第五章 等参元和数值积分PPT课件
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FE-Ch04.1-5等参元与数值积分
形函数Ni (ξ,η)在单元的i结点上的值为1， 在其它结点上的值均为0。
坐标变换式采用如下相似的公式，
x = ∑ N i (ξ ,η ) xi
i =1 8 8
（4-12）
y = ∑ N i (ξ ,η ) y i
i =1
将ξ=1代入公式（4-12），可以得到单元345边在 ξ=1 4-12 345 整体坐标下的参数方程：
N3 =
1 (1 − ξ )(1 + η ) 4
（4-5）
1 N 4 = (1 + ξ )(1 + η ) 4
四个结点的坐标为
(ξ i ,ηi )
，定义新的变量，
(i=1，2，3，4)
ξ 0 = ξ iξ ， η 0 = ηiη
(4-6)
形态函数表示为，N i
1 = (1 + ξ 0 )(1 + η 0 ) (i=1，2，3，4) 4
如果单元不是等参的, 即坐标插值:
x = ∑ N i (ξ ,η ) xi
i =1 m
y = ∑ N i (ξ ,η ) yi
i =1
m
中的节点数m和插值函数Ni, 各自不等于未知函数 n ’: φ插值中的节点数n和插值函数Nk ϕ = N ' (ξ ,η )ϕ
∑
k =1
k
k
这时,可以分两种情况: (1)超参单元, 即坐标插值节点数m>未知函数φ插值节 点数n, 单元一般不满足完备性的要求 (2)次参单元, 即m<n, 从构造变节点单元的一般方法, 假定一2D等参单元在各节点有线性变化的场函数, Φ=a+bx+cy 其在各节点有对应的场函数值, Φi=a+bxi+cyi (i=1,2,…,n)
最新有限元法基础-5等参元与数值积分演示教学
Ni Ni L1 Ni L2 Ni L3 Ni L4 Ni Ni
L1 L2 L3 L4 L1 L4
Ni Ni L1 Ni L2 Ni L3 Ni L4 Ni Ni
L1 L2 L3 L4 L2 L4
Ni Ni L1 Ni L2 Ni L3 Ni L4 Ni Ni
19
有限元法基础
5.1等参变换的概念 边界面力的变换
QTe e NTTd
以 1 为例，d 0
11
Qe NTTdA NTTAdd
Ae
11
20
有限元法基础
5.1等参变换的概念 4）对二维问题
Ni x yNi
Ni Ni
N ix yN xi((x,,y))N xiJN xi
y
y y
y
N i N xi x N yi y N zi z
写成矩阵形式 Ni x
y
z
Ni
x
Ni
x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
Ni
z
J 称为Jacobi 矩阵
J (x, y, z)
( ,, )
d x di y d j z dk
d x d i y d j z d k
i jk
dd x, y, z, dd
x, y, z,
d A =d d A d d 1
A y z y z 2 Z x z x 2 x y x y 2 1 /2
5.1等参变换的概念
规则化单元：母单元
在自然坐标系内(局部)
实际单元：子单元 在总体坐标系内(整体)
利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系
第5章 等参单元与数值积分
2020/6/30
13
第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
我们定义的形函数满足：
N i ( i ,i ) ij
1 当 j 0 当 j
i i
4
Ni ( , ) 1
i 1
(5-1-6)
设真实位移场为x，y的线性函数
u 1 2x 3 y
v 4 5x 6y
将x，y按(5-1-3)代入，
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3
第2节四结点四边形等参数单元
[母体单元、自然坐标和形函数 ]
母体单元ê：边长为２的正
η
方形，自然坐标系ξ，η 示于左
4
3 (1,1)
图。取四个角点为结点，在单元
内的排序为１、２、３、４。仿
ξ
照矩形单元，可定义出四个形函 数
(-1,-1) １
2
Ni
(
,
)
1 4
1
i
(1
i )
(5-1-1)
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第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
(1)单元内位移场连续
x、y、u、v都是ξ，η的双线性函数(连续函数)。只要Jacobi 行列式detJ≠0，u、v就是x，y的连续函数。即在实际单元 内u、v连续。
(2)刚体位移和常应变条件
对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总 体坐标的完全一次多项式。或者换一个提法：假定的位移 场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场。当试 探函数直接用总体坐标的多项式描述时(像第四章所做的那 样)采用前面一种提法是方便的。现在试探函数是用自然坐 标表述的，则用后一种提法更合适一些。
x 则由(5-1-3)，可得出坐标变换为
第五章 等参元和数值积分
y1 y2 y3 y4
N 2 N 2
N 3 N 3
y x
N 4 x1 x2 N 4 x3 x4
J
y 1 J x
N1 N m x1 N1 N m J xm N1 N m
y1 ym
z1 zm
N i N i x N i 1 N i J y N i N i Z
B 与 Se 算
e
Ni Ni x 1 N J Ni i y
N i x e Bi 0 N i y
i 1,,4
1 N i 1 i 1 i 4
i 1,,4
N i x N x i
x y
y N i x y N i y
2
0 3
1
4
3
x
四边形单元 一、 坐标变换 坐标变换:
x N i xi 1 4 y N i yi 1
4
母单元 位移场函数:
4 u N i ui 1 4 v N i vi 1
或记为矩阵形式:
u
e
N a
e
e
1 N i 1 i 1 i i 1,,4 4
0 N i y N i x
i 1,,4
N 2 N 2
N 3 N 3
y x
N 4 x1 x2 N 4 x3 x4
J
y 1 J x
N1 N m x1 N1 N m J xm N1 N m
y1 ym
z1 zm
N i N i x N i 1 N i J y N i N i Z
B 与 Se 算
e
Ni Ni x 1 N J Ni i y
N i x e Bi 0 N i y
i 1,,4
1 N i 1 i 1 i 4
i 1,,4
N i x N x i
x y
y N i x y N i y
2
0 3
1
4
3
x
四边形单元 一、 坐标变换 坐标变换:
x N i xi 1 4 y N i yi 1
4
母单元 位移场函数:
4 u N i ui 1 4 v N i vi 1
或记为矩阵形式:
u
e
N a
e
e
1 N i 1 i 1 i i 1,,4 4
0 N i y N i x
i 1,,4
第五章 等参元和数值积分PPT课件
1
4
3
x
3
4
四边形单元
母单元
5.2 等参元的概念和单元矩阵的变换
一、等参元的概念
坐标变换:
x
m
N i x i
i= 1
y
m
N i y i
i= 1
m
z N i z i
i= 1
位移场函数:
u
n
N iu i
i= 1
n
v N iv i
i= 1
n
w N i w i
i= 1
m n , N i N i mn mn
N i x
i 1,,4
三、单元刚度矩阵
K e hB eTD B edx h d1y 1B eTD B eJdd 1 1
e
体力的等效结点力：
Fb eh 11
N 1 eT
1
f
Jdd
面力的等效结点力：Feqh11NeT f
(x)2(y)2d
(
1边）
y2
1
xi,yi i,i 2 0
① 多项式 的构造
n
n 1
li(n 1)()fi iiP 2n-1次多项式
i 1
i0
li ( n 1 )() ( ( i 1 1 ) ) ( (i 2 2 ) )( (i i i 1 1 ) ) ( (i i i 1 1 ) )( ( i n ) n )
对任意一个四边形单元，只要恰当选择单元自然坐标ξ、
η，就得到在ξ、η域的正方形单元。称ξ、η域的正方
形单元为母单元。
这个变换要实现一点到一点的对应，例如，对角点。
xi,yi i,i
5.1 任意四边形单元
y2
有限元第5章-等参数单元
5 等参数单元 5-1 等参数单元的引入 三角形单元内的应力为常量，不同单元的应力互
不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
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1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
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27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
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4
4
x
i1
Ni , xi
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为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
i 1
4
N
i
,
y i
i 1
4
i 1 4
i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
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不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
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1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
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27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
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4
4
x
i1
Ni , xi
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30
为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
i 1
4
N
i
,
y i
i 1
4
i 1 4
i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
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第五讲 等参单元
•
关于高斯积分有如下结论： 采用N个积分点的高斯积分，如果被积函数是2N-1阶及以
下的多项式，则高斯求积公式给出准确结果。
•
对于二、三维高斯积分，有：
I
I
1
1
1 1
1
1
f ( , )dd f (i , j ) wi w j
i 1 j 1
1
L
M
1 1 1
平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。显然， 母单元的节点对应于不同的x，y坐标就得到不同的任意 四边形单元。
•变实例
• 建立了局部坐标系或映射后，我们可以在ξ -η 平面上 的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。 • 任意四边形单元在母单元中的位移模式插值公式（或者
称为ξ -η 坐标系下的位移模式）可以参考矩形单元的 位移模式写为：
1）形函数导数的坐标变换 • 等参单元中形函数是局部坐标ξ ,η 的显函数，而计算 应变时需要形函数对x,y坐标的导数。根据等参变换式， ξ ,η 和 x,y之间有一定函数关系，由复合函数求导规 则有：
N i x N x i y N i N i x x N J N y i i y y
k B DBhd
e T
e
由于[B]矩阵已是ξ,η的函数，上式积分应该在自然坐标系下 进行，或者说进行积分变量替换。
在整体坐标系中，面积微元为x 方向和y 方向微矢量的叉乘 的模量，
• 由二维重积分变量替换公式得到：
k 1 1 B DBh J dd
任意直边四边形
任意六面体
第五章_形函数与等参单元
演得到形函数
➢ 推导原理和过程明确，但是推导繁琐，只能适应简单的少节点单
元（常应变三角形单元等）；
➢ 思变：形函数仅是单元内部的位移插值函数（利用节点位移达到
内部位移），可考虑利用数学中的“插值函数”方法，直接给出
形函数。从而避开繁琐的推导
2
5.1 面积坐标与自然坐标
一．面积坐标
1．面积坐标的定义
二者之间可通过一定的坐标转换公式进行转换
10
Hale Waihona Puke 优点✓该种坐标系下,无论四边形的大小和形状如何,其坐标特征是相同的,
因此可用统一的表达式描述,可以推导统一的有限元公式;
✓以局部坐标系导出的公式,有利于数值积分运算,可克服高精度单元的
单刚矩阵、等效节点力矩阵等因无法导出显式而必须进行积分所遇到的 困难；
Lm = 1－Li－Lj，变换式可以把平面上的任意三角形ijm变换为LiLj平面上的三角形
i1 , j1 , m1。
7
4 面积坐标的求导和积分 当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可以应用下列公式
Li Lj Lm bi bj bm x x Li x Lj x Lm 2 Li 2 Lj 2 Lm Li Lj Lm ci c j cm y y Li y Lj y Lm 2 Li 2 Lj 2 Lm
l
Li
Lj
ds
(
! ! l 1)!
(i, j, m)
式中l为该边的长度。可得到
Li dxdy A / 3
L2i dxdy A / 6
Li Ljdxdy A /12
（5-7） （5-8）
9
二．四边形自然坐标（归一化处理）
(-1,1) 4
1(1,1)
➢ 推导原理和过程明确，但是推导繁琐，只能适应简单的少节点单
元（常应变三角形单元等）；
➢ 思变：形函数仅是单元内部的位移插值函数（利用节点位移达到
内部位移），可考虑利用数学中的“插值函数”方法，直接给出
形函数。从而避开繁琐的推导
2
5.1 面积坐标与自然坐标
一．面积坐标
1．面积坐标的定义
二者之间可通过一定的坐标转换公式进行转换
10
Hale Waihona Puke 优点✓该种坐标系下,无论四边形的大小和形状如何,其坐标特征是相同的,
因此可用统一的表达式描述,可以推导统一的有限元公式;
✓以局部坐标系导出的公式,有利于数值积分运算,可克服高精度单元的
单刚矩阵、等效节点力矩阵等因无法导出显式而必须进行积分所遇到的 困难；
Lm = 1－Li－Lj，变换式可以把平面上的任意三角形ijm变换为LiLj平面上的三角形
i1 , j1 , m1。
7
4 面积坐标的求导和积分 当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可以应用下列公式
Li Lj Lm bi bj bm x x Li x Lj x Lm 2 Li 2 Lj 2 Lm Li Lj Lm ci c j cm y y Li y Lj y Lm 2 Li 2 Lj 2 Lm
l
Li
Lj
ds
(
! ! l 1)!
(i, j, m)
式中l为该边的长度。可得到
Li dxdy A / 3
L2i dxdy A / 6
Li Ljdxdy A /12
（5-7） （5-8）
9
二．四边形自然坐标（归一化处理）
(-1,1) 4
1(1,1)
第五章 数值积分.ppt
1
dx 1
0
1 xdx 1
0
2
A0
A1
1 2
．
1
所以公式为： 0
f
( x)dx
1
2
f
0
f
1 ．
12
三 、牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式
定义3 等距节点下的插值型求积公式称为牛顿—柯特斯公式。
把区间 a,b分成 n 等分，每份的长度为 h (b a) / n ，
解： e0 1， e 2.71828 ， e0.5 1.64872
所以利用梯形公式：
I
T1
1 2
1
2.71828
1.85914
；
利用 Simpson 公式：
I
S1
1 6
1
41.64872
2.71828
1.71851 ．
对比真值 I 1.71828，可见 S1 更精确一些．
C
(n i
)
C
(n) ni
；
这可以从柯特斯系数的积分表达式中直接得到．
17
应用中必须考虑数值稳定性，设函数值计算产生误差为：
f xi fi i ，并记 max i ，则在牛顿—柯特斯公式计算中：
n
n
C(n) i
f
xi
C(n) i
fi
，误差是：
i0
f
( x)dx
ba 90
7
f
(a) 32
f
(x1) 12
f
(x2 )
数值积分实用PPT课件PPT课件
二simpson积分法抛物线积分法第20页共39页3几何意义第21页共39页4复合抛物线积分法分成n偶数个相等的小区间每个区间的长度第22页共39页计算公式几何意义第23页共39页5定步长抛物线积分抛物线积分较梯形积分更精确
微积分学中，积分计算是利用 Newton – Leibniz
公式：
来计算的。
例，某气体由温度 T1 加热到 T2 时所需热量 Q 可由下式表示：
Q
T1 T2
Cp
.mdT
Cp .m 该气体的摩尔定压热容
不知道该气体的 与CTp的.m函数关系式，而实验测得该气体的
系数据如下表所示。
C p .m
与 T 的关
T/℃
25 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800
32 k0
f
( x ) 12
k1
k0
4
f
( xk1 ) 2
n1
n1
32 f ( x ) 14 f ( x )
k0
k3 4
k 1
k
第27页/共39页
龙贝格算法
第28页/共39页
数值方法中常利用一序列{ F1、F2、…、Fk、…} 去逼近精确值，然后在理论上给出序列F的误差估计。
新思路：
能否在某种理论（截断误差估计）基础上，通过简单方法，在序列
值，而这些值又是成倍增加的，所以计算工作量较大。
第37页/共39页
程序例子：P207
作 业：
将P207的程序改为求解积分
eps=0.000001 结果（0.1115718）
1x
0 4 x2 dx
第38页/共39页
感谢您的观看。
微积分学中，积分计算是利用 Newton – Leibniz
公式：
来计算的。
例，某气体由温度 T1 加热到 T2 时所需热量 Q 可由下式表示：
Q
T1 T2
Cp
.mdT
Cp .m 该气体的摩尔定压热容
不知道该气体的 与CTp的.m函数关系式，而实验测得该气体的
系数据如下表所示。
C p .m
与 T 的关
T/℃
25 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800
32 k0
f
( x ) 12
k1
k0
4
f
( xk1 ) 2
n1
n1
32 f ( x ) 14 f ( x )
k0
k3 4
k 1
k
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龙贝格算法
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数值方法中常利用一序列{ F1、F2、…、Fk、…} 去逼近精确值，然后在理论上给出序列F的误差估计。
新思路：
能否在某种理论（截断误差估计）基础上，通过简单方法，在序列
值，而这些值又是成倍增加的，所以计算工作量较大。
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程序例子：P207
作 业：
将P207的程序改为求解积分
eps=0.000001 结果（0.1115718）
1x
0 4 x2 dx
第38页/共39页
感谢您的观看。
第五章 等参单元1
在第一章中已阐明位移模式就是：单元内任意一点的位移，被表述为其坐标的函数。
在平面问题的单元中，任一点的位移分量可用下列多项式表示；显然位移模式的项数取得越多，计算也越精确，但是项数取得越多，待定系数61，。
z，…A1，P z，…也就越多，根据第一章64所述，待定系数是通过代入节点坐标及其位移而确定的。
所以一般要根据有几个节点才可确定取几项。
表4—1列出几种平面单元的位移模式。
为了使有限元的解能够收敛于精确解，任何单元的位移模式都必须满足以下三个条件：1、位移模式中必须包括反应刚体位移的常数项。
刚体位移是单元的基本位移，当单元作刚体位移时，单元内各点的位移值均相等，而和各点的坐标值无关。
显然式(4．1)中的常数项就是提供刚体移的。
2、位移模式中必须包括反应常应变的线性位移项。
当单元分割得十分细小时，单元中的应变就接近于常量。
所以选取的位移模式就必须反应这一点，由第一章可知线性位移项就是提供常应变的。
单元的位移模式满足了上述两个条件者，称为完备单元。
3、位移模式必须能保证单元之间位移的连续性。
在连续弹性体中位移是连续的，所以分割成许多单元后，相邻单元的位移必须保持连续，这就要使相邻单元的公共边界具有相同的位移，以避免发生两相邻单元互相脱离或互相位侵入的现象。
这种连续性在有的文献中称为协调性或相容性。
现在具体分析几种单元的位移模式。
图4—1表示两个相邻的三节点三角形单元，其公共节点『及m的位移对两个单元是一样，由于三节点三角形单元的位移模式是坐标的线性函数，公共边用M 在变形后仍是一条直线，所以上述两个相邻单元在iM边上的任意一点都具有相同位移，从而保证了连续性。
图4—2表示两个相邻矩形单元，其公共边界是M M，相当于y＝常数的一条直线，由表4—l可知矩形单元的位移模式是，当y＝常数，位移分量M是按线性变化的，所以和前例同样的推理，可以证明两个相邻矩形单元的位移在公共边界上是连续的。
对于六节点的三角形单元及八节点的矩形单元，在单元边界上位移分量是按抛物线变化的，而每条公共边界上有三个公共节点，正好可以保证相邻两单元位移的连续性。
有限元分析第五章(第二部分)
§5-5数值积分１、问题的提出在上一节中对等参元进行单元分析时要进行下列积分： (i) 单元刚度矩阵(ii)体积力的等效结点力(iii)边界力的等效结点力(iv)温升载荷的等效结点力式（5-4-5）~（5-4-8）分别归结为计算以下两种形式的积分对于上述积分仅在单元的形状十分规则的情况下才能得到解析的结果（精确值），一般情况只能用数值积分方法（主要是高斯求积法）求近似值。
虽然数值积分是“被迫“采用的，但后来发现：有选择地控制积分点的个数和位置，可以方便地实现我们的某些特殊意图。
这样一来，数值积分就成为有限元分析的一个重要组成部分，以至本来可以精确积分的三角形单元也常常采用数值积分。
２、数值积分的基本概念任何积分工作取决于三个要素：给定的积分区间，给定的被积函数，具体的积分方法。
下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念 (i) 梯形法函数()x f 在区间(a,b)的积分可以表达为 ()()ini ibax f W dx x f I ∑⎰=≈=1⎰⎰⎰---111111),()(dxdxy x f dx x f 、 [][][][][][][]ηξd d J t B E B tdxdyB E B k T Te det 1111⎰⎰⎰⎰--=={}[][]ηξσd d J t f f N td f f N r y xT y x T eV det 1111⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰⎰--{}[]{}ηξσγd Jd t B T det 01111T ⎰⎰--={}[]()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰--dy y f dx x f tds q p N r T 1111,ΓΓ(5-4-5)(5-4-8) (5-4-7) (5-4-6)i W ：权系数；i x ：积分样点；()i x f ：积分样点的函数值。
梯形法的求积公式为其中，1--=n ab h ，而a b W ni i -=∑=1(ii) 当被积函数为n-1次多项式P n-1(x )时，则由n 个样点及其样点值（x i , P n-1(x i ),i=1,n ）可以精确重构这个多项式，从而可以得到精确解。
有限元法基础5等参元与数值积分
14
有限元法基础
5.1等参变换的概念
J 的伴随矩阵
15
有限元法基础
5.1等参变换的概念 由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素
16
有限元法基础
5.1等参变换的概念 2）体积微元的变换
17
有限元法基础
5.1等参变换的概念 单元刚度矩阵
等效体积力
18
有限元法基础
5.1等参变换的概念 3）面积微元的变换 以 为例，
等参变换单元矩阵的变化：
等参变换
单元矩阵的变化：B、K、dΩ、……
12
有限元法基础
5.1等参变换的概念 由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变 换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。
13
有限元法基础
5.1等参变换的概念 1）导数之间的变换
由复合函数求导规则有
写成矩阵形式
J 称为Jacobi 矩阵
➢Irons积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积 分精度。
60
有限元法基础
5.4 数值积分方法
61
有限元法基础
5.4 数值积分方法
62
有限元法基础
5.4 数值积分方法 4）Hammer积分方案
讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分
63
有限元法基础
5.4 数值积分方法
64Байду номын сангаас
有限元法基础
5.4 数值积分方法
单元刚度矩阵的计算公式
C是dXd的方阵，d是应变数量，三维问题为6，平面 问题为3，轴对称问题为4。
必有一点
，不具备等参变换条件。
26
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 畸变单元举例
有限元法基础
5.1等参变换的概念
J 的伴随矩阵
15
有限元法基础
5.1等参变换的概念 由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素
16
有限元法基础
5.1等参变换的概念 2）体积微元的变换
17
有限元法基础
5.1等参变换的概念 单元刚度矩阵
等效体积力
18
有限元法基础
5.1等参变换的概念 3）面积微元的变换 以 为例，
等参变换单元矩阵的变化：
等参变换
单元矩阵的变化：B、K、dΩ、……
12
有限元法基础
5.1等参变换的概念 由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变 换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。
13
有限元法基础
5.1等参变换的概念 1）导数之间的变换
由复合函数求导规则有
写成矩阵形式
J 称为Jacobi 矩阵
➢Irons积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积 分精度。
60
有限元法基础
5.4 数值积分方法
61
有限元法基础
5.4 数值积分方法
62
有限元法基础
5.4 数值积分方法 4）Hammer积分方案
讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分
63
有限元法基础
5.4 数值积分方法
64Байду номын сангаас
有限元法基础
5.4 数值积分方法
单元刚度矩阵的计算公式
C是dXd的方阵，d是应变数量，三维问题为6，平面 问题为3，轴对称问题为4。
必有一点
，不具备等参变换条件。
26
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 畸变单元举例
第五章数值积分方法优秀课件
bf(x)dxf(x)(ba) a
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得
---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f(x)f(a)f'(x)x (a)(x[a,b])
T(f)baf(a)f(b)
2
Tn
n1
Ik
k 0
n1 k 0
h 2
f
(xk
)
f (xk1)
Tn(f)h 2f(a)2k n 1差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x 1/2
x 3/2
x k 1/2
x n1/2
…
…
x0
x1
x2 xk
2
5.1 插值型求积公式
梯形公式误差
广义积分中值定理 若f在[a, b]上连续，g在[a, b]上可积，且g(x)在[a, b]
上不变号，存在x, x∈[a, b]，使
bf(x)g(x)dxf(x)
b
g(x)dx
利用这一定理
a
a
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
xk+1 xn-1
xn
Tnkn10Ikkn10h2f(xk)f(xk1) Tn
n1 k 0
Ik
n1 k 0
h 2
f
(xk )
f
(xk1)
Tn(f)h 2f(a)2kn 1 1f(xk)f(b)
I k k f(x) L1(x)axbbf(xa)L b1x(x)aafx(b)bbf(a)h 4 bxaaf(b) h 4 f x fk x k fx k 1 2 /2 f x h 4 k 1 f/2 x k 1 /2 f f x k x 1 k 1
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得
---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f(x)f(a)f'(x)x (a)(x[a,b])
T(f)baf(a)f(b)
2
Tn
n1
Ik
k 0
n1 k 0
h 2
f
(xk
)
f (xk1)
Tn(f)h 2f(a)2k n 1差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x 1/2
x 3/2
x k 1/2
x n1/2
…
…
x0
x1
x2 xk
2
5.1 插值型求积公式
梯形公式误差
广义积分中值定理 若f在[a, b]上连续，g在[a, b]上可积，且g(x)在[a, b]
上不变号，存在x, x∈[a, b]，使
bf(x)g(x)dxf(x)
b
g(x)dx
利用这一定理
a
a
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
xk+1 xn-1
xn
Tnkn10Ikkn10h2f(xk)f(xk1) Tn
n1 k 0
Ik
n1 k 0
h 2
f
(xk )
f
(xk1)
Tn(f)h 2f(a)2kn 1 1f(xk)f(b)
I k k f(x) L1(x)axbbf(xa)L b1x(x)aafx(b)bbf(a)h 4 bxaaf(b) h 4 f x fk x k fx k 1 2 /2 f x h 4 k 1 f/2 x k 1 /2 f f x k x 1 k 1
有限元分析及应用第五章_第二部分
其中系数
∫ Cm
=
2m + 2
1
1 −1
Lm
(
x)q(
x)dx
特别，对于 n 次多项式 Pn(x)有
４、一维情况
n
∑ Pn (x) = Cm ⋅ Lm (x) m=0
设需要计算积分
1
I = ∫ f (x)dx −1
我们可以取 x1=0 为积分点（图 5-2４(a)），以常量 f(0) 代替 f(x) 进行积分，作为Ｉ的近似值
−1
−1
−1
−1
Rn−1 (x)为 n-1 阶多项式，因此仅需 n 个样点及其样点值即可精确重构该多项式，进而给出
精确的积分值，若取 Ln (x) 的 n 个零点为积分样点，则
( ) ( ) P2n−1 xi = Rn−1 xi (i = 1 ~ n)
结论：用 n 个 Legendre 多项式的零点作为积分样点，式(5-5-1)可以给出精确的积分值，这
)
根
x1、4 = m
15 + 120 , 35
x2、3 = m
15 − 120 35
L0=1
L1=x
L2
L3
1
1
x
x
x1
x2 x
x
-1
1 -1
1 -1
1 -1
1
-1/2
图 5-23
第 2 页 共 14 页
有限元分析与应用
霍战鹏
一般 n 阶 Legendre 多项式的定义为
Ｌ n
(x)
=
2
1 n⋅
n!
L２( x)
=
3 2
(x2
−
1) 3
第五章_形函数与等参单元
；
m i边：Li 0
（iv） 根据面积坐标的定义，不。难看出，在平行jm边的直线上的所有各点，
都有相同的Li坐标，并且这个坐标就等于“该直线至jm边的距离”与“结点i至 jm边的距离”的比值。图中示出了Li的一些等值线。
4
3 面积坐标和直角坐标之间的关系 三角形Pjm的面积是
1x
Ai
1 2
1
xj
6
将式（5-6）求逆，可得到
1 x
ai aj
bi bj
ci cj
Li Lj
y am bm cm Lm
同理有
x xi Li x j L j xm Lm y yi Li y j L j ym Lm
以及
Li L j Lm 1
以上三式就是面积坐标与直角坐标之间的变换公式。设Li、Lj为独立变量，则
对于三角形单元，用面积坐标代替一般的直角坐标，不仅可以简化应力矩
阵、刚度矩阵和载荷矩阵等的运算，而且它不随三角形单元形状和方位改变，
对于计算机的应用也十分有利。
如图所示的三角形单元ijm，任意一点P ( x , y )的位置，可以用如下三个比
值来确定
Li
Ai A
Lj
Aj A
Lm
Am A
（5-1）
m 0, 0,1
（5-2）
Li L j Lm 1
（5-3）
（ii）三角形的三个顶点处
结点i处：Li 1 , Lj 0 , Lm 0
结点j处：Li 0 , Lj 1 , Lm 0
结点m处：Li 0 , Lj 0 , Lm 1
（iii）三角形的三条边上
i j边：Lm 0 （Am 0)
j - m边：Li 0
数值积分方法课件
热力学分析
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
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i
x
Ni
x
Se i
E1 1 12
1
N i x
1
2
1
N i y
1
N i y
N i y
1 1 2
N i x
i 1,,4
三、单元刚度矩阵
K e hB eTD B edx h d1y 1B eTD B eJdd 1 1
e
体力的等效结点力：
Fb eh 11
N 1 eT
L 1 , L 2 , L 3 ,L 4 1
J
x y
N i
N i
x
N
i
J
1
N
i
y
x
J
y N1
N2
N3
N4
x1 x2
y1 y2
x y N1
N2
N3
N4xx34
y3 y4
y
J 1
1 J
x
y
x
(2) 体积微元和面积微元之间的变换
y
x
z
dVddd
d
x
di y
d
j
z
dRx i
N3
N3
N4xx12 N 4xx43
y1 yyy432J
N
i
x
Be i
LN
e i
0
N
i
y
0
N i
y
N
i
x
N i N i
N
i
J
x N i
i 1,,4
y
Ni 1 41i1i i 1,,4
y
J 1
1 J
x
y
x
N i
N i
e L u e B ee B 1 e B e 2 B 3 e B e 4 e
x
L
0
y
B e 的子块应是：
0
y
x
N
i
x
Be i
LN
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0
N
i
y
0
N i
y
N
i
x
i 1,,4
Ni 1 41i1i i 1,,4
N
i
0
x
Be i
LN
e i
0
N i y
1
f
Jdd
面力的等效结点力：Feqh11NeT f
(x)2(y)2d
(
1边）
y2
1
xi,yi i,i 2 0
1
4
3
x
3
4
四边形单元
母单元
5.2 等参元的概念和单元矩阵的变换
一、等参元的概念
坐标变换:
x
m
N i x i
i= 1
y
m
N i y i
i= 1
m
z N i z i
i= 1
x
N
i
J
1
N
i
y
N i
N i
x
N
i
J
1
N
i
y
算Be 与 S e
N i
N i
x
N
i
J
1
N
i
y
i 1,,4
N
i
x
B
e i
0
N
i
y
0
N i
y 是ξ、η的函数。i 1,,4
N
y
j
z
Rd
d
x di
y dj
z dRx i
y
j
z Rd
d
x
di y
d
j z
dRx
i y
j z
Rd
(2) 体积微元和面积微元之间的变换 dVd dd
d
x
di
y
d
j
z
dRx
i
y
j z
Rd
d
x di y dj
z dRx i
y
j
z Rd
d
x
di y
位移场函数:
u
n
N iu i
i= 1
n
v N iv i
i= 1
n
w N i w i
i= 1
m n , N i N i mn mn
等参元或同参元
超参元 次参元
1.一维单元的平面坐标变换
y1
2 y 1 3
1
2
x
3 1
2.二维单元的平面坐标变换
y
y
2 y 1 2 3 4
2
4
2
1
x
3
x
d
j z
dRx
i y
j z
Rd
x y z
dv
x
y
z
d dd
J
d dd
体积微元
x y z 的变换源自(2) 体积微元和面积微元之间的变换
y
x
z 设 C ，ξ面上 因为： dAdSdd
1
d A d Sd d C y z z y 2 z x x z 2 x y y x 2 2d d
母单元
子单元
x
x
3.二维单元的平面坐标变换
子单元
母单元
二、等参元的单元矩阵变换
Ke BeTDBe dv Ve
Fbe NeTf dv Ve
Fqe NeT f dS Se
① 计算用局部坐标表示的形函数 Ni(,,) 对整体坐标 的(x,y,z)偏导数；
② 将整体坐标系中的体积（面积）积分转换为在局部坐 标系中的体积（面积）积分；
第五章 等参元和数值积分
5.1 任意四边形单元
y2
1
2
1
4
3
x
0
3
4
四边形单元
母单元
u12x3y4xy
v56x7y8xy
对任意一个四边形单元，只要恰当选择单元自然坐标ξ、
η，就得到在ξ、η域的正方形单元。称ξ、η域的正方
形单元为母单元。
这个变换要实现一点到一点的对应，例如，对角点。
xi,yi i,i
③ 用数值积分计算出Ke, Fbe, Fqe。
Keh1 1BeTD BeJdd 11
N
i
x
Be i
LN
e i
0
N
i
y
0
N i
y
N
i
x
(1) 导数之间的变换
Ni x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
Ni Z
N1
J
N1
N
1
Nm
N m
x1
y1
z1
N m
xm
ym
zm
N i
x N
y
i
J
N i
1
N
i
N i
N i
Z
平面问题
Ni
Ni
x
x
y
y
NNyxii
x y
Ni 1 41i1i
N
i
N
i
y x
i 1,,4
Ni
Ni
x
x
y
y
NNyxii
x y
J
x y
N i N i
N
i
J
x N i
i 1,,4
y
x
4
N ixi
1 4
y
N iyi
1
x
x
yyN N 11
N2
N2
A d d
面积微元
在η、ζ面上也类似。
的变换
平面问题
y
x
N1
d A ddJdd J N1
N Nm mxxm 1
yym 1JJ1211
J12 J22
在 C 的曲线上（坐标线）的弧微分 dsd dd
dS x2 y2d
(3) 面积坐标与整体坐标之间的变换
1. 体积坐标(面积坐标)不完全独立
L1L2L3L41 (L1L2L31)
5.1 任意四边形单元
y2
1
xi,yi i,i 2 0
1
4
3
x
3
4
四边形单元
母单元
一、 坐标变换
坐标变换: 位移场函数:
4
x
1 4
N ixi
y
1
N iyi
u
4
1 4
N iu i
v
1
N ivi
或记为矩阵形式: ue Ne ae
Ni 1 41i1i i 1,,4
二、单元应变与应力