高考数学总复习专题五立体几何理PPT课件

依题意，得 EF＝AD＝2. 在 Rt△PEF 中，PF＝ PE2＋EF2＝3. ∴△PAB 的面积 S＝12×AB×PF＝6. ∴四棱锥 P-ABCD 的侧面 PAB 的面积为 6.
题型 2 平行与垂直关系 就全国试卷而言，对立体几何的命题基本上是“一题两 法”的格局．在备考中，还是应该注重传统的推理证明方法， 不要盲目地追求空间向量(容易建系时才用空间向量)，千万 不要重计算而轻论证！
例 2：(2014 年四川)三棱锥 A-BCD 及其侧视图、俯视图如 图 5-5.设 M，N 分别为线段 AD，AB 的中点，P 为线段 BC 上的 点，且 MN⊥NP.
(1)证明：P 是线段 BC 的中点； (2)求二面角 A-NP-M 的余弦值．
图 5-5
解：(1)如图5-6，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO.
图 5-6 由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD 为正三角形， 所以 AO⊥BD，OC⊥BD. 因为 AO，OC⊂平面 AOC，且 AO∩OC＝O， 所以 BD⊥平面 AOC.
又因为 AC⊂平面 AOC，所以 BD⊥AC. 取 BO 的中点 H，连接 NH，PH. 又 M，N，H 分别为线段 AD，AB，BO 的中点， 所以 MN∥BD，NH∥AO. 因为 AO⊥BD，所以 NH⊥BD. 因为 MN⊥NP，所以 NP⊥BD. 因为 NH，NP⊂平面 NHP，且 NH∩NP＝N， 所以 BD⊥平面 NHP. 又因为 HP⊂平面 NHP，所以 BD⊥HP.
又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC. ∴AD⊥BC.∴EF⊥FG. ∴四边形EFGH是矩形． (2)解：方法一：如图52，以D为坐标原点建立空间直 角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，
图52
∴D→A＝(0,0,1)，B→C＝(－2,2,0)，B→A＝(－2,0,1)．
因为在△ABC中，AB＝BC，所以R为AC的中点．
所以BR＝ AB2－A2C2＝ 210. 因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，
所以NQ∥BR.
又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点．
所以NQ＝B2R＝ 410.
同理，可得MQ＝
10 4.
故△MNQ为等腰三角形．
则n·F→E＝0，n·F→G＝0.
∴12z＝0，
取n＝(1,1,0)．
－x＋y＝0.
∴sin θ＝|cos〈B→A，n〉|＝|BB→→AA|·|nn|＝
2Байду номын сангаас5×
＝ 2
510.
【互动探究】 1．(2013 年广东广州二模)如图 5-3，已知四棱锥 P-ABCD 的正视图是一个底边长为 4、腰长为 3 的等腰三角形，如图 5-4 所示的分别是四棱锥 P-ABCD 的侧视图和俯视图． (1)求证：AD⊥PC； (2)求四棱锥 P-ABCD 的侧面 PAB 的面积．
图 5-3
图 5-4
(1)证明：如图D45，依题意，可知：点P 在平面ABCD 上
的正射影是线段 CD 的中点 E，连接
PE，则 PE⊥平面 ABCD.
∵AD⊂平面 ABCD，
∴AD⊥PE.
∵AD⊥CD，CD∩PE＝E，CD⊂
平面 PCD，PE⊂平面 PCD， ∴AD⊥平面 PCD.
图 D45
∵PC⊂平面 PCD，∴AD⊥PC.
(1)求四面体 ABCD 的体积； (2)证明：四边形 EFGH 是矩形．
图 5-1
(1)证明：由该四面体的三视图知， BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC， BD＝DC＝2，AD＝1. 由题设，BC∥平面EFGH， 平面EFGH∩平面BDC＝FG， 平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH.∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG. ∴四边形EFGH是平行四边形．
又 OC⊥BD，HP⊂平面 BCD，OC⊂平面 BCD， 所以 HP∥OC. 因为 H 为 BO 的中点，所以 P 为 BC 的中点． (2)方法一：如图 5-7，作 NQ⊥AC 于点 Q，连接 MQ.
图 5-7
由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP. 因为MN⊥NP， 所以∠MNQ为二面角A-NP-M的一个平面角． 由(1)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形， 所以AO＝OC＝ 3. 由俯视图知，AO⊥平面BCD. 因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC. 因此在等腰直角三角形AOC中，AC＝ 6. 如图5-7，过点B作BR⊥AC于R.
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
∵EF∥AD，FG∥BC，
∴n·D→A＝0，n·B→C＝0.
∴z－＝20x，＋2y＝0. 取n＝(1,1,0)．
∴sinθ＝|cos〈B→A，n〉|＝|BB→→AA|·|nn|＝
2 5×
＝ 2
10 5.
方法二：如图5-2，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)． ∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得 E1，0，12，F(1,0,0)，G(0,1,0)． ∴F→E＝0，0，12，F→G＝(－1,1,0)，B→A＝(－2,0,1)． 设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
(2)解：依题意，在等腰三角形 PCD 中， PC＝PD＝3，DE＝EC＝2.
在 Rt△PED 中，PE＝ PD2－DE2＝ 5.
过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F，连接 PF， ∵PE⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，∴AB⊥PE. ∵EF⊂平面 PEF，PE⊂平面 PEF，EF∩PE＝E， ∴AB⊥平面 PEF. ∵PF⊂平面 PEF， ∴AB⊥PF.
专题五 立体几何
题型 1 三视图与表面积、体积 三视图是高考的新增考点，经常以一道客观题的形式出现， 有时也和其他知识综合作为解答题出现．解题的关键还是要将 三视图转化为简单几何体，或者其直观图．
例 1：(2014 年陕西)已知四面体 ABCD(如图 5-1)及其三视 图(如图 5-2)，平行于棱 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 AB， BD，DC，CA 于点 E，F，G，H.