课时跟踪训练5

课时跟踪训练(五)

(时间45分钟)

题型对点练(时间20分钟)

题组一 全称命题与特称命题

1．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是( )

A ．斜三角形的内角是锐角或钝角

B ．至少有一个实数x ，使x 2>0

C ．任意无理数的平方必是无理数

D ．存在一个负数x ，使1x >2

[解析] 只有A ，C 两个选项中的命题是全称命题；且A 显然为真命题．因为2是无理数，而(2)2＝2不是无理数，所以C 为假命题．

[答案] A

2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( )

A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0

B ．菱形的两条对角线相等

C ．∀x ∈R ，x 2＝x

D ．对数函数在定义域上是单调函数

[解析] A 中的命题是全称命题，但是a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －

1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；B 中的命题是全称命题，但是是假命题；C 中的命题是全称命题，但x 2＝|x |，故是假命题；很明显D 中的命题是全称命题且是真命题，故选D.

[答案] D

3．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，使x20≤x0；④∃x0∈N*，使x0为29的约数．其中真命题的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

[解析]对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x20≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．

[答案] C

题组二全称命题与特称命题的否定

4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则()

A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．綈p：∀x∈R，sin x≥1

C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1 D．綈p：∀x∈R，sin x>1

[解析]把量词“∀”改为“∃”，把“≤”改为“>”，得“∃x0∈R，sin x0>1”，故选C.

[答案] C

5．命题“∃x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是()

A．∃x∈Z，使x2＋2x＋m>0

B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0

C．∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤0

D．∀x∈Z，使x2＋2x＋m>0

[解析]特称命题的否定为全称命题，否定结论，故选D.

[答案] D

6．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是()

A．有些三角形不是等腰三角形

B．所有三角形是等边三角形

C．所有三角形不是等腰三角形

D．所有三角形是等腰三角形

[解析]在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.

[答案] C

题组三利用全称命题与特称命题求参数

7．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围为()

A．[2，＋∞)

B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．(－∞，－2]

D．[－2,2]

[解析]依题意，知p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，方程x2＋mx＋1＝0的判

别式Δ＝m 2－4≥0，即m ≤－2或m ≥2.由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧

m ≥0

m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A

8．已知p ：∀x ∈R,2x >m (x 2＋1)，q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．

[解] 由命题p 为真可知2x >m (x 2＋1)恒成立，

即mx 2－2x ＋m <0恒成立，又m ＝0时不恒成立

所以⎩⎨⎧ m <0，

Δ＝4－4m 2<0，解得m <－1.

由命题q 为真可得

Δ＝4－4(－m －1)≥0，

解得m ≥－2，

因为p ∧q 为真，所以p 真且q 真，

所以由⎩⎨⎧ m <－1，

m ≥－2，得－2≤m <－1，

所以实数m 的取值范围是[－2，－1)．

综合提升练(时间25分钟)

一、选择题

1．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0“的否定是( )

A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0

B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0

C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0

D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0

[解析] 全称命题：∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0的否定是特称命

题：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0.

[答案] C

2．下列四个命题中，真命题是( )

A ．∀x ∈R ，x ＋1x ≥2

B ．∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2

C ．∃x 0∈R ，|x 0＋1|<0

D ．∀x ∈R ，|x ＋1|>0

[解析] 选项A ，当x >0时，x ＋1x ≥2，所以A 错；选项C ，绝

对值恒大于等于0，故C 错；选项D ，当x ＝－1时，|x ＋1|＝0，所以D 错，故选B.

[答案] B

二、填空题

3．若“∀x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__________．

[解析] y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π4单调递增，所以当x ＝π4时，y max ＝1，∴m 的最小值为1.

[答案] 1

4．已知命题“∃x 0∈R,2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数

a 的取值范围是__________．