第二节矩估计法

第七章 参数估计
§7.2 矩估计法
§7.2 矩估计法
它是基于一种简单的“替换”思想建立 起来的一种估计方法 .是英国统计学家K.皮 尔逊最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .理论 依据:大数定律
源自文库 记总体k阶矩为 k E( X k )
样本k阶矩为
Ak
1 n
n i 1
X
k i
记总体k阶中心矩为 k E[ X E( X )]k
例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从
参数为的泊松分布， 未知，有以下样本值；
试估计参数 （用矩法）。
着火的次数 k
0 12 3456
发生k次着火天数nk 75 90 54 22 6 2 1 250
解： 1 EX 令 X ,
A1
1 n
n i 1
Xi
X
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
(a b)2 4
A2
1 n
n i 1
X
2 i
即 a b 2A1, b a 12( A2 A12 )
解得：aˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
bˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
例3. 设总体X的均值，方差都存在，且 2 0,
但， 2未知，又设 X1, , X n是一个样本；
求：, 2的矩估计量。
解： 1 EX , 2 EX 2 DX (EX )2 2 2
令 1 A1, 2 A2 , 即 A1, 2 2 A2 ,
所以 ˆ A1 X ,
ˆ 2
A2
A12
1 n
n i 1
X
2 i
X2
1 n
令 X
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
用样本矩估计 总体矩
解得 ˆ X
1 n
n i1
(Xi
X )2
ˆ
1 n
n i1
(Xi
X )2
ˆ,ˆ 即为参数 , 的矩估计.
样本k阶中心矩为
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法 就称为矩估计法.
1. 矩估计法
设X为连续型随机变量，其 概率密度为f (x;1, ,k ),
X为离散型随机变量，其 分布列为P{X x} P(x;1, ,k ),
其中1, ,k是待估参数,，X1, , X n为来自X的样本。
设 则 令
EX l
Al
1 n
nl ,l 1,2,
X
l i
i 1
, k.存在。
Al l , l 1, , k
这里是包含k个未知参数1， ，k的联立方程组，
从中解出方程组的解 ˆ1， ，ˆk。
用ˆ1， ，ˆk 分别作为1， ，k的估计量，这种求
估计量的方法称为 矩估计法。
这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值 称为矩估计值。
1 X
例5 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
X
~
f
(x)
1
e( x )
,
x
, 为未知参数
0,
其它
其中 >0,求 , 的矩估计.
解:由密度函数知
X 具有参数为 1/ 的指数分布
故 E(X- )= D(X- )= 2
即 E(X)= + D(X)=2
即 E(X)= D(X)= 2
n i 1
(Xi
X )2
例4 设总体X的概率密度为
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其它
其中 1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
1
E(X
( 1)
)
1
1
x( 0
x 1dx
1)
x dx 1
由矩法,
0
X 1
2
2
从中解得 ˆ 2X 1, 即为的矩估计.
250
所以 X , 估计值ˆ 1.22。
例2. 设总体X ~ U[a,b],a,b未知；X1, , X n是一个 样本；
求：a, b的矩估计量。
解：
1
EX
a
b, 2
2 EX 2 DX (EX )2
(b a)2 12
(a b)2 4
令
a
2
b
A1
1 n
n
Xi
i 1
(b a)2 12