一类具有脉冲的中立型时滞微分方程正周期解的存在性

１９ ９７年 ， ｉ 利用 Ｍａ ｉ 续定 理 ， 论 了～ 类 具 常 时滞 的周 期 系 数 的 中立 型 泛 函微 分 方 程 ．０ １年 ， Ｌ Ｊ ｗｈｎ连 讨 ２０ Ｆｎ ［ 讨 论 了方程 （ ）并且 对 文献 ［］中公 开 问题 给出 了解答 ．０ ３年 ，ｕ６研 究 了如 下方 程 正周 期解 的 ａｇ５ ］ ２， ３ ２０ Ｌ［ ］
ｚ（ （ｋ ￡ ）一 ｔ）： ｌ（ ｎ １十Ｊ ） ｃ ， ２
即
、
￡：
∈ Ｎ．
‘） ４
收稿日期 ：０ ９—０ ２０ ３—１ ０
基 金项 目： 湖南省教育厅 ２０ 年科技项 目（６ ０ ２ ； ０６ ０ Ｃ ４ ） 湖南工学院 ２ ０ 年科研项 目（ Ｙ ８ ２ ） ０８ Ｈ ０ ０ ６ 作者简 介： 盛洁波 （９ ９ ， ， １ ６ 一） 女 湖南人 ， 讲师 ， 主要研究方 向： 微分方程 ．
பைடு நூலகம்
一
类具有脉冲 的中立型 时滞微分方程正周期解 的存在性
盛 洁波 陈福 来２ ，
（． １湖南工 学院 基础课教学部 ， 湖南 衡阳 ４ １０ ；． ２０ ２ ２ 湘南学 院 数学系 ， 湖南 郴州 ４３０ ） ２ ０ ０
摘 要 ： 一个实际生态系统， 常受到周围环境 变化 以及人类活动的影响 ， 因而在 生态系统建模 中应 该考虑脉冲的存在 ． 现有的研究过 多局限在具有常时滞的周期 系统的中立型泛函微分方程， 对具有 脉 冲的 中立型 时滞微 分方程 模 型研 究较 少． 本文利 用 重合度理 论 ， 究 了一类 具有脉 冲 的 中立型 时 研
—
１］本文利用重合度理论 ， ３． 讨论方程（ ） １ 的正周期解的存在性。
１ 预 备 知 识
令 Ｎ（ ） ｅｐ （ ）（ ） ｔ ＝ ｘ ｘ ｔ ，１ 式可变为 ：
ｆ （）＝口 ￡ 一ｐ ￡ ￡一６ ｚｅ（ ｒ ～ｃ ｔｅ（ ｒｔｘ（ —ｒ（）， ≠ ｔ， ｚ （） （） ） （ ｔ １） （）Ｘｔ ２） ＂ｔ ２￡）￡ （ － （） － （）
【 ￡ ）＝ （ Ｎ（毒 １＋ｈ ） ｔ） Ｎ（ ， ｔ＝ ｔ， ｋ∈ Ｎ． 式 中 （ ）卢 ｔ 、 （ ）ｃ ｔ 、 （ ） 连续 的周期 为 ∞的 函数 ， ａ ｔ ≥ ０ 卢 ｔ ≥ ０ ｂ ｔ ≥ ０ ｃ ｔ ≥ ０ ｔ、 （ ）ｂ ｔ 、（ ） ｔ 为 且 （） ，（） ，（） ，（ ） ，
第３ ３卷 ２期 ２ ０年 ３月 ０１
自然科学版） ｎ Ｊｕｎ安ｏ ｎ ｕ ｏｍａ Ｕｎ报ｒｉ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ） ｏ ｒａ ｆＡ师 范 大 学 ｉｅｓｙ（ ｔｒｌ ｅ ｅ ｌ 徽 ｈ ｉ ｒ ｌ学 ｖ （ Ｎ ｔ ｃ
Ｖｌ．３Ｎｏ ２ ０ ３ ． １
Ｍａ ｒ．２０ １ ０
引 言
讨 论一 类具有 脉 冲 的 中立 型 时滞微 分 方程模 型 ：
＿ Ｔ Ｎ￡口）ｆ）（一（Ｎｔ ｒ ） ｃ）（ ｒ ），≠ｋ 』 （［ 一（Ｎｔ ｂ）（ １ ） （Ｎ 一２ ） ￡ ｔ ｒ ７ ＾ ）（ ｌ ） ｔ — （ 一 ￡ （ ］ ｔ ．
ｒ １ 、
其中 ｃ（ ） 。￡ ＝
，
ｔ ｔ忌 ＝ ｋ Ｅ Ｎ． ，
． 为了讨论方便起见 ， 首先引入一 函数空间 Ｐ 定义为 ：ｃ ＝Ｐ （一 ｏ ， Ｃ， Ｐ ｃ Ｅ ，ｌＲ ）
｛ ： ＿ ０ 一 Ｒ ， （） ［ ，］ ” 声 ｔ 是一连续 函数 ， ≠ ｔ， ｆ ） ） ｔ （ 、 （ 存在 ， 并且 （ｋ ＝ ９ ￡ ）忌Ｅ Ｎ｝这里 ＝ ｔ） ｌ ｉ ， ， （
３ 卷第 ２期 ３
盛洁波 ， 陈福来 ： 一类具有 脉冲 的中立 型时滞微分方程正周期解 的存在性
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ｆ （） ０￡ ｔ ２） ＝ （） （） 一６ ｆ ‘ ＋ｃ （） （ ｒ ” ≠ ｔ， ［ ￡ ＋ｃ（） － （’ 一 ￡ ） （） 一 ｚ （ ￣ ］ （ ‘ ＂ ｔｅ ｔ ２ ， ０ ｘ－‘ ｋ ｌ ） （ ） ｎ１ ， （ｊ 一ｚ ｔ ＝Ｉ ＋ｈ） （
滞微 分 方程模 型 ， 到 了其 周期 解存 在 的充 分条件 ． 得 关键 词 ： 中立型 ； 时滞 ； 冲 ； 脉 周期 解 ； 重合 度理 论 中图分类 号 ： ７ ．４ Ｏ１５ １ 文献标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ：０ １ ４ ３２ １ ）２—０ １ １０ —２４ （０ ００ １６—０ ５
存 在性 问题 ．
ｄＮ
＝Ｎ ￡［（） ｆｔ （） （） ￡一 （ Ｎ ｔ一∑ ｂ ｔ （ 一 （）一∑ Ｃ ￡Ｎ ￡ ｒ ￡） （ 口 ｌ） ｉ ） ｔ ￡） （Ｎ ｉ ）（一 ） ． ３ （ （ ］ ）
上述研究的问题都没有考虑脉冲． 但是 ， 一个实际的生态系统 ， 常受到周围环境变化 以及人类活动的影响 ， 因 而在生态系统建模 中我们应该考虑脉冲， 这样 比较符合实际． 脉冲微分方程的相关理论 ， 读者可参考文献［ ７
（ ） ０ ｒ ｔ ＜ ｌｉ＝ １２ ． 这些 参 数 的生态 学解 释 ， ｔ ≥ ， （） （ ，）对 读者 可 以参考 文献 ［ —２ ．ｔ｝ ｌ １ ］ ｛ 满足 ｔ ＜ ｔ ｏ １ ＜ … ＜ ｔ ｔ＋ ＜ … 且 ｔ ｋ＜ 女ｌ ｌ ＝＋Ｏ ｉ Ｏ条件 ， 存在一 个正 整数 ， 则 使得 ：ｔ｝ ｌ ［， ｛ ０ ∞］： ｛１ｔ， ， ｎ ｔ，２… ｔ ， ＝ ｔ＋ ． ｝ｔ＋ ｈ 满足 一１ ｈ ≤ ０ ｈ＋ ＝ ｈ ， Ｎ ． ａｇ 于 １９ 年提 出 了一个 公开 问题 （ ｅ ＜ ，＾ ｋ∈ Ｋｕｎ ［ ］ ９３ Ｏｐｎ ｐｏｌ ９ ２ ， 且 得到 了下 列微 分方 程正 周期 解 存在性 的充 分条 件 ． ｒｂｅ ．）并 ｍ ＝ Ｎ（ ［ （ ） ￡ ｂ ｔＮ （ ）岔（）一 ￡ Ｎ（）一 （ ） ￡一ｒ ） ｃ ￡Ｎ ｆ—ｒ ￡） ． （ ）一 （ ） （ （）］ （） ２