用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程的四种类型

题型一：利用导数去切线斜率

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．

例1 曲线3

231

y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为

解：由2

()36f x x

x

'=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，

故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，．

类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

例2 求过曲线3

2y x x

=-上的点(11)-，的切线方程．

类型三：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例3 求过点(20)，且与曲线1

y x =相切的直线方程．

题型二：利用导数判断函数单调性

总结求解函数f(x)单调区间的步骤:

3211

11(1)2

231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程

1(01)x

y xe =+-3

、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程

练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)；

（3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间．

例1.：已知导函数 的下列信息：

注意：

（1）由原函数的图像画导函数的图像看原函数的单调性，决定导函数的正负。 （2）由导函数的图像画原函数的图像看导函数的正负，决定原函数的单调性。 练习.：如果函数的图像如下图

,

那么导函数的图像可能是（ ）

x

x x f x x x f x x x x f ln 2

1

)()3(7

62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。

试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40

)(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<<

1、求函数 的单调区间。

2、求函数f(x)=2sinx ﹣x 的单调区间。 3.8

234)(22

+-=x x

x f

4.x

x x f ln 23)(2

-=

题型三.利用函数单调性，求有关参数的取值范围。

（1） （2）

例1.已知f(x)=2ax-x

2

1,x 在（0,1】上是增函数，求a 的范围。

1

3632)(23+--=x x x x f

例2.1

-ax -x

x f 3

=）（

（1）若f （x ）在R 上为增函数，求a 的范围 （2）是否存在a ，在f （x ）在（-1,1）上位减函数

题型四：利用导数研究函数极值与最值

1. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:

若0

x 满足0)(0

='x f ，且在0

x 的两侧)(x f 的导数异号，则0

x 是)

(x f 的极值点，)(0

x f 是极值，并且如果)(x f '在0

x 两侧满足“左正右负”，

则0

x 是)(x f 的极大值点，)(0

x f 是极大值；如果)(x f '在0

x 两侧满足“左

负右正”，则0

x 是)(x f 的极小值点，)(0

x f 是极小值

2. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )

(2)求方程f ′(x )=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右

正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值

3、例子： 例1求

y =31x 3

－4x +4

的极值

解：y ′=(3

1x 3－4x +4)′=x 2

－4=(x +2)(x －2) 令y ′=0，解得x 1=－2，x 2=2

当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表x

(),2-∞

-2 (-2,2) 2 ()2,+∞

y '

+ 0 － 0 + y

↗

极大值28

3

↘

极小值

43

-

↗

∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值3 当x =2时，y 有极小值且y

极小值=3

f(x)=1

3

x 3-4x+4

2

-2

x

O

y

练习1.求f(x)=x 12-x 3

的极值

2.设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值.

3.设函数1323

1)(23

+-+-=ax ax x x f ，其中10<

4..已知a 为实数，))(4()(2

a x x x f --=

（1）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值；

5． 3

2

()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是