计算方法与误差(课件PPT)
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算法的分类：
本书所讲述的算法只限于计算机算法，即计算机 能执行的算法。
计算机算法可分为两大类别：数值运算算法和 非数值运算算法。
数值运算的目的是求数值解，例如求方程的根， 求一个函数的定积分等，都属于数值运算范围。
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，
从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y)30750 x =20 (x y)50750求解 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
数学模型概述 航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
•建立模型 用数学的语言、符号描述问题
•模型求解 各种数学方法、软件和计算机技术
•模型检验 •模型应用
与实际现象、数据比较，检验模型的合 理性、适用性
建立数学模型案例
例：有人借助英文词汇建立了一个用算法表述生活圆 满程度的数学模型：
1）将A、B、C、D、E、…、X、Y、Z这26个英文字母，
分别对应百分数1%、2%、…、26%这26个数值 2）对每一个英文词包含的字母进行对应百分数相加得到
时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型的概念 数学模型 (Mathematical Model) 和
数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据 其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的
１.1 引言 计算方法课程用途
我们每学习一门新课，首先总要大体了解一 下为什么要开这门课，在这门课程中我们将要学 习什么内容，怎样把这门课学好，学好这门课的 标志是什么等等。
计算方法是怎样一门课？它的重要性表现 在什么地方？用学习数学的方法就能学好计算 方法吗？
用计算机解决实际问题的一般步骤是：
第一部分集中于问题及其解法或算法，与 任何特定的计算机或计算机语言无关。
第二部分集中于选择某一种程序设计语言， 把算法表达给特定的计算机。
算法的概念
广义地说，为解决一个问题而采取的方法 和步骤，就称为“算法”。
• 你想查看计算机CPU，首先必须将计算机断电， 拆除连线，打开机箱，然后按下夹子解除夹口， 最后取出CPU进行查看。
该词的权重数，称其为生活圆满度。
用这个数学模型, 可算出人们所追求的生活圆满度百分比数:
MONEY(金钱)：M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72% LEADERSHIP(权利)：L+E+A+D+E+R+S+H+I+P=97% LOVE(爱情)：L+O+V+E=12+15+22+5=54%
ATTITUDE(态度)： A+T+T+I+T+U+D+E=1+20+20+9+20+21+4+5=100%
换句话说
1. 对于要解决的问题建立数学模型 2. 研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程 3. 按照2进行计算，得到计算结果
建立数 学模型
转化为 数值公式
进行计算
程序设计方法
程序设计方法首先强调的是设计，其次才 是实现（写出程序代码）。其核心是将程序设 计过程分为两部分。
分析实
建立数
设计
际问题
学模型
算法
前三步为建模，集中于问题及其解
法或算法广，义与地任说何，特为定解的决计一算个机问或题计算 机语而言采无取关的。方法和步骤，就称为
“后算两法步”为。模型求解，集中于选择某 一种程序设计语言，把算法表达给特定
的计算机。
编写程 序代码
上机 计算
数学模型概述
• 从现实对象到数学模型
灰箱
黑箱
建立数学模型的方法与步骤
实际 问题
观察 分析
收集 数据
模型 应用
简化 假设
检验 评价
确定主 要因素
及其相 互关系
建立 模型
数学 工具 模型 求解
建立数学模型的方法与步骤
•调查研究
了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个比较清晰的‘问题’
•模型假设 针对问题特点 作出合理的、简化的假设
由数学模型找到求解方法的过程，是计算方法 要研究的核心问题。
计算方法研究对象
研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自变 量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间
函数关系的一个明确无歧义的描述。
如一阶微分方程初值问题
dy
2x
dx
y(0) 1
求函数解析表达式 y y ( x)
实际上，计算方法是数学方法的伸延， 数学教科书中的遗留问题。在我们这里就可得到解决
计算方法是求解数学问题的计算机方法
１.1 引言
计算方法研究对象 计算方法所面对的正是“模型求解”，或者说
求模型的数值解。因此我们不能把“计算方法”理 解为“计算”的“方法”，而应理解为借助计算机 求解复杂数学问题的基本方法。
– 我们常见的模型
• 玩具、照片、飞机、火箭模型… ~…实物模型
• 能够实际潜水的小潜水艇… … ~ 物理模型
•
地图、电路图、分子结构图…
…
~
符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进 行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替Baidu Nhomakorabea物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
数学模型概述
• 你碰到过的数学模型——“航行问题”
数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模
建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态 、医学…
数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 …
表现特性 建模目的
确定和随机 离散和连续
静态和动态 线性和非线性
描述、求解、预报、决策 … …
了解程度 白箱
非数值运算包括的面十分广泛，最常见的是用 于事务管理领域，例如图书检索、人事管理等。目前， 计算机在非数值运算方面的应用远远超过了在数值运 算方面的应用。
１.1 引言
开计算方法这门课的重要意义 计算方法是用数学方法借助计算机解决实际问
题，侧重点是求模型的数值解。通过对一些典型的 数学问题的研究形成常用的求解方法体系，是为解 决实际问题奠定基础。
算法的分类：
本书所讲述的算法只限于计算机算法，即计算机 能执行的算法。
计算机算法可分为两大类别：数值运算算法和 非数值运算算法。
数值运算的目的是求数值解，例如求方程的根， 求一个函数的定积分等，都属于数值运算范围。
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，
从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y)30750 x =20 (x y)50750求解 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
数学模型概述 航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
•建立模型 用数学的语言、符号描述问题
•模型求解 各种数学方法、软件和计算机技术
•模型检验 •模型应用
与实际现象、数据比较，检验模型的合 理性、适用性
建立数学模型案例
例：有人借助英文词汇建立了一个用算法表述生活圆 满程度的数学模型：
1）将A、B、C、D、E、…、X、Y、Z这26个英文字母，
分别对应百分数1%、2%、…、26%这26个数值 2）对每一个英文词包含的字母进行对应百分数相加得到
时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型的概念 数学模型 (Mathematical Model) 和
数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据 其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的
１.1 引言 计算方法课程用途
我们每学习一门新课，首先总要大体了解一 下为什么要开这门课，在这门课程中我们将要学 习什么内容，怎样把这门课学好，学好这门课的 标志是什么等等。
计算方法是怎样一门课？它的重要性表现 在什么地方？用学习数学的方法就能学好计算 方法吗？
用计算机解决实际问题的一般步骤是：
第一部分集中于问题及其解法或算法，与 任何特定的计算机或计算机语言无关。
第二部分集中于选择某一种程序设计语言， 把算法表达给特定的计算机。
算法的概念
广义地说，为解决一个问题而采取的方法 和步骤，就称为“算法”。
• 你想查看计算机CPU，首先必须将计算机断电， 拆除连线，打开机箱，然后按下夹子解除夹口， 最后取出CPU进行查看。
该词的权重数，称其为生活圆满度。
用这个数学模型, 可算出人们所追求的生活圆满度百分比数:
MONEY(金钱)：M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72% LEADERSHIP(权利)：L+E+A+D+E+R+S+H+I+P=97% LOVE(爱情)：L+O+V+E=12+15+22+5=54%
ATTITUDE(态度)： A+T+T+I+T+U+D+E=1+20+20+9+20+21+4+5=100%
换句话说
1. 对于要解决的问题建立数学模型 2. 研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程 3. 按照2进行计算，得到计算结果
建立数 学模型
转化为 数值公式
进行计算
程序设计方法
程序设计方法首先强调的是设计，其次才 是实现（写出程序代码）。其核心是将程序设 计过程分为两部分。
分析实
建立数
设计
际问题
学模型
算法
前三步为建模，集中于问题及其解
法或算法广，义与地任说何，特为定解的决计一算个机问或题计算 机语而言采无取关的。方法和步骤，就称为
“后算两法步”为。模型求解，集中于选择某 一种程序设计语言，把算法表达给特定
的计算机。
编写程 序代码
上机 计算
数学模型概述
• 从现实对象到数学模型
灰箱
黑箱
建立数学模型的方法与步骤
实际 问题
观察 分析
收集 数据
模型 应用
简化 假设
检验 评价
确定主 要因素
及其相 互关系
建立 模型
数学 工具 模型 求解
建立数学模型的方法与步骤
•调查研究
了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个比较清晰的‘问题’
•模型假设 针对问题特点 作出合理的、简化的假设
由数学模型找到求解方法的过程，是计算方法 要研究的核心问题。
计算方法研究对象
研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自变 量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间
函数关系的一个明确无歧义的描述。
如一阶微分方程初值问题
dy
2x
dx
y(0) 1
求函数解析表达式 y y ( x)
实际上，计算方法是数学方法的伸延， 数学教科书中的遗留问题。在我们这里就可得到解决
计算方法是求解数学问题的计算机方法
１.1 引言
计算方法研究对象 计算方法所面对的正是“模型求解”，或者说
求模型的数值解。因此我们不能把“计算方法”理 解为“计算”的“方法”，而应理解为借助计算机 求解复杂数学问题的基本方法。
– 我们常见的模型
• 玩具、照片、飞机、火箭模型… ~…实物模型
• 能够实际潜水的小潜水艇… … ~ 物理模型
•
地图、电路图、分子结构图…
…
~
符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进 行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替Baidu Nhomakorabea物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
数学模型概述
• 你碰到过的数学模型——“航行问题”
数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模
建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态 、医学…
数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 …
表现特性 建模目的
确定和随机 离散和连续
静态和动态 线性和非线性
描述、求解、预报、决策 … …
了解程度 白箱
非数值运算包括的面十分广泛，最常见的是用 于事务管理领域，例如图书检索、人事管理等。目前， 计算机在非数值运算方面的应用远远超过了在数值运 算方面的应用。
１.1 引言
开计算方法这门课的重要意义 计算方法是用数学方法借助计算机解决实际问
题，侧重点是求模型的数值解。通过对一些典型的 数学问题的研究形成常用的求解方法体系，是为解 决实际问题奠定基础。