21120.87121.01120.10120.43试用矩估计法估计总体的均值和方差。
解总体均值和方差的矩估计值分别为百度传课例6 (均匀分布的参数估计)设总体X 在区间[a, b]上服从均匀分布,a, b 为未知参数。
X1, X2, …,X n 是来自总体X的样本，试求a, b 的矩估计量。
课 设总体 X 在区间[a , b ]上服从均匀分布,a , b 为未知参数。
X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的样 本，试求 a , b 的矩估计量。
解 未知参数是区间端点先求总体X 的一阶矩(数学期望)和二阶矩。
2 2 12 1 a +b = (b -a ) +( ) 22 = E (X ) = 1 (a +b ) = E (X 2 ) = D (X ) +[E (X )]2解出待估参数a 和b：四川大学徐小湛百度传课得 a 和 b 的矩估计量：a ˆ = A - 3(A - A 2) 1 2 1 1 b ˆ = A + 3( A - A 2)2 1其中 1nin A 1 = X = ∑ i =12 1 n2iX n X A = ∑ i =1四川大学 徐小湛最后用样本一阶矩 A 1 (样本均值)和样本二阶矩 A 2 分别代替总体一阶矩μ1 和总体二阶矩 μ2，百度传课若有样本观察值 x 1, x 2, …, x n ， 则 a 和 b 的矩估计值为：in i =1a ˆ = x - (x - x )2n3 ∑ 3 ˆ n2 i n i =1b = x + (x - x ) ∑ 百度传课0.90 0.49 0.050.50 0.27 0.46 0.56 0.70 0.40 0.56ˆ 例如，容量为10的样本值： a ˆ = 0.1123用以上公式计算，得b = 0.8657百度传课0.90 0.49 0.050.50 0.27 0.46 0.56 0.70 0.40 0.56a ˆ = 0.1123b ˆ = 0.8657[a ˆ, b ˆ] = [0.1123, 0.8657]并没有包含所有样本值？若有样本观察值， 则 a 和 b 的矩估计值为四川大学 徐小湛。
概率论与数理统计参数估计矩估计法
概率论与数理统计第6章参数估计第1讲矩估计法第一讲矩估计法点估计根据样本构造一个统计量用它估计未知参数称为点估计.称为的估计量;称为的估计值.01矩估计法02 典型例题本 讲 内容用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量, 建立含有待用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法称为矩估计法.理论依据——大数定律——生活经验：Ὅ例X —某品牌手机的待机时间，欲估计其抽取Ὅ 替换原理Ὅ 方法解方程组 , 得 m 个统计量：——含未知参数θ1,θ2, ⋯,θm 的方程组未知参数θ1, ⋯,θm 的矩估计量代入一组样本值得 m 个数:设待估计的参数为设总体的 k 阶矩存在，记为样本X 1, X 2,…, X n 的k 阶矩为Ὅ例1解令Ὅ例2设X的分布列为其中是未知参数.利用总体X的样本值:3,1,3,的矩估计.0,3,1,2,3,求01矩估计法02 典型例题本 讲 内容即令设总体X有数学期望和方差：Ὅ例3X 1,…,X n 是X 的一组样本,求 的矩估计.解解得一般,不论总体服从什么分布,若总体期望 μ 与方差σ2存在,则它们的矩估计量分别为设总体 X ~ U (a,b ) , a,b 未知, 求参数a,b 的矩估由于令Ὅ例4解1计量.解得设某种钛金属制品的技术指标为X ，其概率密度为其中未知参数 ， 为来自总体X 的简单随求 得矩估计量.由于令Ὅ例5机样本，解已知某种金属板的厚度 X 在( a , b)上服从均匀分由于X 在( a , b)上服从均匀分布，故则总体的二阶矩设抽查了n片金属板，厚度分别为Ὅ例6解，试用矩估计法估计a ，b.分布，其中a , b 未知，令解此方程组，得到矩估计量为不同的矩法可得到不同的矩估计，因此矩估计不唯一.设总体X ~U ( 0 ,θ )，θ未知，X 1 ,…, X n 是 X 的样本，法1 上题的特例法2法4 法3Ὅ例7试求 θ 的矩估计量.这一讲我们介绍了点估计的第一种方法——矩估计法. 缺点是：矩估计法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体是什么分布.信息.时,矩估计法会失效.当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的一般场合下,矩估计量不具有唯一性.当矩不纯在第1讲 矩估计法学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
矩估计法的公式
矩估计法的公式摘要：1.矩估计法的概念与基本思想2.矩估计法的公式推导3.矩估计法的应用与实例4.矩估计法的优缺点分析正文：一、矩估计法的概念与基本思想矩估计法是一种用于求解统计量估计的数学方法，其基本思想是通过样本矩与总体矩之间的关系，构造出样本统计量的矩估计值，从而得到总体参数的估计值。
矩估计法既适用于离散型随机变量，也适用于连续型随机变量。
二、矩估计法的公式推导设随机变量X 具有离散型分布，其概率质量函数为p(x)，n 为样本容量，样本均值和样本方差分别为μ_n 和σ_n^2，总体均值和总体方差分别为μ和σ^2。
根据矩的定义，有：E(X) = Σx * P(X=x) = ∑_{i=1}^{n} x_i * p(x_i)Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = Σx^2 * P(X=x) = ∑_{i=1}^{n} x_i^2 * p(x_i)根据矩估计法的思想，样本均值μ_n 可以作为总体均值μ的矩估计值，样本方差σ_n^2 可以作为总体方差σ^2 的矩估计值。
即：μ_n = Σx * P(X=x) / nσ_n^2 = [Σx^2 * P(X=x)] / (n-1)对于连续型随机变量，样本矩可以表示为：μ_n = ∫xf(x)dxσ_n^2 = ∫[x^2f(x)]dx - [∫xf(x)dx]^2 / (n-1)其中，f(x) 为随机变量X 的概率密度函数。
三、矩估计法的应用与实例矩估计法在实际应用中具有广泛的应用，例如在统计推断、参数估计、假设检验等领域。
下面举一个简单的例子来说明矩估计法的应用：假设有一个箱子中装有若干个红球和白球，现在从箱子中抽取n 个球，记抽取到的红球个数为X，求箱子中红球和白球的比例。
根据矩估计法的公式，可以得到样本红球和白球比例的矩估计值，从而估计出总体红球和白球的比例。
四、矩估计法的优缺点分析1.优点：矩估计法具有较强的理论依据，可以得到较好的估计效果。
2016考研数学：概率统计中的矩估计法分析
2016考研数学:概率统计中的矩估计法分析在考研数学概率论与数理统计中，参数估计是其中的一个重要章节，是考研数学中的一个高频考点，是数学一和数学三的考生应该掌握的一个重要知识点。
所谓参数估计，就是在随机变量的总体分布形式已知，但某些分布参数未知的情况下，用抽样的办法去估计总体的未知参数。
参数估计从形式上分为点估计和区间估计，点估计方法主要有两种，一种是矩估计法，另一种是最大似然估计法，下面我们对矩估计法做些分析总结，供各位2016考研考生和其它学习的同学参考。
一、矩估计法分析
概括而言，矩估计法就是用样本矩代替总体矩，从而求出未知参数的估计量和估计值的方法，具体说是：
无偏估计和一致性估计(相合估计)，因此通过样本矩来估计总体分布中的未知参数具有一定的合理性。
以上分析希望对大家理解矩估计法有一定的启发，最后预祝各位在2016考研中能将自己的考研梦变为现实!。
矩估计法的公式
矩估计法的公式矩估计法的公式矩估计法是一种常用的参数估计方法，通过使用样本的矩来估计总体的矩，得到参数的估计值。
在统计学中，矩估计法是一种无偏估计方法，可以应用于各种分布类型的参数估计。
什么是矩估计法矩估计法是通过样本统计量的样本矩与总体矩进行匹配，以得到参数的估计值。
总体的矩是一个描述总体分布特征的统计量，而样本的矩是从样本中得到的相应统计量。
矩估计法的公式以下是矩估计法的公式：1.第一矩估计：第一矩估计即平均值的估计，公式为：μ̂=1n ∑X i ni=1其中，μ̂是平均值的估计，n是样本数量，X i是第i个观测值。
例如，假设我们有一组样本数据X=[1,2,3,4,5]，我们可以使用第一矩估计来估计样本的平均值：μ̂=15(1+2+3+4+5)=32.第二矩估计：第二矩估计即方差的估计，公式为：σ̂2=1n ∑(X i−μ̂)2 ni=1其中，σ̂2是方差的估计，μ̂是平均值的估计，n是样本数量，X i是第i个观测值。
继续以上面的样本数据X=[1,2,3,4,5]为例，我们可以使用第二矩估计来估计样本的方差：σ̂2=15((1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+ (5−3)2)=23.更高阶矩估计：矩估计法也可以用于估计其他高阶矩，例如偏度和峰度。
对于偏度的矩估计，公式为：γ1̂=1n∑(X i−μ̂)3ni=1σ̂3其中，γ1̂是偏度的估计，μ̂是平均值的估计，σ̂2是方差的估计，n是样本数量，X i是第i个观测值。
同样地，对于峰度（峰态系数）的矩估计，公式为：γ2̂=1n∑(X i−μ̂)4ni=1σ̂4−3其中，γ2̂是峰度的估计，μ̂是平均值的估计，σ̂2是方差的估计，n 是样本数量，X i 是第i 个观测值。
总结矩估计法是一种常用的参数估计方法，通过使用样本的矩来估计总体的矩，从而得到参数的估计值。
本文介绍了矩估计法的公式，并举例说明了如何使用矩估计法来估计平均值、方差、偏度和峰度。
6.1矩法估计精品PPT课件
1．理解参数点估计的概念; 2．掌握矩法估计和极大似然估计，能熟练地求出某 些常见分布中未知参数的极大似然估计量; 3．掌握估计量的评选标准：一致性、无偏性、有效 性； 4．掌握罗-克拉美(Rao-Cramer)不等式，能求一些 常见分布中未知参数的无偏估计量之方差的罗-克拉美 下界，会求一些常见分布中未知参数的有效估计； 5. 掌握充分统计量的概念和奈曼(Neyman)因子分解 定理，并会加以应用
例1 求母体均值E和方差D的矩法估计
解 : (1)令E
,
E(
2
)
2
即
E
E( 2 ) D (E )2 2
(2)解上述方程组得 : E D 2 ( )2
注 这一结果表明，
1 n
n
2 i
i 1
2
任一母体均值和方差的 矩法估计量不因母体而 改变
例2 设母体具有均匀分布,其密度函数为
试估计未知参数
解： ~ E( 1 ) E
由辛钦大数定理
lnimPP(| n1Ein1,ni
E
|
)
1
因此用子样均值作为的估计量是最自然的， 对给定
的子样观测值计算得 x 1 (168 252) 172.7 9
故ˆ 与ˆ x 172.7分别为的估计量与估计值
注 除ˆ ，以ˆ1 1也可作为的估计量，
例如母体 ~ N (, 2 )，是的无偏估计，但 ( )2却
不是 2的无偏估计，因为
E（
2）
D
(E
)2
2
n
2
,而
2
0,
E(
2
)
2
例2 ~ U (0, ),则
E x 1d x2 1
矩估计课件
2 2 ( b a ) ( a b ) 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 12 4
计算得到
a b 21
b a 12( 2 - 12 )
2 3( 2 1 )
2 3( 2 1 )
1 n k 其中 Ak X i 为样本的k 阶矩，k 1, 2, , m n i 1
例1
X 1 ,, X n 是来自Poisson分布P ( )的样本.
EX , Var( X )
2 X 和S n
1 2 ( X i X ) 都可以作为的矩估计. n
一、 矩估计
矩估计法的具体做法：
设总体X的分布函数为F ( x; θ1 , θ2 ,..., θm ) ,
X 1 , X 2 , ... , X n为来自总体X的一组样本.
(1)求出总体X的前m阶矩
1 1 ( 1 ,..., m ) ( ,..., ) 2 2 1 m m m ( 1 ,..., m )
ˆ ( X , X , ... , X ) , θ m 1 2 n
分别作为未知参数 θ1 , θ2 ,..., θm 的估计量
ˆHale Waihona Puke ( x , x , ... , x ) , 用 θ 1 1 2 n
ˆ ( x , x , ... , x ) , θ m 1 2 n
分别作为未知参数 θ1 , θ2 ,..., θm 的估计值
涉及到矩的阶数尽量小.
矩估计的两个特点
1、矩估计基于经验分布函数，因此该估计是以大
样本为应用对象的. 2、矩估计没有用到总体分布的任何信息，本质上
概率论与数理统计参数估计矩估计法
概率论与数理统计参数估计矩估计法概率论与数理统计是数学的一个重要分支，它研究了随机现象的规律以及如何利用数据对未知参数进行估计。
参数估计是统计学中的一项基本任务，其目的是通过样本数据来推断出总体的未知参数。
矩估计法是一种常见的参数估计方法，本文将详细介绍矩估计法的原理、步骤和一些重要应用。
矩估计法的基本思想是将总体的矩与样本矩相等化，从而得到参数的估计值。
矩估计法的具体步骤如下：1.确定总体的概率分布函数或密度函数，假设其形式和假设的参数个数。
2.确定估计的参数个数，即确定需要估计的参数的个数。
3.设定样本容量和抽样分布，根据样本的特点选择适当的样本容量和抽样分布。
4.根据总体的矩和样本的矩相等的条件，设置矩方程组。
5.解矩方程组，求得参数的估计值。
矩估计法的原理基于矩的性质，总结起来有两个重要定理：(1)若总体的前n个矩存在，则总体的前n个矩是参数的连续函数；(2)任何阶数的矩都可以用前两阶的矩表示。
这两个定理是矩估计法的理论基础。
矩估计法的优点在于其思路简单直观，计算相对容易，而且在大样本下具有渐近无偏性和一致性。
但是矩估计法也存在一定的局限性，它要求总体的前n个矩存在，并且需要根据总体的矩给出矩方程组。
在一些情况下，总体的矩很难求出，或者求解矩方程组的解不存在，这时候矩估计法就不适用了。
矩估计法在实际应用中有广泛的应用，下面以两个常见的例子进行说明。
例子1：假设企业员工的月薪服从正态分布，现在随机抽取了一部分员工，得到了他们的月薪数据。
现在要估计该企业的平均月薪和方差。
根据矩估计法的步骤，首先可以设定总体的平均月薪和方差为参数，然后选择适当的样本容量和抽样分布，比如选择样本容量为100，假设样本服从正态分布。
接下来，根据总体的矩和样本的矩相等的条件，可以设置矩方程组，如平均月薪的矩方程为：总体平均月薪=样本平均月薪。
方差的矩方程为：总体方差=样本方差。
最后，解矩方程组可以得到平均月薪和方差的估计值。
7-1矩估计
2
12
故有
ab 2
(b a)2 12
X
S＊n 2
即
a b
b a
2 2
X 3S＊n
解出得 : a X
3S＊n ,
b
X
3S＊n
3/3/2020
(4) X ~ B(n, p), E(X ) np, D(X ) np(1 p)
2X
1
0.3079
3/3/2020
1 X
例 设总体X的概率密度为
f (x, )
1
x
e
2
试求 的矩估计量 .
x , 0
法一 :虽然f (x; )中仅含一个未矩参数,但因
E(X )
x
1
x
e dx 0
2
不含 ,不能由此解出,故需继续求出总体二阶原点矩 :
广义来讲,总体参数可指总体或理论分布的数字特征, 其中包括狭义总体参数, 例如, 总体的原点矩,中心矩协方差, 相关系数, 偏度峰度以及事件的概率，或总体具有某种特征 A的个体的比率等等.
3/3/2020
2 参数的点估计
定义1.2 设X1, X 2,..., X n是来自总体X的样本,为总体分布F(x; )
dx
2 @X
2
2
所以ˆ 3/3/2020
矩
2X
x 1 (3 4 3 5 4 2 2 3) 8
所以ˆ矩
2x
方法二
EX 2
x2 f (x)dx
矩估计原理及方法介绍
1
矩估计法(The Method of Moments)， 是基于一种简单的“替换”思想建立起 来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.Pearson最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
矩法估计的理论基础是：辛钦大数定律 .
2
记总体 k 阶原点矩为 k E( X k )
样本 k 阶原点矩为
11
练习：
P169 习题五
12
1 EX
得 的矩估计量为
ˆ
2X
1 .
1 X
9
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其他
似然函数为
L( )
(
1)n(
n i 1
xi )
,
0 xi 1(i 1,, n)
0,
其他
n
ln L n ln( 1) ln xi ,
ˆ X ,
ˆ
2
B2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
.
它们与相应的最大似然估计量相同.
6
例3 设总体 X 的概率密度为
P{ X x} p(1 p)x1 , x 1,2
( X1 ,, X n ) 是取自 X 的样本，其中 0 p 1 是未知参
数; 试分别用矩法和最大似然估计法给出 p 的估计量.
X
1 n
n i 1
Xi
2. 用二阶中心矩M2 作为总体方差D( X ) 的估计量：
D(ˆ X )
M2
1 n
n i 1
第二节 矩估计法
求：a, b的矩估计量。 ab 解： 1 EX , 2 2 2 (b a) (a b) 2 2 2 EX DX ( EX ) 12 4 n ab 1 令 A1 Xi 2 n i 1
(b a ) (a b) 1 A2 12 4 n
n
例3. 设总体X的均值，方差都存在，且 0,
2
但， 2未知，又设X 1 ,, X n 是一个样本；
求：, 的矩估计量。 解： 1 EX ,
2
2 EX DX ( EX )
2 2 2
2
令 1 A1 , 2 A2 ,
即 A1 , 2 2 A2 ,
解: 1 E ( X ) x( 1) x dx
2 X 1 即为的矩估计. 从中解得 ˆ , 1 X
1 ( 1) x dx 0 2 由矩法, 1 X 2
1
0 1
1
令 X ,
1 A1 n
X
i 1
n
250
i
X
1 ˆ 则 x (0 75 1 90 6 1) 1.22 250 ˆ 1.22。 所以 X , 估计值
例2. 设总体X ~ U [a, b], a, b未知；X 1 ,, X n 是一个 样本；
2
2
i 1
n
2 Xi
即 a b 2 A1 , b a 12( A2
2 A1 )
n 3 2 2 ˆ 解得： a A1 3( A2 A1 ) X ( Xi X ) n i 1 2 ˆ b A1 3( A2 A1 ) X
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但， 2未知，又设 X1, , X n是一个样本；
求：, 2的矩估计量。
解： 1 EX , 2 EX 2 DX (EX )2 2 2
令 1 A1, 2 A2 , 即 A1, 2 2 A2 ,
所以 ˆ A1 X ,
ˆ 2
A2
A12
1 n
n i 1
X
2 i
X2
1 n
第七章 参数估计
§7.2 矩估计法
§7.2 矩估计法
它是基于一种简单的“替换”思想建立 起来的一种估计方法 .是英国统计学家K.皮 尔逊最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .理论 依据:大数定律
记总体k阶矩为 k E( X k )
样本k阶矩为
Ak
1 n
n i 1
X
k i
记总体k阶中心矩为 k E[ X E( X )]k
1 X
例5 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
X
~
f
(x)
1
e( x )
,
x
, 为未知参数
0,
其它
其中 >0,求 , 的矩估计.
解:由密度函数知
X 具有参数为 1/ 的指数分布
故 E(X- )= D(X- )= 2
即 E(X)= + D(X)=2
即 E(X)= D(X)= 2
设 则 令
EX l
Al
1 n
nl ,l 1,2,
X
l i
i 1
, k.存在。
Al l , l 1, , k
这里是包含k个未知参数1， ，k的联立方程组，
从中解出方程组的解 ˆ1， ，ˆk。
用ˆ1， ，ˆk 分别作为1， ，k的估计量，这种求
估计量的方法称为 矩估计法。
这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值 称为矩估计值。
令 X
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
用样本矩估计 总体矩
解得 ˆ X
1 n
n i1
(Xi
X )2
ˆ
1 n
n i1
(Xi
X )2
ˆ,ˆ 即为参数 , 的矩估计.
样本k阶中心矩为
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法 就称为矩估计法.
1. 矩估计法
设X为连续型随机变量，其 概率密度为f (x;1, ,k ),
X为离散型随机变量，其 分布列为P{X x} P(x;1, ,k ),
其中1, ,k是待估参数,，X1, , X n为来自X的样本。
250
所以 X , 估计值ˆ 1.22。
例2. 设总体X ~ U[a,b],a,b未知；X1, , X n是一个 样本；
求：a, b的矩估计量。
解：
1
EX
a
b, 2
2 EX 2 DX (EX )2
(b a)2 12
(a b)2 4
令
a
2
b
A1
1 n
n
Xi
i 1
(b a)2 12n i 1(XiX )2
例4 设总体X的概率密度为
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其它
其中 1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
1
E(X
( 1)
)
1
1
x( 0
x 1dx
1)
x dx 1
由矩法,
0
X 1
2
2
从中解得 ˆ 2X 1, 即为的矩估计.
(a b)2 4
A2
1 n
n i 1
X
2 i
即 a b 2A1, b a 12( A2 A12 )
解得：aˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
bˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
例3. 设总体X的均值，方差都存在，且 2 0,
例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从
参数为的泊松分布， 未知，有以下样本值；
试估计参数 （用矩法）。
着火的次数 k
0 12 3456
发生k次着火天数nk 75 90 54 22 6 2 1 250
解： 1 EX 令 X ,
A1
1 n
n i 1
Xi
X
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22