微分方程的积分因子求解法

常微分方程的积分因子求解法

内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法,并推广到较一般的形式。

关键词: 全微分方程,积分因子。

一、 基本知识

定义1、1 对于形如

0),(),(=+dy y x N dx y x M (1、1) 的微分方程,如果方程的左端恰就是x ,y 的一个可微函数),(y x U 的全微分,即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+,则称(1、1)为全微分方程、

易知,上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , (C 为任意常数)、

定理1、1 (全微分方程的判别法)设),(y x M ,),(y x N 在x ,y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数,则(1、1)就是全微分方程的充要条件为

x

y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( (1、2) 证明见参考文献[1]、

定义1、2 对于微分方程(1、1),如果存在可微函数),(y x μ,使得方程

),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ (1、3)

就是全微分方程,则称),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子、

定理1、2 可微函数),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子的充要条件为

x

y x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( (1、4) 证明:由定理1、1得,),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子的充要条件为 x

y x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ, 展开即得:

x y x y x N ∂∂),(),(μ-y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y

y x M μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂、 上式整理即得(1、4)、 证毕 注1、1 若),(y x μ0≠,则(1、3)与(1、1)同解。所以,欲求(1、1)的通解,只须求出(1、3)的通解即可,而(1、3)就是全微分方程,故关键在于求积分因子),(y x μ。

为了求解积分因子),(y x μ,必须求解方程(1、4)。一般来说,偏微分方程(1、

4)就是不易求解的;但就是,当),(y x μ具有某种特殊形式时还就是较易求解的。

二、特殊形式的积分因子的求法

情况1 当),(y x μ具有形式)(x μ时,方程(1、4)化为

dx

x d y x N )(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),(, 即

dx x d )(ln μ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 于就是得到: 定理2、1 微分方程(1、1)具有形如)(x μ的积分因子的充要条件为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 只就是x 的连续函数, 不含y 、 此时易得, dx x y x N y y x M y x N e

x ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(1)(μ、

类似地

定理2、2 微分方程(1、1)具有形如)(y μ的积分因子的充要条件为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M ),(),(),(1 只就是y 的连续函数, 不含x 、 并且, dy x y x N y y x M y x M e y ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-),(),(),(1)(μ、

例2、1 求0)]()([=+-dy dx x q y x p 的通解、

解: 因 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1=)(x p , 故 ⎰=dx x p e x )()(μ、 方程两边同乘以⎰

=dx x p e x )()(μ得 ⎰dx x p e )(0)]()([)(=⎰+-dy e dx x q y x p dx x p , 即⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰-⎰⎰dx e x q ye d ds s p dx x p )()()(0=, 故通解为⎰⎰-⎰dx e x q ye ds s p dx x p )()()(=C , 即⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-dx e x q C e y ds s p dx x p )()()(,(C 为任意常数)、 情况2 如果(1、1)具有形如)(y x ±μ的积分因子, 令y x z ±=, 则)(y x ±μ =)(z μ、 由(1、4)得

dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1 , 于就是得到:

定理2、3 微分方程(1、1)具有形如)(y x ±μ的积分因子的充要条件为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1 只就是y x z ±=的连续函数, 此时积分因子为

dz x y x N y y x M y x M y x N Ce y x z ⎰=±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(),(1)()( μμ, (C 为任意非零常数)、 例2、2 求 0)32()32(32233223=-+++-++dy x x xy y dx y y y x x 的积分因子、

解: 因 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1 =y x +-2 故方程具有形如)(y x +μ的积分因子, 取1=C 得,)(y x +μ⎰=++-)(2y x d y x e

=2)(1y x +、 情况3 如果(1、1)具有形如)(xy μ的积分因子, 令xy z =, 则)(xy μ=)(z μ、 由(1、4)得