第五章 等参元和数值积分PPT课件

Ni 1 41i1i
N
i
N
i
y x
i 1,,4
Ni
Ni
x
x
y
y
NNyxii
x y
J
x y
N i N i
N
i
J
x N i
i 1,,4
y
x
4
N ixi
1 4
y
N iyi
1
x
x
yyN N 11
N2
N2
d
j z
dRx
i y
j z
Rd
x y z
dv
x
y
z
d dd
J
d dd
体积微元
x y z
的变换
(2) 体积微元和面积微元之间的变换
y
x
z 设 C ，ξ面上 因为： dAdSdd
1
d A d Sd d C y z z y 2 z x x z 2 x y y x 2 2d d
N3
N3
N4xx12 N 4xx43
y1 yyy432J
N
i
x
Be i
LN
e i
0
N
i
y
0
N i
y
N
i
x
N i N i
N
i
J
x N i
i 1,,4
y
Ni 1 41i1i i 1,,4
y
J 1
1 J
x
yபைடு நூலகம்
x
N i
N i
i
x
Ni
x
Se i
E1 1 12
1
N i x
1
2
1
N i y
1
N i y
N i y
1 1 2
N i x
i 1,,4
三、单元刚度矩阵
K e hB eTD B edx h d1y 1B eTD B eJdd 1 1
e
体力的等效结点力：
Fb eh 11
N 1 eT
J
x y
N i
N i
x
N
i
J
1
N
i
y
x
J
y N1
N2
N3
N4
x1 x2
y1 y2
x y N1
N2
N3
N4xx34
y3 y4
y
J 1
1 J
x
y
x
(2) 体积微元和面积微元之间的变换
y
x
z
dVddd
d
x
di y
d
j
z
dRx i
1
f
Jdd
面力的等效结点力：Feqh11NeT f
(x)2(y)2d
(
1边）
y2
1
xi,yi i,i 2 0
1
4
3
x
3
4
四边形单元
母单元
5.2 等参元的概念和单元矩阵的变换
一、等参元的概念
坐标变换:
x
m
N i x i
i= 1
y
m
N i y i
i= 1
m
z N i z i
i= 1
Ni
x
y
z
Ni z
Ni Z
N1
J
N1
N
1
Nm
N m
x1
y1
z1
N m
xm
ym
zm
N i
x N
y
i
J
N i
1
N
i
N i
N i
Z
平面问题
Ni
Ni
x
x
y
y
NNyxii
x y
母单元
子单元
x
x
3.二维单元的平面坐标变换
子单元
母单元
二、等参元的单元矩阵变换
Ke BeTDBe dv Ve
Fbe NeTf dv Ve
Fqe NeT f dS Se
① 计算用局部坐标表示的形函数 Ni(,,) 对整体坐标 的(x,y,z)偏导数；
② 将整体坐标系中的体积（面积）积分转换为在局部坐 标系中的体积（面积）积分；
5.1 任意四边形单元
y2
1
xi,yi i,i 2 0
1
4
3
x
3
4
四边形单元
母单元
一、 坐标变换
坐标变换: 位移场函数:
4
x
1 4
N ixi
y
1
N iyi
u
4
1 4
N iu i
v
1
N ivi
或记为矩阵形式: ue Ne ae
Ni 1 41i1i i 1,,4
二、单元应变与应力
第五章 等参元和数值积分
5.1 任意四边形单元
y2
1
2
1
4
3
x
0
3
4
四边形单元
母单元
u12x3y4xy
v56x7y8xy
对任意一个四边形单元，只要恰当选择单元自然坐标ξ、
η，就得到在ξ、η域的正方形单元。称ξ、η域的正方
形单元为母单元。
这个变换要实现一点到一点的对应，例如，对角点。
xi,yi i,i
③ 用数值积分计算出Ke, Fbe, Fqe。
Keh1 1BeTD BeJdd 11
N
i
x
Be i
LN
e i
0
N
i
y
0
N i
y
N
i
x
(1) 导数之间的变换
Ni x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
y
j
z
Rd
d
x di
y dj
z dRx i
y
j
z Rd
d
x
di y
d
j z
dRx
i y
j z
Rd
(2) 体积微元和面积微元之间的变换 dVd dd
d
x
di
y
d
j
z
dRx
i
y
j z
Rd
d
x di y dj
z dRx i
y
j
z Rd
d
x
di y
L 1 , L 2 , L 3 ,L 4 1
x
N
i
J
1
N
i
y
N i
N i
x
N
i
J
1
N
i
y
算Be 与 S e
N i
N i
x
N
i
J
1
N
i
y
i 1,,4
N
i
x
B
e i
0
N
i
y
0
N i
y 是ξ、η的函数。i 1,,4
N
A d d
面积微元
在η、ζ面上也类似。
的变换
平面问题
y
x
N1
d A ddJdd J N1
N Nm mxxm 1
yym 1JJ1211
J12 J22
在 C 的曲线上（坐标线）的弧微分 dsd dd
dS x2 y2d
(3) 面积坐标与整体坐标之间的变换
1. 体积坐标(面积坐标)不完全独立
L1L2L3L41 (L1L2L31)
e L u e B ee B 1 e B e 2 B 3 e B e 4 e
x
L
0
y
B e 的子块应是：
0
y
x
N
i
x
Be i
LN
e i
0
N
i
y
0
N i
y
N
i
x
i 1,,4
Ni 1 41i1i i 1,,4
N
i
0
x
Be i
LN
e i
0
N i y
位移场函数:
u
n
N iu i
i= 1
n
v N iv i
i= 1
n
w N i w i
i= 1
m n , N i N i mn mn
等参元或同参元
超参元 次参元
1.一维单元的平面坐标变换
y1
2 y 1 3
1
2
x
3 1
2.二维单元的平面坐标变换
y
y
2 y 1 2 3 4
2
4
2
1
x
3
x