格林公式·曲线积分和路线的无关性
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
17-1格林公式及曲线积分与路径无关的条件
第十七章 各类积分的联系回顾:一元函数积分学:)()()('a F b F dx x F ba -=⎰§17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件一、格林公式概念:单连通区域, 复连通区域; 正向;格林定理:设闭区域2R D ⊂,是由有限多条分段光滑的闭曲线Γ所围成. 函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具连续的一阶偏导,则有 σd yPx Q Qdy Pdx D)(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰Γ(格林公式) 其中Γ是取正向记: 图示 光设D(既是X 型又是Y 型)即穿过区域D 内部且平行于坐标轴的直线与D 的边办曲Γ的交点恰两点.设D:b x a ≤≤, )()(21x y x ϕϕ≤≤()()[]dx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y Pb a b a x x D⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂)(,)(,),(12)()(21ϕϕϕϕ ()()()()[]dxx x P x x P dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx baa bb a⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+=+=ΓΓΓ)(,)(,)(,)(,212112ϕϕϕϕ 因此 ⎰⎰⎰Γ=∂∂-Pdx dxdy yPD设D:d y c ≤≤ )(2)(1y y x ϕϕ≤≤ 类似可证 ⎰⎰⎰Γ=∂∂DQdy dxdy xQ即得格林公式例1:计算曲线积分ydx x dy xy 22-⎰ΓΓ:(1)222a y x =+ 逆时针(2)222a y x =+ 上半部分,x 轴,逆 解:y x P 2-= 2xy Q +=2x y P -=∂∂ 2y xQ=∂∂ 由Green 公式 (1)u a dr r d d x y ydx x dy xy aD-=⋅=+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ420322222)(πθσπ计算曲线积分(2)403022224)(a dr r d d x y ydx x dy xy aDπθσπ==+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ例2:计算椭圆12222=+by a x 所围面积A.解: Γ:常数方程 t a x cos = t b y sin = []ab dt t a t b t b t a ydx xdy A ππ=-⋅-⋅=-=⎰⎰Γ20)sin (sin cos cos 2121 例3:计算⎰Γ+-=22y x ydxxdy I ,其中Γ是(1)使所含区域D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解:22y x y P +-= 22y x x Q += 22222)(y x x y y p x +-=∂∂=∂∂θ (1) 满足Green Th 连续条件 ⎰⎰⎰==+-=ΓDd y x ydxxdy I 0022σ(2) 不满足Green Th 连续条件选取适当小的0>ε,作圆周 :222ε=+y x (使 全部含于Γ所围区域) 记 +Γ围成D, 于是在1D 内, 格林公式成立 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++ΓΓΓ=-=+==001D d σ 故⎰⎰+-=+-Γ 2222y x ydxxdy y x ydx xdy 法一:右式πθθθθεθεπ2)sin (cos 2sin ,cos 202=+==========⎰d y x 学数方程法二:右式⎰⎰⎰≤+=⋅==-=222221122επσεεy x G d ydx xdy公式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分⎰Γ+Qdy Qdx 与路径无关:⎰⎰ΓΓ+=+12Qdy Pdx Qdy Pdx图示 (且公与B A y y ,有关)定理:),(),,(y x Q y x P 和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价. (1)xQ y P ∂∂=∂∂ D y x ∈),( (2)⎰Γ=+0Qdy Pdx D ∈Γ 分段光滑闭曲线(3)积分⎰Γ+ABQdy Pdx 在D 内与路径Γ无关,公与A,B 位置有关(4)存在单值函数),(y x u u =, D y x ∈),( 使它全微分 Qdy Pdx dy y u dx x u du +=∂∂+∂∂=即P xu =∂∂ Q y u =∂∂ 证明:同证)2()1(⇔, )3()2(⇔ 下证)1()4(⇒, )4()3(⇒, )1()4(⇒ 存在函数),(y x u 使 dy y x Q dx y x P du ),(),(+= 则),(y x P xu=∂∂ ),(y x Q y u =∂∂ 于是 y P y x u ∂∂=∂∂∂2 x Qx y u ∂∂=∂∂∂2 由条件 xy uy x u ∂∂∂=∂∂∂22 (连续) 故xQ y P ∂∂=∂∂ )4()3(⇒曲线积分⎰Γ+ABQdy Pdx 仅与 ),(00y x A ,),(y x B 有关, 记⎰+=),(),(00),(y x B y x A Qdy Pdx y x u (说明右式是y x ,函数)下证 P xu=∂∂ Q y u =∂∂xy x u y x x u x u x ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim 0 xQdyPdx Qdy Pdx y x x y x y x y x x ∆+-+=⎰⎰∆+→∆),(),(),(),(00000limxdxy x P x QdyPdx xx xx y x x y x x ∆=∆+=⎰⎰∆+→∆∆+→∆),(lim lim0),(),(0),(),(lim ),(lim 1y x P y P xxy P x x Th 连续中值===∆∆===→→∆ξξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+=∆∆∆+===→∆→∆≤≤),(),(lim ),(lim0010y x P y x x P x x y x x P x x θθθ 同理,),(y x Q yu=∂∂ 故 Qdy Pdx dy yu dx x u du +=∂∂+∂∂=推出公式: 图示 CB AC AB +=⋂AC:0y y = 10x x x ≤≤ 0=dy CB:1x x = 10y y y ≤≤ 0=dx 曲线积分计算公式dy y x Q dx y x P Qdy Pdx Qdy Pdx y y y x B y x A x x AB),(),(11100121),(),(0⎰⎰⎰⎰+=+∆+Γ原函数计算公式C dy y y Q dx y x P C Qdy Pdx y x u yy y x y x xx Th ++=++===⎰⎰⎰),(),(),(00000),(),(0过程特D ∈)0,0( ⎰⎰++=x y C dy y x Q dx x P y x u 0),()0,(),( 可证 ),(),(),(0011),(),(1100y x u y x u y x u Qdy Pdx Qdy Pdx ABy x B y x A B A -==+=+⎰⎰Γ------曲线积分的N-2公式 例4:计算dy x xydx OA⎰Γ+22 三路径.解: 图示 xy y x P 2),(= 2),(x y x Q =xQ x y P ∂∂==∂∂2 11)002(2212102)1,1()0,0(22=+⋅+⋅=+=+⎰⎰⎰⎰Γdy x dx x dy x xydx dy x xydx OA例5:计算dy y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(22-++=⎰Γ.Γ是1)1(22=+-y x 的上半圆周.从)0,0(O 到)0,2(A解:xQ y P ∂∂=∂∂.I 值与路径无关0=⋅→y OA 0=O x 1=A x ,0=dy则⎰⎰===→242xdx I OA⎰Γ-=-=2I例6:dy x y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(221+-++=⎰Γ.Γ:例5. 解一:xQ y P ∂∂+∂∂:不能用与路径无关的相关公式. Γ非闭 :才能用Green 公式.原始方法(第二类曲线积分) 图示 ⎩⎨⎧=+=t y t x sin 1cos 几乎不可能解二:(设法满足二之一: Γ闭)x y y x y P cos 2sin 2+-=∂∂,1sin 2cos 2+-=∂∂y x x y xQ 设1Γ:(从A 到O 直线段)0,0,1,0====dy x x y O A ,则1Γ+Γ构成闭曲线,顺进针.1Γ+Γ所围闭域D:πθ≤≤0, θcos 20≤≤r由Green 公式2)(1πσσ-=-=∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰⎰Γ+ΓD Dd d y P x Q (即⎰⎰ΓΓ-=+12π)而dy x y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(221+-++⎰Γ⎰-==0242xdx故⎰⎰ΓΓ-=--==12421ππI .解三:(设法满足二之另一,xQy P ∂∂=∂∂) .cos cos 22x y y x P += 设y x x y Q sin sin 221-= x Q =221Q Q Q +=则xQ y P ∂∂=∂∂1dy Q Pdx ⎰Γ+1与路径无关.dy Q dy Q Pdx I ⎰⎰ΓΓ++=2111⎰⎰⋅++=2cos )cos 1(2πtdt t xdx24π-=例7:(得用曲线积分求)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+的原函数),(y x u . 并求⎰)2,2()0,1(.(其中Γ是从A(1,0)到B(2,2)的曲线段)解:222y xy x P -+= 222y xy x Q --= y x xQ y P 22-=∂∂=∂∂ C dy y xy x dx y xy x y x u y x +--+-+=⎰)2()2(),(222),()0,0(2C y xy y x x C dy y xy x dx x yx+--+=+--+=⎰⎰3223202023131)2(31),()2()2()2,2()0,1(222)2,2()0,1(2-==--+-+⎰y x u dy y xy x dx y xy x作业: 151P 1(1)(4) 2(已提示) 4(1) 5(2) 6(2)。
格林公式、曲线积分与路径无关的条件
定理3
设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导
数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的
充分必要条件是等式
在G内恒成立 >>>
P Q y x
原函数
如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数
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三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分
那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
L
x
dy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
0
是否一定成立？
提示: >>>
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
格林公式·曲线积分与线路的无关性
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy.
P( x, y ) Q( x, y ) . y x
(iv) 在D的每一点处, 有
由(iii)有
ux ( x, y) P( x, y), uy ( x, y) Q( x, y)
[ P( x, ( x)) P( x, ( x))]dx
b
a
AEB
P( x, y )dx
ACB
P( x, y )dx
Q( x, y)dy
ACBEA
P( x, y )dx
同理可证:
Q dxdy x D
L
(ii)
若D由一条按段光滑的闭曲线围成
u( x x , y ) u( x , y ) P ( x , y ), x 0 x lim
u( x x, y) u( x, y) ABC P ( x , y )dx Q( x , y )dy AB P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy.
B
S
与线路无关, 只与L的起点终点有关; 设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线. 由(i)
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
Pdx Qdy ) (
ASB
(
ARB
Pdx Qdy ) 0
P( x, y )dx Q( x, y )dy
BC
u( x , y y ) u( x , y ) lim Q( x , y ). y 0 y
格林公式曲线积分与路径的无关性
y
M
解 曲线 ¼ AMO 由函数 y ax x , x [0, a]
O
N A(a,0) x
图 21 17
表示, ONA 为直线 y 0 , 于是
SD
1 2
Ñ x dy
y dx
1
2
x dy y dx 1
ONA
2
¼ AMO x dy y dx
1
2
¼ AMO x dy y dx
»AB P dx Q dy
与路线的选择无关, 故当
B( x, y) 在 D 内变动时, 其
积分值是 B( x, y) 的函数, 即有
u( x, y) P dx Q dy . »AB
取 x 充分小, 使 C( x x , y) D , 则函数
u( x , y)
对于 x 的偏增量(图21-20)
值定理可得
xu
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
其中 0 1. 根据 P( x , y) 在 D 上连续, 于是有
u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
x x0 x x0
同理可证
u Q( x , y). 所以证得 y
(
x
x 1.5 0.5)2
1
dx
4arctan 0.5 2arctan 2.
注1 定理 21.12 中对“单连通区域”的要求是重要 的.如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 , 虽 然算起来很简单,但却不可用.因为任何包含 的单连通区域必定含有奇点 E . 又如本节例 2,对任 何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内 的任何封闭曲线 L 上, 皆有
ch21.3 格林公.曲线积分与路径的无关性
8
例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线 证明 是一条分段光滑的闭曲线,
∫L
2xy dx + x2 dy = 0
证: 令 P = 2xy, Q = x2 , 则
3) 可用积分法求 u = P d x + Q d y在域 D 内的原函数 可用积分法求d 在域 内的原函数: 取定点 ( x0, y0 ) ∈D及动点 ( x, y ) ∈D, 则原函数为
u ( x, y) = ∫
( x, y )
= ∫ P(x, y0 )dx +∫ Q(x, y)dy
或 u (x, y) =∫ Q(x0 , y)dy + ∫ P(x, y)dx
L
在D 内
与路径无关, 只与起止点有关(全微分式的积分 全微分式的积分). 与路径无关 只与起止点有关 全微分式的积分 (3) 的全微分, 的全微分 在 D 内是某一函数
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
即
13
证明 (1)
(2)
15
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
du = P dx + Qdy ∂u ∂u = P(x, y), = Q(x, y) ∂x ∂y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 从而在 内每一点都有 ∂P ∂Q = ∂y ∂x
16
证明 (4)
L
3
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
格林公式曲线积分与路线无关性
§3 格林公式曲线积分与路线无关性教学目的：1.掌握格林公式，理解格林公式的证明，掌握格林公式应用的特殊技巧．2.掌握曲线积分与路线无关的条件，理解曲线积分与路线无关的条件的定 理的证明，掌握曲线积分与路线无关的条件定理应用的特殊技巧． 教学重点：格林公式，曲线积分与路线无关的条件. 教学难点：格林公式应用的技巧，以及曲线积分与路线无关的条件定理应用技巧. 教学过程 一、格林公式区域边界的正方向的规定：略定理21.11 若函数()y x P ,，()y x Q ,在闭区域上连续，且具有连续的一阶偏导数，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L QdyPdx ， （1）这里是区域的边界曲线，并取正方向．公式（1）称为格林公式．证明 按区域的形状分三种情况来证明.（ⅰ）若区域既是型又是型区域（如图） 区域表示为：()()b x a x y x ≤≤≤≤,21ϕϕ， 又可表示为：()()βαψψ≤≤≤≤y y y y ,21⎰⎰∂∂D d x Q σ=()()⎰⎰∂∂βαψψy y dx x Q dy 21=()()⎰βαψdy y y Q ,2()()⎰-βαψdy y y Q ,1=()dy y x Q CBE⎰,()dyy x Q CAE⎰-, =()⎰Ldyy x Q ,，同理可证⎰⎰∂∂-Dd y Pσ=()⎰L dx y x P ,，上述两式相加即得⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L QdyPdx .（ⅱ）若区域由一条按段光滑的闭曲线围成，用几条光滑曲线将它分成有限个既是型又是型子区域，然后逐块应用（ⅰ）得到它的格林公式，并相加即可，如图中所示的情况则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ=⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+LQdy Pdx =⎰+LQdyPdx ．（ⅲ）若区域为由若干条闭曲线所围成的多连通区域，如图为例，可添加直线段EC AB ,，把区域转化为（ⅱ）的情况来处理．⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=()Qdy Pdx CGA EC L CE AFC BA L AB +⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰32=()Qdy Pdx LL L +⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎰⎰⎰231=⎰+L Qdy Pdx ．格林公式的便于记忆的形式⎰⎰∂∂∂∂Dd Q Py x σ=⎰+L Qdy Pdx ．例1 计算⎰ABxdy ，其中曲线AB 是半径为的圆在第一象限的部分． 解 半径为的圆在第一象限的部分为区域，由格林公式⎰⎰-Dd σ=⎰-Lxdy =⎰⎰⎰++BOABOAxdyxdy xdy =0+⎰+OAxdy 0=⎰OAxdy,所以⎰OA xdy =⎰⎰-D d σ=42r π-例2 计算⎰+-=L y x ydxxdy I 22，其中为任一不包含原点的闭区域的边界．解 格林公式条件满足，故=⎰+-L y x ydx xdy 22=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂D d y x x y y x y x σ2222=⎰⎰Dd σ0=0.例3 计算抛物线()()02>=+a ax y x 与轴所围的面积.解=⎰-L ydx xdy 21=⎰-AMO ydx xdy 21+⎰-ONA ydx xdy 21=⎰-AMO ydx xdy 21+0=()⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02611221a a dx x ax ax ax ． 二、曲线积分与路径的无关性单连通区域的概念：若对平面区域内的任一封闭曲线，皆可不经过以外的点而连续收缩于内的某一点，称为单连通区域．否则称为复连通区域．单连通区域 复连通区域定理21.12设是单连通闭区域．若函数()y x P ,，()y x Q ,在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：（ⅰ）对于内任一按段光滑的封闭曲线，有⎰+LQdyPdx =0；（ⅱ）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分⎰+LQdyPdx 与路线无关．只与的起点及终点有关；（ⅲ）Qdy Pdx +是内某一函数的全微分，即=du Qdy Pdx +；（ⅳ）在内处处成立x Q y P ∂∂=∂∂． 证明 （ⅰ）（ⅱ）如图⎰+ARBQdy Pdx ⎰+-ASBQdy Pdx =⎰+ARBQdy Pdx ⎰++BSAQdyPdx=⎰+ARBSAQdyPdx =0, 所以⎰+ARBQdy Pdx =⎰+ASBQdyPdx ．（ⅱ）（ⅲ）设()00,y x A 为内一定点，()y x B ,为内任意一点，由（ⅱ）曲线积分⎰+ABQdyPdx 与路线的选择无关，故当()y x B ,在内变动时，其积分值是()y x B ,的函数，即有()y x u ,=⎰+ABQdy Pdx ．取充分小，使()D y x x ∈∆+,，由于积分与路线无关故函数()y x u ,对于的偏增量()-∆+y x x u ,()y x u ,=⎰-+ACQdy Pdx ⎰+AB Qdy Pdx =⎰+BCQdy Pdx ,其中直线段BC 平行于轴由积分中值定理可得=()-∆+y x x u ,()y x u ,=⎰+BCQdy Pdx =()dx y x P xx x⎰∆+,=()x y x x P ∆∆+,θ,其中10<<θ，由()y x P ,在上的连续性x u ∂∂=()y x x P x ux x ,lim lim 00∆+=∆∆→∆→∆θ=()y x P ,.同理可证y u∂∂=()y x Q ,．因此Qdy Pdx du +=（ⅲ）（ⅳ）设存在()y x u ,，使得Qdy Pdx du +=,所以()y x P ,=x ∂∂()y x u ,，()y x Q ,=y ∂∂()y x u ,，因此y P ∂∂=y x u ∂∂∂2，x Q ∂∂=x y u ∂∂∂2,因()y x P ,，()y x Q ,在区域内有连续的偏导数，所以y x u ∂∂∂2=x y u ∂∂∂2,从而在内每一点处有y P ∂∂=x Q ∂∂．（ⅳ）（ⅰ）设为内任一按段光滑封闭曲线，记所围的区域为．由于为单连通区域，所以区域含在内．应用格林公式及在内恒有y P ∂∂=x Q∂∂的条件，就得到⎰+LQdyPdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=0. 以上证明了所述四个条件是等价的．注1：第二十章§2中的例1，因不满足y P ∂∂=x Q∂∂，故积分与路线有关，而例2中y P ∂∂=x Q∂∂满足，故积分与路线无关．注2：条件单连通区域是证明要的本节例2中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂2222y x x y y x y x =0 在除去原点的区域内是成立，但为绕原点的封闭曲线时，所围成的区域包含原点，y P ∂∂=x Q∂∂成立的区域不是单连通的，因而闭曲线积分可以不为零．事实上设为绕原点一周的圆时，：θcos a x =，θsin a y =，()πθ20≤≤,则有⎰+-L y x ydxxdy 22=⎰=ππθ202d ．若函数()y x u ,具有性质()()()dy y x Q dx y x P y x du ,,,+=,称()y x u ,为()()dy y x Q dx y x P ,,+的一个原函数.函数()y x P ,，()y x Q ,满足定理21.12时，在内的原函数可用路线积分的方法求出．例4 应用曲线积分求ydy x dx y x cos )sin 2(++的原函数.解 ()y x P ,=y x sin 2+，()y x Q ,=y x cos 在整个平面上有连续的偏导数，且y P ∂∂=x Q∂∂=y cos ,故积分与路线无关，取原点()0,0O 为起点，()y x B ,为终点，取如图的折线为积分路线，则有()ydy x dx siy x cos 2++的原函数为()⎰⎰+=xysdsx tdt y x u 0cos 2,=y x x sin 2+．图21-19作业1，2，5，6.。
格林公式及曲线积分与路径无关的等价条件
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
l
o D1
L
x
L l
2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 2 r
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
y
L
o
x
2 2 2 在 D 内作圆周 l : x y r , 取逆时 当(0,0) D 时,
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
a
b
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y
P d x Q d y R d z
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区
L D
域) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
G213格林公式曲线积分与路径的无关性
2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy 在域 D 内的原函数:
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
( x, y)
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
( x0 , y0 )
(x4 4xy3) dx (6x2 y2 5y4 )dy C
x x4 dx y (6x2 y2 5y4 ) dy C
0
0
1 5
x5
2x2
y3
y5
C
y
(x, y)
作业 P232 1 (1); 3 ; 4;
o (x,0) x
5 (1) , (3) ; 6 (2) ; 10
27
备用题 1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针
证毕 6
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如, 椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 7
例1.（补） 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2 AMO
1
xdy ydx 1
0
x(
a
1)dx ( ax x)dx
2 AMO
2 a 2 ax
a a xdx 1 a2.
第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件高等数学三年专科最新版精品课件
例3
计算曲线积分
AnO
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy .
其中AnO为由点 A(a, 0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周
x2 + y2 = ax(a > 0).
解 如果添加有向线段 OA，则 AnO + OA = L 是一条正向的封闭曲线. y 我们设由它围成的区域为 D.
AnB
Pdx Qdy AmB Pdx Qdy ,
y
因此
0.
AnBmA
Pdx Qdy
BmA
m
D B
n
AnB
Pdx Qdy
Pdx Qdy
Pdx Qdy
Pdx Qdy
O
A
AnB
AmB
x
再证充分性. AnB 与 AmB 设 A、B 是 D 内的任意两点， 是 D 内的任意两条路径. 因为对 D 内任意一条 闭曲线 C， 恒有 Pdx Qdy 0, 所以由题设有
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节
格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线
L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及
Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
( a)
( b)
定理 1
在区域 D 中，曲线积分 L Pdx Qdy
与路径无关的充要条件是：对 D 内任意一条闭曲 线 C，有
C
Pdx Qdy 0.
§4 格林(Green)公式和曲线积分与路径无关性
。
再利用例 2 的注即可求出结果。】
例 4 在格林公式中，若 P y ， Q x ，则公式变为
ydx xdy 2 D d 2D ，即
D
1 2
ydx
xdy （平面图形的面积公式）。
2
2
试用上述公式再计算星形线
x a
3
y b
3
1（a
0，b
0 ）围成的平面图形
D
的体积
D 。
【
例 1 求 x2 ydx xy2dy ，其中 ： x2 y2 R2 ， 为顺时针。
【记 P x2 y ，Q xy2 ，显然它们在以 为边界的闭圆： x2 y2 R2 上连续可微。注意
到 为顺时针，所以，由格林公式得，
x2 ydx xy2dy x2 ydx xy2dy
我们总可以选择适当垂直于 x 的直线将 D 分解成有限个 x 型区域的并集。 不失一般性，仅就 D 为图（1）的情形证明。
-3-
数学分析/第 20 章 重积分
如图示， D D1 D2 ， D1 和 D2 都是 x 型区域， D1 的边界正向为
D1 A, B B, E E , F F, A ，
数学分析/第 20 章 重积分
§4 格林（Green）公式和曲线积分与路径无关性
作为二重积分计算的应用，本节我们将建立利用二重积分来计算沿平面封闭曲线的第二 型曲线积分的一种有效方法——格林公式。
本节，具体学习两个内容： 1、建立格林公式（特点：反映了沿平面曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系。） 2、格林公式的应用。包括两个方面： 一是计算某些曲线积分和证明某些涉及曲线积分的积分等式； 二是建立曲线积分与路径无关的条件。
y)
，
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(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Qdy;
u( x, y) P dx Q dy . AB
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D1
(L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1
D2 L2
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
10
2 a x(2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
aa
4 0
xdx 1 a2 . 6
二、曲线积分与路径无关性
如果在区域G内有
者沿边界行走时,区域D总
在他的左边.
D
与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .
图 21 12
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线L 围
成,函数 P( x, y)及Q( x, y)在 D上具有一阶连
续偏导数, 则有
D
( Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
其中 L是 D的取正向的边界曲线,
AB D
4
例3
计算 L
xdy x2
ydx y2
,其中
L为任一不包含原
点的闭区域的边界线, L的方向为逆时针方向.
解 记L所围成的闭区域为D ,
令P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
y L
D
由于 x2 y2 0,
o
x
故有Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
由格林公式知
L
xdy x2
ydx y2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3. 计算平面面积
格林公式:
Q P
D
(
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
取P y, Q x, 得 2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D 的面积
A
1 2
L
xdy
ydx
.
例 4 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与x 轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
c
1 ( y) x
d
d
c Q( 2( y), y)dy c Q( 1( y), y)dy
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
L P dx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
A
证 (i) (ii) 如图 21-19, 设 ARB
公式(1)叫做格林公式.
证明(1)
若区域 D既是 X 型又 是Y 型,即平行于坐标 轴的直线和 L至多交于
两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y) Cy 1(x)
bx
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
y
Pdx Qdy L1
Pdx Qdy L2
L1 B
G
A
L2
o
x
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,
否则与路径有关.
区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以 下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
应用
1. 简化曲线积分
y
A
例 1 计算 xdy ,其中曲 AB
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲线所
围成.添加直线段 AB,CE.则
D的边界曲线由 AB, L2,BA,
AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构成.
由(2)知
D
(
Q x
P y
)dxdy
G D L2 B
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
o
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
x,
y)dx
E DB
C
x 2( y)
x
两式相加得
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2)
L3 D3
D2 L2
若区域D 由按段光
D
滑的闭曲线围成.如图,
D1
L1
L
将D 分成三个既是X 型又是
Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
Q P
Q P
( )dxdy
§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.
一、格林公式
二、曲线积分与路线的无关性
返回
一、格林公式
L
边界曲线L的正向: 当观察
线 AB是半径为r 的圆在
D
第一象限部分.
oL
Bx
解 引入辅助曲线 L, L OA AB BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
dxdy L xdy
D
OA xdy AB xdy BO xdy,
由于 OA
xdy
0,
BO xdy 0,
xdy dxdy 1 r2.