高三数学暑假作业 计数原理

一 基础再现

考点91分类加法计数原理

考点92分步乘法计数原理

考点93排列与组合

1．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）

2．A ，B ，C ，D ，E 五种不同商品要在货架上排成一排，其中A ，B 两种商品必须排在一起，而C ，D 两种商品不能排在一起，则不同的排法共有 种

3．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在加另外两位前面。不同的安排方法共有 种

4．按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？

（1）平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）平均分成三份，每份2本；

（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（4）甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；

考点94二项式定理

5．（北京卷理）若231n x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）

6．在()5232x x ++的展开式中2x 的系数为

7．（福建卷理13）若(x -2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________.(用数字作答)

8．838386+被49除的余数是

9．已知*()(12)(14)(,)m n f x x x m n N =+++∈的展开式中含x 项的系数为36，则展开式中含2

x 项的系数最小值为

二 感悟解答

1．答案：1221106106150270420C C C C +=+= 点评：本主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理

2．答案：共有222

232A A A =24种。

点评：相邻元素用捆绑法，不相邻元素用插空法。

3．答案：3

52C =20

点评：本题主要考查有限制条件的排列组合问题，应先选后排

4．答案：(1) 222642C C C =90 (2) 2226423315C C C A = (3) 123

653C C C =60

(4) 12336533C C C A ＝360

点评：本题主要考查平均分组与平均分配，注意两者的区别：分组是组合问题，而分配是排列问题

5．答案: 5 10

点评：本题中展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，常数项为展开式中的特定项，直接用通项公式 6．答案：化为

551)(2)x x ++（后，利用通项公式或组合知识求解。800 点评：本题主要考查转化思想，转化为二项式求解

7．答案：令54321011x a a a a a a =+++++=-得，令0x =得0032x a ==-得 所以 5432131a a a a a ++++=

点评：赋值法求系数和

8．答案：35

点评：本题考查二项式定理的应用，把8写成7+1，6写成7-1，然后用二项式定理展开

9．答案：m+2n=18, 2x 项的系数为222222242288m n C C m m n n +=-+-，然后消元转化为二

次函数最值，注意*

,m n N ∈，结果为272此时n=5，m=8

点评：本题是二项式定理与条件最值的综合题

三 范例剖析

例1 五个人排成一排，按下列要求分别有多少种排法？

（1）其中甲不站排头；

（2）其中甲不站排头，乙不站排尾；

（3）其中甲、乙两人必须相邻；

（4）其中甲、乙两人必须不相邻；

（5）其中甲、乙中间有且只有一人；

（6）其中甲必须排在乙的右边

例2 已知22)()n n N x

*∈的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是10:1, 1)证明展开式中没有常数项； 2)求展开式中含3

2x 的项；

3)求展开式中所有的有理项；

4)求系数最大的项.

变式：如果x ＋x 2＋x 3＋……＋x 9＋x 10＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋……＋a 9(1＋x )9＋a 10(1＋

x )10，则a 9＝_______

例3 求5(21)x -的展开式中

（1）各项系数之和；

（2）各项的二项式系数之和；

（3）偶数项的二项式系数之和；

变式：(1)求5(21)x -的展开式中各项系数的绝对值之和；

(2)求5(21)x -的展开式中奇次项系数之和．

四 巩固训练

1．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．

2．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________________种。

3．()()34

121x x +-展开式中2x 的系数为_______________。 4．已知231(1)n

x x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝

⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______． 5．已知(

n x 的展开式中前三项的系数成等差数列． （Ⅰ）求n 的值；

（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．