江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研(三)数学(理)试题(解析版)

2019~2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）
数学（理科）试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合1|12x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，集合{}|lg 0B x x =>，则A B =U ______. 【答案】()0,∞+
【解析】
【分析】
分别求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，找出A 与B 的并集即可．
【详解】由A 中的不等式变形得：0
1122x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，得到x >0， ∴A ={x |x >0}，
由B 中的不等式变形得：lg x >lg1，得到x >1，即B ={x |x >1}，
则A B =U ()0,∞+，
故答案为：()0,∞+
【点睛】本题考查了求对数式、指数式不等式的解集和并集的运算，属于基础题。

2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位）
，则复数z 的实部是______. 【答案】1
【解析】
【分析】
通过复数方程，两边同乘1-2i ，然后求出复数z 即可．
【详解】因为复数z 满足(1+2i )z =−3+4i ,所以(1−2i )(1+2i )z =(−3+4i )(1−2i )，
即5z =5+10i ，
所以z=1+2i,实部为1.
故答案为：1.
【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数z的实部，不能写成复数z的结果。

本题属于基础题。

3.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______.
【答案】27
【解析】
【分析】
根据s=0，n=1，s=(0+1)×1=1，n=1+1=2，不满足条件n＞3，执行循环体；依此类推，当n=4，满足条件n＞3，退出循环体，得到输出结果即可．
【详解】s=0,n=1,s=(0+1)×1=1，n=1+1=2，不满足条件n>3，执行循环体；
s=(1+2)×2=6，n=1+2=3，不满足条件n>3，执行循环体；
s=(6+3)×3=27，n=1+3=4，满足条件n>3，退出循环体，
则输出结果为：27
故答案为：27。

【点睛】本题考查了循环结构的应用，循环次数少的时候可以将每一次的赋值情况列出，不容易出错。

本题属于中等题。

4.现把某类病毒记作m n X Y ，其中正整数(),6,8m n m n ≤≤可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为______. 【答案】14
【解析】
【分析】
求出m 取小于等于6的正整数，n 取小于等于8的正整数，m 取到奇数，n 取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．
【详解】m 取小于等于6的正整数，n 取小于等于8的正整数，共有6×8=48种取法。

m 取到奇数的有1，3，5共3种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况，
则m ，n 都取到奇数的方法种数为3×4=12种。

所以m ，n 都取到奇数的概率为
121=484. 故答案为：14
. 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式()A m P A n =
包含的基本事件的个数基本事件的总数，属于基础题。

5.若双曲线22
22x y a b
－＝1(a >0，b >0)与直线y 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 【答案】(1,2]
【解析】
因为双曲线的渐近线为y ＝±
b a x ，要使直线y 与双曲线无交点，则直线y 应在两渐近线之间，
所以有b a ，即b ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2. 6.等比数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，满足654320S S S -+=，则5S =______.
【答案】31
【解析】
【分析】
将654320S S S -+=化成 ()()655465220S S S S a a ---=-=，解得2q =，再根据等比数列前n 项
和公式，即可求出5S 。

【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，
由654320S S S -+=,可得()()66554655
2202a S S S S a a q a ---=-=⇒==。

∴()()5
515111231112
a q S q -⨯-===--， 故答案为：31.
【点睛】本题考查了数列中n S 与n a 之间的关系，即()12n n n a S S n -=-≥，属于中等题。

7.已知1sin cos 5αα+=
，0απ<<，则2sin sin 2αα+=______. 【答案】825-
【解析】
【分析】 根据1sin cos 5
αα+=联立22sin cos 1αα+=，即可求出sin α和cos α的值，再将2sin sin 2αα+化成2sin 2sin cos ααα+代入即可。

【详解】1sin cos 5
αα+=Q , 1cos sin 5
αα∴=- 又2
2221sin cos sin sin 15αααα⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭
Q 22142sin sin 1sin 5255ααα∴-+=⇒=或35- 0απ<<Q ，
413sin ,cos sin 555
ααα∴==-=- 即2
224438sin sin 2sin 2sin cos 255525ααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：825
-。

【点睛】本题考查了同角的三角函数之间的关系，给sin α和cos α间的任一关系式，再联立
22sin cos 1αα+=就可求出sin α和cos α的值，但要注意根据角的范围来判断sin α和cos α的值可能是解中的一组或两组。

本题属于中等题。

8.已知a R ∈，实数x ，y 满足方程22ln 0x x y -+=，则()()22
2a x a y -+--的最小值为______. 【答案】0
【解析】
【分析】
()()222a x a y -+--是(),2a a -和(),x y 两点间的距离的平方，求()()22
2a x a y -+--的最小值即为求两点所在轨迹上的点之间的距离的最小值的平方。

可以看出两点所在轨迹方程都满足点()1,1-，即两点间距离最小值为0，()()22
2a x a y -+--的最小值为200=。

【详解】设(),2A a a -，(),B x y ，则()()2222a x a y AB -+--= (),2A a a -Q 在直线2y x =-上，(),B x y 在曲线22ln y x x =-+， ∴求AB 的最小值，即为求曲线22ln y x x =-+上的点到直线2y x =-上的点的距离的最小值。

又Q 22ln y x x =-+与2y x =-都过点()1,1-
∴曲线22ln y x x =-+上的点到直线2y x =-上的点的距离的最小值为0。

即()()222a x a y -+--的最小值为200=。

故答案为0。

【点睛】本题考查了两点间距离公式的变形，和直线到曲线距离的最值问题，遇到两式平方和可以看是否能凑成()()221212x x y y -+-，通过两点间距离公式转换成表达式的几何意义来求最值。

本题属于难题。

9.已知函数()32*10,n n n y a x a x a n N +=-≠∈的图像在1x =处的切线斜率为3n a +，且当1n =时其图像过
点()216
,，则7a =______. 【答案】8
【解析】
【分析】
将1x =处的导函数值求出，与3n a +相等，化简可得11n n a a +=+，再将1n =和点()216
,代入可求得1a 的
值，再根据等差数列通项公式即可求出7a 的值。

【详解】由()32*10,n n n y a x a x a n N +=-≠∈得，2132n n y a x a x +'=-，
∵图像在1x =处的切线斜率为3n a +
∴当1x =时，1323n n n y a a a +'=-=+，化简得11n n a a +=+，即数列{}n a 是公差为1 的等差数列。

又∵当1n =时其图像过点()216
,， 32212111622242a a a a a ∴=⨯-⨯⇒-=⇒=，即71618a a =+⨯=。

故答案为：8.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和导函数的几何意义，函数在某点的导数值即为图像在此处的切线斜率，当求出1n a +与n a 的差为定值时，即可得出其为等差数列，等差数列需知道1a 和d 两个参数，依次求出即可。

本题属于中等题。

10.在平面直角坐标系xOy 中，点()00,M x y 是椭圆C ：22
163
x y +=在第一象限上的一点，从原点O 向圆M ：()()22002x x y y -+-=作两条切线1l ，2l ，若12l l ⊥，则圆M 的方程是______.
【答案】((222x y +-=
【解析】
【分析】 画图分析可得四边形AOBM 为正方形，即有2OM =，再根据点()00,M x y 是椭圆C ：22
163x y +=在第一象限上的一点，可求出圆心M 的坐标。

【详解】设从原点O 向圆M ：()()22
002x x y y -+-=作两条切线1l ，2l 的切点分别为A 、B ，画出大致图像如下图：
1l Q 、2l 都和圆M 相切，
90OAM OBM ∴∠=∠=︒
又12l l ⊥Q ，
90AOB ∠=︒∴，=36090AMB OAM OBM AOB ∠︒-∠-∠-∠=︒
即四边形AOBM 为正方形，
由圆M ：()()22
002x x y y -+-=
，
2OM ∴===
2= 又∵点()00,M x y 是椭圆C ：22
163
x y +=在第一象限上的一点， 2200001,0,063
x y x y ∴+=>>
解得00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩M
的方程是(
(222x y -+=。

故答案为：(
(222x y +=
【点睛】本题考查了直线与圆相切的几何关系，即圆心与切点的连线垂直于切线，圆锥曲线的填空选择多画图找几何关系，有时会比直接计算要快。

本题属于中等题。

11.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a
-=-，则称0x
是
函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点，已知函数()142x x f x m +=--在区间[]0,1上存在均值点，则实数m 的取值范围是______.
【答案】()2,1--
【解析】
【分析】
函数()142x x f x m +=--在区间[]0,1上存在均值点，关于x 的方程()()()110410
21x x f x m f f +=---==-在()0,1内有实数根。

求出函数()f x 的值域，包含元素1即可。

【详解】∵函数()142x x f x m +=--在区间[]0,1上存在均值点，
∴关于x 的方程()()()110410
21x x f x m f f +=---==-在()0,1内有实数根。

由()()()22142222211x x x x x f x m m m +=--=-⨯-=---，()21,2x Î，
可得()()()()()22210,1,2111,x x f x m m m -∈=---∈---.
要使方程()1f x =在()0,1内有实数根，则()11,m m ∈---，
即1121m m m --<<-⇒-<<-。

故答案为：()2,1--。

【点睛】本题考查了指数函数和二次函数复合函数的值域问题，将指数函数看成一个整体，通过换元法求得二次函数的值域即可。

本题属于中等题。

12.已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则12a b
+的最小值是______.
【答案】4+
【解析】
【分析】 将44430ab a b --+=化成()()1114
a b --=，设1,1a x b y -=-=，则11,44xy x y ==，再将12a b +用
y 表示得121411y y ++--，通过基本不等式“1”的巧用，凑出()()414413
y y -+-=，与12411y y +--相乘，再用基本不等式可得最小值。

【详解】44430ab a b --+=Q
()()1114
a b ∴--= 设1,1a x b y -=-=，则11,44xy x y =
=， ∵01a <<，01b <<，
01,01x y <<<<∴ ∴12121242121111141141114y a b x y y y y y y y
+=+=+=+=++-------- 又()()41441218181411414441443y y y y y y y y ⎡⎤-+-⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎣⎦
Q ()()()8411181444144183414434144y y y y y y y y ⎡⎤-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-+-=+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ 当()841444144y y y y --=--
时，(
)()2120,1,0,11444
y x y =∈==，在题目要求范围内， ()
8411214411893411341443y y y y y y ⎡-⎡⎤-⎛⎫⎛∴⎫⎢+=+++≥+=+⎢⎥ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦⎣
即1212113441133a b y y ⎛⎫+=++≥++=+ ⎪ ⎪--⎝⎭
故答案为：4+ 【点睛】本题考查了换元法和基本不等式的应用，遇到已知两未知数关系，求包含两未知数的表达式的最值时，除了消元通过函数法解，最常见的方法是构造基本不等式。

本题属于难题。

13.已知ABC ∆中，3AB =，1AC =，且()()31AB AC R λλλ+-∈u u u r u u
u r P 为边AB 上
任意一点，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最小值是______. 【答案】2516
-
【解析】
【分析】 设3AD AC =u u u r u u u r ，()()311AG AB AC AB AD λλλλ=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得G 、B 、D 三点共线，则
()()31AB AC R λλλ+-∈u u u r u u u r 的最小值即AG u u u r 表示A 到BD ，根据几何关系求出3BAD π
∠=，27BC =u u u r 。

再根据极化恒等式将PB PC ⋅u u u r u u u r 化成2214P BC M -u u u u r u u u r ，通过几何关系求出PM u u u u r 的最小值即可。

【详解】∵()()3113AB AC AB AC λλλλ+-=+-⨯u u u r u u u r u u u r u u u r
∴设3AD AC =u u u r u u u r ，()()311AG AB AC AB AD λλλλ=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
又∵()11λλ+-=，
∴G 、B 、D 三点共线，()()31AB AC R λλλ+-∈u u u r u u u r 的最小值即AG u u u r .
由图可得，当AG BD u u u r u u u r ⊥时，AG u u u r 有最小值2
， 又∵3AB =，1AC =，33AD AC ==，
∴2sin sin 3ABD ADB ∠=∠==，即,33ABD ADB BAD ππ∠=∠=∠=，
由余弦定理，2
22
2cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-∠=u u u r
u u u r u u u r
u u u r u u u r。

设M
BC 中点，由极化恒等式，
2221117
2244PB PC PM BC PM BC PM P BC M ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，
∴当PM u u u u r 取最小值时，PB PC ⋅u u u r u u u r
有最小值
∵P 为边AB 上任意一点，
∴当PM AB u u u u r u u u r
⊥时，PM u u u u r 有最小值。

设PM AB ⊥，过点C 作CE AB ⊥于点E ，则sin CE AC BAC =∠=， 又∵//PM EC ，PM 为BCE V 的中位线，
∴1=
24
PM CE =。

即2
27725
44416PB PC PM ⎛⋅=-≥-=- ⎝⎭
u u u r u u u r u u u u r 。

故答案为：25
16
-
【点睛】本题考查了平面向量三点共线定理和极化恒等式的运用，遇到两个带系数的向量相加时，可以看看是否能将其中一个向量转换成另一向量从而将系数凑成定值，再运用平面向量三点共线定理。

本题属于难题。

14.已知函数()3
2
41f x x ax x =-+++在(]
0,2上是增函数，函数()ln 2ln g x x a x =--，若
3
12,,x x e e ⎡⎤∀∈⎣⎦（e 为自然对数的底数）时，不等式()()125g x g x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是
______. 【答案】52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
对()f x 求导令()2
3240f x x ax '=-++≥解得2a ≥，要使不等式()()125g x g x -≤恒成立，只要使。

()()max min 5g x g x -≤即可，再根据ln x a -的范围无法直接得出，对a 分情况讨论，分别求出()max g x ，
()min g x 。

【详解】∵函数()3
2
41f x x ax x =-+++在(]
0,2上是增函数，
∴()2
3240f x x ax '=-++≥在(]0,2上恒成立，即()()
040
2212440f a f a ⎧=≥⎪⇒≥⎨
=-++≥⎪⎩'' 要使不等式()()125g x g x -≤恒成立，只要使()()max min 5g x g x -≤即可
当3
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，[]ln 1,3x a a a -∈--，
①当23a ≤<时，()(
3
3ln ,ln ,a
a x a
x e e g x x a
x e e ⎧⎡⎤-+∈⎣⎦
⎪
=⎨
⎤--∈⎪⎦
⎩，
可以看出，()g x 在3
,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，
∴()()max 3g x a e g ==-，()()n 3
mi 3e
g x g a ==--
()()max min 5
252
g x g x a a -=≤⇒≤
， 即522
a ≤≤。

②当3a ≥时，()3ln g x x a =-+，()g x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，
∴()()max 3g x a e g ==-，()()n 3
mi 9g a e
x g ==-
()()max min 65g x g x -=>，即无法成立。

综上所述，实数a 的取值范围是52,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。

故答案为：52,2
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。

【点睛】本题考查了分情况求含参绝对值型函数的最值问题，遇到绝对值要去绝对值，分成绝对值内表达式大于等于0和小于0（或大于0和小于等于0）两种情况去讨论，写成分段函数的形式。

本题属于中等题。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数2
()12sin (
)4
f x x x π
=--，
（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间．
（2）若方程()0f x m -=在区间[,]4
π
π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）T π=；7[,
]()12
12
k k k Z π
π
ππ++∈. （2）(2,1]-. 【解析】
分析：（1）首先利用余弦倍角公式对2
sin ()4
x π
-进行降次升角，之后借助于诱导公式以及辅助角公式，将
函数解析式化简为()2sin(2)3
f x x π
=+
，借助于正弦曲线的性质，利用整体角思维求得结果；
（2）研究函数在给定区间上的性质，求得对应的结果.
详解：（1）()2
12sin 4f x x x π⎛⎫
=+--
⎪⎝⎭
cos 2sin22x x x x π⎛⎫
=+-=+ ⎪⎝⎭
2sin 23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∴22
T π
π== 由
3222,2
3
2k x k k Z π
π
πππ+≤+
≤
+∈，解得：7,1212
k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调递减区间为：()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
（2）即()y f x =在区间,4ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的图象与直线y m =有两个不同的交点． 由（1）知：()f x 在7,412ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上单调减，在7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调增，
∴()min 7212
f x f π⎛⎫
==-
⎪⎝⎭
，14f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()f π
∴当21m -<≤时，()y f x =在区间,4ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的图象与直线y m =有两个不同的交点，即方程()0f x m -=在区间,4ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上两个不同的实数解．
∴m 的取值范围为(]
2,1-．
点睛：该题考查的是有关三角函数的综合题，涉及到的知识点有余弦的倍角公式，诱导公式，辅助角公式，将函数解析式，之后利用整体角思维求得结果，关于第二问，注意应用整体角思维，研究对应区间上的函数图像的走向，从而求得结果.
16.在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，2a ，4a ，8a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a
n n b a =⋅，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，求n S .
【答案】（1）n a n =； （2）()1
122n n S n +=-⋅+.
【解析】 【分析】
（1）由11a =，2a ，4a ，8a 成等比数列得：()()()2
13117d d d +=++求出d ，即可得{}n a 的通项公式；
（2）2n n b n =⋅，1231222322n
n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，用错位相减法化简可得n S .
【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，
由11a =，2a ，4a ，8a 成等比数列得：()()()2
13117d d d +=++， 解得1d =或0d =（舍去），
所以数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-=.
（2）由（1）得n a n =，所以2n
n b n =⋅，
所以1231222322n
n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅， ①
234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅， ②
①-②得：1231
121212122n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅L
()()11212212212
n n n n n ++-=
-⋅=--⋅--，
所以()1
12
2n n S n +=-⋅+.
【点睛】本题考查了错位相减法的计算，当遇到等差数列×等比数列的通项公式时，可以通过错位相减法来求和。

本题属于基础题。

17.某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线OA ，OB 所成角为
23
π
，现欲在海岸线OA ，OB 上分别取点P ，Q 修建海堤，以便围成三角形陆地OPQ ，已知海堤PQ 长为6千米.
（1）如何选择P ，Q 的位置，使得OPQ ∆的面积最大；
（2）若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤PQ 的另一侧选取点M ，修建海堤MP ，MQ 围成四边形陆地.当海堤MP 与MQ 的长度之和为10千米时，求四边形MPOQ 面积的最大值. 【答案】（1）当P ，Q 两点距离O
点都为
； （2）四边形MPOQ
面积的最大值为12+. 【解析】 【分析】
（1）设OP x =，OQ y =，由余弦定理得：222
2cos PQ OP OQ OP OQ POQ =+-⋅⋅∠，
因为222
262cos
233
x y xy xy xy xy π
=+-≥+=，即12xy ≤
，当且仅当x y == （2）要求四边形MPOQ 面积的最大值，只需求MPQ ∆面积的最大值.在MPQ ∆中，
106MP MQ PQ +=>=，所以点M 的轨迹是以P ，Q 为焦点，长轴长10的椭圆（夹在两海岸线OA ，
OB 区域内的曲线）
，根据椭圆的几何性质，求出M 点到PQ 距离的最大值即可得到最大面积.
【详解】（1）设OP x =，OQ y =，（单位：千米）
在OPQ ∆中，由余弦定理得：2
2
2
2cos PQ OP OQ OP OQ POQ =+-⋅⋅∠，
因为6PQ =，23POQ π
∠=
，OP x =，OQ y =， 所以，222
262cos 233
x y xy xy xy xy π=+-≥+=，
故12xy ≤，当且仅当x y ==
此时，12sin 234
OPQ S xy xy π∆=
=≤.
所以，当P ，Q 两点距离O 点都为OPQ ∆的面积最大，最大面积为.
（2）由（1）知，要求四边形MPOQ 面积的最大值，只需求MPQ ∆面积的最大值.
在MPQ ∆中，106MP MQ PQ +=>=，所以点M 的轨迹是以P ，Q 为焦点，长轴长10的椭圆（夹在两海岸线OA ，OB 区域内的曲线），
以PQ 所在直线为x 轴，PQ 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，
设点M 所在的椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，焦距为2c ，
由5a =，3c =得：22216b a c =-=，
所以点M 所在的椭圆方程为22
12516x y +
=. 设()00,M x y ，则00011
6322
MPQ S PQ y y y ∆=
⋅=⨯⨯=，因为04y ≤， 所以0312MPQ S y ∆=≤（平方千米），当且仅当5MP MQ ==（千米）时取得等号.
所以，四边形MPOQ 面积的最大值为12+.
【点睛】本题考查了余弦定理和三角形面积公式，以及椭圆的定义。

遇到应用题，找出变量之间的相关关系，再根据函数或者不等式等其他方法求解，注意满足实际意义的取值范围。

本题属于难题。

18.已知直线l 为椭圆22
143
x y +=的右准线，
直线l 与x 轴的交点记为P ，过右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点.
（1）设点M 在直线上，且满足MF AB ⊥，若直线OM 与线段AB 交于点D ，求证：点D 为线段AB 的中点；
（2）设Q 点的坐标为5
,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线BQ 与直线l 交于点E ，试问EA EP ⋅u u u r u u u r
是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析； （2）EA EP ⋅u u u r u u u r
为定值0. 【解析】 【分析】
（1）设直线AB 的方程为1x my =+，直线MF 的方程为()1y m x =--， 故直线OM 的方程为34
m
y x =-
.再联立椭圆方程和直线AB ，根据韦达定理求出线段AB 的中点为22
43,3434m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，满足直线OM 方程34
m
y x =-
，所以，直线OM 与线段AB 交点D 为线段AB 的中点. （2）当直线AB 的斜率为0时， 0EA EP ⋅=u u u r u u u r
. 直线AB 的斜率不为0时，计算直线BQ 的方程，求得点E
的坐标为()14,y ，纵坐标与点A 相等，即EA EP ⊥，0EA EP ⋅=u u u r u u u r
.
【详解】（1）由椭圆方程为22
143
x y +=知，右焦点F 坐标()1,0，椭圆C 的右准线l 方程为4x =，点P 坐
标()4,0.
①当直线AB 的斜率不存在时，直线OM 与线段AB 交点D 即为右焦点F ，此时点D 为线段AB 的中点. ②又由MF AB ⊥知，直线AB 的斜率不为0，故设直线AB 的方程为1x my =+， 从而，直线MF 的方程为()1y m x =--，令4x =得，M 点坐标为()4,3m -，
故直线OM 的方程为34
m y x =-
. 联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
，消去x 得：()22
34690m y my ++-=，
设()11,A x y ，()22,B x y
，则1,2y =， 即122634m y y m -+=
+，122
9
34
y y m -⋅=+， 从而，线段AB 的中点22
4
3,3434m N m m -⎛⎫
⎪++⎝⎭
. 又线段AB 的中点N 的坐标满足直线OM 方程34
m
y x =-
， 所以，直线OM 与线段AB 交点D 为线段AB 的中点. 综上可知，点D 为线段AB 的中点.
（2）当直线AB 的斜率为0时，点E 即为点P ，从而0EP =u u u r r ，故0EA EP ⋅=u u u r u u u r
.
直线AB 的斜率不为0时，
由（1）知，122634m y y m -+=+，122
9
34
y y m -⋅=+， 所以12122
3
y y my y +=
，则()122132y y my y +=.
直线BQ
方程为
2
25522y y x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭-，又221x my =+，
令4x =，得2
222223335225232
y y y y x my x =⋅==
---
()2112133232y y y y y ==+⋅-， 所以点E 的坐标为()14,y ，纵坐标与点A 相等。

即EA EP ⊥，所以0EA EP ⋅=u u u r u u u r
. 综上可知，EA EP ⋅u u u r u u u r
为定值0.
【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，着重于计算直线方程的表达式，根据点的坐标依次耐心计算即可。

本题属于中等题。

19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(
)*
231n n S a n N =-∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()111n n n n a b a a +=
--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式141
n k
T n >-+都
成立，求实数k 的取值范围； （3）记2
n
n n a c a =
+，是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m c -，1s c -，1t c -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）3n
n a =； （2）1
,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
； （3）不存
.
【解析】 【分析】
（1）当2n ≥时，()11231n n S a --=-，与题目中所给等式相减得：1233n n n a a a -=-，即()132n n a a n -=≥，
又1n =时，()11231S a =-，解得：13a =，所以3n
n a =.
（2）n b 化简得
111123131n n +⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由裂项相消得，n T 11112231n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，再根据不等式141
n k T n >-+都成立，化简得：()
11
231n n k ++>
-，求出()11231n n ++-的最大值即可.
（3）假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有()()()
2
2111s m t m t s c c c +=⎧⎪
⎨-=-⋅-⎪⎩.证明其成立的条件与m ，s ，t 互不相等矛盾即可.
【详解】（1）因为数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(
)*
231n n S a n N =-∈，
所以当2n ≥时，()11231n n S a --=-，
两式相减得：1233n n n a a a -=-，即()132n n a a n -=≥， 又1n =时，()11231S a =-，解得：130a =≠，
所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3n
n a =.
（2）由（1）知：()()()()
113113131n n n n n n n a b a a ++==----1
11123131n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭
， 所以，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+12231
111111
12313131313131n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11112231n +⎛⎫
=
- ⎪-⎝⎭
， 对任意的*
n N ∈，不等式141
n k
T n >
-+都成立，即11111223141n k n +⎛⎫->- ⎪
-+⎝⎭， 化简得：()11231n n k ++>
-，令()()
11
231n f n n ++=-，
因为()()()()2
1212312311n n f n f n n n ++++=----+()()()
1122131023131n n n n +++--⋅-=<-⋅-， 故()f n 单调递减，
所以()()max 118f n f ==⎡⎤⎣⎦，故1
8k >， 所以，实数k 的取值范围是1
,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.
（3）由（1）知：3232
n
n n n n a c a ==++， 假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，
则有()()()
22111s m t m t s c c c +=⎧⎪⎨-=-⋅-⎪⎩. 由332n n n c =+与()()()2111s m t c c c -=-⋅-得2
333111323232s s m t m t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即232323343m t m t s s ++⨯+⨯=+⨯，
因为2m t s +=，所以3323m s t +=⨯.
因为3323m t s +≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，
这与m ，s ，t 互不相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件.
【点睛】本题考查了裂项相消法和反证法，遇到通项公式的分式的分母为两项相似的式子相乘时，可以看是否能裂成两项，从而在求和时前后相消。

用反证法时注意判断最后推出的结果与题目已知条件是否矛盾。

本题属于难题。

20.已知函数()3
32f x x ax =+--，0a >. （1）当2a =时，求函数()y f x =的单调递增区间；
（2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数a 的取值范围；
（3）当01a <<时，试问：过点()2,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切？
【答案】（1
）,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭
和3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭； （2
）0,2⎛ ⎝⎭
；
（3）当102a <<时，过点()2,0P 有1条直线与曲线()y f x =相切；当12
a =时，过点()2,0P 有2条直线与曲线()y f x =相切；当
112
a <<时，过点()2,0P 有3条直线与曲线()y f x =相切. 【解析】
【分析】 （1）当2a =时，()33321,2325,2x x x f x x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩
，分别求出()y f x =在两段区间上的单调递增区间即可.
（2）()3331,3
5,x ax x a f x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩
.当3x a ≥时，函数()y f x =单调递增；当3x a <时，由()'0f x =
得x =
3a
具有不同的大小关系两种情况去判断函数()y f x =的单调性，再根据单调性判断零点的个数情况即可。

（3）当3x a
≥时，设切点为()3000,5x x ax +-，切线的斜率()200'3k f x x a ==+，得到方程 320000532
x ax x a x +-=+-，化简得320026520x x a -+-=.再判断出方程无解，即没有符合题意的切线.当3x a
<时，同理可得：320026210x x a -+-=，判断出方程解的个数，即为存在的切线条数. 【详解】（1）当2a =时，()333321,2232325,2x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪⎪=+--=⎨⎪+-≥⎪⎩
， 当32x <时，()2'32f x x =-，由()'0f x >
得：x <
或x >，又32x <， 所以，
3x <-
或332x <<，即()y f x =
在,3⎛-∞- ⎝⎭
和332⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增； 又32x ≥时，()2'320f x x =+>恒成立，故()y f x =在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增； 综上可知，函数()y f x =
的单调递增区间为,3⎛
-∞- ⎝⎭
和3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
. （2）()33331,3235,x ax x a f x x ax x ax x a ⎧-+<⎪⎪=+--=⎨⎪+-≥⎪⎩
. 当3x a ≥时，()2'3f x x a =+，因为0a >，所以()'0f x >恒成立，即函数()y f x =在3,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增；
当
3
x
a
<时，()2
'3
f x x a
=-，因为0
a>，由()
'0
f x=
得x=，
3
a
<，即0<<3
a时，函数()
y f x
=
在,
⎛
-∞
⎝
上单调递增，在
⎛
⎝
单调递减，在
⎫
+∞⎪⎪
⎭
上单调递增.
因为函数()
y f x
=
只有一个零点，且10
f
⎛
=>
⎝
，
所以只要10
f=>
，解得0a
<<.
3
a
≥即3
a≥时，函数()
y f x
=
在,
⎛
-∞
⎝
上单调递增，在
3
a
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
单调递减，
在
3
,
a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
上单调递增.
因为10
f
⎛
=>
⎝
，
3
327
20
f
a a
⎛⎫
=-<
⎪
⎝⎭
，所以函数()
y f x
=有两个零点，不合题意.
综上可知，实数a
的取值范围是0,
2
⎛
⎝⎭
.
（3）当
3
x
a
≥时，设切点为()
3
000
,5
x x ax
+-，因为切线的斜率()2
00
'3
k f x x a
==+，所以
3
2
00
5
3
2
x ax
x a
x
+-
=+
-
，化简得32
00
26520
x x a
-+-=.
令()32
2652
g x x x a
=-+-，则()()
2
'6126
g x x x x x
=-=-，
因为01
a
<<，所以
3
3
a
>，从而函数()
g x在
3
,
a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
上单调递增，
又
()
3
541
3
520
a
g a
a a
-
⎛⎫
=+->
⎪
⎝⎭
，此时函数()
g x在
3
,
a
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭没有零点，即没有符合题意的切线.
当
3
x
a
<时，同理可得：32
00
26210
x x a
-+-=，令()32
2621
h x x x a
=-+-，则
()()
2
'6126
h x x x x x
=-=-，
因为33a >，所以函数()h x 在(),0-∞单调递增，在()0,2单调递减，在32,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增， 因为()021h a =-，()227h a =-，()3541321a h a a a -⎛⎫=+-
⎪⎝⎭
， 又由01a <<知，()2270h a =-<， 所以，当102a <<时，()0210h a =-<，()35413210a h a a a -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭
，故函数()h x 只有1个零点，即符合题意的切线只有1条； 当12a =时，()0210h a =-=，()35413210a h a a a -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭
，故函数()h x 有2个零点，即符合题意的切线有2条； 当112a <<时，()0210h a =->，()35413210a h a a a -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭
，故函数()h x 有3个零点，即符合题意的切线有3条； 综上可知，当102a <<
时，过点()2,0P 有1条直线与曲线()y f x =相切； 当12a =
时，过点()2,0P 有2条直线与曲线()y f x =相切； 当112
a <<时，过点()2,0P 有3条直线与曲线()y f x =相切. 【点睛】本题考查了判断函数的单调性、最值和切线条数问题，函数的单调性和最值都需要通过导数的应用，切线条数看导数的几何意义，注意切线方程需满足的条件。

本题属于难题。