垂径定理课件
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A B A B
C O C D O
D
（1）
（2）
驶向胜利 的彼岸
P93:习题3.2 1、 2题 试一试 第1题
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD. ⌒
垂径定理
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
C
M└
●
讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒ ⌒
M C A
.O
N
D B
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
C A D O
B
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H
M
· N 0
G
D
B
E
F
C
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
M E A
B
图中相等的劣弧有:
.
D O F
C
N
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫 做半圆(如弧ABC). B
m
A
●
O
D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母).
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ , ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. ④AC=BC,
条件 ①② ①③ ①④ 结论 命 题
C
A
M└
●
B
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 . ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
C
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).
垂径定理
⌒ AmB
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C M└
●
A
B O
你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由.
题设
D 由
结论
可推得
① CD是直径 ② CD⊥AB
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
试一试P93 12
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（
（ （
）
） ） ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
①⑤
②③ ②④
②⑤
③④ ③⑤
④⑤
①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
老师提示:
这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
O
B
D
C
M
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
B O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
垂径定理三种语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B O
A
M└
●
∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
老师提示: 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
B
O
A
┗
●
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
C
M└
●
A
B
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
O
你可以写出相应的命题吗?
②CD⊥AB,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
D
平分弦（不是直径）的直径 ．
垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 . 不是直径
练一练：试 金 石
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
A E
. O
BΒιβλιοθήκη Baidu
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆对称性(1)垂径定理
3.2圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●
O
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
圆的相关概念
C O C D O
D
（1）
（2）
驶向胜利 的彼岸
P93:习题3.2 1、 2题 试一试 第1题
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD. ⌒
垂径定理
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
C
M└
●
讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒ ⌒
M C A
.O
N
D B
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
C A D O
B
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H
M
· N 0
G
D
B
E
F
C
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
M E A
B
图中相等的劣弧有:
.
D O F
C
N
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫 做半圆(如弧ABC). B
m
A
●
O
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小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母).
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ , ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. ④AC=BC,
条件 ①② ①③ ①④ 结论 命 题
C
A
M└
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O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 . ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
C
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).
垂径定理
⌒ AmB
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C M└
●
A
B O
你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由.
题设
D 由
结论
可推得
① CD是直径 ② CD⊥AB
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
试一试P93 12
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（
（ （
）
） ） ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
①⑤
②③ ②④
②⑤
③④ ③⑤
④⑤
①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
老师提示:
这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
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B
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C
M
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
B O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
垂径定理三种语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B O
A
M└
●
∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
老师提示: 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
B
O
A
┗
●
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
C
M└
●
A
B
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
O
你可以写出相应的命题吗?
②CD⊥AB,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
D
平分弦（不是直径）的直径 ．
垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 . 不是直径
练一练：试 金 石
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
A E
. O
BΒιβλιοθήκη Baidu
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆对称性(1)垂径定理
3.2圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●
O
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
圆的相关概念