整式的乘法和因式分解专题训练

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整式的乘法和因式分解

一、整式的运算

1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值；

2、若32=n a ，则n a 6= .

3、若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。

4、已知2x +13x 1=144，求x ； 5．2005200440.25⨯= . 6、( 2

3 )2002×2003÷(－1)2004＝________。

7、如果(x +q )(3x

4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项

8、设m 2+m 1=0，求m 3+2m 2+2010的值

二、乘法公式的变式运用

1、位置变化，

x y y x

2、符号变化，x y x y

3、指数变化，x 2y 2x 2y 2

4

4、系数变化，2a

b 2a b

5、换式变化，

xy z m xy z m

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6、增项变化，x y z x y z

7、连用公式变化，x y x y x2y2

8、逆用公式变化，x y z2x y z2

三、乘法公式基础训练:

1、计算（1）1032（2）1982

2、计算（1）a b c2（2）3x y z2

3、计算（1）a4b3c a4b3c（2）3x y23x y2

4、计算（1）19992-2000×1998 （2）

22007

200720082006

-⨯

．

四、乘法公式常用技巧

1、已知a2b213，ab6，求a b2，a b2的值。

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变式练习：已知a b

2

7，a b

2

4，求a 2b 2，ab 的值。

2、已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

变式练习：已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

3、已知a －a 1=3，求a 2+21

a

的值。

变式练习：已知a 25a +1=0，（1）求a +

a 1的值；（2）求a 2+21

a

的值； 4、已知a a 1a

2

b

2，求22

2

a b ab +-的值。

变式练习：已知()()212

-=---y x x x ，则

xy y x -+2

2

2= .

5、已知x 2+2y 2+4x 12y +22=0，求x+y 的值

变式练习：已知2x 2+6xy +9y 26x +9=0，求x+y 的值

6、已知：20072008+=x a ，20082008+=x b ，20092008+=x c ， 求ac bc ab c b a ---++222的值。

变式练习：△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，判断△ABC的形状

7、已知：x2-y2=6，x+y=3,求x-y的值。

变式练习:已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值

五、因式分解的变形技巧

1、符号变换:有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。

体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)

指点迷津y-x= -(x-y)

实践题1 分解因式：-a2-2ab-b2

2、系数变换:有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。

体验题2 分解因式 4x2-12xy+9y2

实践题2 分解因式

2 2

1

439

xy y x++

3、指数变换:有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。体验题3 分解因式x4-y4

指点迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。

实践题3 分解因式 a4-2a4b4+b4

4、展开变换:有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。

体验题4 a(a+2)+b(b+2)+2ab

指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。

实践题4 x(x-1)-y(y-1)

5、拆项变换:有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。

体验题5 分解因式3a3-4a+1

指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。

实践题5 分解因式 3a3+5a2-2

6、添项变换:有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。

体验题6 分解因式x 2+4x-12

指点迷津 本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式

再说。

实践题6 分解因式x 2-6x+8

实践题7 分解因式a 4+4

7、换元变换:有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。 体验题7 分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

实践题8 分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9

实践题答案

实践题1 原式=-a 2-2ab-b 2=-( a 2+2ab+b 2)= -(a+b)2 实践题2

原式=(

2x )2

+2.2x •3y •+(3y )2

=(2x +3

y )2

实践题3 原式=(a 2-b 2)2=(a+b)2(a-b)2 实践题4

原式= x 2-x-y 2+y=(x 2-y 2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)