混沌系统理论
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理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成 的途径、机制的研讨。
混沌系统理论
典型系统
分形几何与奇怪吸引子
非周期定态
混
对初值的敏感依赖性
沌
的
确定性随机性
特 点
长期行为的不可ຫໍສະໝຸດ Baidu见性
混沌序：貌似无序的高级有序性
通向混沌的道路
他组织混沌
典型系统
所谓典型系统，一是能鲜明地表现出混沌的主要特 征，二是数学模型简单，容易处理。
非周期定态
在奇怪吸引子上的运动是系统的一种稳 定定态行为。 在奇怪吸引子上的运动具有回归性，但 混沌的回归性是不严格的，是非周期的。 非周期运动也可能是定态行为，非周期 定态未必都是混沌。
D log N(r) 或 log(1/ r)
DlimlogN(r) r0 log1(/ r)
一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫 维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此
时的D 值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人
把该维数称为分数维。
奇怪吸引子
奇怪吸引子又叫分形吸引子，因为它们都是相空间的分形点集， 不能用传统的规则几何图形表示。一个耗散系统的相空间当时间 趋于无穷大时，如果收缩到一个非整数维的点集，这就是一个奇 怪吸引子。
有科学家称之为混沌学。
混沌的定义
科学家给混沌下的定义
混沌 是指发生在确定性系统中的，貌似随机的不规则
运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不 确定性，不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌 是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在 的现象。
混沌理论是系统从有序突然变为无序状态的一种演化
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。
洛伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
在离散系统中，通常取逻辑斯蒂方程为典型系 统。
Logistic Equation：
x n 1 a x n (1 x n ) 或
xn1 1 x 2
虫口模型
逻辑斯蒂方程在生态学中的应用是无世代交叠的 虫口系统，x为状态变量，a或λ为控制变量。方程 给出第n代虫口数与第n+1代虫口数的确定性关系。 0<x<1， 0<a<4
混沌系统理论 ppt课件(9)
蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次 演讲中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，在两 周以后可以引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
1、埃侬吸引子
xn+1 1xn2 yn
yn+1 bxn
取参数 ＝1.4，b＝0.3（即 b <1 的耗散体系），进行计算，结果 显示在(x , y)相平面上。此吸引子 的分维D。=1.26
奇怪吸引子
2、洛伦兹吸引子
在洛伦兹方程中，取参数 =10，b = 8/3，随参数 r 增加，出现一次
新分岔－霍夫分岔，平衡点 C1 与 C2 将失稳发展成为奇怪吸引子。 取 r = 28 时计算的结果如下。它的容量维D。=2.06
D即维数
D = logｋ/logλ
λ 其中：
为线度的放大倍数
ｋ为“体积”的放大倍数
由于这样定义的维数D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为 分数维。
容量维
柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)曾给分维这样定义：
对于d 维空间中的一个小集合E，我们可以用一些直径r的 d 维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为 N(r) , 则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：
混沌的数学定义
定义：令 f ( x ) 为区间 I 到自身的连续映射，如果满足以下
条件
（1）f 的周期点的周期无上界
（2）存在 I 的不可数子集S ,满足
a.对于任何 x, y S ，当 x y 时有（n）
limsupfn(x)fn(y)0
b.对于任何x, y S ，有（n）
liminf fn(x)fn(y)0
xn1axn(1xn)
它经常被用来描述没有世代交叠的昆虫群体的繁殖 演化，称为虫口模型。a为控制参数，虫口数x为状 态变量，xn为第n代虫口数，虫口模型给出第n代虫 口与第n+1代虫口的关系，知道n代虫口就可以按 逻辑斯蒂方程计算第n+1代虫口。
虫口模型
0
=1
=3
4
横轴a为控制空间，纵轴x为相空间，共同形成 2维的乘积空间，a—x平面。0<a<a∞为系统的 周期区，a∞<a <4为系统的混沌区。
则称 f ( x ) 描述的系统为混沌系统，S 为 f 的混沌集。
分形几何
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学 家---曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自 然的分形几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一 学科经典之作。
“上帝的指纹”
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
洛伦兹方程
在连续系统中，通常以洛伦兹方程为为典型系统。
洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方 程和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著 名的洛伦兹方程。
Lorentz Equation:
dx
d dy
d
(x y) rx y xz
分形花
分 形 树
分形山
分维的概念
1. 整数维（拓扑维或传统的维数 ） a. 点 —— 零维 b. 线 —— 一维 c. 面 —— 二维
d. 体 —— 三维
分维的概念
2. 分数维
现在我们从测量的角度引入了维数概念，将维 数从整数扩大到分数。即：
如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相 似的ｋ个图形所组成，有：ｋ= λD
混沌系统理论
典型系统
分形几何与奇怪吸引子
非周期定态
混
对初值的敏感依赖性
沌
的
确定性随机性
特 点
长期行为的不可ຫໍສະໝຸດ Baidu见性
混沌序：貌似无序的高级有序性
通向混沌的道路
他组织混沌
典型系统
所谓典型系统，一是能鲜明地表现出混沌的主要特 征，二是数学模型简单，容易处理。
非周期定态
在奇怪吸引子上的运动是系统的一种稳 定定态行为。 在奇怪吸引子上的运动具有回归性，但 混沌的回归性是不严格的，是非周期的。 非周期运动也可能是定态行为，非周期 定态未必都是混沌。
D log N(r) 或 log(1/ r)
DlimlogN(r) r0 log1(/ r)
一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫 维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此
时的D 值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人
把该维数称为分数维。
奇怪吸引子
奇怪吸引子又叫分形吸引子，因为它们都是相空间的分形点集， 不能用传统的规则几何图形表示。一个耗散系统的相空间当时间 趋于无穷大时，如果收缩到一个非整数维的点集，这就是一个奇 怪吸引子。
有科学家称之为混沌学。
混沌的定义
科学家给混沌下的定义
混沌 是指发生在确定性系统中的，貌似随机的不规则
运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不 确定性，不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌 是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在 的现象。
混沌理论是系统从有序突然变为无序状态的一种演化
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。
洛伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
在离散系统中，通常取逻辑斯蒂方程为典型系 统。
Logistic Equation：
x n 1 a x n (1 x n ) 或
xn1 1 x 2
虫口模型
逻辑斯蒂方程在生态学中的应用是无世代交叠的 虫口系统，x为状态变量，a或λ为控制变量。方程 给出第n代虫口数与第n+1代虫口数的确定性关系。 0<x<1， 0<a<4
混沌系统理论 ppt课件(9)
蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次 演讲中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，在两 周以后可以引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
1、埃侬吸引子
xn+1 1xn2 yn
yn+1 bxn
取参数 ＝1.4，b＝0.3（即 b <1 的耗散体系），进行计算，结果 显示在(x , y)相平面上。此吸引子 的分维D。=1.26
奇怪吸引子
2、洛伦兹吸引子
在洛伦兹方程中，取参数 =10，b = 8/3，随参数 r 增加，出现一次
新分岔－霍夫分岔，平衡点 C1 与 C2 将失稳发展成为奇怪吸引子。 取 r = 28 时计算的结果如下。它的容量维D。=2.06
D即维数
D = logｋ/logλ
λ 其中：
为线度的放大倍数
ｋ为“体积”的放大倍数
由于这样定义的维数D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为 分数维。
容量维
柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)曾给分维这样定义：
对于d 维空间中的一个小集合E，我们可以用一些直径r的 d 维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为 N(r) , 则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：
混沌的数学定义
定义：令 f ( x ) 为区间 I 到自身的连续映射，如果满足以下
条件
（1）f 的周期点的周期无上界
（2）存在 I 的不可数子集S ,满足
a.对于任何 x, y S ，当 x y 时有（n）
limsupfn(x)fn(y)0
b.对于任何x, y S ，有（n）
liminf fn(x)fn(y)0
xn1axn(1xn)
它经常被用来描述没有世代交叠的昆虫群体的繁殖 演化，称为虫口模型。a为控制参数，虫口数x为状 态变量，xn为第n代虫口数，虫口模型给出第n代虫 口与第n+1代虫口的关系，知道n代虫口就可以按 逻辑斯蒂方程计算第n+1代虫口。
虫口模型
0
=1
=3
4
横轴a为控制空间，纵轴x为相空间，共同形成 2维的乘积空间，a—x平面。0<a<a∞为系统的 周期区，a∞<a <4为系统的混沌区。
则称 f ( x ) 描述的系统为混沌系统，S 为 f 的混沌集。
分形几何
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学 家---曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自 然的分形几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一 学科经典之作。
“上帝的指纹”
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
洛伦兹方程
在连续系统中，通常以洛伦兹方程为为典型系统。
洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方 程和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著 名的洛伦兹方程。
Lorentz Equation:
dx
d dy
d
(x y) rx y xz
分形花
分 形 树
分形山
分维的概念
1. 整数维（拓扑维或传统的维数 ） a. 点 —— 零维 b. 线 —— 一维 c. 面 —— 二维
d. 体 —— 三维
分维的概念
2. 分数维
现在我们从测量的角度引入了维数概念，将维 数从整数扩大到分数。即：
如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相 似的ｋ个图形所组成，有：ｋ= λD