数学分析第一章

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一 . 实数及其性质：
1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.
实 数
有理数
正分数,q 负分数, p
(
p,
q为整数且q
0)或有限小数和无限小数.
无理数:用无限不循环小数表示.
若规定： a0.a1a2 L an a0.a1a2 L (an 1)99L 9L
则有限十进小数都能表示成无限循环小数.
an
1 10n
和
xn a0 .a1a2 an
注意：对任何实数x, 有
x0 x1 x2 ,
x0 x1 x2
命题1 设 x a0.a1a2 L , y b0.b1b2 L
为两个实数，则
x > y 存在非负整数 n , 使得 xn > yn
实数的性质 1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是 封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0) 仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
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实数的大小关系有以下性质: (2) x > y, x y, x < y. 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立. (3) 若 x > y, y > z, 则 x > z. 即大小关系具有传递性.
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（4）实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb > a. 理由如下：设
证 倘若a > b，设 a b > 0, 则 a b + ,
与 a < b + 矛盾.
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（6）实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n + 1之间，则 a0 n. 把(n, n + 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, L . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 L an L .
（1）实数的四则运算
有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是 封闭的. 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是 封闭的. 实数的四则运算与大小关系, 还满足:
(1) x, y R, R+ , 若 x < y, 则 x < y.
(2) x1 < x2 , y1 < y2 , 则 x1 + y1 < x2 + y2 .
1 < 1 (b a). n2
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设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k +1 n
> a.
于是, a < k + 1 < k + 2 < b, 则 k + 1, k + 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k + 1 + π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 > 0，a < b + ，则 a b.
第一章 实数集与函数
§1 实数 §2 数集 确界原理 §3 函数的概念 §4 复合函数与反函数
1.1 实数
一 .实数及其性质 二. 绝对值与不等式
记号与术语
R : 实数集
N :自然数集(包含0)
R+ : 正实数集 R :负实数集 Q : 有理数集
N+ : 正整数集 : 任意 : 存在
Z : 整数集
1 < b. n
阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.－212B.C. , 希腊 )
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（5）实数的稠密性
1. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间, 必有另一个 实数 c. 例如 c a + b . 2
2. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间，既有有理 数又有无理数. 证 若 a < b，则由例 1，存在 n N+ , 使
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c.
4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数 都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯 一的代表一个实数.
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k + 1 < 10k+1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 p+k+1, 则 nb 10k+1 > a.
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例1
若
b
>
0,
则
n N+ ,
使得
1 n
<ห้องสมุดไป่ตู้
b.
证 令a 1,由阿基米德性, n N+ , 使 nb > 1，即
对正整数 x a0,记为 x a0 1.999L
对负有限小数（包括负整数）y,先将- y表示成无限小 数，再在无限小数前加负号．如: -8=-7.999
2.两个实数的大小关系
1)定义1
给定两个非负实数
x a0 .a1a2 L an L , y b0 .b1b2 L bn L , 其中 a0 , b0为非负整数 ， ak , bk (k 1,2,L )为整数 ，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L , 则称x与y相等，记为x y；
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反之, 任何一实数也对应数轴上一点.
定义2 设 x a0 .a1a2 an 为非负实数.
称有理数 xn a0 .a1a2 an
为实数x的n位不足近似，而有理数
xn
xn
+1 10 n
称为x的n位过剩近似，n=0, 1, 2, ….
对于负实数 x a0.a1a2 K an K ,
其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为
xn
a0 .a1a2
若a0 > b0或存在非负整数 l, 使得 ak bk (k 1,2L l)而al+1 > bl+1
则称x大于y或y小于x，分别记为 x > y或y < x.
说明: 自对分然于 别规负 称定实x任=数何yx非与,y负x,若<实有y数(-yx大>=于x-)任y与何-负x >实-数y,.则
2) 通过有限小数比较大小的等价条件