北师大版初中数学九年级下册《二次函数》教案

二次函数

【知识点一：二次函数的定义】

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零． 2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

【典型例题】

1、下列函数中是二次函数的有（ ）

①y = x ＋x 1；②y =3（x －1）2＋2；③ y =（x ＋3）2－2x 2

；④ y =21

x

＋x ．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 2、当m 时，函数2235y m x x

（m 为常数）是关于x 的二次函数．

3、 当____m

时，函数2

56

4m

m y

m

x +3x 是关于x 的二次函数．

4．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：

写出用t 表示s 的函数关系式.

【变式练习】

1．下列函数是二次函数的是（ ）

A ．y =2x +1

B ．y =－2x +1

C ．y =x 2+2

D ．y =

1

2

x －2 2、下列函数：① 23y x ；

② 21y x x x ；③ 224y x x x

；

④ 2

1

y x x ；

⑤ 1y

x x ，其中是二次函数的是 ，其中a

，b ，c ．

3、如果函数 y =（m ＋2）x 2

2-m ＋2x －1是二次函数，则m = ．

图6（1） 图6（2）

4、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，S 与 r 的关系是（ ）

A 、一次函数关系

B 、正比例函数关系

C 、反比例函数关系

D 、二次函数关系 5、图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时， 拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2） 建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．2

2y x =- B ．2

2y x =

C ．212y x =-

D ．2

12y x

=

【提高练习】

1、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；

(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．

2、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.

【知识点二：抛物线】

1、二次函数y =x 2 与y =－x 2

的图象都是____________，都是______对称图形．性质如下：

2、函数y =x 2与y =－x 2的图象关于 对称，也可以认为y =－x 2是函数y =x 2的图象绕 旋转得到．

3、函数y =－x 2的图像是一条_________线，开口向______，对称轴是_________， 顶点是________，顶点是图像最_____点，表示函数在这点取得最_____值，它与函数y =x 2的图像的开口方向________，（填“相同”或“相反”）对称轴________，顶点_______（填“相同”或“相反”）

【典型例题】

1、填空：（1）抛物线2

2

1x y =

的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x = 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线2

2

1x y -

=的对称轴是

（或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x = 时，该函数有最 值是 ．

2、对于函数2

2x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称. 其中正确的是 . 3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）

A 、开口向下

B 、对称轴是 y 轴

C 、与 y 轴不相交

D 、最高点是原点

【变式练习】

1、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝1

2

gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函

数图像大致是（ ）

A B C D

2、函数2

ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3、已知函数2

4

m

m y mx 的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.

4、二次函数1

2-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.

s t O

s

t

O s

t

O s

t

O