基于加工时间之和学习效应下的单机成组排序问题
具有学习效应和非线性安装时间的单机排序问题
具有学习效应和非线性安装时间的单机排序问题陶明子;赵传立【摘要】讨论了加工工件具有学习效应和安装时间的单机排序问题.文中工件的加工时间不是固定不变的,不仅与工件的加工位置有关,同时还与已加工完成工件的加工时间有关.安装时间分为线性安装时间和非线性安装时间,本文主要讨论的是具有非线性安装时间的情况.工件的安装时间是依赖于已加工完的工件的实际加工时间和工件所排列位置的函数形式.在文中主要证明了极小化最大完工时间,极小化完工时间总和问题是多项式可解的,另外还证明了满足一定条件下的极小化加权完工时间和,极小化最大延误问题是多项式可解的.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(028)001【总页数】4页(P8-11)【关键词】排序;单机;学习效应;非线性安装时间【作者】陶明子;赵传立【作者单位】沈阳师范大学,数学与系统科学学院,辽宁,沈阳,110034;沈阳师范大学,数学与系统科学学院,辽宁,沈阳,110034【正文语种】中文【中图分类】O223现在具有学习效应的机器排序问题得到广泛的关注[1-10],Biskup[1]首次提出具有学习效应的排序问题。
Koulamas和Kyparisis[2]给出工件的实际加工时间依赖于时间的学习效应的新模型。
Wu,Lee[3]将以上模型进行一般性的推广。
在传统的排序模型中,加工工件具有一定安装时间的排序问题是必要的。
Koulamas 和Kyparisis在文献[4]中给出了2种安装时间的排序问题,证明安装时间在线性条件下某些问题是多项式可解的,并将他们的结果扩展到安装时间为非线性的形式。
Biskup和Herrmann在文献[5]分析了工件带有安装时间和工期相关的一些问题,证明了极小化延迟和问题是多项式可解的。
Kuo和Yang[6-7]讨论了工件的加工时间与工件在排序中位置相关并且具有Koulamas和Kyparisis[4]中线性安装时间的排序问题。
带学习效应的单机成组排序问题
二
Ｐ， （十 ｌ ２＋…… ＋ ＿） ：（＋ ｉ １ ｌ ＋ 】 ｒ】 ｌ １
ｋ ＝ｌ
★） ， ）
推广 到具有 安装 时间 的单机 成组 排序 问题 。 这里考 虑在 工件具 有学 习效应 的 条件下 ，学 习效应模 型为 ｐ，＝ ， ，
第２ 期
苑丽华等
带 学 习 效应 的单 机 成 组 排 序 问题
示 原来排 序 中工件 的标准 加 工 时间 ；
表示 工件 排在 第 ｆ 的第 ，个 位 置 的实际加 工 时间 ； 组
】
表示 在第 ， 组排 在第 ｋ个位 置 的 工件 … 的标 准加 工 时 间， ｋ＝１２ … …， ｉ ｋ 表 示在 第 组排 在第 ｋ ，， ｎ； … 个位 置 的工件 舭】 的实 际加 工 时 间 ； 表示 第 ｉ 中工件 的学 习效应 因子 ， ０＜ ｌ， ｆ ， …， ； 组 ， ＝１…
表 工 的 工 间 表 所 工 的 大 工 间 示 件 完 时 ； 示 有 件 最 完 时 ；∑ 表 所 工 的 完 时 。 示 有 件 总 工 间
这 里所 考虑 的的学 习 效应模 型 为 ： ＝ ， ，记该模 型 为 Ｌ ， Ｇ 表 示必 须满 足成 组技术 要求 ， Ｅ
在 经 典的排 序 理论 中， 工件 的加 工 时 间通常 是一 个 常数 ，而 在 一些 实 际排 序 问题 中 ， 由于机 器或 工
人 反复加 工相 同或 类似 的工件 ，他 们 的操 作越 来越 熟练 ，使得 在加 工顺 序 中 排在 后面 加 工的工 件的加 工
时 间缩 短 ，这 类 问题 被称 为具 有 学 习效 应 的排序 问题 。学 习效 应 在生 产 中的影 响 最早 是 由 Ｗｒ ｈ 出 ｉ ｔ提 ｇ 的 。Ｂ ｓｕ 提 出一种学 习效应 模 型 ： ｐ，＝ ， ， ＝１… …， （ 中 ｉ ｐ ｋ ， ， ， 其 因子； ， 为正 常加 工 时 间， ０， 口为常数 ，是学 习效应
机械机床毕业设计41带有交货期和加工时间可控的单机排序问题
本科毕业设计论文题目带有交货期和加工时间可控的单机排序问题专业名称机械设计制造及其自动化学生姓名指导教师毕业时间摘要排序问题是一类重要的组合最优化问题。
排序问题普遍应用于管理等学科领域，是组合最优化的一类重要问题。
调度的任务是根据生产目标和约束，为每个加工对象确定具体的加工路线、时间、机器和操作等。
优良的调度策略对于提高生产系统的最优性、提高经济效益都有着极大的作用。
但是由于资源约束和工艺约束的并存，迄今计算复杂性理论表明，多数调度问题属于NP一hard(Nondeterministiepolynomial一Hard，非确定性多项式)难问题，目标解的搜索涉及解空间的组合爆炸。
排序算法的竞争比分析是排序问题对算法风险的一种评估和保障，具有重要的理论意义和实用价值。
本文讨论了带有交货期和工件的加工时间可控的单机排序问题本文首先根据最优排序的性质确定了最优资源的分配方法并将问题转化为指派问题通过构造多项式时间算法确定最优排序#然后本文将学习效应与加工时间可控问题结合分别讨论了加工时间是线性资源函数和凸资源函数两种情况证明了该类问题是多项式时间可解的最后讨论了一种特殊情况学习因子是常数加工时间是凸资源函数给出了复杂性为O(nlogn)的算法通过运行此算法确定最优资源分配量和工件的最优排序。
关键词：排序单台机器,交货期,指派加工时间可控,资源分配.ABSTARCTScheduling problem is an improtan combinatorial opti-zation problem.Scheduling problem is widely applied impr-otant problems in combinatorial optimization.The schedul-ing of tasks according to production objectives and constr-aints,to detemine the specific processing route,time,mac-hine and operation eachobject processing.Good scheduling strategy has a great role in improve economic benefits.But due to the coexistence of resource constraints and technological constaints,so the computati-onal complexity theory shows that,most scheduling problr-m belongs to NP a hard(Nondeter ministiepolynomial Har-d,non deteministicpolynomial) problem target search rela-tes to the combinatorial explosion of the solution space.S-orting algorithm of the comprtitive ratio analysis is the so-ft of algorithm the risks of a assessment and security,has the important theory significance and practical value.This paper discusses the single machine scheduling p-roblem with controllable processing time of delivery and t-he workplece.According to the properties the optimal res-ource allocation method and the problem can be converte-d to assigment problem by construting a polynomial time ,Algorithm to detemine the optimal ordering and the learn-ing effect and problem with controllable processing times Respectively discusses the processing time is a linear res-ource functions and convex resource function in two case-sproved that this kind of problem is polynomial time solv-able finally discussed a special case study factor is consta-nt processing time is a convex resource function gives co-mplexity is O(nlog n)algorithm by running this algorithm .To detemine the optimal resource allocation optimal quan-tity and parts of the soft.Key words:the single machine scheduling,delivery p-eriod,controllable processing times,resource allocation.摘要 (4)ABSTRACT (5)第一章绪论 (8)1.1 课题研究的背景和意义 (8)1.2课题研究的目的意义和主要内容 (9)1.2.1 排序问题的简述 (9)1.2.2 排序问题的求解 (10)1.2.3 算法复杂性的简介 (10)1.3 本章小结 (11)第二章带有交货期和加工时间可控的单机排序问题 (12)2.1 单机排序 (12)2.1.1 符号说明 (12)2.1.2 常用排序方法 (13)2.2带有交货期和加工时间可控的单机排序问题 (14)2.2.1问题描述 (14)2.2.2资源约束 (16)2.2.3模型推广 (19)2.3应用举例及计算结果 (23)2.4本章小结 (25)第三章仿真与分析 (25)3.1车间调度仿真 (25)3.1.1 车间调度问题的描述 (25)3.1.2 车间调度问题的特点 (25)3.2仿真调度的原理和特点 (26)3.2.1 仿真调度的原理 (26)3.2.2 仿真调度的特点 (26)3.3 仿真的基本方法 (27)3.3.1 仿真的三种方法 (27)3.3.2 仿真在调度中的作用 (27)3.3.3 车间生产仿真调度业务流程 (28)3.4 实例仿真 (29)3.6 本章小结 (41)第四章总结与展望 (42)参考文献 (44)毕业设计小结 (45)致谢 (46)第一章绪论1.1课题研究的背景和意义近年来带有可控加工时间的排序问题受到越来越多的关注。
带有交货期和加工时间可控的单机排序问题
本科毕业设计论文题目带有交货期和加工时间可控的单机排序问题专业名称学生姓名指导教师毕业时间毕业设计论文任务计划书一、题目带有交货期和加工时间可控的单机排序问题二、指导思想和目的要求毕业设计（论文）是培养学生自学能力、综合应用能力、独立工作能力的重要教学实践环节。
在毕业设计中，学生应独立承担一部分比较完整的工程技术设计任务。
要求学生发挥主观能动性，积极性和创造性，在毕业设计中着重培养独立工作能力和分析解决问题的能力，严谨踏实的工作作风，理论联系实际，以严谨认真的科学态度，进行有创造性的工作，认真、按时完成任务。
三、主要技术指标1、优化数学模型；2、算法的优化程序；3、仿真程序；4、仿真验证结果；5、设计说明书一份；四、进度和要求第01周----第02周：撰写毕业设计开题报告；第03周----第04周：文献翻译；第05周----第06周：分析并确定优化的目标函数，根据约束条件建立优化数学模型；第07周----第09周：编制算法的优化程序；第10周----第11周：学习使用软件，设计相应的调度方案；第12周----第13周：搭建仿真程序，进行仿真、验证；第14周----第16周：撰写毕业设计论文，论文答辩。
五、主要参考书及参考资料[1]范雁鹏、赵传立.带有交货期和加工时间可控的单机排序问题.沈阳师范大学数学与系统科学学院，沈阳110034.[2] 何燕.基于遗传算法的车间调度优化及其仿真.武汉理工大学.2006[3] 欧阳珍.基于遗传算法的车间调度研究与应用.浙江大学.2004.[4]何少龙.具有安装时间和变量加工时间的单机排序问题.2011.[5] 潘全科.智能制造系统多目标车间调度研究.南京航空航天大学.2003.[6]Michael Pinedo(美).调度：原理、算法和系统（第二版）.清华大学出版社.[7] 薛家兵、鄂明成.基于Flexsim仿真的FMS车间级控制开发系统.北京交通大学.机械与电子控制工程学院.北京.100044.2007.[8]唐恒永.赵传立.排序引论[M].北京：科学出版社.[9]Mor B，Mosheiov G.Scheduling a maintenance activity and due-window assignment based on commom flow allowance[J].International Jouranl of Production Economics.2012.135(1):220-230.[10] Hsu C J,Yang S J,Yang D L. Two due date assignment problemswith position- dependent processing time on a single-machine[J]. Computers & Industrial Engineering,2011,60(4):796–800.[11] Cheng T C E, Oguz C,Qi X D. Due-date assignment for scheduling on a single machine with compressible processing time[J].Internatio nal Journal of Production Economics.1996,43(2):107-113.[12] Shabtay D, Steiner G. The single-machine earliness-tardiness scheduling problem with due date assignment and resource-dependent processing times[J]. Annals of Operations Research,2008,159(1):25-40.学生指导教师摘要排序问题是一类重要的组合最优化问题。
带有学习效应的加工时间可控退化工件单机排序问题
带有学习效应的加工时间可控退化工件单机排序问题隋敏;赵传立【摘要】讨论了带有学习效应、加工时间可控的退化工件的单机排序问题.工件的实际加工时间是一个关于所排位置、开始加工时间和所分配资源的函数.加工时间可控是指工件的实际加工时间是一个依赖资源分配量的函数.目标是确定工件的最优排序、最优加工时间和最优资源分配量、极小化最大完工时间、总完工时间、完工时间差和资源消耗的总费用.考虑了2种情形:学习因子与工件有关的线性资源函数;将学习效应与工件的实际加工时间、依赖开始时间结合在一起的凸资源函数.通过分析最优解的一些重要性质,将这2个问题分别转化为指派问题,给出了2个计算复杂性为O(n3)的最优算法,证明了该问题是多项式时间可解的.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(033)004【总页数】4页(P488-491)【关键词】排序;学习效应;加工时间可控;资源分配;退化工件【作者】隋敏;赵传立【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】O223近年来，带有学习效应和退化工件的排序模型受到越来越多的关注［1-2］。
范雁鹏等［3］研究了加工时间可控的排序问题。
Wei等［4］首先提出了加工时间依赖开始时间和资源压缩率为常量的线性函数单机排序问题。
Wang等［5］讨论了带学习效应和加工时间可控的单机排序问题，目标函数是极小化最大完工时间、总完工时间、完工时间差和资源消耗的总费用，针对加工时间为线性资源函数和凸资源函数2种情况，给出了多项式时间算法。
基于相同的目标函数，Wang等［6］讨论了与Wei等［4］类似的问题。
在Wang等［6］的模型中，加工时间与学习因子为常量的学习效应相关并且资源压缩率与工件相关，对极小化最大完工时间、总完工时间、完工时间差和资源消耗的总费用问题给出了多项式时间算法。
具有学习效应且加工时间可控的单机排序问题
具有学习效应且加工时间可控的单机排序问题王方;赵传立【摘要】讨论一类加工时间可控的单机排序问题.在这一问题的模型中,机器具有学习效应,工件的实际加工时间为同时依赖于所排位置和所分配的资源量的资源消耗函数,其中资源消耗函数又分为线性资源消耗函数和凸资源消耗函数这两种函数.考虑共同工期分派方法和松弛工期分派方法这两种工期分派方法.极小化一个包含加权总误工数的费用、工期分派的费用、最大完工时间的费用和总资源消耗的费用的目标函数.对于工件加工时间的两种资源消耗函数与工期分派方法的不同组合,算法复杂性为O(n4)的多项式时间算法相应地被给出.创新之处是:在Shabtay研究的基础上增加考虑了学习效应后,计算相关问题的算法复杂性仍保持不变.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(031)004【总页数】5页(P471-475)【关键词】单机;排序;学习效应;资源分配;指派问题【作者】王方;赵传立【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】O223带有可控加工时间的排序问题［1－10］，自1980年以来备受关注，并取得了许多研究成果。
本文将学习效应与可控加工时间相结合，拓展了文献［7］的主要结果。
问题可描述如下。
设有n个相互独立的工件的集合，记为｛J1，J2，…，Jn｝，工件在0时都已到达，且加工过程中中断不被允许。
工件J［j］的正常加工时间为P［j］，需要确定工件的加工顺序、划分、工期和资源分配量，极小化一个包含加权总误工数、工期分派、最大完工时间，和总资源消耗的费用函数。
即目标函数为以下形式：其中，Cj是工件Jj的完工时间是最大完工时间。
Uj 是工件Jj 的延误指示变量，即当Cj＞dj时，置Uj＝1；否则，置Uj＝0，dj≥0是工件Jj的工期。
αj是工件Jj的延误费用，非负参数α和β分别表示工期的单位费用和最大完工时间的费用。
具有安装时间和学习效应的单机排序问题
∑C , ∑C , ∑w C 和 ∑T
j k j误时间 , 完工时间和 , 完工时间和的 k 次幂 , 加权完工时间和和延迟时间 [6 ] 和 。所有问题均使用由 Graham , Law ler, Lenstra 等 提出的三元域 α|β|γ表示 。本文主要讨论以下问题 γ ∈ { Cm ax , 1 | L Et , spsd | γ,
第 19 卷 第 4期 2010 年 8 月
运 筹 与 管 理
OPERATI ONS RESEARCH AND MANAGEM ENT SC IENCE
Vol . 19, No. 4 Aug . 2010
具有安装时间和学习效应的单机排序问题
陶明子 , 赵传立
(沈阳师范大学 数学与系统科学学院 ,辽宁 沈阳 110034)
r- 1 r- 1
) - Ck (π) = ( b + 1 ) pk ( 1 C j (π′
∑
i =1 n i =1 r- 1
p[ i ] )
i
α1 α2
r
+ pj ( 1 -
∑p
i =1 r- 1
[ i]
+ pk )
i
α1
n
( r + 1)
α2
-
∑p
∑p
i =1
( b + 1 ) pj ( 1 -
0 引言
在传统的排序模型中 ,加工工件具有一定的安装时间的排序问题是必要的 。安装时间有两种类型 : 一 种是与顺序独立 (安装时间与工件本身有关 ,而与加工完的工件无关 ) ; 一种是与顺序相关 (安装时间不仅 [1] 与工件本身有关还与加工完的工件有关 ) 。 Koulamas和 Kyparisis在文献 中第一次给出了与顺序相关的 安装时间 (即 p - s - d )的排序问题 ,证明某些问题是多项式可解的 ,并将他们的结果扩展到安装时间为非 [2] 线性的形式 。B iskup 和 Herrmann 在文献 分析了工件带有 p - s - d 和工期相关的一些问题 ,证明了极小 化延迟和问题是多项式可解的 ,而极小化总误工问题 ,极小化最大延误问题 ,极小化最大误工问题都是在 某些情况下才具有多项式算法 。 [3] 现在具有学习效应的机器排序问题得到广泛的关注 , B iskup 首次提出具有学习效应的排序问题 ,证 [4] 明了具有学习效应的单机排序的两类重要问题仍然是多项式可解的 。 Kuo 和 Yang 指出在实际生活中 ,
具有截断控制参数学习效应及退化效应加工时间依赖于资源的单机排序问题
具有截断控制参数学习效应及退化效应加工时间依赖于资源的单机排序问题翟雯瑾;罗成新【摘要】讨论具有截断控制参数学习效应和退化效应且工件的加工时间依赖于资源分配的单机排序问题.在凸资源消费函数条件下研究问题,每个任务有一个松弛工期窗口,任务的实际加工时间依赖于截断控制参数、工件的开始加工时间.分别考虑了在工件的提前惩罚、延误惩罚等费用受限的前提下,最小化资源费用;资源消耗总费受限的前提下,使带有提前、延误、交货期开始时间、交货期大小、最大完工时间及总完工时间加权和最小的单机排序问题.将问题转化为指派问题,证明了该问题是在多项式时间内可解的,并分别给出了两个多项式时间的最优算法,并给出了一个算例.【期刊名称】《沈阳航空航天大学学报》【年(卷),期】2017(034)005【总页数】6页(P86-91)【关键词】排序;资源分配;截断控制参数;退化效应;指派问题【作者】翟雯瑾;罗成新【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】Q221.7经典排序中，任务的加工时间是固定的常数，但在实际生产中，任务等待或机器等原因都会引起任务加工时间的增长，即任务的实际加工时间与该任务的开始加工时间有关。
然而考虑到学习效应、退化效应、资源分配等情况，任务的加工时间不再是固定不变的。
通常情况下，给任务分配一定额度资源，任务的加工时间变小。
文献[2]讨论了带有学习和退化效应的单机排序问题，目标函数包括提前、延误和工期的总费用。
由于实际生产活动中的需要，带有资源分配的问题逐渐引起关注，文献[3-5]研究了关于资源分配的单机排序问题。
文献[6]在工件的加工时间与学习指数相关的凸函数下，研究了工件提前、延迟的工期指派问题。
文献[8-13]讨论了带有提前、延误的工期指派问题。
文献[14]研究了具有截断控制参数学习效应和退化效应且工件的加工时间依赖于资源分配的单机排序问题，并求得最大加工时间与总完工时间最小值时的最优算法，本文与文献[14]的差别在于目标函数不同。
加工时间具有学习效应的链约束单机排序问题
ｎｉ
兀（ 一ｂ） 非 增排 列可 得最优 排 序 。 １ ］ 证明 假设 在某 个最优 排 序 ７中 ， 厶 排 在 的前 面 ， ｒ 链 而下 面的不 等式 成立
ｎｉ ｎｉ ｎｉ ｎｌ
口 （一 口 。 一 ６ 磊 （ ６ ） ）
Ｏ 引 言
在经典排序问题 中， 工件的加工时间通常为常数 ， 但在许多实际问题中， 我们经常会遇到工件 的加工时 间是非恒定 的情形。比如 ， 对于长期从事相同或相似工作的人们 ， 他们获得了经验 ， 这就表 明工件 的加工时 间会随着开工时间的推迟而缩短。这类问题称为具有学习效应的排序问题 。Ｂｓｕ Ｄ ｉ ｐ …最早讨论 了与位置 ｋ 有关的学习效应的单机排序问题 ， 他考虑了工件的加工时间是位置的递减函数时 ， 对于 目标函数为极小化共 同工期 偏差 和极 小化 总完工 时 间是多 项式 可解 的 。Ｍ ｓｈｉｖ２ 研究 了加 工时 间更 为一般 的具 有学 习效 应 ｏｓｅ 『 ｏ 的单机排序问题和平行机排序问题。文献 ［ ］ ５ 研究 了更为复杂 的加工时间与位置有关 的学习效应的 ４ 和［ ］ 排 序 问题 。 本文讨论 了具有学习效应 的线性加工时间的链约束单机排序问题。
。
（ ｂ ）一 （ ６ ） １一 ｉ １— ｃ ｋ
口 （一ｔ＋ １ ｂ ［ ‰ （— ＋ １ ６ ｔ一 １ ｂ （一ｏ ０婴。 ６ （— ］ ｋ ） ） １ ） ）
口
。
（—＊一 （— ［ （一ｌ＋Ｉ１ ｂ ｔ＝ １ ６ 卫 １ ６ 口 ） ） １ ｂ （一ｏ］ ｋ １ ）－ ）
要 ： 究 了工件 的加工时间具有学 习效应的链约束单机排 序 问题 ， 研 在链 可中断和不 可中断两种情 况下 ， 均给 出
具有学习效应且工件可拒绝单机排序问题探讨_余英
r 1
p[A i ] pi 1 (1 k 1 p[ k ] )，
m 1
其中 p[ k ] 表示已加工工件中排在第 k 个位置的工件的正常
加工时间， p[i ] 表示已加工工件中排在第 i 个位置的工件 的实际加工时间。 当拒绝加工 i 1 时， Gi 1,m Gi ,m ei 1 。 综合以上两种情况有：
具有学习效应的排序问题首先由Biskup提出，他假 设工件的加工时间随着熟练程度的提高而越来越短，即 工件越往后加工，所需的时间将减少。随后，Mosheiov 和Sidney、Biskup和Simons、Koulamas和Kyparisis等 进行了相关的研究。更多相关研究可参考文献[5]至参 考文献[9]。 王吉波研究了工件的加工时间与已加工工件有关的 学习效应的排序问题，并指出最小化最大完工时间、完 工时间和以及完工时间平方和是多项式时间可求解的， 而最小化加权完工时间和、最大延误在一定条件下是多 项式时间可求解的。 工件可拒绝的排序模型首先由Y.Bartal等提出，他 们分别研究了离线情形和在线情形下的 pm | rej | Cmax TP 的 排序模型。S.S.Selden等探讨了极小化总拒绝费用和最 大完工时间之和的可中断平行机模型。Y.He和X.Min研 究了两台同类机以及三台同类机可拒绝的排序的一个特 殊情形。D.Engels等证明了 1 | rej | j 1 w jC j TP 是NP-困难 的，并给出了伪多项式时间的动态规划算法和FPTAS算
该问题的最优值为 z min{Gn ,k ,0 k n} 。 在这个动态规划算法中，我们需要计算 n(n 1) 个
*
Gi ,m 的值，其中计算每个值需要 O (1) 的时间，所以这个
带有学习效应和加工时间可控的排序问题
带有学习效应和加工时间可控的排序问题范雁鹏;赵传立【摘要】考虑了带有学习效应和加工时间可控的交货期窗口的单机排序问题.工件的加工时间是关于所分配资源的线性函数或凸函数.其中每一个工件均有一个交货期窗口且窗口大小相同,若工件在窗口之前或之后完工则会产生相应的惩罚,若工件在窗口中完工则无惩罚,目标是通过极小化包括提前,误工工件数、窗口的开始时间、窗口大小和资源消耗的总惩罚函数确定工件的最优排序、最优加工时间和最优资源分配量.在加工时间是线性资源函数的情况下,通过将问题转化为一系列指派问题,构造一个多项式时间算法;在加工时间是凸资源函数的情况下,构造了一个在多项式时间内可解的动态规划算法.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(032)002【总页数】5页(P192-196)【关键词】排序;学习效应;加工时间可控;交货期窗口;动态规划算法排序【作者】范雁鹏;赵传立【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳 110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳 110034【正文语种】中文【中图分类】O223在现实生活中，工件的加工时间会由于学习效应现象或增加一些额外的资源而发生变化［1－7］。
Vickson［4］首先提出了关于加工时间可控的排序模型。
Choia等［5］研究了带有可控加工时间和可控释放时间的单机排序问题。
Wang等［6］介绍了带有恶化工件的加工时间可控的排序问题。
Shabtay等［7］提供了一个关于带有可控加工时间的排序问题的综述。
关于工期指派的排序问题受到了许多研究者的关注［8－11］。
在一些近期的文献中，关于交货期窗口的排序问题备受关注。
Meng等［12］研究了带有恶化工件的交货期窗口问题。
Mosheiov等［13］提出了每个工件均有一个不同的交货期窗口的单机排序问题。
Mor等［14］在此基础上增加了一次维修活动，对3种不同的维修情况分别作了详细分析。
同时具有学习效应和退化效应的单机排序问题
Single-machine Scheduling Problems with General Effects of Learning and Deterioration 作者： 刘洋 唐恒永 赵传立
作者机构： 沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁沈阳110034
出版物刊名： 运筹与管理
页码： 81-86页
年卷期： 2012年 第3期
主题词： 运筹学 单机 排序 学习效应 退化效应
摘要：本文给出了一种同时具有一般化学习效应和退化效应的单机排序模型。
在此模型中,工件的实际加工时间既与工件所在位置又与其开工时间有关,且工件在加工之后具有一个配送时间。
其中学习效应是工件所在位置的函数,退化效应是工件开工时间的函数。
证明了极小化最大完工时间和极小化总完工时间问题是多项式可解的,在满足一定的条件下,极小化加权总完工时间和极小化最大延误问题也是多项式可解的。
推广了一些已有文献中的结论。
带学习效应和资源依赖的单机排序模型
带学习效应和资源依赖的单机排序模型余英;程明宝【摘要】在工业生产中,随着员工操作技能的熟练程度的增加,对于相同的任务越往后加工,所花的时间将会减少.同时,为了尽早完工,管理者也会考虑给加工工件分配一定量的额外资源来缩短工件加工时间.本文基于以上实例,讨论了工件的实际加工时间既具有学习效应又依赖所分配资源的单机排序问题.在问题中,假设工件的学习效应是之前已加工工件正常加工时间和的指数函数.同时随着分配给工件资源量的增加,工件的实际加工时间呈线性减少,所需费用呈线性增加.对这一排序模型,主要探讨以下五个目标函数:最小化最大完工时间与资源消耗量总费用的和;最小化总完工时间与资源消耗量总费用的和;最小化加权总完工时间与资源消耗量总费用的和;最小化总提前、总延误、总共同交货期与资源消耗量总费用的和以及最小化总提前、总延误、总松弛交货期与资源消耗量总费用的和.本文对前三个目标函数相应的排序问题给出了多项式时间可求解的算法.对后两个目标函数所涉及的排序问题借助于指派问题分别给出了时间复杂性为O(n3)的算法.%In industrial manufactures,the time spent on the same task will be reduced as the skill level of the staff increases.At the same time,the manager will consider allocating a certain amount of additional resources to shorten the job processing time.In this paper,we consider single machine scheduling problems in which the actual processing time of a job is of learning effect and of resource-dependence based on the above case.In the problem,it is assumed that the actual processing time of a job is an exponential function of the total normal processing time of jobs already processed before it.At the same time,the actual processing time of a job linear decreases and thetotal resource consumption costs linear increases as the resource distributed to the job increases.For such a scheduling problem,we introduce five objective functions:the sum of makespan and total resource consumption costs;the sum of the total completion time and total resource consumption costs;the sum of the total weighted completion time andtotal resource consumption costs;the sum of the total earliness、tardi-ness、common due date and total resource consumption costs and the sum of the total earliness、tardiness、slack due date and total resource consumption costs.For the scheduling problems corresponding to the first three func-tions,we present polynomial time solvable algorithms respectively.We give time solvable algorithms for the scheduling problems corresponding to the last two functions respectively by using assignment problem.【期刊名称】《运筹与管理》【年(卷),期】2018(027)001【总页数】6页(P53-58)【关键词】单机排序;学习效应;资源依赖;指派问题【作者】余英;程明宝【作者单位】俄罗斯人民友谊大学理学院,俄罗斯莫斯科;凯里学院理学院,凯里贵州;广东工业大学管理学院,广东广州【正文语种】中文【中图分类】O2230 引言具有学习效应的排序问题是近30年来研究的热点领域。
加工时间可变的资源约束单机成组排序问题的开题报告
加工时间可变的资源约束单机成组排序问题的开题报告一、研究背景和意义随着工业自动化和信息化的发展，生产流程和管理方式不断的优化和改进，从而对制造业的提升和发展起到了重要的推动作用。
针对单机成组排序问题，在实际工业生产中也存在很大的应用价值。
单机成组排序问题是指在生产过程中，存在多个作业需要加工，但加工时间是可变的，且由于设备的限制，这些作业必须按照一定的规则进行排序，才能达到最优的加工效率和生产效益。
因此，基于单机成组排序问题的研究和优化，对于提高制造业的生产效率和降低生产成本具有重要的意义。
二、研究内容本文针对单机成组排序问题展开研究，主要包括以下内容：1. 定义问题和研究意义：对单机成组排序问题进行定义和划分，并阐述其在实际工业生产中的重要性和应用价值。
2. 系统性的阐述已有的相关研究，包括传统的算法和现有的解决方案，以及存在的不足之处。
3. 提出创新的算法，包括贪心算法、遗传算法、模拟退火算法等，以及算法的优缺点和适用性。
4. 对比分析已有算法和提出算法的优劣，从而得出结论和推进下一步研究的方向。
三、研究方法本研究主要基于文献调研和实验模拟的方法进行。
文献调研是对已有成果和研究方向的梳理和总结，以详细了解和掌握相关研究的背景和现状；实验模拟是采用计算机模拟实验的方法，对提出的算法进行设计和编程实现，并通过实验数据和统计分析的方法，对算法的效率和优劣进行评估和比较。
四、预期结果和意义通过本研究，预期实现以下目标：1. 更深入的了解单机成组排序问题的特点和存在的挑战，以便在优化算法中更好地处理问题，使之达到更好的解决效果。
2. 提出多种不同类型的优化算法，比较其优缺点，对比实验结果，以分析何种算法更适合在实际工业生产中应用。
3. 分析研究结果并据此总结出结论，为进一步研究和解决其他类似问题提供指导。
总之，本研究的意义在于提高制造业的生产效率和降低生产成本，以满足现代制造业对高效节能的要求。
具有学习效应的单机成组排序问题
具有学习效应的单机成组排序问题摘要本文研究了一类加工时间依赖工件位置的成组排序问题。
各工件的加工时间具有与位置有关的学习效应,同组工件必须连续加工且无等待时间,组间存在与顺序无关的安装时间,证明了目标函数为极小化最大完工时间和总完工时间是多项式可解的。
关键词排序;单机;学习效应;成组排序;最大完工时间;总完工时间中图分类号 o221.1 文献标识码 a文章编号1674-6708(2010)19-0019-02the single machine group scheduling problems with learning effectsshi guochundepartment of basic sciences, lanzhou polytechnical college,lanzhou 730050,chinaabstract in the paper,we discuss a class of group scheduling with position-dependent processing time. the same group of jobs are processed continuously without waiting and thedifferent groups have installation time that is nothing to do with the order.it is proved that makespan and total completion time problems is polynomial solvable.keywords scheduling; single machine; learning effect; group scheduling makespan; the total completion time0 引言.biskupd[1]最早讨论了与位置有关的学习效应的单机排序问题,他考虑了工件的加工时间是位置的递减函数时,对于目标函数为极小化共同工期偏差和极小化总完工时间是多项式可解的.mossheiov[2-3]研究了加工时间更为一般的具有学习效应的单机排序问题和平行机排序问题。
具有学习效应和加工时间可控的平行机排序问题
摘 要 ：本 文 研 究 了 一 类 不 相 关 平 行 机 的排 序 问题 ，在 该 问 题 中 工 件 的 加 工 时 间 既 具 有 学 习 效 应 ，又 资 源 可 控 ，也 就 是 说 在 该 问 题模 型 中 ，工 件 的实 际加 工 时 间 为 其 正 常 的 加 工 时 间 、加 工 过 程 中 工 件 所 处 位 置 以 及 加 工 时 间 可 控 这 些 变量 的 函 数 。 该研 究 的 目的 是 为 使 得 总 机 器 负 载 和 总 的控 制 费 用 的 加 权 和 最 小 以 及 总 的 完 工 时 间 和 总 的 控 制 费用 的 加权 和 最 小 。 文 章 通 过 对 问 题 的 相 关 性 质 的分 析 和证 明找 到 了 一个 解 决 问题 的 最 优 化 算 法 ，并 且 也 证 明 了在 处 理 机 的数 量 给定 的 条 件 下 ，该 问题 的 时 间 复 杂 性 为 ０（ｎ～ 。），最 后 也 给 出 了 相应 的 数 值 例 子 来 阐述 该 问 题 。 关 键 词 ：排 序 ；平 行 机 ；学 习 效 应 ；加 工 时 间 可 控 中 图分 类 号 ：０２２３；Ｃ９３４ 文章 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００７—３２２１（２０１８）ｏ３一Ｏ１１３—０５ ｄｏｉ：１０．１２００５／ｏｒｍｓ．２０１８．００６６
Ｐａｒａｌｌｅｌ Ｍ ａｃｈｉｎｅｓ Ｓｃｈｅｄｕｌｉｎｇ ｗ ｉｔｈ Ｌｅａｒｎｉｎｇ Ｅｆｆｅｃｔ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｌｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｔｉｍ ｅｓ
具有加工时间可控的学习效应的排序问题
具有加工时间可控的学习效应的排序问题马冉;赵聪聪【摘要】讨论一类具有学习效应的加工时间可控的排序问题,工件的加工时间不仅与所排的位置有关,还与控制变量有关,并且工件具有共同工期.目标函数是极小化加权总完工与控制费用的和、极小化总误工时间与控制费用的和.对最优排序的问题,将其转化为指派问题,并给出其算法和复杂度.【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2018(034)004【总页数】5页(P101-105)【关键词】学习效应;控制变量;排序;指派问题【作者】马冉;赵聪聪【作者单位】河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000;河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】O2231 引言在经典的排序问题的研究中,工件的实际加工时间与加工位置是没有关系的.然而,在实际生产过程中,工件的加工时间会随着诸多因素发生变化,如:工人技术程度的提高,机器的磨合度增加等,这些使工件加工时间随开工时间非增的情况,称工件具有学习效应.Biscup[1]是最早研究具有学习效应的排序问题.Biscup提出的模型: 假设工件Jj的正常加工时间tj, 若工件Jj排在第r个位置,则实际加工时间为其中α0,称为学习因子.自从学习效应这个概念被排序问题引入后,具有学习效应的排序问题越来越受研究者们的关注.在许多研究工作中,一部分是研究Biscup提出的模型,另一部分是探讨不同的学习效应的模型.Biscup[2]对具有学习效应的排序问题做了一个综述. 刘静和孙世杰等[3]讨论了具有一致性的学习效应的单机排序问题,目标函数为加权完工时间,误工工件的个数,最大延迟,给出了对应的WSPT规则(工件权重与加工时间的比值非增排序), EDD规则(工件的工期非减排序),还提出修正Moore-Hodgson算法可获最优排序.加权总完工时间与最大延迟这两个目标函数,王吉波[4](2008)证明出在一些特殊情况下,WSPT规则和EDD规则可以分别给出多项式算法,也给出在一般情况下,这两个规则的最坏情况界.王吉波等[5]研究了加工时间可控与学习效应连接到一起的排序问题,目标函数是最大完工时间,总完工时间,总完工时间偏差均与控制费用的和.最早研究工期指派问题的是Panwalkar等[6]和Seidmann等[7].Panwalkar等研究的是所有工件都指派了相同工期的排序问题.Seidmann等研究的是每一个工件都可以指派不同工期的排序问题.Gordon等[8]给出了关于所有工件都指派相同工期的排序问题的一个综述.本文在学习效应与加工时间可控的基础上,研究了两个目标函数,即加权总完工时间与控制费用,总误工时间与控制费用问题.文章还给出了最优算法和复杂度.2 问题描述设n个工件是{J1,J2,…,Jn},工件之间相互独立,且没有优先约束,所有工件在零时刻到达,具有共同的工期.机器同一时间只能加工一个工件,加工过程中不允许中断.每个工件都有正常的加工时间pj,设与位置有关的工件的实际加工时间为pjr=pjrα,r为工件所在的位置,α0表示工件的学习效应.本文研究的是加工时间可控且有学习效应的排序问题,对于工件Jj的控制变量,记为χj,具有可控的工件实际加工时间为其中χj为加工时间的控制变量,χj∈⎣Δj,,Δj∈〔0,1〕.当χj=Δj时,工件Jj的加工时间减少,当χj=1时,工件的加工时间只与位置有关.λj为控制单位加工时间所需的费用,所以第r个工件所需的控制费用为总控制费用为对问题给定的任意一个排序π,本文涉及到的符号定义如下表示加权总完工时间dj表示工件Jj的工期,dj≥0表示总误工时间,其中Tj=max{Cj-dj,0}是工件Jj的误工时间本文研究控制变量和加工位置影响加工时间的学习效应的模型,讨论问题的复杂度,并给出相应问题的算法.目标函数1)极小化加权总完工时间与控制费用的和,2)极小化总误工时间与控制费用的和,上述问题用三参数表示法可分别表示为其中LE是指学习效应(learning effect),CPT是指可控的加工时间(controllable processing times).3 问题的分析与求解3.1 加权总完工时间对问题其中目标函数为(1)其中[j]表示排在第j个位置的工件.从上式中得到：对给定的一个排序可看成是工件加工时间控制变量的权.若是负数,则χ[j]取最大值；若是正数,则δ[j]取最小值；若是零,则χ[j]取任意数,即(2)3.2 总误工时间对问题其中考虑工件具有共同工期d；对于Cid的工件,将Ci修改为d,目标函数可表示为(3)如同问题1得出的结论,对于给定的一个排序π,依旧将(n-j+1)-λ[j]看作是工件加工时间的控制变量的权,若(n-j+1)-λ[j]是负数,则χ[j]取最大值；若(n-j+1)-λ[j]是正数,则χ[j]取最小值；若(n-j+1)-λ[j]是0,则χ[j]取任意数,即可以表示为(4)由问题2的分析,可以得出在工件具有共同工期的条件下,总误工时间与总完工时间的分析结果是一样的,即这两个问题可以看成是一个问题.根据以上的分析可以得到定理.定理1 由所给的排序π=(J[1],J[2],…,J[n]),控制变量的最优值δ=(δ[1],δ[2],…,δ[n])的取值,如下所述,加工时间控制变量的权：若是负数,则χ[j]取最大值；若是正数,则χ[j]取最小值；若是0,则χ[j]取任意值.即问题的最优值可由式(2)得到；问题的最优值可由式(4)得到.证明先证明问题由式子(1),对χ[j]求导,得λ[j])jα),所以,当时,χ[j]取最大值；当时,χ[j]取最小值；当时,χ[j]取任意值.即同样地,问题也能得到这样的结论.4 问题的算法与复杂度对于问题为了使目标函数z(χ,π)=∑wjCj+fcpt达到最小,因此,需要寻找最优排序.由式(1),把问题转化为指派问题,令(5)(6)指派问题可表示如下(7)sjr=0或1,j,r=1,2,…,n其中,三个约束条件分别表示：每个工件当且仅当只能排一个位置；一个位置也仅能加工一个工件；sjr是0-1变量.因此,通过这个指派问题,就可以求出问题1的最优排序.同样,对问题令(8)将问题做这样的转化,可以得到问题的最优排序.通过分析,得到最优算法.对于问题算法步骤如下：1)由公式(5),计算ξjr.2)求指派问题(7),得到最优排序.3)通过分析,加工时间控制变量的最优解可由公式(2)求出.算法的时间复杂度为O(n3).对于问题算法步骤如下：1)若Cid,则Ci=d.2)由公式(8),计算ξjr.3)求指派问题(7),得出最优排序.4)通过对问题的分析,加工时间控制变量的最优解可由公式(4)求出.算法的时间复杂度为O(n4).定理2 两个算法分别对应求得问题和问题最优控制变量和最优排序,时间复杂度分别是O(n3)和O(n4).5 结论主要研究了具有可控加工时间的学习效应的排序问题,主要讨论了两个目标函数,即加权总完工时间与控制费用,总误工时间与控制费用,通过分析将排序问题转化为指派问题,并给出了算法和时间复杂度.在未来的研究中,可以将加工时间可控用到更多的研究中,如供应链的排序问题.参考文献:【相关文献】[1] Biskup D. Single-machine scheduling with learning considerations[J].Eur J Oper Res.,1999.115(1):173-178.[2] Biskup D. A state-of-the-art review on scheduling with learning effects[J].Eur J Oper Res,2008,188(2):315-329.[3] 刘静,孙世杰,何龙敏.一致条件下具学习因子的几个单机排序问题[J].运筹学学报,2003，7(3)：21-28.[4] Wang Ji-Bo,et al.Two single machine scheduling problem with a learning effect[J].大连理工大学学报,2008,48(6),932-936.[5] 王吉波,汪佳,牛玉萍.具有学习效应的单机可控加工时间排序问题研究[J].沈阳航空航天学报,2014，3(5)：82-86.[6] Panwalkar S S,Smith M L,Seidmann mon due date assignment to minimize total penalty for the one machine scheduling problem[J].Operations Research,1982,30:391-399.[7] Seidmann A,Panwalkar S S,Smith M L.Optimal assignment of due dates for a single processor scheduling problem[J].International Journal of Production Research,1981,19:393-399.[8] Gordon VS,Proth J M,Chu C B.A survey of the state-of-the-art of common due date assignment and scheduling research[J].European Journal of OperationalResearch,2002a,139:1-25.。
在成组技术下带恶化和学习效应的单机排序问题
在成组技术下带恶化和学习效应的单机排序问题马卫民;孙丽【摘要】In this paper, we introduce a group scheduling model with time-dependent deterioration and position-dependent learning effects.In our models, the group setup times are linear functions of their starting times and the processing times of jobs have learning effects and deterioration.The objectives of scheduling problems are to minimize the makespan and the sum of completion times, respectively.We show that the problems remain solva-ble in polynomial time under the proposed model.%本文研究了带依靠时间的恶化效应和依靠位置的学习效应的成组排序问题.模型中,组安装时间是开始安装时间的线性函数,工件的加工时间带恶化和学习效应,目标函数分别为最小化时间表长问题和最小化总完工时间问题.基于对问题的分析,给出了多项式算法.【期刊名称】《运筹与管理》【年(卷),期】2017(026)001【总页数】4页(P25-28)【关键词】排序;单机;成组技术;恶化;学习效应【作者】马卫民;孙丽【作者单位】同济大学经济与管理学院,上海 201804;同济大学经济与管理学院,上海 201804【正文语种】中文在经典排序中工件的加工时间通常被假设为常数，而实际问题中工件的加工时间通常是变化的, 这样就突破了经典排序的假设，从而产生了一些工件实际加工时间可变的新型排序问题。
具有学习与退化效应的单机排序问题
具有学习与退化效应的单机排序问题
张新功;李文华
【期刊名称】《河南科学》
【年(卷),期】2008(26)4
【摘要】研究了具有学习效应与退化现象的单机排序问题,给出了目标函数为最大完工时间、总完工时间的多项式时间算法;并证明工件的权重与加工时间一致时加权总完工时间问题、工期与加工时间一致时最大延迟问题均有多项式时间算法.【总页数】3页(P398-400)
【作者】张新功;李文华
【作者单位】郑州大学,数学系,郑州,450001;郑州大学,数学系,郑州,450001
【正文语种】中文
【中图分类】O223
【相关文献】
1.具有退化工件和老化效应的单机可拒绝排序问题 [J], 刘春来;王建军
2.同时具有学习效应和退化效应的单机排序问题 [J], 刘洋;唐恒永;赵传立
3.具有截断控制参数学习效应及退化效应加工时间依赖于资源的单机排序问题 [J], 翟雯瑾;罗成新
4.具有截断控制参数学习效应及退化效应加工时间依赖于资源的单机排序问题 [J], 翟雯瑾;罗成新;
5.具有学习效应和退化效应的单机排序问题 [J], 罗成新;李石
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基于加 工时间之和学 习效应 下的单机成组排序 问题木
张新功１ ，
摘要 研究具有加工时间之和学 习效应下 的一个 新型 成组排序 问题 ，工件 的学 习效应是 之前工件加工 时间之和的函数 ， 组学习效应是成组加工所在 的位置 的函数．考虑 最大完工 时
间和总完工 时间两个 问题 ， 证明 了这两个问题 都是 多项式时 间可解的 ， 并提出了相应 的多项 式 时间算法 ． 关键词 单机排序 ， 学 习效应 ， 成组技术，时间表 长，总完 工时间
ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ － ｔ ｉ ｍｅ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｌ ｅ ａ ｒ ｎ ｉ ｎ ｇ ｅ ｆ ｅ ｃ ｔ ．Ｔ ｈ ｅ ｌ ｅ ａ ｒ ｎ ｉ ｎ ｇ ｅ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ａ ｊ ｏ ｂ ｉ ｓ ａ ｓ ｓ ｕ ｍｅ ｄ ｔ ｏ ｂ ｅ ａ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｉ ｍｅ ｓ ｏ ｆ ｊ ｏ ｂ ｓ ｓ ｃ ｈ ｅ ｄ ｕ ｌ ｅ ｄ ｉ ｎ ｆ ｒ ｏ ｎ ｔ ｏ ｆ ｉ ｔ ， ｔ ｈ ｅ ｌ ｅ ａ ｒ ｎ ｉ ｎ ｇ ｅ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ
ｇ ｒ ｏ ｕ ｐ ｉ ｓ ｓｓ ａ ｕ ｍｅ ｄ ｔ ｏ ａ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｉ ｔ ｓ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ．Ｔｈｅ ｇ ｏ ａ ｌ ｉ ｓ ｔ ｏ ｍｉ ｎ ｉ ｍｉ ｚ ｅ ｍａ ｋ ｅ ｓ ｐ ａ ｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｃ ｏ ｍｐｌ ｅ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｉ ｍｅ ｓ ｕ ｎｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐｏ ｓ ｅ ｄ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ， ｒ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ．Ｓ ｏ ｍｅ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｐ ｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ｔ ｉ ｍｅ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍｓ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂｌ ｅ ｍｓ ａ ｒ ｅ ａ ｌ ｓ ｏ ｐｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ．
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收稿 日期： ２ ０ １ １ 年１ ２ 月１ ９ 日
Ｓ ｕ ｐ ｐ ｏ ｒ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ ｔ ｈ ｅ Ｄ Ｆ Ｃ Ｑ ＮＵ （ Ｎ ｏ ｓ ． １ １ ＸＬ Ｂ ０ ２ ７ ， ２ ０ １ １ ＸＬ Ｚ ０ ５ ） ， ｔ ｈ ｅ Ｆ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｃ ｏ ｍｍｉ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ（ Ｎ ｏ ｓ ． ＫＪ １ ２ ０ ６ ２ ４ ， Ｋ Ｊ ｌ １ ０ ６ １ ４ ） ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ Ｔ ｉ ａ ｎ ｙ ｕ ａ ｎ Ｆ ｕ ｎ ｄ ｆ ｏ ｒ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ （ Ｎ ｏ ． １ １ ２ ２ ６ ２ ３ ７ ） ． １ ． Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ ４ ０ ０ ０ ４ ７ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； 重庆师范 大学数学科学学院 ， 重庆 ４ ０ ０ ０ ４ ７ 十 Ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ａ ｕ ｔ ｈ ｏ ｒ通讯作者， Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｚ ｈ ａ ｎ ｇ ｘ ｇ ７ ９ ８ ０ ＠ ｙ ａ ｈ ｏ ｏ ． ｃ ｏ ｉ ｎ ． ｃ ｎ
２ ０ １ ３ 年３ 月
Ｍａ ｒ ｃ ｈ， ２ ０ １ ３
运 筹 学 学 报
Ｏｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｔｒ ａ ｎ ｓ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
第１ ７ 卷 第１ 期
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