数列放缩篇(万能的数列放缩法——数学归纳法)

万能的数列放缩法——数学归纳法无穷等比放缩关注两点

1、通项呈指数形式增大或减少；

2、无法通过裂项放缩

数学归纳法标准三部曲

第一步：验证首项1

n成立

=

第二步：假设当k

n=时成立

第三步：证明当1

=k

n时也成立

+

什么时候使用归纳放缩？

1、递推式；

2、矛盾式；

3、求和式；

例1、（全国卷）设数列}{n a 满足，121+-=+n n

n na a a ， ,3,2,1=n （1）当21=a 时，求}{n a 的一个通项公式。

（2）当31≥a 时，证明对所有的11≥a ，有（i ）2+≥n a n ; （ii ）

2

111111111321≤++++++++n a a a a ;

例2（2018年浙江）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121•++∈=-+N n a a a n n n ．

记n n a a a S +++= 21．)

1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

． 求证：当•∈N n 时， （Ⅰ）1+n S n ；（Ⅲ）3

例3、（全国卷）求证：2

)2()1(32212)1(+<+•++•+•<+n n n n n n

A a f a f a f n <++)()()(21 )()()()(21n g A a f a f a f n •<++ 如何求)(n g

（1）)1()1(g A f •<

（2）)1()()()1(+-<-+n g n g n f n f

例4、求证：

89131212111<+++++++n n n n