理论力学3章

习 题3-1 台阶形鼓轮装在水平轴上，小头重量为2Q ，大头重量为1Q ，半径分别为2r 和1r ，分别挂一重物，物体A 重为2P ，物体重B 为1P ，且12P P >。

如3-1题图所示，求鼓轮的角加速度。

解：本题有明显的转轴o ，因而可以用角动量定理求解。

系统只有一个转轴，求运动而不求内力，所以取质心为研究对象。

因重力12,P P对轴o 的力矩不为零，可得：01122()L PQ PQ k =-质心系的动量距为：21202OQ OP OP k J J J J =+++2212121212211()22Q Q p p r r v v r k g g g gωωω=+++ 另外还有运动学补充方程：1122v r v r ωω==所以22220112211221(22)2J Q r Q r Pr P r k gω=+++应用角动量定理由 0i d J L dt =∑得 222211*********(22)2d Q r Q r Pr P r Pr g dtω+++=+11Pr 又 d dt ωε= 则有 11222222112211222()22Pr P r g Q r Q r Pr P r ε-=⋅+++答案：()12112222221122122d d 22Pr -P r g t Q r +Q r +Pr +P r ω=。

3-2 如图所示，两根等长等重的均匀细杆AC 和BC ，在C 点用光滑铰链连接，铅直放在光滑水平面上，设两杆由初速度为零开始运动。

试求C 点着地时的速度。

解： 系统在水平方向上受力为零，角动量守恒有2211222h mv m ω+⨯2（I ）=2g其中 002/2vv l l ω==0v 为C 点着地时A 点速度002c v v v ===答案：c v =3-3 半径为a ，质量为M 的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度ω转动，求绕此轴的角动量。

3-2题图3-1题图解 由题意作图 如图所示由某一质点组对某个固定轴的动量矩1ni i i i J r m v==⨯∑20adm rd dr rdr d πρθρθ==⎰⎰其中2Ma ρπ=故 223001()2a J r dmv d r dr Ma πθρωω=⨯==⎰⎰⎰⎰答案：212J Ma ω=3-4 一半径为r ，重量为P 的水平台，以初角速度0ω绕一通过中心o 的铅直轴旋转；一重量为Q 的人A 沿半径B o 行走，在开始时，A 在平台中心。

若平台可视为均质圆盘，求以A x o =的函数表示的平台的角速度ω。

解 由题意作图，如图所示水平台和人组成的系统角动量守恒，则222011()22P P Q r r x g g g ωω=+ 20222Pr Pr Qxωω∴=+ 答案：20222Pr Pr Qx ωω=+。

3-5一光滑的杆在水平面上绕其上的一点o 以等角速度ω转动，一质点被约束在杆上自由运动。

已知0=t 时，质点离o 点的距离为b 并相对于杆静止。

试求质点的运动规律和杆对质点的作用力。

答案：运动规律为 ch r b ωt =；作用力为 22sh N F mb ωωt =。

3-6 证明半径为r ，质量为m 的空心球壳绕直径的转动惯量为232mr 。

解 由题意作图，如图以球心为坐标原点建立直角坐标系O xyz -28cos dm ds r d d σσθψθ==⎰⎰其中24mrσπ=积分22222(c o s )8c o s 3x I x d m r r d d m r θσθψθ===⎰⎰⎰故空心球壳绕直径的转动惯量为232mr3-7 证明底面半径为r ，高为h 的圆锥体，绕对称轴的转动惯量为2310mr ，绕底面任一直径的转动惯量为()2223201h r m +。

解 由题意建立如图3-7所示直角坐标系沿平行于OXY 平面切圆锥体得一切面为圆，则该切面面积为2S R π=圆锥体有22tan dRdV Sdh R dh Rππθ=== 由数学知识得：tan Z r R r R r RZ h h r r θ---=⇒==故积分()()()22222222222203cos tan 203sin tan 201tan 10r r X dm r dRd mr r Y dm r dRd mr r R Z dm dV mhρπϕϕθρπϕϕθρθ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪-⎪==⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故对称轴的转动惯量：()2221310I X Y dm mr =+=⎰ 绕底面任一直径的转动惯量：()222221(32)20I X Z dm m r h =+=+⎰ 得证。

3-8 如椭球方程为2222221x y z a b c ++= 试求此椭圆绕其3个中心主轴转动时的中心主转动惯量，设此椭球质量为m 并且密度ρ是常数。

解 如题3-8图所示，沿y 轴平行于Oxz 平切椭圆得切面为一椭圆，则该椭圆方程为：22222222111x z y y a c b b +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可求该切面的面积()221y y S ac b π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故积分()2222324115bby b b y y dm y S dy y ac dy ab c b ρπρπρ--⎛⎫=⋅=-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰同理可求：23415x dm a bc πρ=⎰，23415z dm abc πρ=⎰ 故中心主转动惯量：()()22221415I y z dm abc b c πρ=+=+⎰ ()()22222415I x z dm abc a c πρ=+=+⎰ ()()22223415I x y dm abc a b πρ=+=+⎰ 又由于椭球体积()22413bby b b y V S dy ac dy abc b ππ--⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰故34m mV abcρπ== 将ρ代入1I ，2I ，3I 得：()22115I m b c =+()22215I m a c =+()22315I m a b =+答案： ()22115I m b c =+，()22215I m a c =+，()22315I m a b =+。

3-9 把分子看作相互间距离不变的质点组，试求以下两种情况下分子的主转动惯量：（1）两原子分子，它们的质量分别为1m 和2m ，间距为l ；(2)形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高为h ，底边长为a ，底边上两质点的质量是1m ，顶点上的是2m 。

解 （1）取二原子的连线为x 轴，而y 轴与z 轴通过质心，则Ox ，Oy ，Oz 轴即为中心惯量主轴。

设1m ，2m 的坐标为()()12,0,0,,0,0l l ，因为O 为质心（如图3-9.1）。

故11220m l m l += （1）且21l l l -= （2） 由（1）（2）得21121212,m l m ll l m m m m =-=++ 所以中心惯量主轴：()2210i i i iI m y z =+=∑()22212212i i i i m m l I m z x m m =+=+∑ ()22212312i i i im m l I m x y m m =+=+∑ （2）如题3-9.2图所示，改原子由A 、B 、C 三个原子构成，C 为三个原子的质心。

由对称性可知，图中Cx 、Cy 、Cz 轴即为中心惯量主轴，设A 、B 、D 三原子的坐标分别为()0,,0,,,0,,,022A B D a a y y y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为C 为分子质心。

所以2112110A A B B D D A B D C A B D m y m y m y m y m y m y y m m m m m m ++++===++++ （1）又由于 B D y y = （2）A B y y h -= （3）由（1）（2）（3）得：1212122,22A B D m h m hy y y m m m m ===-++该分子的中心主转动惯量()()222121122,,2i i i im m I m y z h i A B D m m =+==+∑()()22212,,2i i i im a I m z x i A B D =+==∑()()22221213122,,22i i i im m m a I m x y h i A B D m m =+=+=+∑答案：（1）01=I ，2122312()m m l I I m m ==+。

（2）坐标轴过质心，则21211222m m h I m m =+，2122m a I =，213I I I +=。

3-10 一个均质的半径为a ，高为b 的圆柱体，取其中心为坐标系的原点，柱轴为z 轴，写出它的惯量椭球的方程。

若使其惯量椭球为圆球，a 与b 之比应为多少？解 由题意作图，如图所示取柱体的质心为坐标原点，建立坐标系沿y 轴平行xoy 平切圆柱体的切面面积 2S a π=222b b dV Sdz V Sdz a b π-=⇒==⎰又 2m mV a bρπ== 故积分2322222212b b b b a b z dm z S dz a z dz πρρπρ--===⎰⎰⎰同理可求得422422(cos )4(sin )4a bx dm r b rdrd a b y dm r b rdrd ρπθρθρπθρθ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰故中心惯量2222222122222222222223()()()4343()()()4343()a b b m b I y z dm a a a b b m b I x z dm a a a b m I x y dm a az zπρπρπρ=+=+=+=+=+=+=+==⎰⎰⎰ 123,,A I B I C I ∴===欲使其惯量椭球为球，只需123I I I ==a =即答案：1222=++cz by Ax ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==12422b a m B A ，z ma C 2=。

欲使其惯量椭球为球，必有a b =。

3-11 求惯量张量()i k I 的主轴与主惯量，()215000114008i k Ma I ⎛⎫=-⋅-⎝⎭。

解 根据线性代数的知识令150011008λλ---=-，得(15)(11)(8)(((15)(14)(5)0λλλλλλ⎡⎤-----⨯-=---=⎣⎦即12315,5,14λλλ===222112222222233315404081540408714404020Ma Ma I Ma Ma Ma I Ma Ma Ma I Ma λλλ==⨯===⨯===⨯=求出λ所对应的特征向量分别为123(1,1,(0,1,(0,)T T T ααα===又于主轴相互正交，经正交化和单位化之后得124(1,0,0),(0,,T T Tααα'''===123,,e i e j e j ∴===答案：2138I Ma =，2218I Ma =，23720I Ma =， 1e i =，233e j k =+，333e j k =-+ 。