理论力学3章

习 题

3-1 台阶形鼓轮装在水平轴上，小头重量为2Q ，大头重量为1Q ，半径分别为2r 和1r ，分别挂一重物，物体A 重为2P ，物体重B 为1P ，且12P P >。如3-1题图所示，求鼓轮的角加速度。

解：本题有明显的转轴o ，因而可以用角动量定理求解。

系统只有一个转轴，求运动而不求内力，所以取质心为研究对象。

因重力12,P P

对轴o 的力矩不为零，可得：

01122()L PQ PQ k =-

质心系的动量距为：

21202

OQ OP OP k J J J J =+++

22

12121212211()22Q Q p p r r v v r k g g g g

ωωω=+++ 另外还有运动学补充方程：

1122v r v r ωω

==

所以

2222

0112211221(22)2J Q r Q r Pr P r k g

ω=+++

应用角动量定理

由 0i d J L dt =∑

得 222211*********(22)2d Q r Q r Pr P r Pr g dt

ω+++=+11Pr 又 d dt ω

ε= 则有 1122

222

211221122

2()22Pr P r g Q r Q r Pr P r ε-=?+++

答案：

()12

11222222

1122122d d 22Pr -P r g t Q r +Q r +Pr +P r ω=。 3-2 如图所示，两根等长等重的均匀细杆AC 和BC ，在C 点用光滑铰链连接，铅直放在光滑水平面上，设两杆由初速度为零开始运动。试求C 点着地时的速度。

解： 系统在水平方向上受力为零，角动量守恒有

2211222

h mv m ω+?2（I ）=2g

其中 002/2

v

v l l ω==

0v 为C 点着地时A 点速度

002c v v v =

==

答案：c v =

3-3 半径为a ，质量为M 的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度ω转动，求绕此轴的角动量。

3-2题图

3-1

题图

解 由题意作图 如图所示

由某一质点组对某个固定轴的动量矩

1

n

i i i i J r m v

==

?

∑

20

a

dm rd dr rdr d π

ρθρθ==??

其中

2

M

a ρπ=

故 223

001()2

a J r dmv d r dr Ma πθρωω=?==????

答案：21

2

J Ma ω=

3-4 一半径为r ，重量为P 的水平台，以初角速度0ω绕一通过中心o 的铅直轴旋转；一重量为Q 的人A 沿半径B o 行走，在开始时，A 在平台中心。若平台可视为均质圆盘，求以A x o =的函数表示的平台的角速度ω。

解 由题意作图，如图所示

水平台和人组成的系统角动量守恒，则

222

011()22P P Q r r x g g g ωω=+ 2

02

2

2Pr Pr Qx

ωω∴=+ 答案：2

022

2Pr Pr Qx ωω=+。

3-5

一光滑的杆在水平面上绕其上的一点o 以等角速度ω转动，一质点被约束在杆上自由运动。已知0=t 时，质点离o 点的距离为b 并相对于杆静止。试求质点的运动规律和杆对质点的作用力。

答案：运动规律为 ch r b ωt =；作用力为 22sh N F mb ωωt =。

3-6 证明半径为r ，质量为m 的空心球壳绕直径的转动惯量为2

3

2mr 。 解 由题意作图，

如图以球心为坐标原点建立直角坐标系

O xyz -

28cos dm ds r d d σσθψθ==??

其中

2

4m

r

σπ=

积分

2222

2(c o s )8c o s 3x I x d m r r d d m r θσ

θψθ===???

故空心球壳绕直径的转动惯量为2

3

2mr

3-7 证明底面半径为r ，高为h 的圆锥体，绕对称轴的转动惯量为23

10

mr ，绕底面任一直径的转动惯量为

()

2223

20

1

h r m +。 解 由题意建立如图3-7所示直角坐标系

沿平行于OXY 平面切圆锥体得一切面为圆，则该切面面积为2

S R π=

圆锥体有2

2

tan dR

dV Sdh R dh R

ππθ

=== 由数学知识得：tan Z r R r R r R

Z h h r r θ

---=?==

故积分

()()()2

222

2

2222

22203cos tan 203

sin tan 201tan 10r r X dm r dRd mr r Y dm r dRd mr r R Z dm dV mh

ρπ??θρπ??θρθ?==??

?==??

?-?==?

???????? 故对称轴的转动惯量：

()22213

10

I X Y dm mr =+=? 绕底面任一直径的转动惯量：

()222221

(32)20

I X Z dm m r h =+=

+? 得证。

3-8 如椭球方程为

222

222

1x y z a b c ++= 试求此椭圆绕其3个中心主轴转动时的中心主转动惯量，设此椭球质量为m 并且密度ρ是常数。

解 如题3-8图所示，沿y 轴平行于Oxz 平切椭圆得切面为一椭圆，则该椭圆方程为：

2

2

222222111x z y y a c b b +

=????-- ?

???

??

可求该切面的面积()

221y y S ac b π??=- ???

故积分()22

2

2

324

115b

b

y b b y y dm y S dy y ac dy ab c b ρπρπρ--??=?=-?= ???

???

同理可求：2

3415x dm a bc πρ=?

，234

15

z dm abc πρ=? 故中心主转动惯量：

()()222214

15

I y z dm abc b c πρ=+=+? ()()222224

15

I x z dm abc a c πρ=+=+? ()()222234

15

I x y dm abc a b πρ=+=

+? 又由于椭球体积

()224

13b

b

y b b y V S dy ac dy abc b ππ--??==-= ???

??

故34m m

V abc

ρπ=

= 将ρ代入1I ，2I ，3I 得：

()2211

5I m b c =+

()2221

5I m a c =+

()2231

5

I m a b =+

答案： ()22115I m b c =

+，()22215I m a c =+，()2231

5

I m a b =+。 3-9 把分子看作相互间距离不变的质点组，试求以下两种情况下分子的主转动惯量：（1）两原子分子，它们的质量分别为1m 和2m ，间距为l ；(2)形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高为h ，底边长为a ，底边上两质点的质量是1m ，顶点上的是2m 。

解 （1）取二原子的连线为x 轴，而y 轴与z 轴通过质心，则Ox ，Oy ，Oz 轴即为中心惯量主轴。设1m ，2m 的坐标为()()12,0,0,,0,0l l ，

因为O 为质心（如图3-9.1）。 故

11220m l m l += （1）

且

21l l l -= （2） 由（1）（2）得21121212

,m l m l

l l m m m m =-=

++ 所

以中心

惯

量

主

轴

：

()2210i i i i

I m y z =+=∑

()2

2

2

12212

i i i i m m l I m z x m m =+=

+∑ ()2

2

2

12312i i i i

m m l I m x y m m =+=

+∑ （2）如题3-9.2图所示，改原子由A 、B 、C 三个原子构成，C 为三个原子的质心。由对称性可知，图中Cx 、Cy 、Cz 轴即为中心惯量主轴，设A 、B 、D 三原子的坐标分别为()0,,0,,,0,,,022A B D a a y y y ????

-

? ?????

因为C 为分子质心。所以

211211

0A A B B D D A B D C A B D m y m y m y m y m y m y y m m m m m m ++++=

==++++ （1）

又由于 B D y y = （2）

A B y y h -= （3）

由（1）（2）（3）得：121212

2,22A B D m h m h

y y y m m m m ===-++

该分子的中心主转动惯量

()()222

12112

2,,2i i i i

m m I m y z h i A B D m m =+=

=+∑

()()2

2

2

12,,2i i i i

m a I m z x i A B D =+==∑

()()2

2

2

21213122,,22i i i i

m m m a I m x y h i A B D m m =+=+=+∑

答案：（1）01=I ，2

122312()

m m l I I m m ==+。

（2）坐标轴过质心，则2

12112

22m m h I m m =+，2122m a I =，213I I I +=。

3-10 一个均质的半径为a ，高为b 的圆柱体，取其中心为坐标系的原点，柱轴为z 轴，写出它的惯量椭球的方程。若使其惯量椭球为圆球，a 与b 之比应为多少？

解 由题意作图，如图所示取柱体的质心为坐标原点，建立坐标系

沿y 轴平行xoy 平切圆柱体的切面面积 2

S a π=

2

22

b b dV Sdz V Sdz a b π-=?==?

又 2m m

V a b

ρπ== 故积分23

2

2

22

2

2

12

b b b b a b z dm z S dz a z dz πρρπρ--===

?

?

?

同理可求得

42

2

4

22

(cos )4

(sin )4

a b

x dm r b rdrd a b y dm r b rdrd ρπθρθρπθρθ==

==??????

故中心惯量222

2

2

2

2122222

222222

223()()()

4343()()()4343()a b b m b I y z dm a a a b b m b I x z dm a a a b m I x y dm a a

z z

πρ

πρπρ=+=+=+=+=+=+=+==??? 123,,A I B I C I ∴===

欲使其惯量椭球为球，只需123I I I ==

a =

即

答案：12

2

2

=++cz by Ax ，其中???

? ??+==12422b a m B A ，z ma C 2

=。

欲使其惯量椭球为球，必有a b =。

3-11 求惯量张量()

i k I 的主轴与主惯量，

(

)2

1500011

4008i k Ma I ??

=-?

-??

。 解 根据线性代数的知识

令

15001100

8λ

λ---=-，得

(15)(11)(8)(((15)(14)(5)0λλλλλλ??-----?-=---=??

即

12315,5,14λλλ===

222

1122222222

33315404081540408714404020

Ma Ma I Ma Ma Ma I Ma Ma Ma I Ma λλλ==?===?===?=

求出λ所对应的特征向量分别为

123(1,1,(0,1,(0,)T T T ααα===

又于主轴相互正交，经正交化和单位化之后得

12

4(1,0,0),(0,,T T T

ααα'''===

123,,e i e j e j ∴===

答案：2138I Ma =

，2218I Ma =，23720

I Ma =， 1e i =

，233

e j k =

+

，333e j k =-+ 。 3-12 半径为R 的非均质圆球，在距中心r 处的密度可以用2

02(1)

r R

ρρα=-表示，式中0p 和α都是常数。求圆球绕直径转动时的回转半径。

解 设dm 表示据球心为r 的一薄球壳的质量，则

2

2

2

02(1)r dm r dr r dr R

πρπρα==-

所以该球对球心的转动惯量

22

4

50020

75(1)35

R

R

r I r dm r dr R R α

πραπρ-==-=??

(1)

在对称球中，绕直径转动的转动惯量

2

3

I I '=

(2) 又球的质量22

30020

53(1)15

R

R r m dm r dr R R α

πραπρ-=

=-=?

?

(3)

又绕直径的回转半径 K =

(4)

由（1）（2）（3）（4）得：K =

答案：K =

。

3-13 立方体绕其对角线转动时回转半径为2

3d k =，试证明式中d 为对角

线的长度。

解 如图3-13.1图所示Oxyz 坐标系。O 为正方体的中心。Ox ，Oy ，Oz 分别与正方体的边平行。由对称性知，Ox ，Oy ，Oz 轴就是正方体的中心惯量主轴。设正方体的边长为a 。

设adydz 为平行于x 轴的一小方条的体积，则正方体绕x 轴的转动惯量

()222

2222

6

a a

xx a a m I a y z dydz a ρ--=+=

??

根据对称性得： 2

6

y y z z

x x

m I I

I a === 易求正方体的对角线与Ox ，Oy ，Oz 轴的夹角都为θ。且

cos

θ=

故正方体绕对角线的转动惯量

2222

cos cos cos 6

xx yy zz m I I I I a θθθ=++=

（1）

又由 d = （2）

于绕对角线的回转半径 k = （3） 由（1）（2）（3）得：2

3d k =

3-14 每个人行走时，都会有一种自然步频。略去膝关节的效应，试用最简单的模型来估算步频。（提示：以均匀杆模型进行计算）

解

答案： 1.62f =Hz 。

3-15 一个飞机的螺旋桨绕轴的转动惯量为I ，所受的驱动力矩和摩擦阻力 矩分别为

()001cos L L a t ω=+，0

f L b L θ=-+ 其中a 、b 和0ω均为正的常量，求其稳定运动时的角速度。

解：以螺旋桨为研究对象，其可视为刚体，螺旋桨在驱动力距L 的作用运动，螺旋桨绕其轴转动，则转动微分方程为

00

(1cos )I L a t b θωθ=+- 即 00

(1cos )I b L a t θθω+=+ （1） 将（1）式除以I 得

0(1cos )L b

a t I I

θ

θω+=+ (2) 这是一个二阶常系数非齐次方程，它所对应的齐次方程的特征方程为

20b

r r I

+=

其解为 1r c =，2b r r I

=- 则方程的通解为

12b t I

c e

c θ-=+ （2）

下面求解非齐次方程的特解，由于非齐次项为

00000(1cos )cos L L L

a t a t I I I

ωω+=+ 所以相应的特解由1θ和2θ构成，其中1θ为

L b

I I

θ

θ+= （3） 的特解由微分方程理论知，特解

134c t c θ=+ （4）

将其代入（3），比较系数可得

3L c b

=

，40c = 故 0

1L t b

θ=

而2c 为方程

0cos L b

a t I

I

θ

θω+= （5） 的特解，由微分方程理论知，其特解的形式为

25060cos sin c t c t θωω=-+ （6）

将（6）代入（5），用比较系数法求5c 和6c ，由于

2500600sin cos c t c t θωωωω=-+ 2225006000

cos cos sin c t c t t θωωωωω=-- 故有 2

05060aL b

c c I I

ωω-+

= 260500b

c c I ωω--=

解得 05222aL I

c I b

ω=-+

062220

()aL b

c I b ωω=+

000022220

(sin cos )

()aL b t I t I b ωωωθωω-=

+

把0θ,1θ和2θ相加即得该问题得解，即

012θθθθ=++

00

000122220

(sin cos )

()b t I

L aL b t I t c e

c t I I b ωωωωω--=++

++ 式中的1c 和2c 为待定常数，它们由螺旋桨的初始角位移0θ和初始角速度0

θ 确定。

答案：()

()00002

22

sin cos aL b t I t I b ωωωθω

ω+=

+。

3-16 一圆盘以匀速0v 沿一直线做无滑动的滚动。杆AB 以铰链固结于盘的边缘上B 点，其A 端沿上述直线滑动。求A 点的速度与盘转角?的关系，设杆长为l ，盘的半径为r 。

解 如题3-16.1图示。由于圆盘作无滑滚动，所以D 为圆盘的瞬心。 故B v DB ⊥，设圆盘匀速转动的角速度为ω，则

00D v v r ω=-=得0

v r

ω=

所以 02sin

2sin

22

B v DB r v ?

?

ωω=?=?= (1)

因为A 点的速度沿地面水平向右，分别作A v 和B v 的垂线交C 点，则C 点即

为杆的瞬心。且得：

sin sin A B B AC ABC

v v v BC CAB

∠=?

=∠ 由几何知识可知B v 与竖直方向夹角为2

?，902MBC ?∠=-

又知 90ABN θ∠=-

1802

CBA MBC ABN ?

θ∠=-∠-∠=+

又90CAB θ∠=-

，所以

sin sin 2cos sin cos cos 22A B B v v v ?θθ??θθ

?

?+ ?

????==+ ??? (2)

又sin cos BN AB OD OB θ?==-。即：sin cos l r r θ?=- 得 ()sin 1cos r

l

θ?=- (3) 故

cos θ==

(4) 由（1）（2）（3）（4）得：

202sin 12A v v ??? ??=??

?

答案：202sin 12A v v ??? ??=+??

?

3-17 质量为M ，半径为r 的均质圆柱，放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮并悬挂质量为m 的物体。设圆柱体只滚不滑并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆柱体质心的加速度1a ，物体的加速度2a 及绳张力T 。

解 如题3-17.1图，设圆柱体的转动角速度为k ωω=-

，设它受到地面的

摩擦力为f ，由动量定理和动量距定理知：

3-16题图3-17

题图

1x

c F

T f Mx

Ma =+==∑ （1） 21

2

Z

M Tr fr Mr ω=-+=-∑ （2） 对于滑块，由动量定理知：

2y

F

T mg my

ma =-==-∑ （3） 又由无滑滚动条件知：

c x

r ω= 两边对时间求导得 1c a x r ω== （4） :以C 为基点： 1Ax a a r ω

=+ 假设绳不拉伸，则 2Ax a a =。故21a a r ω=+ （5）

由（1）（2）（3）（4）（5）解得：

1438mg a M m =

+2838mg a M m =+338mMg

T M m

=+

答案：1438mg a M m =

+，2838mg a M m =+，338mMg T M m

=+。

3-18 均质圆盘半径为a ，放在粗糙水平桌面上，绕通过其中心的竖直轴转

动，开始时角速度为0ω，已知圆盘与桌面的摩擦系数为μ，问经过多长时间后盘将静止？

解 如图3-18.1所示。z 轴过O 点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为ρ。设盘沿顺时针转动，则沿z 的方向有

z

z dI M dt

= 即 z z I M ω= （1）

I 为转盘绕z 轴的转动惯量：21

2

I ma =

（m 为盘的质量）， z ωω=- （2）

（ω为圆盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）

()223

2002233a

z M g r d dr g a gma m a π

πμρθμρμπρ==

==?

? （3） 由（1）（2）（3）得 43g a μω=-

又因为()00ωω=， 故()043t g

t a

μωω=- 所以()0t ω=，得0

34a t g

ωμ=

答案：g

a t μω430

=

。 3-19 矩形均质薄片ABCD ，边长为a 与b ，重为mg ，绕竖直轴AB 以初角速度0ω转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直于薄片，其量值与薄片面积及速度平方成正比，比例系数为k 。问经过多长时间后，薄片的角速度减为初角速度的一半？

解：如题3-19.1图，坐标Oxyz 与薄片固连，则沿z 轴方向有：

z dz

M dt

= 且 z z I ω= （1）

现取如图阴影部分的小区域dS ady =，则该区域受到的阻力

()2

2z df kdSv kady y ω==

df 对z 轴的力矩 23z z dM df y ka y dy ω=-?=-

所以 32

04

a

z z z a b M dM k

ω==-? （2） 又薄片对z 轴的转动惯量()22

20013a a I y dm y bdy ma m ab ρρ====??（3）

由（1）（2）（3）得：32

34z z ka b m

ω

ω=-

又()00z ωω=，解得()20

1

31

4z t ka b t m ωω=

+

当()0

2

z t ωω=

时，20

43m t ka b ω=

答案：2

43m

t ka b ω=

。 3-20 质量为m 的小球串在半径为R 的光滑圆环上，并可沿圆环自由滑动。如环在水平面内以角速度ω绕环上一点o 转动，写出小球的运动方程。

解 以地面为参考系，则小环的运动微分方程为

()()2cos 2

2sin 2

m r r N m r r N θ?θ??

?-=???

?+=?? 其中2cos ,22

r R t θθ?ω==+，θ为质点的位矢r 和oo '

的夹角

3-19

题图

3-20题图

()22

21cos 2sin 2222tan sin cos 222

2

R R r r r r R R θθθθωθ?

?θθθ?

θθωωθ

??

-+

?+??

=

=---++

化简得：2

sin 0θ

θω+= 答案：0sin 2=+θωθ ，θ为质点的位矢r 和oo ' 的夹角。

3-21 一面粗糙另一面光滑的平板质量为M ，光滑的一面放在水平桌上，木板上放一质量为m 的球，若板沿其长度方向突然有一速度为V ，问此球经过多长时间开始滚动而不滑动?

解 如题3-21.1图，Ox 轴与速度方向一致，Oz 轴垂直纸面向外，设球的半径为r ，则球绕任一直径的转动惯量2

25

I mr =

。由动量定理和动量矩定理可知：对小球： c mx

N μ= （1） 0c my

N mg =-= （2） I Nr ω

μ= （3） 对木板： c Mx

N μ'=- （4） 由（1）（2）（3）（4）得：5,,2c c g mg

x g x r M

μμμω'===-

设球与板的接触点为A ，则t 时刻A 点的速度为：

052A c g

v v r x t tr gt tr r μωω

μ=+=+=+ （5） t 时刻木板的速度 c mg

v V x t V t M

μ''=+=- （6）

球由滑动变为滚动的条件是： A v v '= （7）

由（5）（6）（7）解得：7()2V

t m g M

μ=

+

答案：()2V

t g M

μ=

+。

3-22 圆轮C 沿水平直轨道向右做只滚不滑的运动，AB 杆的A 端铰接在圆轮边缘上，B 端可沿斜面滑动，已知轮心的速度为0v

，圆轮半径为R ，AB 杆长为L ，试求图示位置（AB 杆水平）时B 点的加速度。

解 选AB 杆为研究对象，则

A

AB v AP ω=

'

由正弦定理得

sin 45sin 75AP l

'=

则sin 45sin 75

AP l '=

所以AB

c ω= 以A 为基点，则

n B A BA BA a a a a τ=++ 2cos30B A AB a a l ω=+

故2

2

1.22 5.6B A c C a l v R l ????=+=+?? ??

????? 答案：2

1.22 5.6B C a v R l ??=+

???

，其方向沿斜面向下。 3-23 半径为r 的圆轮沿一水平面无滑动地滚动，圆轮中心的初速度为0v 。若滚动地摩擦系数为k ，求圆轮中心在停止前所走过的距离S 。

解 设圆轮的重量为P ，停止前滚动的角度为θ，则滚动的距离

S r θ=