归纳函数极限的计算方法
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。
在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。
下面是一些常用的函数极限求法技巧。
1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。
即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。
2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。
即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。
3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。
将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。
4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。
通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。
5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。
当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。
6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。
通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。
归纳函数极限的计算方法
归纳函数极限的计算方法函数极限是微积分中非常重要的概念，它描述了当自变量趋向于一些特定值时，函数的变化趋势。
计算函数极限的方法有很多，以下将归纳总结几种常见的方法。
1.代入法：在函数的定义域内，直接将自变量的值代入到函数表达式中计算，得到函数值。
这种方法适用于一些简单的函数，例如多项式函数、有理函数等。
例子：计算函数f(x)=2x-1在x=3处的极限，将x=3代入函数表达式中得到f(3)=2(3)-1=52.夹逼准则：如果一个函数f(x)在x取一些值的左、右两侧的函数值逐渐逼近同一个值L，并且与L的距离可以无限接近，那么L就是函数f(x)在该点的极限。
夹逼准则常用于计算无穷小的函数极限和不定式的极限。
例子：计算函数f(x) = sin(1/x)在x = 0处的极限，根据夹逼准则，我们可以知道-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1，而当x趋近于0时，sin(1/x)的取值在-1和1之间，因此根据夹逼准则，f(x)在x = 0处的极限为0。
3.无穷小增量法：如果一个函数f(x)在x=a处的极限存在，那么对于任意一个无穷小量Δx，函数f(x)+Δx在x=a处的极限也存在，且等于f(x)在x=a处的极限。
例子：计算函数f(x)=x²在x=2处的极限，根据无穷小增量法，可以将函数表示为f(x)=4+Δx²，因此f(x)在x=2处的极限为44.极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限分别存在，那么它们的和、差、乘积和商的极限也存在，并且满足如下规则：-两个函数的和、差的极限等于它们在该点的极限的和、差。
-两个函数的乘积的极限等于它们在该点的极限的乘积。
-两个函数的商的极限等于它们在该点的极限的商，前提是除数函数在该点的极限不等于0。
例子：计算函数f(x)=(x+1)/(x-1)在x=1处的极限，直接代入得到f(1)=2/0，此时除数函数在x=1处的极限等于0，无法使用代入法计算极限。
数学极限计算公式整理
数学极限计算公式整理在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述函数在某个点无限接近某个数值或某个函数在自变量趋于无穷大或无穷小时的性质。
计算极限时，我们经常会用到一些常见的公式和技巧。
本文将对数学极限计算中常用的公式进行整理和总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、基本极限公式1. 常数公式：对于任意实数a，有lim(x→a) = a。
这意味着当自变量x趋于常数a时，函数的极限值等于a。
2. 幂函数公式：对于任意正整数n，有lim(x→a) x^n = a^n。
这个公式可以推广到任意实数n。
3. 自然对数的极限公式：lim(x→0) ln(1 + x) = 0。
这个公式经常用于计算一些复杂函数的极限。
二、常见极限公式1. 三角函数极限公式：a) lim(x→0) (sin x) / x = 1。
b) lim(x→0) (1 - cos x) / x = 0。
c) lim(x→∞) sin x / x = 0。
2. 指数函数和对数函数极限公式：a) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。
b) lim(x→∞) log(1 + x) / x = 1。
3. 无穷小量的极限公式：a) lim(x→0) sin x / x = 1。
b) lim(x→0) (1 - cos x) / x^2 = 1/2。
三、极限的四则运算法则极限具有四则运算法则，即对于两个函数f(x)和g(x)，在它们的极限存在的情况下，有以下公式：1. lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)。
2. lim(x→a) (f(x) * g(x)) = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
3. lim(x→a) (f(x) / g(x)) = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（其中lim(x→a) g(x) ≠ 0）。
求极限的13种方法
求极限的13种方法求极限的方法有很多种，以下列举了常见的13种方法和技巧，以帮助解决各种极限问题。
1.代入法：将极限中的变量代入表达式中，简化计算。
这通常适用于简单的多项式函数。
2.夹逼定理：当一个函数夹在两个趋向于相同极限的函数之间时，函数的极限也趋向于相同的值。
3.式子分解：通过将复杂的函数分解成更简单的部分，可以更容易地计算极限。
4.求导法则：使用导数的性质和规则来计算函数的极限。
这适用于涉及导数的函数。
5.递归关系：如果一个函数的递归关系式成立，可以使用递归关系来计算函数的极限。
6.级数展开：将函数展开成无穷级数的形式，可以使用级数的性质来计算函数的极限。
7.泰勒级数：对于可微的函数，可以通过使用泰勒级数来近似计算函数的极限。
8. 洛必达法则：如果一个函数的极限形式是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可以使用洛必达法则来计算极限。
该法则涉及对分子分母同时求导的操作。
9.极限存在性证明：通过证明一个函数在一些点上的左极限和右极限存在且相等，可以证明函数在该点上的极限存在。
10.收敛性证明：对于一个序列极限，可以通过证明序列是有界且单调递增或单调递减的来证明其极限存在。
11.极限值的判断：根据函数的性质，可以判断函数在一些点上的极限是多少。
12.替换法：通过将变量替换为一个新的变量，可以使函数更容易计算极限。
13.反证法：通过假设极限不存在或不等于一些特定值，来推导出矛盾的结论，从而证明极限存在或等于一些特定值。
这些方法并非完整的极限求解技巧列表，但是它们是最常见和基本的方法。
在实际问题中，可能需要结合使用多种方法来求解复杂的极限。
求极限的几种常用方法
求极限的几种常用方法极限是数学中一个非常重要的概念，在计算和分析各种数学模型或问题时经常会遇到。
求极限的方法有很多种，我们来看一下其中几种常用的方法。
1.代入法代入法是求解极限的最基本方法。
当直接代入极限的值会导致不确定形式（比如0/0或无穷大/无穷大）时，可以尝试将这个函数做一些化简或变形，然后再进行代入。
2.夹逼准则夹逼准则也叫夹逼定理，是一种常用的求解极限的方法。
当我们要求解f(x)在x=a处的极限时，如果能够找到两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)，且当x趋近于a时，g(x)和h(x)的极限都等于L，那么根据夹逼准则，f(x)的极限也等于L。
3.分别极限法当一个函数可以拆解为多个子函数的和、积或商时，可以使用分别极限法进行求解。
即求出每个子函数的极限，然后再根据所涉及的运算性质来得到整个函数的极限。
4.换元法换元法也是求解极限的一种常用方法。
当求解一个复杂函数的极限时，我们可以进行变量的替换，将原函数转化为一个更加简单的函数，从而更容易求解极限。
5.泰勒展开泰勒展开是一种利用泰勒公式来近似表示函数的方法。
通过将一个函数近似展开为多项式的形式，可以用这个多项式来计算函数在其中一点的极限。
当需要计算给定点附近的极限时，泰勒展开是一种常用的方法。
6.渐近线性当极限存在且无穷大或无穷小时，可以利用函数的渐近线性来求解极限。
根据函数在无穷远处的性质和斜率，可以通过观察渐近线的特征来判断极限的结果。
7.收敛性对于数列来说，如果数列的极限存在，那么我们可以通过观察数列的性质和规律来判断极限的结果。
一般可以利用单调有界原理、数列的递推关系、数列的特征和规律等方法来判断极限的收敛性。
8. L'Hopital法则L'Hopital法则是一种用于求解0/0或无穷大/无穷大形式的极限的方法。
根据这个法则，如果一个函数的极限形式为0/0或无穷大/无穷大，可以通过对分子和分母同时求导再次进行极限计算，直到得到极限的结果。
极限计算方法归纳
极限计算方法归纳极限计算方法是数学中一项重要的技巧，用于求解函数在其中一点或趋于无穷时的极限值。
在解决实际问题中，极限计算方法的掌握对于推导和验证数学模型中的各种关系具有重要意义。
以下是几种常见的极限计算方法的归纳总结。
1.代入法：当函数在其中一点附近有定义且易于计算时，可以通过代入该点来直接计算极限。
对于平凡的情况，函数一般可以代入一个实数来计算。
2.分式分解法：对于分式函数的极限，可以通过将分子分母进行分式分解，然后观察分解后的函数来计算极限。
常见的方法包括利用最高次项进行分离，或者通过因式分解将分式化简。
3.基本极限法则：基本极限法则是通过使用已知的一些基本极限值来计算其他复杂函数的极限值。
常见的基本极限法则包括四则运算法则、幂函数法则、指数函数和对数函数法则等。
4.夹逼法：夹逼法是通过构造一个函数夹逼住目标函数，然后求夹逼函数的极限值来计算目标函数的极限。
这种方法适用于无法直接计算目标函数极限的情况。
5.收敛准则：收敛准则是求函数极限的重要方法，主要是利用数列的性质和极限的定义来推导函数极限。
常见的收敛准则包括柯西收敛准则、单调有界准则、夹逼准则等。
6.泰勒展开：对于一些函数，可以使用泰勒展开将其近似为一个多项式函数，然后再计算多项式函数的极限。
这种方法适用于函数在其中一点附近的近似计算。
7.洛必达法则：洛必达法则适用于当函数的极限形式为“0/0”或“无穷/无穷”时，通过对分子和分母分别求导，然后计算导函数的极限来求解目标函数的极限。
8.极限换元法：极限换元法是通过对变量进行替换来化简极限计算，从而减少计算复杂度。
常见的换元方法包括代入特殊值、取对数、高次幂、三角函数等。
以上所列举的极限计算方法只是其中的一部分，数学中还有其他许多更高级和更复杂的方法。
掌握这些极限计算方法可以帮助我们更好地理解数学中的各种现象和数学模型，并在实际问题中有更准确的计算结果。
同时这些方法也是数学建模和理论推导中不可或缺的工具。
极限计算所有方法
极限计算所有方法极限计算是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在某一点或无穷远处的行为。
在数学中，极限计算有各种方法，本文将介绍其中几种常见的方法。
一、代数运算法代数运算法是最基础的极限计算方法之一。
它适用于利用已知函数的性质进行运算和化简的情况。
例如，对于一个复杂的函数表达式，我们可以先进行因式分解、合并同类项等代数运算，然后再求极限。
这种方法对于简化问题、提高计算效率非常有帮助。
二、夹逼定理夹逼定理也是一种常用的极限计算方法。
它适用于求解一些较难的极限问题，特别是那些无法直接计算或者计算困难的问题。
夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，一个从上方夹逼住目标函数，另一个从下方夹逼住目标函数，然后通过这两个夹逼函数的极限来求解目标函数的极限。
夹逼定理在解决一些特殊的极限问题时非常有效。
三、洛必达法则洛必达法则是求解极限的一种重要方法，尤其适用于0/0或∞/∞型的不定型极限。
洛必达法则的核心思想是将极限转化为某种形式的导数。
具体来说，对于一个0/0型的极限，我们可以对分子和分母同时求导，然后再计算导数的极限；对于一个∞/∞型的极限，我们可以对分子和分母同时取倒数，然后再计算倒数的极限。
通过洛必达法则，我们可以简化极限计算的过程，提高计算的准确性和效率。
四、级数展开法级数展开法是一种用级数来逼近函数的方法，也常用于极限计算中。
它适用于那些无法直接计算的函数极限，通过将函数展开成级数的形式，然后计算级数的极限来求解函数的极限。
级数展开法在实际问题中具有广泛的应用，特别是在物理和工程领域。
五、泰勒展开法泰勒展开法是级数展开法的一种特殊情况，它适用于在某一点附近对函数进行近似的情况。
泰勒展开法的核心思想是将函数在某一点处展开成幂级数，然后根据级数的收敛性和截断误差的控制来求解函数的极限。
泰勒展开法在数值计算和物理模拟中具有重要的应用价值。
极限计算有多种方法，代数运算法、夹逼定理、洛必达法则、级数展开法和泰勒展开法是其中一些常见的方法。
求极限的若干方法
求极限的若干方法求极限的方法可以分为以下几种：1. 代入法：将函数中的自变量代入，并通过逐渐逼近的方法求得极限值。
这种方法比较直观简单，特别适用于一些特殊函数的极限计算，如三角函数、指数函数等。
2. 分子分母分别求极限法：当函数形式较为复杂时，可以将分子和分母分别求极限，再求两者的商的极限。
通过这种方法，可以将复杂的极限问题简化为较为简单的子问题，更容易求解。
3. 极限运算法则：极限运算法则是求极限的一种常用方法，通过运用一些基本极限的性质，可以简化复杂极限的计算。
常用的极限运算法则包括加法法则、乘法法则、除法法则、幂函数法则等。
4. 复合函数求极限法：对于复合函数的极限，可以先对内部函数求极限，再对外层函数求极限。
这种方法适用于复杂函数的极限计算，可以将复杂函数拆分为多个较为简单的函数，分别求其极限。
5. 求导法：对于一些特殊的极限问题，求导法可以起到一定的辅助作用。
通过对函数求导，可以将原问题转化为导函数的极限问题，进而求得原函数的极限。
6. 泰勒展开法：对于某些无法直接求得极限的函数，可以通过泰勒展开，将函数近似为多项式形式，并通过多项式的极限计算得到原函数的极限。
7. 渐进法：当函数中含有无穷大或无穷小量时，可以使用渐进法求极限。
这种方法通过分析无穷大或无穷小量在极限过程中的变化趋势，来确定极限的值。
8. 变量替换法：当函数中含有复杂的无穷小量或无穷大量时，可以通过替换变量的方法，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题。
9. 用L'Hôpital法则：对于某些不定式形式的极限，如0/0、∞/∞等，可以使用L'Hôpital法则求极限。
该法则利用导数的性质，将原函数的极限转化为导函数的极限。
10. 用积分法：对于一些函数极限，可以通过积分的方法来求解。
通过将极限转化为积分形式，可以利用积分的性质和计算方法得到极限的值。
求极限的方法有很多种，具体选择哪种方法取决于函数的特点和问题的要求。
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
函数的极限性质及计算方法
函数的极限性质及计算方法函数的极限性质是微积分学中的重要内容，它描述了函数在特定条件下趋向于某个确定值的特点。
通过研究极限性质，我们可以深入理解函数的行为，并进一步应用于微积分的相关计算中。
本文将介绍函数的极限性质及其计算方法。
1. 极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限表示为lim┬(x→a)〖f(x)。
如果对于任意给定的ε>0〗，存在对应的δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
其中L为常数，表示函数f(x)在x=a处的极限值。
2. 极限的性质函数极限具有以下性质：- 唯一性：函数的极限值唯一，即lim┬(x→a)〖f(x)〗唯一存在。
- 局部性：如果lim┬(x→a)〖f(x)〗存在，那么f(x)在点x=a的某个足够小的邻域内都接近于lim┬(x→a)〖f(x)〗。
- 保号性：如果lim┬(x→a)〖f(x)〗=L且L>0，则存在点x=a的某个足够小的邻域，使得f(x)>0。
- 四则运算性质：设lim┬(x→a)〖f(x)〗=A，lim┬(x→a)〖g(x)〗=B，那么lim┬(x→a)〖(f(x)±g(x))〗=A±B，lim┬(x→a)〖(f(x)·g(x))〗=A·B，lim┬(x→a)〖(f(x)/g(x))〗=A/B（若B≠0）。
3. 常见函数的极限计算方法- 多项式函数的极限：对于多项式函数f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，当x→a时，lim┬(x→a)〖f(x)〗=f(a)。
- 有理函数的极限：对于有理函数f(x)=p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式函数，当x→a时，如果q(a)≠0，则lim┬(x→a)〖f(x)〗=p(a)/q(a)。
- 指数函数与对数函数的极限：当x→∞时，lim┬(x→∞)〖a^x=∞〗，lim┬(x→∞)〖logₐx=∞〗。
关于极限的若干种计算方法
关于极限的若干种计算方法本文将极限的几种计算方法介绍如下： 一 代入求值法：这种方法只适用于在0x 点连续的函数求极限。
例1、计算3121lim 1x x x x →-+-解：321()11x x F x x x -+==+ 在处有定义且连续,331212111lim 1111x x x x →-+⨯-+∴==++ 例2、计算：22ln lim sin x x x x → 2222l n 2l n 24l n:l i m s i n s i n 2s i n 2x x x x →==解 二 倒数法：这种方法是利用无穷小量与无穷大量的关系来处理的。
例3、2232lim 531n n n n n →∞-++-解：因为分子分母的极限均不存在，故不能运用商的极限运算法则，可先将分子分母分别除以2n ，然后取极限。
于是2222123323lim lim 3153155n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==+-+- 例4、求2143lim 54x x x x →--+解：因为分母极限为零，分子极限不为零，故先考虑1()f x 的极限。
因为 21540l i m 0431x x x x →-+==-所以 2143lim54x x x x →-=∞-+（无穷小量的倒数是无穷大量。
） 例5、计算111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+解：由于极限的运算法则不适用于无限和的情形，故本题宜先求和，再求极限。
因为1111()(21)(21)22121k k k k =--+-+所以 111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+111111111lim[()()()]21323522121111lim[]22(21)2n n n n n →∞→∞=-+-++--+=-=+利用倒数法可得如下结论：111001011()lim 0()(,,00)()m m m n n x n n a m n b a x a x a x a m n m n a b b x b x b x b m n ---→∞-⎧=⎪⎪+++⎪=<≠≠⎨++++⎪∞>⎪⎪⎩m 0为自然数 三 化积约分法：有些函数()f x 在0x x =处无定义，这时不能用代入求值法求极限，但当0x x =时,()f x 的极限存在与否与()f x 在点0x 处是否有定义无关，所以常将()f x 先作适当变形，如分解因式约去极限为零的分母等，转化为在0x x =处有定义的新函数()g x ，再用代入求值法。
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法总结一、数列极限：1.利用通项公式或递推公式求出数列的表达式，进而通过数学运算和性质进行极限求解；2.利用引理，例如夹逼定理、单调有界定理等，根据已知的性质以及所要求的极限关系，确定一个与之相关的已知极限，然后运用引理求解未知极限。
二、函数极限：1.利用函数的性质，例如连续性、导数性质等，结合极限的定义进行计算；2.利用夹逼定理、单调有界准则等物理建模方法，将复杂的函数极限问题转化为更简单的函数极限问题，然后求解；3.利用泰勒展开、极坐标变换、特殊函数性质等数学分析工具进行极限计算。
三、级数极限：1.根据级数极限的定义，利用极限计算原理进行求解；2.利用级数的收敛判别法，例如比较判别法、积分判别法、根值判别法等，确定级数的收敛性质，进而求解其极限。
在具体的求极限中，还可以运用以下方法和技巧：1. 运用数列极限的性质，例如子数列性质、Cauchy准则等，进行极限求解；2.将复杂的极限问题化为较为简单的形式，例如利用变量替换或函数分解等方法；3.利用数列和函数的收敛性质，例如极限的保序、保号、保比、保和等运算规则；4. 运用Stolz定理、L'Hopital法则等特殊的求极限方法；5.利用正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等特殊函数的性质，进行计算。
最后，对于一些复杂的极限问题，如果经过常规方法无法求解，可以尝试使用数值逼近法，例如牛顿法、二分法等，来逼近极限值。
综上所述，数学分析中求极限的方法主要包括数列极限、函数极限和级数极限等多个方面。
除了利用极限的定义和性质进行计算外，还可以利用引理、准则、工具和技巧等进行解题。
在实际的极限求解中，还需要根据具体问题选择最合适的方法，灵活运用，提高解题效率。
求极限方法总结
求极限方法总结求极限是微积分的重要内容之一，需要通过特定的方法来计算。
下面对常见的求极限方法进行总结。
1. 代入法：将极限中的变量直接代入函数中，求出函数在该点处的函数值，作为极限的近似值。
这种方法适用于简单的极限。
2. 分子有理化法：当极限的分子、分母含有根式时，可以通过有理化的方法，将根式分子分母有理化，然后进行化简，化简后求极限。
这种方法适用于分子分母含有根式的情况。
3. 夹逼法：当函数的极限不存在或难以直接求出时，可以通过构造一个上界函数和下界函数，使得它们的极限都存在且相等，且夹住函数的极限。
然后通过夹逼原理，求出该极限。
这种方法适用于极限存在且难以直接求出的情况。
4. L'Hopital法则：当极限为形式为“∞/∞”、“0/0”、“1^∞”、“0^0”等无穷型与无穷型的不定式时，可以通过求导的方法，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于无穷型与无穷型的不定式。
5. 推广L'Hopital法则：当极限为形式为“∞*0”、“∞-∞”等不定型不定式时，可以通过引入参数，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于不定型不定式。
6. 换元法：当极限为特殊函数形式时，可以通过换元的方法，将其转化为可直接计算的形式。
比如将极限中的自变量换成1/自变量或sin(1/自变量)等函数形式。
这种方法适用于特殊函数形式的极限。
7. Taylor展开法：当极限为函数值在某点的展开式时，可以通过泰勒展开的方法，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于函数值在某点的展开式。
8. 综合运用：对于复杂的极限问题，可以综合运用以上方法，逐步化简。
先运用代入法、分子有理化法，再运用夹逼法、L'Hopital法则等，逐步逼近极限的值。
在实际应用中，根据题目的要求和已知条件，选择适合的方法来求解极限。
对于复杂的问题，可以采用逐步化简的方法，一步步逼近极限的值。
同时，对于无法通过常见方法求解的特殊问题，还可以借助数值计算的方法，利用计算机进行近似计算。
函数极限的求解方法与技巧
函数极限的求解方法与技巧函数的极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在某一点或趋向某一点时的表现。
求解函数的极限可以帮助我们理解函数的性质、计算无穷大或无穷小量的数量以及解决各种数学问题。
在求解函数的极限时，我们可以使用一些方法和技巧来简化计算和获得更准确的结果。
下面是一些求解函数极限的常用方法和技巧。
1. 代入法：当函数在某一点的极限不存在，或者计算起来比较困难时，可以尝试使用代入法求极限。
具体地，将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的函数值，观察函数值的变化情况。
如果函数值趋近于某一常数，那么该常数就是函数在该点的极限。
2. 分子有理化和分母有理化：有些函数在某一点没有定义或者计算起来比较困难，可以通过有理化来改写函数表达式，进而求解极限。
例如，对于有根式的函数，可以采用分子有理化或分母有理化的方法，将有理化后的函数进行化简，然后再求极限。
3. 夹逼定理：夹逼定理也称作挤压定理，是判断函数极限存在的一种常用方法。
当函数在某一点附近夹在两个函数之间时，这两个函数极限都存在，并且极限相等，那么函数的极限也存在，并且等于两个函数的极限。
4. 极限的性质：极限具有一些基本性质，如四则运算法则、复合函数的极限法则、初等函数的极限法则等。
利用这些性质可以简化极限的计算，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题。
5. 无穷小量的性质：无穷小量是指极限为零的量，具有一些特殊的性质。
利用无穷小量的性质可以判断一些复杂的极限是否存在，并且计算这些极限的值。
6. L'Hopital法则：L'Hopital法则是计算一些特殊的极限的常用方法。
当函数的极限形式为0/0或∞/∞时，可以对函数进行求导，然后再次求极限。
重复应用L'Hopital 法则，直到不再满足上述形式，最后可以得到函数极限的结果。
7. 极限存在的判断：在计算函数的极限时，要注意对函数的适用范围进行判断。
如果函数在某一点的左右极限存在并且相等，那么函数在该点的极限存在。
极限的计算方法总结归纳
极限的计算方法总结归纳“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
函数极限的四则运算法则证明过程
函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时，如果两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足一定的运算规则。
下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。
1. 和的极限法则证明：设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x)，即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。
我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。
根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在N1和N2，当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2，当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。
因此，lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。
2. 差的极限法则证明：类似地，我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。
3. 积的极限法则证明：要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x)，我们可以利用极限的乘法法则进行证明。
具体证明步骤略。
4. 商的极限法则证明：对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x)，我们需要额外假设g(x) ≠ 0，以避免出现除以零的情况。
具体证明步骤略。
综上所述，通过以上证明过程，我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。
在实际计算函数极限时，可以根据这些法则简化计算过程，提高计算的效率。
16种求极限的方法
16种求极限的方法 <网上找的仅供参考>首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0落笔他法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了3 0的0次方 1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式 (含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
函数极限的四则运算法则
极限的四则运算法则：极限的四则运算法则是在学习了极限概念和无穷小量与无穷大量之后的又一重要内容，也是学习导数和微分的重要基础知识。
在进行极限的四则运算法则之前，需要对极限的概念、无穷小量和无穷大量的概念、无穷小量的运算性质、无穷小量和无穷大量的关系等基本内容都有初步学习和了解，而对于如何利用无穷小量的运算法则、无穷小量与无穷大量之间的关系求取函数的极限，以及利用观察法求取数列的极限和简单函数的极限，需要进行进一步的学习与掌握。
极限的四则运算公式表公式加减法，，则乘法，，则除法，，且y≠0，B≠0，则极限的四则运算法则是两个函数的极限都存在，并且分母的极限还不等于0的情况下，当这两个条件都满足的，那么两个函数在和、差、积、商的极限和这两个函数的极限的和、差、积、商都相等；对于一个常数与一个函数的乘积的极限的情况，其结果等于这个常数与这个函数的极限乘积；并且一个函数的乘方的极限和这个函数的极限乘方也是相等的。
在解决具体问题时，需要根据实际情况进行运算和解答，重视实际应用。
当极限的函数是一个整式，可以直接运用极限的四则运算法则来进行计算。
例如，当x趋近于1时，分母的极限不是0，可以直接对法则进行运用和计算。
例：= =三极限的四则运算法则在进行函数极限求解时需要注意的事项第一，对于分式来说，当其分母的极限不等于0时，才能直接运用四则运算法则进行求解。
第二，避免一些常见的错误的认识，例如对c/0=∞，（c为任意的常数），∞-∞=0，∞/∞=0等。
第三，对于无穷多个无穷小量来说，其和未必是无穷小量。
四极限的四则运算法则的归类1.x→x0这种情况第一，当函数f（x）是一个整式，可以对极限的四则运算法则进行直接的运用和计算，或是直接对f（x0）进行求解。
第二，当函数f（x）是一个分式，其分母的极限等于0，而要注意分子的极限并不等于0，那么便可以对极限的四则运算法则进行直接的运用并计算，或者求出f（x0）。
第三，在函数f（x）是个分式的情况下，当分母的极限为0时，那么分子的极限不等于0，可以先对lim =0进行求解，再根据无穷小量和无穷大量这之间的关系来进行计算。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧求函数极限是高等数学中的一个重要内容，它在微积分理论与实际应用中都有着重要的作用。
函数极限的求解在数学课程中是一个难点和重点内容，对于学生来说，掌握函数极限的方法和技巧是十分重要的。
本文将介绍一些常用的方法与技巧，帮助读者更好地理解和求解函数极限。
一、函数极限的定义在介绍函数极限的方法与技巧之前，我们先来了解一下函数极限的定义。
函数f(x)在点x=a处的极限为L，即lim(x→a) f(x)=L，有如下要求：1.对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，对应的函数值f(x)与极限L的差的绝对值小于ε，即|f(x)-L|<ε。
2.函数极限的存在意味着当自变量x无限接近a时，对应的函数值f(x)也无限接近L。
二、函数极限的计算方法与技巧1. 代入法代入法是求函数极限的最基本方法，即利用x趋近某一点时函数值趋近的情况来求函数极限。
求函数f(x)=x²-1在x=2处的极限，我们可以直接代入x=2，得到f(2)=2²-1=3，因此lim(x→2) f(x)=3。
4. 无穷小代换法在一些无穷大或无穷小的极限计算中，可以采用无穷小代换法，将函数中的无穷大或无穷小替换为新的自变量，然后用代入法求极限。
求函数f(x)=x/(1+2x)在x趋向无穷大时的极限，我们可以令t=1/x，然后将函数变形为f(t)=1/(2t+1)，再利用代入法求得lim(x→∞) f(x)=1/2。
5. 利用夹逼准则夹逼准则是求函数极限常用的方法之一，当需要证明函数极限存在并求出极限值时，可以通过构造两个夹逼函数，利用夹逼准则来证明。
证明函数f(x)=x²sin(1/x)在x=0处的极限存在，可以构造两个夹逼函数，利用夹逼准则证明lim(x→0) f(x)=0。
通过上述方法与技巧，我们可以更好地求解函数极限，但在实际应用中可能会遇到一些复杂的函数极限，需要结合实际情况灵活运用各种方法来求解。
求极限的方法总结
求极限的方法总结求极限是微积分中的一个重要概念，它描述的是函数在某一点附近的行为，常用于研究函数的连续性、导数、积分等性质。
在求解极限的过程中，可以通过一些通用的方法来简化计算。
下面将对常见的极限求解方法进行总结。
首先是代入法，即直接将自变量的值代入函数中计算。
这种方法适用于一些基本的极限求解，准确、简单、直观，能够快速得到结果。
但需要注意的是，在使用代入法时，应当确保函数在该点附近有定义，避免出现除数为零等问题。
其次是利用等价无穷小的性质进行极限的转化。
等价无穷小是指当自变量趋于某一值时，与函数变化率相等的无穷小量。
通过将待求的极限转化为等价无穷小的形式，可以简化问题，达到更方便求解的目的。
常见的等价无穷小有正切、正弦、余弦、指数函数等。
利用等价无穷小进行极限的转化，需要具备一定的数学运算和等式变形的能力。
另外一种常用的方法是利用泰勒级数展开。
泰勒级数是用一个差值接近于零的无穷级数来逼近函数的方法，可以将任何光滑的函数表示为一个无穷级数的形式。
通过对待求的函数进行泰勒级数展开，可以将极限问题转化为求级数的收敛性问题，从而简化计算。
但需要注意的是，泰勒级数展开只适用于函数在一定范围内有较好的光滑性质。
此外，还有夹逼定理、洛必达法则等求极限的常用方法。
夹逼定理是指对于函数 f(x)、g(x)、h(x)，如果在某一点 x=a 的某一邻域内，函数g(x)≤f(x)≤h(x)，且 g(x) 和 h(x) 的极限都等于一个常数 L，则 f(x) 的极限也等于 L。
夹逼定理常用于证明某些函数极限存在且相等的情况。
洛必达法则是指对于两个函数f(x) 和 g(x)，如果它们在某一点 x=a 处充分接近且极限相同，那么它们的比值的极限也等于这个相同的极限。
综上所述，求解极限的方法有很多种，不同的方法适用于不同的问题。
在实际运用中，需要根据具体的情况选择合适的方法进行计算。
同时，熟练掌握数学运算和等式变形的技巧，能够更高效地求解极限。
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归纳函数极限的计算方法1. 预备知识1.1函数极限的εδ-定义]1[设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →.2.求函数极限的方法总结极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧.2.1依据函数极限的迫敛性求极限函数极限的迫敛性 设0lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某'0(;)U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则0lim ()x x h x A →=.例1求极限]1[lim 0x x x →解：当0>x 时，有1]1[1≤<-xx x而1)1(lim 0=-+→x x ,由函数迫敛性可得1]1[lim 0=+→xx x 同理可得0<x 时,1]1[lim 0=-→x x x ，即1]1[lim 0=→xx x注：依据函数极限的迫敛性求极限时，需判断该函数的上下范围，这时通常用到以下不等式：1cos 1,1sin 1),0(1][),0(][1≤≤-≤≤->-≤<<≤<-x x x x x x x x x x2.2 依据极限的四则运算求极限]2[依据极限的四则运算法则求极限的题目，除了直接使用极限的四则运算法则外，往往还有以下几种类型：分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形，将分母极限化为非零，然后再运用法则：例2 求极限11lim 1--→n m x x x （n 和m 都是正整数）解：原式=)1)(1()1)(1(lim 21211+Λ++-+Λ++-----→n n m m x x x x x x x=nmx x x x n n m m x =+Λ+++Λ++----→11lim 21211 ∞∞∞⋅∞±∞,0,等未定型：因“∞”不是一个数，故该类型的题目不能直接使用运算法则，但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法，将其转化为极限存在后，再运用法则计算.例3求极限)1311(lim 21xx x ---→ 解：原式=)1)(1(31lim 221x x x x x x ++--++→ =133)1)(1()2)(1(lim21-=-=++-+--→x x x x x x2.3 依据两个重要极限求极限两个重要的极限:0sin lim1x x x →=，1lim(1)x x e x→∞+=.函数经过一定变形，若能出现以下情况：))(())(1(),)(())(11(),0)(()()(sin )(1)(∞→+∞→+→x h x h x g x g x f x f x f x h x g 时，也可采用重要极限来求.例4 求极限]2[3203sin sin 3lim x x x x x -+→解：原式=101301333sin 3sin sin 3lim 20=-⋅⋅+=-⋅+→x xx xx xx例5 求极限12)1323(lim -∞→-+x x x x解：原式=223123131)2313(])1331[(lim e e x x x x x =⋅=+--+-∞→ 2.4依据等价无穷小替换求极限求函数极限，若能恰当采用等价无穷小的代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小, 如当0x →时:.~1)1(,~)1ln(,~1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x e x x x x x x x x x αα-++-例6 求极限]2[30sin sin tan limxxx x -→ 解:原式30sin cos sin sin cos 1lim x xx x x x -⋅=→2302sin sin 12lim cos sin x xx x x→=⋅ 230112lim cos 2x x x x x →⋅=⋅=注:用等价无穷小替换求极限时，应注意只能用分子、分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式实行无穷小代换，对极限式的相加相减部分不能随意替代. 2.5 依据洛必达法则求极限洛必达法则]1[:型不定式极限 若函数f 和g 满足: (i)0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==;(ii)在点0x 的某空心邻域00()U x 内两者都可导, 且'()0g x ≠ (iii)0'()lim'()x x f x A g x →=(A 可为实数, 也可为±∞或∞), 则 00()'()limlim ()'()x x x x f x f x A g x g x →→==∞∞型不定式极限 若函数f 和g 满足: (i)0lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→==∞;(ii)在点0x 的某右邻域00()U x +内两者都可导, 且'()0g x ≠ (iii)0'()lim'()x x f x A g x →=(A 可为实数, 也可为±∞或∞), 则 0()'()lim lim ()'()x x x x f x f x A g x g x ++→→== 因此函数为∞∞,00型，通常可采用此法，如下：例7计算极限)cos 1(])1arctan([lim002x x du dt t xx x -+⎰⎰→解：原式x x x dtt x x sin )cos 1()1arctan(lim 20⋅+-+=⎰→20arctan(1)2lim 2sin sin x x xx x x→+⋅=+⋅ 222042arctan(1)1lim 3cos sin x x x xx x x→+++=-⋅ 202arctan(1)lim 3cos 6x x x π→+== 注：“洛必达法则”是求函数极限的有力工具，但在运用中，由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加, 导致求极限过程繁琐，因此用Hoshital L'法则求∞∞,00型的极限是不够的，需综合运用其它方法才能发挥作用.2.6 依据麦克劳林展开式求极限一般常见函数的麦克劳林公式]1[:21()2!!nxn x x e x x n ο=+++++ 352112sin (1)()3!5!(21)!m m m x x x x x x m ο--=-+++-+-24221cos 1(1)()2!4!(2)!mmm x x x x x m ο+=-+++-+231ln(1)(1)()23nn n x x x x x x nο-+=-+++-+ 2(1)(1)(1)(1)1()2!!nn n x x x x x n αααααααο---++=+++++211()1n n x x x x xο=+++++-利用洛必达法则求∞∞,00型极限时，其结果是化成某阶导数的比，而麦克劳林展开式的各项系数正分别含着各阶导数的值，因此对∞∞,00型函数极限也可采用此法.例8 求极限402cos lim x e x xx -→-解：245 cos 1()224x x x x ο=-++224521()28x x x ex ο-=-++原式=24544001()cos 112limlim 12x x x x x x e x x ο-→→-+-==- 注：若本题采用洛必达法则去做，会导致计算过程繁杂. 2.7 运用函数的连续性求极限函数的连续性定义]1[: 设函数f 在某0()U x 内有定义, 若0lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续.若函数f 在区间I 上的每一点都连续, 则称f 为I 上的连续函数.例9 计算极限35lim 222-+→x x x思路：)(x f 为连续函数, 0x 为)(x f 的定义区间上的一点，则)()(lim 00x f x f x =→.解：原式=9325222=-+2.8 运用导数的定义求极限导数的定义]1[: 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义, 若极限00()()limx x f x f x x x →--存在, 则称函数f 在点0x 处可导, 并称该极限值为函数f 在点0x 处的导数, 记作0'()f x .若函数f 在区间I 上的每一点都可导(对区间端点, 仅考虑相应的单侧导数), 则称f 为I 上的可导函数.例10 计算)0(ln )ln(lim0>-+→h xhx h x思路：对具有000)()(lim x x x f x f x --→或hx f h x f h )()(lim 000-+→形式的极限，可由导数的定义来进行计算.解：原式=hx h x 1|)'(ln == 2.9运用定积分的定义求极限定积分的定义]1[: 设f 是定义在[,]a b 上的一个函数, J 是一个确定的实数.若对任意给的正数ε, 总存在某一正数δ, 使得对[,]a b 的任何分割T , 以及在其上任意选取的点集{}i ξ, 只要T δ<, 就有1()niii f x Jξε=∆-<∑则称函数f 在区间[,]a b 上可积或黎曼可积;数J 称为f 在区间[,]a b 上的定积分或黎曼积分, 记作()ba J f x dx =⎰例11 计算]3[01lim 1cosn n →++ 思路：和式极限，利用定积分定义10011lim ()()n n i if f x n n →==∑⎰dx 求得极限.解：原式011lim n n i n →==0=⎰2xdx ππ==⎰2.10 运用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理]1[: 若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）f 在开区间(,)a b 内可导，则在内至少存在一点ξ，使得'()()()f b f a f b aξ-=-.例12：计算]3[sin 0lim sin x x x e e x x→-- 思路：对函数()f x 在区间[sin ,]x x 上运用拉格朗日中值定理，即可求得. 解：原式0lim 1e αα→== （其中α在[sin ,]x x 区间内）综上所述，求极限时，在不同的函数类型下，所采用的技巧是各不相同的，对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型和对以上的解法的灵活运用是必要的.。