理论力学3章

习 题

3-1 台阶形鼓轮装在水平轴上，小头重量为2Q ，大头重量为1Q ，半径分别为2r 和1r ，分别挂一重物，物体A 重为2P ，物体重B 为1P ，且12P P >。如3-1题图所示，求鼓轮的角加速度。

解：本题有明显的转轴o ，因而可以用角动量定理求解。

系统只有一个转轴，求运动而不求内力，所以取质心为研究对象。

因重力12,P P

对轴o 的力矩不为零，可得：

01122()L PQ PQ k =-

质心系的动量距为：

21202

OQ OP OP k J J J J =+++

22

12121212211()22Q Q p p r r v v r k g g g g

ωωω=+++ 另外还有运动学补充方程：

1122v r v r ωω

==

所以

2222

0112211221(22)2J Q r Q r Pr P r k g

ω=+++

应用角动量定理

由 0i d J L dt =∑

得 222211*********(22)2d Q r Q r Pr P r Pr g dt

ω+++=+11Pr 又 d dt ω

ε= 则有 1122

222

211221122

2()22Pr P r g Q r Q r Pr P r ε-=⋅+++

答案：

()12

11222222

1122122d d 22Pr -P r g t Q r +Q r +Pr +P r ω=。 3-2 如图所示，两根等长等重的均匀细杆AC 和BC ，在C 点用光滑铰链连接，铅直放在光滑水平面上，设两杆由初速度为零开始运动。试求C 点着地时的速度。

解： 系统在水平方向上受力为零，角动量守恒有

2211222

h mv m ω+⨯2（I ）=2g

其中 002/2

v

v l l ω==

0v 为C 点着地时A 点速度

002c v v v =

==

答案：c v =

3-3 半径为a ，质量为M 的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度ω转动，求绕此轴的角动量。

3-2题图

3-1

题图

解 由题意作图 如图所示

由某一质点组对某个固定轴的动量矩

1

n

i i i i J r m v

==

⨯

∑

20

a

dm rd dr rdr d π

ρθρθ==⎰⎰

其中

2

M

a ρπ=

故 223

001()2

a J r dmv d r dr Ma πθρωω=⨯==⎰⎰⎰⎰

答案：21

2

J Ma ω=

3-4 一半径为r ，重量为P 的水平台，以初角速度0ω绕一通过中心o 的铅直轴旋转；一重量为Q 的人A 沿半径B o 行走，在开始时，A 在平台中心。若平台可视为均质圆盘，求以A x o =的函数表示的平台的角速度ω。

解 由题意作图，如图所示

水平台和人组成的系统角动量守恒，则

222

011()22P P Q r r x g g g ωω=+ 2

02

2

2Pr Pr Qx

ωω∴=+ 答案：2

022

2Pr Pr Qx ωω=+。

3-5

一光滑的杆在水平面上绕其上的一点o 以等角速度ω转动，一质点被约束在杆上自由运动。已知0=t 时，质点离o 点的距离为b 并相对于杆静止。试求质点的运动规律和杆对质点的作用力。

答案：运动规律为 ch r b ωt =；作用力为 22sh N F mb ωωt =。

3-6 证明半径为r ，质量为m 的空心球壳绕直径的转动惯量为2

3

2mr 。 解 由题意作图，

如图以球心为坐标原点建立直角坐标系

O xyz -

28cos dm ds r d d σσθψθ==⎰⎰

其中

2

4m

r

σπ=

积分

2222

2(c o s )8c o s 3x I x d m r r d d m r θσ

θψθ===⎰⎰⎰

故空心球壳绕直径的转动惯量为2

3

2mr

3-7 证明底面半径为r ，高为h 的圆锥体，绕对称轴的转动惯量为23

10

mr ，绕底面任一直径的转动惯量为

()

2223

20

1

h r m +。 解 由题意建立如图3-7所示直角坐标系

沿平行于OXY 平面切圆锥体得一切面为圆，则该切面面积为2

S R π=

圆锥体有2

2

tan dR

dV Sdh R dh R

ππθ

=== 由数学知识得：tan Z r R r R r R

Z h h r r θ

---=⇒==

故积分

()()()2

222

2

2222

22203cos tan 203

sin tan 201tan 10r r X dm r dRd mr r Y dm r dRd mr r R Z dm dV mh

ρπϕϕθρπϕϕθρθ⎧==⎪⎪

⎪==⎨⎪

⎪-⎪==⎩

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故对称轴的转动惯量：

()22213

10

I X Y dm mr =+=⎰ 绕底面任一直径的转动惯量：

()222221

(32)20

I X Z dm m r h =+=

+⎰ 得证。

3-8 如椭球方程为

222

222

1x y z a b c ++= 试求此椭圆绕其3个中心主轴转动时的中心主转动惯量，设此椭球质量为m 并且密度ρ是常数。

解 如题3-8图所示，沿y 轴平行于Oxz 平切椭圆得切面为一椭圆，则该椭圆方程为：

2

2

222222111x z y y a c b b +

=⎛⎫⎛⎫-- ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

可求该切面的面积()

221y y S ac b π⎛⎫=- ⎪⎝⎭

故积分()22

2

2

324

115b

b

y b b y y dm y S dy y ac dy ab c b ρπρπρ--⎛⎫=⋅=-⋅= ⎪⎝⎭

⎰⎰⎰