归纳函数极限的计算方法

归纳函数极限的计算方法

1. 预备知识

1.1函数极限的εδ-定义]1[

设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的

0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0

x 时以A 为极限，记作0

lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →.

2.求函数极限的方法总结

极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧.

2.1依据函数极限的迫敛性求极限

函数极限的迫敛性 设0

lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某'0(;)U x δ内有

()()()f x h x g x ≤≤，则0

lim ()x x h x A →=.

例1求极限]1[lim 0x x x →

解：当0>x 时，有

1]1

[1≤<-x

x x

而1)1(lim 0

=-+→x x ,由函数迫敛性可得

1]1

[lim 0=+→x

x x 同理可得0

[lim 0=→x

x x

注：依据函数极限的迫敛性求极限时，需判断该函数的上下范围，这时通常用到以下不等式：1cos 1,1sin 1),0(1][),0(][1≤≤-≤≤->-≤<<≤<-x x x x x x x x x x

2.2 依据极限的四则运算求极限]2[

依据极限的四则运算法则求极限的题目，除了直接使用极限的四则运算法则外，往往还有以下几种类型：

分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形，将分母极限化为非零，然后再运用法则：

例2 求极限1

1

lim 1--→n m x x x （n 和m 都是正整数）

解：原式=)

1)(1()

1)(1(lim 21211+Λ++-+Λ++-----→n n m m x x x x x x x

=n

m

x x x x n n m m x =+Λ+++Λ++----→11lim 21

211 ∞

∞

∞⋅∞±∞,

0,等未定型：因“∞”不是一个数，故该类型的题目不能直接使用运算法则，但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法，将其转化为极限存在后，再运用法则计算.

例3求极限)13

11(lim 21x

x x ---→ 解：原式=)

1)(1(31lim 221x x x x x x ++--++→ =13

3

)1)(1()2)(1(lim

21-=-=++-+--→x x x x x x

2.3 依据两个重要极限求极限

两个重要的极限:0sin lim

1x x x →=，1

lim(1)x x e x

→∞+=.

函数经过一定变形，若能出现以下情况：

))(())(1(),)(())

(11(),0)(()()(sin )(1

)

(∞→+∞→+→x h x h x g x g x f x f x f x h x g 时，也可采用重要极限来求.

例4 求极限

]

2[3

2

03sin sin 3lim x x x x x -+→

解：原式=10

1301333sin 3sin sin 3lim 2

0=-⋅⋅+=-⋅+

→x x

x x

x x

x

例5 求极限1

2)1

323(lim -∞→-+x x x x

解：原式=2231

23

1

31)2

313(])1

331[(lim e e x x x x x =⋅=+--+

-∞→ 2.4依据等价无穷小替换求极限

求函数极限，若能恰当采用等价无穷小的代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小, 如当0x →时:

.~1)1(,~)1ln(,~1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x e x x x x x x x x x αα-++-

例6 求极限]2[30sin sin tan lim

x

x

x x -→ 解:原式3

0sin cos sin sin cos 1lim x x

x x x x -⋅=→

2

302sin sin 12lim cos sin x x

x x x

→=⋅ 23011

2lim cos 2

x x x x x →⋅=⋅=

注:用等价无穷小替换求极限时，应注意只能用分子、分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式实行无穷小代换，对极限式的相加相减部分不能随意替代. 2.5 依据洛必达法则求极限

洛必达法则]1[:

型不定式极限 若函数f 和g 满足: (i)0

lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==;

(ii)在点0x 的某空心邻域00()U x 内两者都可导, 且'()0g x ≠ (iii)0

'()

lim

'()

x x f x A g x →=(A 可为实数, 也可为±∞或∞), 则 0

0()'()

lim

lim ()'()

x x x x f x f x A g x g x →→==