2020-2021学年上海市第二中学高一上学期期末数学试题 (解析版)
专题19 立体图形的直观图(解析版)
专题19 立体图形的直观图一、单选题1．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D ．斜二测坐标系取的角可能是135【试题来源】2021年高考一轮数学（文）单元复习一遍过 【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行于x 、z 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，直角变为45或135进行判断，即可得出结论．【解析】对于A 选项，在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同，A 选项正确； 对于B 、C 选项，由平行于x 轴或z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变， 平行于y 轴的线段长度在直观图中是原来的一半，则B 选项正确，C 选项错误； 对于D 选项，在平面直角坐标系中，90xOy ∠=，在斜二测画法中，45x O y '''∠=或135，D 选项正确．故选C ． 2．如图，水平放置的三角形的直观图，D 是A B ''边上的一点且13D A A B ''''=，//A B Y '''轴，//C D X '''轴，那么C A ''､C B ''､C D ''三条线段对应原图形中的线段CA ､CB ､CD 中A ．最长的是CA ，最短的是CB B ．最长的是CB ，最短的是CAC ．最长的是CA ，最短的是CDD ．最长的是CB ，最短的是CD【试题来源】河北省唐山市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【分析】直接利用斜二测画法求解． 【解析】因为//A B Y '''轴，//C D X '''轴， 所以在原图中，,2,AB CD AB A B CD C D ''''⊥==，所以22222222222,2CB CD BD CD B D CA CD AD CD A D ''''=+=+=+=+， 因为13D A A B ''''=，所以CB CA CD >>，故选D 3．如果一个正方形的边长为4，那么用斜二测画法画出其直观图的面积是A ．B ．C ．8D ．16【试题来源】山西省吕梁市汾阳中学、孝义中学、文水中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【分析】由斜二测画法的原则：横等纵半，，写出直观图面积即可．【解析】若斜二测画法所得正方形如下图A’B’C’D’，根据横等纵半知4A B C D ''''==，2A D B C ''''==且45A D C '''∠=︒，所以直观图的面积sin 45S A B A D ''''=⋅⋅︒=B ．4．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，1B O C O ''''==，12A O ''=，那么原ABC 的面积是AB ．12C ．1D ．2【试题来源】福建省三明市三地三校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】C【分析】由直观图求出原图三角形的高，即可求解．【解析】由直观图中12A O ''=，2B C ''=知原图中1212AO =⨯=，且AO BC ⊥，2BC =，所以原ABC 的面积是面积为1121122BC OA ⨯⨯=⨯⨯=，故选C5．如图，一个正方形OABC 在斜二测画法下的直观图是个一条边长为1的平行四边形，则正方形OABC 的面积为A ．1B ．4C ．1或4D ．不能确定【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修2） 【答案】C【分析】由题意，111O A =或111O C =，可得正方形OABC 的边长为1或2，即可求出正方形OABC 的面积．【解析】由题意，111O A =或111O C =，所以正方形OABC 的边长为1或2， 所以正方形OABC 的面积为1或4．故选C6．如图直角'''O A B △是一个平面图形的直观图，斜边''4O B =，则原平面图形的面积是A ．B ．C ．4D【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】A【分析】根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解．【解析】由题意可知'''O A B △为等腰直角三角形，''4O B =，则O A ''=，所以原图形中，4OB =，OA =故原平面图形的面积为142⨯⨯=A7．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45，腰和上底均为1，1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为A ．2+B 122C ．22+D ．1+【试题来源】陕西省西安市阎良区2019-2020学年高一上学期期末 【答案】A【分析】先判断原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，1，代入梯形的面积公式计算．【解析】平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为11的的等腰梯形，∴原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为1+∴原平面图形的面积22S ==+A ．8．如图，A B C '''是ABC 的直观图，其中//,//A B O x A C O y ''''''''，且1A B A C ''''==，那么ABC 的面积是A ．1B ．C ．8D 【试题来源】安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据斜二测画法的原则，确定原三角形的形状，以及边长，即可求出三角形的面积． 【解析】根据斜二测画法可得，原图形中，//AB Ox ，//AC Oy ，则AB AC ⊥， 又1AB A B ''==，22AB A C ''==，所以ABC 的面积是112ABCS AB AC =⨯=， 故选A ．9．如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为A ．4B ．6C ．8D ．2+【试题来源】陕西省西安中学2020-2021学年高一上学期期末 【答案】C【分析】根据斜二测画法求解． 【解析】直观图如图所示：由图知原图形的周长为13138OA AB BC CO +++=+++=，故选C10．某水平放置的OAB 用斜二测画法得到如图所示的直观图O A B '''△，若O B A B '''='，则OAB 中A ．90OBA ∠=︒B ．OB BA =C ．OB OA =D ．OB OA >【试题来源】重庆市2020-2021学年高二上学期期末联合检测数学（康德卷）试题 【答案】D【分析】90OBA ∠≠，所以选项A 错误；OB BA ≠，所以选项B 错误； OB OA >，所以选项C 错误，选项D 正确．【解析】设O B A B x '''='=，所以45B A O '''∠=，所以O A ''=，所以在OAB 中，90,90BOA OBA ∠=∴∠≠，所以选项A 错误；由题得2OB x =，BA ==，所以OB BA ≠，所以选项B 错误；因为2,OB x OA ==，所以OB OA ≠，OB OA >所以选项C 错误，选项D 正确．故选D11．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的 A ．12倍 B ．14倍C ．2倍 D 倍【试题来源】江苏省徐州市第一中学2020-2021学年高三上学期期末 【答案】D【分析】根据斜二测画法中原图形面积S 与直观图面积S '的关系式S ='即可得出答案．【解析】斜二测画法中原图形面积S 与直观图面积S '的关系式S ='所以S S '==故选D 12．如图，已知等腰三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是A ．2B ．1CD ．【试题来源】江苏省苏州市工业园区园区三中2019-2020学年高一下学期期中 【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解．【解析】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以O A A B ''''==，所以原平面图形为且2OB O B ''==，OA OB ⊥，2OA O A ''==所以原平面图形的面积是122⨯⨯=D 13．在用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，则在直观图中∠A ′等于 A ．45° B ．135° C ．90°D ．45°或135°【试题来源】【新教材精创】 练习 苏教版高中数学必修第二册 【答案】D【分析】根据直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°即可得答案【解析】因∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，故∠A ＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x ′O ′y ′＝45°或135°，即∠A ′＝45°或135°．故选D ． 14．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是 A ．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B ．正方形的直观图为平行四边形 C ．梯形的直观图不是梯形D ．正三角形的直观图一定为等腰三角形【试题来源】【新教材精创】 练习 苏教版高中数学必修第二册 【答案】B【分析】根据斜二测画法的方法：平行于y 轴的线段长度减半，水平长度不变即可判断．． 【解析】由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°； 当线段与x 轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x 轴平行， 当线段与x 轴平行时，线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行关系没有改变．故选B ．15．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．18cm【试题来源】江西省吉安市省重点中学2020-2021学年高二年级（10月）联合考试（文） 【答案】A【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算． 【解析】将直观图还原为平面图形，如图所示．2OB O B ''=＝2OA O A ''==，所以6AB ==，所以原图形的周长为16cm ，故选A ．【名师点睛】本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键．根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图形中的问题．16．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于A ．1B ．2+C ．122+D ．12+【试题来源】宁夏贺兰县景博中学2020-2021学年高一上学期期末考试 【答案】B【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，根据梯形面积公式即可求解． 【解析】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以1(11)222S =⨯=+B ．17．如图，边长为1的正方形''''O A B C 是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则图形OABC 的面积是A B ．2C D ．【试题来源】江西省南昌县莲塘第三中学2020-2021学年高二上学期第二次月考 【答案】D【分析】根据直观图画出原图可得答案．【解析】由直观图''''O A B C 画出原图OABC ，如图，因为''O B =OB =，1OA =，则图形OABC 的面积是 故选D18．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为A ．2B ．C ．3D ．【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】D【分析】在斜坐标系中作A C B C ''''⊥交x '轴于A '点有2A C，根据斜二测法的画图原则：纵半横不变，得222AC A C ，1OA =，即可知最长边BC 的长度．【解析】由斜坐标系中作A C B C ''''⊥交x '轴于A '点，由1O B ''=，O B C '''等腰直角三角形，2A C由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下：所以222AC A C ，1OA =，所以最长边BC =，故选D 19．如图，A O B '''为水平放置的AOB 斜二测画法的直观图，且3,42''''==O A O B ，则AOB 的周长为A ．9B ．10C ．11D ．12【试题来源】广西崇左高级中学2020-2021学年高一12月月考【答案】D【分析】由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解．【解析】由直观图可得，在OAB 中，23,4OA O A OB O B '''='===，且OA OB ⊥，所以5AB ==，所以OAB 的周长为34512++=．故选D ．20．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为A ．10B ．12C ．14D ．16【试题来源】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考（文）【答案】C【分析】按直观图画法可知原四边形的边长，进一步可求原四边形的周长．【解析】由直观图与原图形的关系，可知原四边形为矩形，边3OA =，边4OC =， 所以原四边形周长为14．故选C21．如图是水平放置的三角形的直观图，2AB BC ==，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则ABC 在原图中的对应三角形的形状和面积分别为A B ．等腰三角形；2C ．直角三角形；4D ．直角三角形；8【试题来源】浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期12月第三次月考【答案】C【分析】利用斜二测画法的定义和过程，可判断三角形的形状，以及利用边长求面积．【解析】根据斜二测的直观图的画法可知，原图中，AB BC ⊥，并且原图中2BC =，4AB =，所以ABC 在原图中的对应三角形的形状是直角三角形，面积12442S =⨯⨯=．故选C 22．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原ABC 的面积是A B ．2C ．D ．4 【试题来源】江西省余干县新时代学校2020-2021学年高一上学期阶段测试（二）【答案】C【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得原三角形的面积．【解析】由直观图可知，原三角形BC 边长为2，BC 边上的高为所以ABC 的面积是122⨯⨯= C ． 23．若边长为2的正111A B C △是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是ABC ．D ．【试题来源】【新东方】418【答案】D【分析】先画出该直观图，由题中条件，根据斜二测画法，求出原图形的高，以及底边长，进而可求出原图形的面积．【解析】因为直观图是由斜二测画法作出的，图中1145A OC ∠=，因为111A B C △是边长为2的正三角形，11120OA C ∠=，在11OA C 中，由正弦定理可得12sin120sin 45OC =，解得1OC =根据斜二测画法的特征，可得原水平放置的三角形的高为12OC =，底边长等于112A B =，所以原图形的面积为122⨯=D ． 24．一个三角形用斜二测画法所作的直观图是一个边长为2的正三角形，则原三角形的面积为A BC ．D ．【试题来源】重庆市万州第三中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】C【分析】在直观图中求出三角形的高，利用斜二测画法的规则求出原三角形中三角形的高后，利用面积公式可得结果．=角形的高为=122⨯=C 25．利用斜二测画法得到：①三角形的水平放置的直观图是三角形；②平行四边形的水平放置的直观图是平行四边形；③矩形的水平放置的直观图是矩形；④菱形的水平放置的直观图是菱形．以上结论正确的是A ．①B ．①②C ．③④D ．①②③④【试题来源】陕西省西安交大附中2019-2020学年高一上学期12月月考【答案】B【分析】根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行x 轴的线段长度不变，平行y 轴的线段长度减半，直角变为45或135判断．【解析】由斜二测画法的规则可知因为平行关系不变，所以①正确；因为平行关系不变，所以②是正确；因为直角变为45或135，所以矩形的直观图是平行四边形，所以③错误；因为平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴的线段长度不变，所以④是错误，故选B ． 26．一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个直角边为a 的等腰直角三角形，则原图形的面积为A 2B ．2C 2D 2 【试题来源】安徽省合肥市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中（理）【答案】D【分析】先计算出直观图的面积，再根据原图面积S 与直观图的面积S '的关系为S ='，即可求解． 【解析】平面图形的斜二测画法的直观图是一个直角边为a 的等腰直角三角形，212S a '∴=，则原图形的面积2212S a ==．故选D ． 27．下列命题中正确的是A ．正方形的直观图是正方形B ．平行四边形的直观图是平行四边形C ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修2）【答案】B【分析】选项A ，正方形的直观图是平行四边形；选项B ，由斜二测画法规则知平行性不变知②正确；选项C ，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行；选项D ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．【解析】选项A ，正方形的直观图是平行四边形，故A 错误；选项B ，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；选项C ，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C 错误；选项D ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D 错误．故选B ．28．若水平放置的四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//AC O B ''''，A C B C ''⊥''，1A C ''=，2O B ''=，则原四边形AOBC 的面积为A ．12B ．6C ．D 【试题来源】江西省景德镇一中2020-2021学年高一上学期期末考试（理）【答案】C【分析】根据图象，由“斜二测画法”可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可【解析】根据图象可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，作A M O B '⊥''，则211O M '=-=，由'''4A O B π∠=，得''A O =2''AO A O ==，''1AC A C ==，''2OB O B ==，且AO OB ⊥，//AC OB ，所以，原四边形AOBC 的面积为11()(12)22S AC OB AO =+⨯=⨯+⨯=C29．已知水平放置的平面四边形ABCD ，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则ABCD 的周长为A ．2B ．6C ．2D ．8【试题来源】河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末【答案】D【分析】根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可．【解析】由直观图可得原图形如图，根据斜二测画法可知，1AB CD ==，AC =在Rt ABC 中， 3BC ===，又AD BC =，所以四边形ABCD 的周长为23218⨯+⨯=，故选D30．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A ''=，45B A O '''∠=，//B C O A ''''．则原平面图形的面积为A ．32B ．62C ．322D ．34【试题来源】【新东方】绍兴qw119【答案】A【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可．【解析】45B A O '''∠=B O A '''=∠，则O A B '''△是等腰直角三角形，所以2A B OB '''==O C C B ''''⊥，45C O B '''∠=︒，所以1B C ''=，在直角坐标系中作出原图形为梯形OABC ，//OA BC ，2,1OA BC ==，高22OB = 所以其面积为1(21)22322S =+⨯=A 【名师点睛】本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S '，原图形面积为S ，则24S S '=． 二、多选题1．利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是A ．①B ．②C ．③D ．④【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】AB【分析】根据斜二测画法的概念选择．【解析】水平放置的n 边形的直观图还是n 边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误，故选AB ．【名师点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题．2．水平放置的ABC 的直观图如图所示，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原ABC 是一个A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边互不相等的三角形D 【试题来源】人教A 版（2019） 必修第二册 过关斩将 第八章【答案】AD【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可．【解析】由题中图形知，在原ABC 中，AO BC ⊥．2A O ''=，AO ∴=1B O C O ''''==，2BC ∴=，2AB AC ==，ABC ∴为等边三角形．ABC ∴的面积为122⨯=AD ． 3．如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D ′为B ′C ′的中点，且A ′D ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，那么在原平面图形ABC 中A ．AB 与AC 相等B ．AD 的长度大于AC 的长度C ．AB 的长度大于AD 的长度D ．BC 的长度大于AD 的长度【试题来源】【新教材精创】 练习 苏教版高中数学必修第二册【答案】AC【分析】首先根据斜二测画法的直观图还原几何图形，根据实际图形的长度关系判断选项．【解析】根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系xoy ，//BC x 轴，并且BC B C ''=，点D 是BC 的中点，并且作//AD y 轴，即AD BC ⊥，且2AD A D ''=，连结,AB AC ，所以ABC 是等腰三角形，AB AC =，AB 的长度大于AD 的长度，由图可知BC B C ''=，2AD A D ''=，由图观察，12A DBC ''''>，所以2B C AD ''''<，即BC AD <．故选AC【名师点睛】本题考查由直观图还原实际图形，判断长度关系，重点考查斜二测画法的规则，属于基础题型．三、填空题1．已知水平放置的四边形ABCD ，按照斜二测画法画出它的直观图A ′B ′C ′D ′如图所示，其中A ′D ′＝2，B 'C '＝4，A ′B ′＝1，则DC 的长度是___________．【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题【答案】【分析】根据直观图画出原图，并计算出DC 的长．【解析】画出原图如下图所示，由图可知DC ==【名师点睛】本题主要考查斜二测画法的直观图和原图的对应关系，属于基础题． 2．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x轴．已知四边形ABCD 的面积为2，则原平面图形的面积为___________．【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题 【答案】28cm【分析】根据平面图形中，原图面积与直观图面积之间的关系即可求解． 【解析】设原图面积为S ，直观图面积1S ，根据直观图面积与原图面积的关系1S =，因为1S =容易解得8S =，故答案为28cm ．【名师点睛】本题考查斜二侧画法中直观图与原图面积之间的关系，属基础题．3．如图所示，直观图四边形''''A B C D 是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是___________．【试题来源】四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高二上学期开学考试（文）【答案】2+【分析】根据斜二侧画法可知，原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【解析】根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底1AD =，高2''2AB A B ==，下底为1BC =+22=+2+ 【名师点睛】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础． 4．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中1O A O B ''''==，2O C ''=，则ABC 面积为___________．【试题来源】安徽省合肥168中学2019-2020学年高二（上）期中数学（文）试卷题【分析】把直观图还原为原图形，再计算对应图形的面积． 【解析】用斜二测画法作出的直观图，还原为原图形，如图所示；ABC 中，1OA O A ''==，1OB O B ''==，2OC O C ''==，且OC AB ⊥，所以ABC 的面积为11·222ABC S AB OC ∆==⨯= 【名师点睛】本题主要考查利用斜二测画法作直观图，考查直观图面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．5．如图，梯形''''A B C D 是一平面四边形ABCD 按照斜二测画法画出的直观图，其中''//''A D B C ，''2A D =，''4B C =，''1A B =，则原图形DC 边的长度是___________．【试题来源】备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过【答案】．【分析】画出原图，根据斜二测画法，由边的关系，即可得解． 【解析】如图，做DH BC ⊥与H ，由题意可得2AD =，4BC =，2AB =，2,2DH HC ==，由勾股定理可得222228,DC DC =+==【名师点睛】本题考查了直观图和原图的关系，考查了斜二测画法，计算量不大，属于基础题．6．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为___________．【试题来源】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考（理） 【答案】14【解析】因为平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图，且'''45AO C ∠=︒，所以四边形OABC 是矩形，且3,4OA OC ==， 所以四边形OABC 的周长为2(34)14⨯+=，故答案为147．水平放置的ABC 的斜二测直观图'''A B C 如图所示，已知''3,''2A C B C ==，则ABC 的面积为___________．【试题来源】安徽省蚌埠市田家炳中学2020-2021学年高二上学期12月月考（文） 【答案】6【解析】由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示；ABC ∴的面积为132262⨯⨯⨯=．故答案为6．8．利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是___________(填序号)．【试题来源】【新教材精创】 练习 苏教版高中数学必修第二册 【答案】①②【分析】根据斜二测画法的特点进行判断即可．【解析】斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，有的边的长度会发生变化，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形． 故答案为①②9．四边形ABCD 的直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形A B C D ''''，那么四边形ABCD 的面积为___________．【试题来源】贵州省遵义市航天高级中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】2+【分析】根据四边形ABCD 的直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，可得原图是上底为1，下底为1+2的直角梯形，即可求出原图四边形ABCD 的面积．【解析】由题意知直观图如图：1A D ''=，1D C ''=，45D A B '''∠=，过点D 作D O A B '''⊥于点O ，所以2A O '=，所以121A B ''=+=，原图如图：1AB =2AD =，1CD =，所以梯形ABCD 面积为11222+⨯=+，故答案为2+【名师点睛】本题主要考查了斜二测画法作图规则，属于逆用题型．10．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），45ABC ∠=，112AD BC ==，则该平面图形的面积为___________．【试题来源】江西省赣州市会昌县会昌中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）【答案】2【分析】根据题中条件，先求出直观图的高，得出直观图中的AB 的长，再由斜二测画法的特征，得出原图形为直角梯形，根据梯形面积公式，即可求出结果．【解析】在直观图中，过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点D 作DF BC ⊥于点F ， 因为45ABC ∠=，112AD BC ==，所以1EF AD ==，则12BE CF ==，因此2cos 452BE AB ==， 又根据斜二测画法的特征可得，在原图中，AB BC ⊥，//AD BC ，即原图为直角梯形，且高为直观图中AB 的2倍，所以该平面图形的面积为()11222S =⨯+=．故答案为2．【名师点睛】本题主要考查由直观图求原图的面积，熟记斜二测画法的特征即可，属于基础题型．11．已知ABC 的斜二测直观图如图所示，则ABC 的面积为___________．【试题来源】山西省朔州市怀仁县大地学校2019-2020学年高二上学期第一次月考 【答案】2【分析】求出斜二测直观图的面积，再由斜二测直观图的面积与原图的面积关系即可得解． 【解析】由题意，ABC 的斜二测直观图的面积1212sin 4522S '=⨯⨯⨯=，所以ABC 的面积22S '===．故答案为2． 12．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形O A B C ''''，且2O A ''=，1O C ''=，A B ''平行于y '轴，则这个平面图形的面积为___________．【试题来源】安徽省马鞍山二中2020-2021学年高二上学期10月阶段考试（文）【答案】【分析】根据斜二测画法的规则原图是水平放置的一个直角梯形，画出图象求解即可． 【解析】根据斜二测画法的规则可知水平放置的图形OABC 为一直角梯形，如图：由题意可知上底为2OA =，高为AB =213BC =+=，所以该图形的面积()1322S =⨯+⨯=；故答案为 13．如图，A B C D ''''是一个平面图形ABCD 的水平放置的斜二测直观图，则这个平面图形ABCD 的面积等于___________．【试题来源】【新东方】杭州新东方高中数学试卷360【答案】。
2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷试题数：20，总分：01.（填空题，0分）已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=___ ．2.（填空题，0分）函数f（x）= log2(x−1)x−2的定义域为 ___ ．3.（填空题，0分）若指数函数y=f（x）的图像经过点（12，2）则函数y=f（x）-2x+1的零点为 ___ ．4.（填空题，0分）不等式1|x|＜x的解集为 ___ ．5.（填空题，0分）已知log62=a，用a表示log412=___ ．6.（填空题，0分）已知函数y=（log2a）x在R上是严格减函数，则实数a的取值范围是___ ．7.（填空题，0分）定义区间[a，b]（a＜b）的长度为b-a，若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集区间长度为2，则实数m的值为 ___ ．8.（填空题，0分）设x，y∈（1，+∞），若log2x、log2y的算术平均值为1，则2x、2y的几何平均值的最小值为 ___ ．9.（填空题，0分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且是（-∞，0）上的严格减函数，若f（1）=0，则满足不等式（x-1）f（x）≥0的x的取值范围为 ___ ．10.（填空题，0分）已知a∈{-2，-1，13，23，43，2}，当x∈（-1，0）∪（0，1）时，不等式x a＞|x|恒成立，则满足条件的a形成的集合为 ___ ．11.（填空题，0分）函数y=f（x）（x＜0）的反函数为y=f-1（x），且函数g（x）={f(x)，x＜0log2(x+1)，x≥0是奇函数，则不等式f-1（x）≥-2的解集为 ___ ．12.（填空题，0分）已知函数f（x）=|2x-1|，若函数g（x）=f2（x）+mf（x）+ 14有4个零点，则实数m的取值范围为 ___ ．13.（单选题，0分）已知陈述句α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，则M与N之间的关系为（）A.M⊂NB.M⊃NC.M=ND.M∩N=∅14.（单选题，0分）若log3m＜log3n且log m3＜log n3，则实数m、n满足的关系式为（）A.0＜m＜n＜1B.0＜n＜m＜1C.0＜m＜1＜nD.1＜m＜n15.（单选题，0分）设a1、a2、b1、b2、c1、c2都是非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0的解集为A，不等式a2x2+b2x+c2＞0的解集为B，则“A=B是“ a1a2=b1b2=c1c2＞0”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件16.（单选题，0分）定义在R上的函数y=f（x）的表达式为f（x）= {x2，x∈Qx，x∈Q，给出下列3个判断：（1）函数y=f（x）是非奇非偶函数；（2）当a＜0且a∈Q时，方程f（x）=a无解；（3）当a＞0时，方程f（x）=a至少有一解；其中正确的判断有（）A.0个B.1个C.2个D.3个17.（问答题，0分）已知集合A={x||x-a|≤2}，不等式2x−1x+2≥1的解集为B．（1）用区间表示B；（2）若全集U=R，且A∩ B =A，求实数a的取值范围．18.（问答题，0分）已知a、b都是正实数，且ba=b-a．（1）求证：a＞1；（2）求b的最小值．19.（问答题，0分）设函数y=f（x）的表达式为f（x）=x2+|x-a|，其中a为实常数．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；在区间（0，a]上为严格减函数，求实数a的最大值．（2）设a＞0，函数g（x）= f(x)x20.（问答题，0分）已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S（x、y可以相同），有x+y∈S且x-y∈S．（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z．2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：01.（填空题，0分）已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=___ ． 【正确答案】：[1]{0，1，2}【解析】：求出集合B ，利用交集定义能求出A∩B ．【解答】：解：∵集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}， B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}， ∴A∩B={0，1，2}， 故答案为：{0，1，2}．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.（填空题，0分）函数f （x ）=log 2(x−1)x−2的定义域为 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，2）∪（2，+∞） 【解析】：根据使得函数f （x ）= log 2(x−1)x−2的表达式有意义即可解决此题．【解答】：解：要使得函数f （x ）=log 2(x−1)x−2的表达式有意义， 则 {x −1＞0x −2≠0 ，解得x∈（1，2）∪（2，+∞）．∴函数定义域为（1，2）∪（2，+∞）． 故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．【点评】：本题考查函数定义域求法，考查数学运算能力，属于基础题．3.（填空题，0分）若指数函数y=f （x ）的图像经过点（ 12 ，2）则函数y=f （x ）-2x+1的零点为 ___ ．【正确答案】：[1]x=1【解析】：利用待定系数法求出f （x ）=4x ，再利用零点的定义求解即可．【解答】：解：设指数函数y=a x ，∵图像经过点（ 12，2），∴ a 12 =2，解得a=4，∴f （x ）=4x ， ∴y=f （x ）-2x+1=4x -2x+1，令y=0，则4x =2x+1，∴2x=x+1，∴x=1， 故答案为：x=1．【点评】：本题考查了待定系数法求的应用，零点的求法，是基础题． 4.（填空题，0分）不等式 1|x| ＜x 的解集为 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：结合x 的范围分类讨论，转化为二次不等式进行求解即可．【解答】：解：由题意得， {x |x |＞1x ≠0 ，即 {x ＞0x 2＞1 或 {−x 2＞1x ＜0，解得，x ＞1，所以原不等式的解集（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．【点评】：本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用，属于基础题． 5.（填空题，0分）已知log 62=a ，用a 表示log 412=___ ． 【正确答案】：[1] 1+a2a【解析】：利用换底公式以及对数的运算性质求解．【解答】：解：log 412= log 612log 64 = log 62+12log 62 = 1+a2a， 故答案为： 1+a2a ．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式的应用，是基础题．6.（填空题，0分）已知函数y=（log 2a ）x 在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，2）【解析】：根据指数函数的单调性，可得0＜log2a＜1，结合对数函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．【解答】：解：∵函数y=（log2a）x在R上是严格减函数，∴0＜log2a＜1，∴1＜a＜2，故答案为：（1，2）．【点评】：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，属于基础题．7.（填空题，0分）定义区间[a，b]（a＜b）的长度为b-a，若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集区间长度为2，则实数m的值为 ___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据题意利用根与系数的关系，以及解集区间长度为2得到关于m的方程，再求出m即可．【解答】：解：因为不等式x2-4x+m≤0的解集区间长度为2，所以Δ=16-4m＞0，解得m＜4；设方程x2-4x+m=0的解是x1，x2，则x1+x2=4，x1x2=m，因为|x1-x2|=2，所以√(x1+x2)2−4x1x2 =2，所以16-4m=4，解得m=3，所以实数m的值为3．故答案为：3．【点评】：本题考查了不等式与对应方程的应用问题，也考查了根与系数的关系以及转化思想和方程思想，是基础题．8.（填空题，0分）设x，y∈（1，+∞），若log2x、log2y的算术平均值为1，则2x、2y的几何平均值的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：由已知结合对数运算性质可求xy，然后结合基本不等式求出x+y的最小值，再由指数运算性质可求．【解答】：解：由题意得，log2x+log2y=2，所以xy=4，所以x+y ≥2√xy =4，当且仅当x=y=2时取等号，则√2x•2y = √2x+y≥4．故答案为：4．【点评】：本题主要考查了对数与指数的运算性质，考查了算术平均数与几何平均数的概念，还考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．9.（填空题，0分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且是（-∞，0）上的严格减函数，若f（1）=0，则满足不等式（x-1）f（x）≥0的x的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][-1，0]∪{1}【解析】：偶数形结合分类讨论x＜1和x≥1即可求解．【解答】：解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且是（-∞，0）上的严格减函数，f（1）=0，可得f（0）=0，f（-1）=0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由于（x-1）f（x）≥0，当x＜1时，f（x）≤0，所以-1≤x≤0，当x≥1时，f（x）≥0，所以x=1，综上所述，x的取值范围是[-1，0]∪{1}．故答案为：[-1，0]∪{1}．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查分类讨论与数形结合思想的应用，考查运算求解能力，属于基础题．10.（填空题，0分）已知a∈{-2，-1，13，23，43，2}，当x∈（-1，0）∪（0，1）时，不等式x a＞|x|恒成立，则满足条件的a形成的集合为 ___ ．【正确答案】：[1] {−2，23}【解析】：直接利用幂函数的性质进行分类讨论，即可得到答案．【解答】：解：令f（x）=x a，因为当x∈（-1，0）∪（0，1）时，不等式x a＞|x|恒成立，则当x∈（-1，0）∪（0，1）时，幂函数f（x）的图象在y=|x|的图象的上方，如果函数f（x）为奇函数，则第三象限有图象，故f（x）不是奇函数，所以a=-1，a= 13不符合题意；当x∈（0，1）时，函数f（x）=x a＞x，即1＞x1-a，所以1-a＞0，解得a＜1，所以a= 43，a=2不符合题意．综上所述，满足条件的a形成的集合为{−2，23}．故答案为：{−2，23}．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，幂函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．11.（填空题，0分）函数y=f（x）（x＜0）的反函数为y=f-1（x），且函数g（x）={f(x)，x＜0log2(x+1)，x≥0是奇函数，则不等式f-1（x）≥-2的解集为 ___ ．【正确答案】：[1][-log23，0）【解析】：当x＜0时-x＞0，所以g（-x）=log2（-x+1），再利用函数g（x）的奇偶性可求出f（x）的解析式，进而求出f-1（x）的解析式，注意不要忽视定义域，从而求出不等式f-1（x）≥-2的解集．【解答】：解：当x＜0时，-x＞0，∴g（-x）=log2（-x+1），又∵g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），∴-g（x）=log2（-x+1），即g（x）=-log2（-x+1），∴f（x）=-log2（-x+1）（x＜0），令y=-log2（-x+1），x＜0，则y＜0，∴-x+1=2-y，∴x=1-2-y，∴f-1（x）=1-2-x（x＜0），∴1-2-x≥-2，即2-x≤3，∴-x≤log23，∴x≥-log23，又∵x＜0，∴-log23≤x＜0，即不等式f-1（x）≥-2的解集为[-log23，0），故答案为：[-log 23，0）．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查了求反函数，以及解指数不等式，是中档题．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）=|2x -1|，若函数g （x ）=f 2（x ）+mf （x ）+ 14 有4个零点，则实数m 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1]（- 54，-1）【解析】：由函数解析式画出函数图象，再令t=f （x ），将g （x ）转化为t 的函数，再由图象求m 的范围即可．【解答】：解：由函数f （x ）=|2x -1|，如图所示；令t=f （x ）， 则h （t ）=t 2+mt+ 14， 则h （t ）=0，t 最多有两解， 而t=f （x ）关于x 最多有两解，故g （x ）=0有4解时，必对应h （t ）与f （x ）均有2解， f （x ）=t 有两解，如图， 只要t∈（0，1）即可，故原问题转化为h （t ）=0的根t 1，t 2∈（0，1），且t 1≠t 2， 由于h （t ）过（0， 14 ）， 对称轴t=- m2 必在（0，1）内， 且顶点处h （t ）＜0，且h （1）＞0， 即 {0＜−m 2＜1ℎ(−m 2)=1−m 24＜0ℎ(1)=54+m ＞0 ，即- 54 ＜m ＜-1，，-1）．故答案为：（- 54【点评】：本题考查函数的零点与方程的关系，属于中档题．13.（单选题，0分）已知陈述句α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，则M与N之间的关系为（）A.M⊂NB.M⊃NC.M=ND.M∩N=∅【正确答案】：B【解析】：利用充要条件与集合间关系的转化即可求解．【解答】：解：∵α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，∴N⫋M，故选：B．【点评】：本题考查了充要条件与集合间关系的转化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.（单选题，0分）若log3m＜log3n且log m3＜log n3，则实数m、n满足的关系式为（）A.0＜m＜n＜1B.0＜n＜m＜1C.0＜m＜1＜nD.1＜m＜n【正确答案】：C【解析】：根据对数函数的图象和性质即可判断．【解答】：解：∵log3m＜log3n，∴0＜m＜n，∵log m3＜log n3，∴0＜m＜1，n＞1，∴0＜m＜1＜n．故选：C．【点评】：本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．15.（单选题，0分）设a1、a2、b1、b2、c1、c2都是非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0的解集为A，不等式a2x2+b2x+c2＞0的解集为B，则“A=B是“ a1a2=b1b2=c1c2＞0”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：B【解析】：根据不等式的基本性质，充分必要条件的定义判断即可．【解答】：解：① 当A=B=∅时，不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0可能是不同的不等式，则a1a2=b1b2=c1c2＞0不一定成立，∴充分性不成立，② 若a1a2=b1b2=c1c2=k＞0时，则不等式a1x2+b1x+c1＞0⇔ka2x2+kb2x+kc2＞0⇔a2x2+b2x+c2＞0，∴A=B，∴必要性成立，∴A=B是a1a2=b1b2=c1c2＞0的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查充要条件的判断，不等式的基本性质，属于中档题．16.（单选题，0分）定义在R上的函数y=f（x）的表达式为f（x）= {x2，x∈Qx，x∈Q，给出下列3个判断：（1）函数y=f（x）是非奇非偶函数；（2）当a＜0且a∈Q时，方程f（x）=a无解；（3）当a＞0时，方程f（x）=a至少有一解；其中正确的判断有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：C【解析】：根据函数表达式，分别讨论变量是有理数和无理数，即可得到结论．【解答】：解：（1）若x∈Q，则-x∈Q，则f（-x）=x2=f（x），此时为偶函数，若x∈ Q，则-x∈ Q，则f（-x）=-x=-f（x），此时为奇函数，综上y=f（x）是非奇非偶函数，故（1）正确，（2）当a＜0且a∈Q时，f（x）=x2≥0，则方程f（x）=a无解，故（2）正确，（3）当a＞0时，若a∈Q，则由f（x）=a2=a，得a=1，若a∈ Q，则由f（x）=x=a，得x=a只有一解，故（3）错误，故选：C．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，根据分段函数的表达式，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键，是中档题．17.（问答题，0分）已知集合A={x||x-a|≤2}，不等式2x−1x+2≥1的解集为B．（1）用区间表示B；（2）若全集U=R，且A∩ B =A，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，分析可得2x−1x+2≥1⇔ x−3x+2≥0⇔（x-3）（x+2）≥0且x+2≠0，解可得集合B，即可得答案；（2）根据题意，求出集合A以及B，由A∩ B =A可得A⊆ B，由此分析可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，2x−1x+2≥1⇔ x−3x+2≥0⇔（x-3）（x+2）≥0且x+2≠0，解可得：x＜-2或x≥3，即B=（-∞，-2）∪[3，+∞）；（2）由（1）的结论，B=（-∞，-2）∪[3，+∞），则B =[-2，3），A={x||x-a|≤2}=[a-2，a+2]，若A∩ B =A，则A⊆ B，则有-2≤a-2＜a+2＜3，解可得：0≤a＜1，即a的取值范围为[0，1）．【点评】：本题考查不等式的解法，涉及集合之间的关系，属于基础题．18.（问答题，0分）已知a 、b 都是正实数，且 b a =b-a ．（1）求证：a ＞1；（2）求b 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．（2）根据已知条件，结合换元法和基本不等式的公式，即可求解．【解答】：证明：（1）∵ b a =b-a ，∴ b (1−1a )=a ，又∵a ，b 都是正实数，∴ (1−1a )＞0 ，∴ 1a ＜1 ，又∵a ＞0，∴a ＜1，即得证．（2）∵ b a =b-a ，∴ b (1−1a )=a ，∵a ＞1，∴ b =a 2a−1 ，令t=a-1（t ＞0），则b= a 2a−1 = (t+1)2t =t +1t +2≥2√t •1t +2=4 ， 当且仅当t=a-1=1，即a=2时，取得最小值，所以a=2时，b 的最小值为4．【点评】：本题主要考查不等式的证明，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．19.（问答题，0分）设函数y=f （x ）的表达式为f （x ）=x 2+|x-a|，其中a 为实常数．（1）判断函数y=f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）设a ＞0，函数g （x ）=f (x )x 在区间（0，a]上为严格减函数，求实数a 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用奇函数与偶函数的定义，分a=0和a≠0两种情况讨论即可；（2）利用函数单调性的定义分析，列出关于a 的不等式组，求解即可．【解答】：解：（1）函数f （x ）=x 2+|x-a|的定义域为R ，关于原点对称，f （-x ）=（-x ）2+|-x-a|=x 2+|x+a|，当a=0时，f （-x ）=f （x ），则f （x ）为偶函数，当a≠0时，f （-x ）≠f （x ）且f （-x ）≠-f （x ），则f （x ）为非奇非偶函数．（2）当x∈（0，a]时， g (x )=f (x )x =x 2+|x−a|x =x +a x −1 ， 设0＜x 1＜x 2≤a ，则 g (x 1)−g (x 2)=x 1+a x 1−x 2−a x 2 = (x 1−x 2)(x 1x 2−a )x 1x 2 ，因为0＜x 1＜x 2≤a ，所以x 1-x 2＜0且0＜x 1x 2＜a 2，因为函数g （x ）在区间（0，a]上为严格减函数，所以x 1x 2-a ＜0恒成立，即a ＞x 1x 2恒成立，所以 {a ≥a 2a ＞0，解得0＜a≤1， 故a 的最大值为1．【点评】：本题考查了奇偶性的判断，函数单调性的应用，函数单调性定义的理解与应用，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.（问答题，0分）已知非空集合S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x ，y∈S （x 、y 可以相同），有x+y∈S 且x-y∈S ．（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z．【正确答案】：【解析】：（1）分a∈S，且a≠0和a∈S，且a=0两种情况分别验证即可；（2）结合条件，由5∈S，3∈S，首先证得2的所有整数倍的数都是S中的元素，又3-2=1∈S，所以x=2k+l，k∈Z也是集合S中的元素，即{x|x=2k+1，k=Z}⫋S，所以有{x|x=2k，k∈Z}U{x|x=2k+1，k∈Z}=Z，即证得S=Z．【解答】：解：（1）能，理由如下：若a∈S，且a≠0，由题意知a的所有整数倍的数都是S中的元素，所以S是无限集；若a∈S，且a=0，则S={0}，x+y∈S，x-y∈S符合题意，且S={0}是有限集，所以集合S能为有限集，即S={0}；（2）证明：因为非空集合S的元素都是整数，且x+y∈Z，x-y∈Z，由5∈S，3∈S，所以5-3=2∈S，所以3-2=l∈S，所以1+1=2∈S，1+2=3∈S，1+3=4∈S，…，1-1=0∈S，0-1=-1∈S，-1-1=-2∈S，-2-1=-3∈S…，所以非空集合S是所有整数构成的集合，由5∈S，3∈S，所以5-3=2∈S，因为x+y∈S，x-y∈S，所以2+2=4∈S，2-2=0∈S，2+4=6∈S，2-4=-2∈S，2+6=8∈S，2-6=-4∈S，…，所以2的所有整数倍的数都是S中的元素，即{x|x=2k，k∈Z}⫋S，且3-2=1∈S，所以x=2k+l，k∈Z也是集合S中的元素，即{x|x=2k+1，k=Z}⫋S，{x|x=2k，k∈Z}U{x|x=2k+1，k∈Z}=Z，综上所述，S=Z．【点评】：本题考查了元素与集合的关系，属于难题．。
2020-2021学年上海市曹杨二中高一上学期10月月考数学试题(解析版)
高中数学资料大全尊敬的读者朋友们：本文档内容是我们精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为资料分析笔记整理的全部内容。
注：资料封面，下载即可删除2020-2021学年上海市曹杨二中高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．“2x <”是“24x <”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】先化简条件“24x <”为“22x -<<”，再利用包含关系判断必要不充分条件即可.【详解】解：因为24x <，所以22x -<<，设{|22}A x x =-<<，{|2}B x x =<，则A B所以“2x <”是“24x <”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查求解一元二次不等式、判断两个集合之间的包含关系、利用集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题.2．不等式20x bx c -++>的解集是{}21x x -<<，则1b c +-的值为（ ） A ．2B ．1-C ．0D ．1 【答案】C【解析】由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出b c 、的值，再求和.【详解】解：由不等式20x bx c -++>的解集是{}21x x -<<，得2-和1是20x bx c -++=方程的解，由根与系数的关系知，211211b c ⎧-=-+⎪⎪-⎨⎪=-⨯⎪-⎩， 解得1b =-，2c =；所以1b c +-=1210-+-=.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题.3．设集合{|,}24k M x x k ππ==+∈Z ，{|,}42k N x x k ππ==+∈Z ，则（ ） A ．M N B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N ⋂=∅ 【答案】C【解析】从元素满足的公共属性的结构入手，对集合M 中的k 分奇数和偶数讨论，从而可得两集合的关系．【详解】对于集合M ，当2()k m m =∈Z 时，,4222k m x m Z ππππ=+=+∈ 当21()k m m Z =-∈时，,4224k m x m Z ππππ=+=+∈ ∴{|,}{|,}2224m m M x x m Z x x m Z ππππ==+∈⋃=+∈ {|24k N x x ππ==+，}k Z ∈， M N ∴⊇,故选：A ．【点睛】本题的考点是集合的包含关系判断及应用，解题的关键是对集合M 中的k 分奇数和偶数讨论，属于基础题.4．已知函数2,2()(1),2k x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若方程1()2f x =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．[1,)+∞C ．[1,2)D ．[2,)+∞【答案】B【解析】先求得()21122x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩有两个根12x =±，再利用122k x x ⎧=⎪⎨⎪≥⎩有解可得答案. 【详解】因为()21122x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩有两个根1x =±， 所以，要使方程1()2f x =有三个不同的实根， 只需122k x x ⎧=⎪⎨⎪≥⎩有解， 即12k x =在[2,)+∞上有解， 因为在[2,)+∞上112x ≥， 所以实数k 的取值范围是[1,)+∞， 故选：B.【点睛】本题主要考查分段函数的性质以及函数与方程思想的应用，属于基础题.二、填空题5．已知集合{1,3,5,7,9}A =，{1,2,3,4,5}B =，则AB =___________. 【答案】{1,3,5}【解析】本题根据集合的交集运算直接计算即可.【详解】解：因为{1,3,5,7,9}A =，{1,2,3,4,5}B =，所以{1,3,5}A B =故答案为：{1,3,5}【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.6．集合{0,1}A =的所有子集中，含有元素0的子集个数是___________.【答案】2【解析】本题先写出集合{0,1}A =的所有子集，再判断含有元素0的子集个数即可.【详解】解：集合{0,1}A =的子集：∅，{1}，{0}，{0,1}，其中含有元素0的子集个数是2个故答案为：2【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.7．若关于x 的不等式210x ax -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(2,2)-【解析】将关于x 的不等式210x ax -+>在R 上恒成立，转化成0<，从而得到关于a 的不等式，求得a 的范围．【详解】因为不等式210x ax -+>在R 上恒成立． ∴()240a =--<，解得22a -<< 故答案为：(2,2)-．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题．8．命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题， 可得命题的否定为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．故答案为对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．9．设集合{(,)|2,,}M x y x y x y =+=∈∈R R ，{(,)|,,}N x y x y x y ==∈∈R R ，则M N =___________.【答案】{(1,1)}【解析】求得直线2x y +=与直线x y =的交点坐标即可得答案.【详解】因为集合{(,)|2,,}M x y x y x y =+=∈∈R R ，{(,)|,,}N x y x y x y ==∈∈R R ， 所以M N ⋂的元素就是直线2x y +=与直线x y =的交点坐标，由2x y y x +=⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩， 所以M N ={(1,1)}，故答案为：{(1,1)}.【点睛】本题主要考查集合交集的运算，解答问题的关键是找到直线2x y +=与直线x y =的交点坐标，属于基础题.10．已知集合{1}A =，2{},3a a B +=，若A B ⊆，则实数a 的值为___________.【答案】1【解析】由A B ⊆可知1B ∈，即可求出.【详解】A B ⊆，1B ∴∈，若1a =，则{}1,4B =，满足题意；若231a +=，无解，综上，1a =.故答案为：1.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.11．设集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，A B A ⋃=，则实数a 的取值集合为___________. 【答案】11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】先根据已知判断出B A ⊆，再分B =∅，{1}B =-或{3}=B 三种情况讨论求实数a 的取值集合．【详解】解：因为2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，所以{1,3}A =-，{|1}B x ax ==因为A B A ⋃=，所以B A ⊆所以B =∅，{1}B =-或{3}=B当B =∅时，0a =；当{1}B =-时，则1a -=，解得1a =-；当{3}=B 时，则31a =，解得13a =； 所以实数a 的取值集合为11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 故答案为：11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查利用集合的运算判断集合的关系、利用集合的基本关系求参数，还考查了分类讨论的数学思想，是中档题. 12．设实数集上不等式2103x x +<-的解集为A ，则A =R ___________. 【答案】1[,3]2- 【解析】本题先求出1(,)(3,)2A =-∞-+∞，再求A R 即可. 【详解】 解：因为2103x x+<-⇔2103x x +>-⇔(3)(21)0x x -+>⇔12x <-或3x > 因为实数集上不等式2103x x +<-的解集为A ，所以1(,)(3,)2A =-∞-+∞， 所以1[,3]2R A -= 故答案为：1[,3]2- 【点睛】本题考查求解分式不等式、集合的补集运算，是基础题.13．已知:2A x <，:(2)()0B x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.【答案】2a <-【解析】设:2A x <的解集为集合A ，:(2)()0B x x a ++<的解集设为B ，由 A 是B 的充分不必要条件，可得A B ，即可列出不等式求出a 的范围.【详解】 由:2A x <解得22x -<<，设为集合A ，:(2)()0B x x a ++<的解集设为B ，若A 是B 的充分不必要条件，则A B ，2a ∴->，解得2a <-.故答案为：2a <-.【点睛】本题考查由集合关系判断充分、必要条件，属于基础题.14．已知集合{}1,1,12A a a =++，{}21,,B b b=，则A B =的充要条件是___________. 【答案】34a =-，12b =- 【解析】由集合相等的定义列出方程即可求解.【详解】A B =，2112a b a b +=⎧∴⎨+=⎩或2112a b a b⎧+=⎨+=⎩， 解得01a b =⎧⎨=⎩或3412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 当0,1a b ==时，{}1,1,1A =，不符合，舍去； 当31,42a b =-=-时，111,,42A B ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，符合题意， ∴A B =的充要条件是31,42a b =-=-.故答案为：31,42a b =-=-. 【点睛】 本题考查集合相等求参数，属于基础题.15．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-，若对任意1[0,3]x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13a ≤-【解析】由2()1g x x =-在2[2x ∈，3]上单调递减，可求()[1g x ∈，2]，对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12()()f x g x 成立，可得12()()max max f x g x ，结合二次函数的性质可求【详解】2()23f x x x a =-+在1[0x ∈，3]上先减后增故当1x =时，函数有最小值f （1）31a =-，当3x =时，函数有最大值f （3）33a =+ 故1()[31f x a ∈-，33]a +，2()1g x x =-在2[2x ∈，3]上单调递减，故()[1g x ∈，2]， 对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12|()|()f x g x 成立，12()()max max f x g x ∴，∴332a +≤，解可得，13a ≤-故答案为：13a ≤-【点睛】本题主要考查不等式的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用，属于中档题．16．已知a ∈R ，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：①对任意0x ∈R ，0()f x 的值为0x 或20x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解.则a 的取值范围是___________.【答案】(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞【解析】根据条件①可知00x =或1，进而结合条件②可得a 的范围.【详解】根据函数的定义可知，一个自变量0x 只能对应一个函数值，所以0x =20x ，解得00x =或01x =，可得(0)0f =或f （1）1=，又因为关于x 的方程()f x a =无实数解，所以0a ≠且1a ≠，故(a ∈-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞，故答案为：(-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞．【点睛】本题考查函数函数的定义以及零点与方程根的关系，解题的关键是根据函数的定义确定自变量的范围，属于中档题．三、解答题17．已知0ab ≠，求证：33220a b ab a b ++-=-的充要条件是1a b +=.【答案】证明详见解析.【解析】先证充分性，由条件去推结论成立，然后再证必要性，由结论去推条件成立即可.【详解】证明：（1）充分性（条件⇒结论）因为1a b +=，3322()()a b a b a ab b +=+-+， 33222222)()(a b ab a b a b a ab b ab a b ++---++--=+22220a ab b ab a b =-++-=-所以成立；（2）必要性（结论⇒条件）因为33220a b ab a b ++-=-，且3322()()a b a b a ab b +=+-+，所以33222222)()(a b ab a b a b a ab b ab a b ++---++--=+ 22(10)()a a a b b b =-++-=而222a ab b ab ab ab -+≥-=，又0ab ≠，所以10a b +-=，所以1a b +=，所以成立，综上：33220a b ab a b ++-=-的充要条件是1a b +=.【点睛】本题考查了充要条件的证明，即证充分性，又证必要性，属于基础题.18．已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】{|1}m m ≥-【解析】B A ⊆时，要分类讨论，分B =∅和B ≠∅讨论．【详解】∵B A ⊆，∴当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥， 当B ≠∅时，213142m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得12m -≤<，综上所述，m 的取值范围是{|1}m m ≥-．【点睛】本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集．因此需分类讨论． 19．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y (米)与汽车车速x (千米/小时)满足下列关系式：2100400nx x y =+（n 为常数，且n ∈N ）.在两次试验刹车中，所取得的有关数据如图所示，其中157y <<，21315y <<.（1）求n ；（2）要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少？【答案】（1）3；（2）最大速度80千米/小时.【解析】（1）先由题意建立不等式组2240405710040070701315100400n n ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩并求解出5110228n <<，再因为n ∈N ，求出3n =；（2）先确定函数解析式23100400x x y =+，再建立不等式2318.4100400x x +≤并求解得9280x -≤≤，最后给出答案即可.【详解】解：（1）因为函数关系2100400nx x y =+，且157y <<，21315y <<. 所以2240405710040070701315100400n n ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，解得51522301102828n n ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，则5110228n <<， 因为n ∈N ，所以3n =，（2）由（1）可知3n =，所以23100400x x y =+ 因为要使刹车距离不超过18.4米，则2318.4100400x x +≤， 解得：9280x -≤≤，所以要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为80千米/小时【点睛】本题考查根据实际问题建立不等关系求参数的值、求解一元二次不等式、20．设函数2()f x ax bx c =++（0a >）且(1)2a f =-. （1）求证：方程()0f x =有两个不同的实根；（2）设1x 、2x 是方程()0f x =的两个不同实根，求12x x -的取值范围； （3）求证：方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,2)内.【答案】（1）证明过程见详解；（2）)+∞；（3）证明过程见详解.【解析】（1）先由(1)2a f =-得到32a b c =--，再判断>0∆，最后判断方程()0f x =有两个不同的实根；（2）先求出方程()0f x =的两个不同实根12x x =，，再化简整理得12x x -12x x -的取值范围；（3）直接分两种情况讨论，当0c ≤时，化简整理得到(1)(2)0f f ⋅<，判断方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(1,2)内；当0c >时，化简整理得到(0)(1)0f f ⋅<，判断方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,1)内，最后判断方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,2)内.【详解】（1）因为函数2()f x ax bx c =++（0a >）且(1)2a f =-， 所以2a abc ++=-，即32a b c =--， 则方程()0f x =，即20ax bx c ++=，且0a >，22224()34()0222a b ac ac c a a c ∆=-=-=-+->-， 所以方程()0f x =有两个不同的实根；（2）因为1x 、2x 是方程()0f x =的两个不同实根，12x x =，，又因为0a >，所以12x x ==-≥ 所以12x x -的取值范围：)+∞（3）当0c ≤时，因为0a >，所以(1)02a f =-< 因为2()f x ax bx c =++，所以(2)42f abc =++，由（1）得：32a b c =--，所以(2)4(32)0f a a c c a c =+--+=-> 所以(1)(2)0f f ⋅<，所以方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(1,2)内；当0c >时，因为2()f x ax bx c =++，所以(0)0f c =>，因为0a >，所以(1)02a f =-< 所以(0)(1)0f f ⋅<， 所以方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,1)内综上所述：方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,2)内【点睛】本题考查利用根的判别式证明二次函数对应的一元二次方程有两个不同的实根、利用零点存在性定理判断方程的解所在区间，是基础题.。
2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【分析】由增函数的定义知：12,x x I ∈且12x x <时21()()f x f x >，即可判断条件之间的充分、必要性.【详解】由()y f x =在区间I 上是严格增函数， ∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件. 故选：A.2．设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>【答案】C【详解】ln p f ==()ln 22a b a bq f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．3．若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（ ）A ．a b a b -<-B ．a b a b -<+C ．a b a b +>-D ．a b a b +<- 【答案】D【分析】利用特殊值法判断即可. 【详解】令1,2a b =-=， 则3||||3a b a b -=>-=-，||||3a b a b -=+=，||1||3a b a b +=<-=，故选：D【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题. 4．关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题：（1）当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； （2）方程()(0)f x kx b k =+≠一定有实数解；（3）如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数； （4）()y f x =是偶函数且有最小值． 其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由函数解析式可推出()y f x =是偶函数，在(,1)-∞-、(0,1)上单调递增，在(1,0)-、(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，即可判断各项的正误.【详解】函数()1xf x x =-是偶函数，当0x >时，()y f x =在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，可得函数草图如下：（1）当1x >时，1()111x y f x x x ===+--单调递减，当01x <<时，1()111x y f x x x ==-=----单调递增，故错误； （2）当0k >时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像一定有交点，由对称性可知，当0x <且0k <时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像也一定有交点，故正确； （3）当0m =时，方程()f x m =只有1个解0x =，故错误； （4） 由对称性知，()y f x =有最小值(0)0f =，故正确； 故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性以及值域，进而结合各项的描述判断正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用.二、填空题5．设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B =___________【答案】{1,3,4}【分析】根据集合交补含义可得.【详解】因为{23}B x x =≤<∣，()[),23,B =-∞+∞，{}134A B =，，.故答案为: {1,3,4}【点睛】此题为基础题，考查集合的运算. 6．幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.【答案】13【分析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得()3f 的值. 【详解】幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得122a = 解得1a =-所以幂函数解析式为()1f x x -=则()11333f -==故答案为:13【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.7．不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．【答案】{}(,2]0(3,)-∞-+∞【分析】由分式不等式的解法，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩求解即可.【详解】由题意，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或0x =或3x >，∴解集为{}(,2]0(3,)-∞-+∞. 故答案为：{}(,2]0(3,)-∞-+∞.8．已知“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[]3,2--【分析】先由一元二次不等式以及绝对值不等式的解法化简，再结合必要非充分条件的性质，列出不等式，得出答案.【详解】由|23|1x +<得1231x -<+<，解得21x -<<-由2(22)(2)0x a x a a -+++≤得(2)()0x a x a ---≤，解得2a x a ≤≤+因为“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件所以221a a ≤-⎧⎨+≥-⎩，解得32a --≤≤故答案为：[]3,2--9．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()32xf x x b =++，则()1f -=________．【答案】2-【分析】由R 上的奇函数，有(0)0f =求参数b ，进而求()1f ，又()1(1)f f -=-即可求值.【详解】由()f x 为R 上的奇函数，有(0)0f =， ∴根据函数解析式，有0(0)020f b =++=，即1b =-， ∴()321xf x x =+-，则()311212f =+-=，∴()1(1)2f f -=-=-. 故答案为：2-. 10．若a()2log 21a a +的值是________．【答案】1- 【分析】(1,2)=，即可得a =数运算的性质求值即可. 【详解】(1,2)=，知：1a =-=，即2a =，1212a +==∴()2log 211a a +==-=-. 故答案为：1-.11．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为________【答案】4【分析】将2212126x x x x +=-15，变形为()21212815x x x x +=-，根据方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，得到212121+1,14x x k x x k =+⋅=+，再代入上式求解.【详解】因为方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ， 所以212121+1,14x x k x x k =+⋅=+， 因为2212126x x x x +=-15， 所以()21212815x x x x +=-，()221181154k k ⎛⎫+=⨯+- ⎪⎝⎭，即()()240k k +-=， 解得4k =或2k =-（舍去） 故答案为：412．若函数()()211f x mx m x =+--在区间[1,)-+∞上是严格单调函数，则实数m的取值范围是________． 【答案】[]1,0-【分析】讨论0m =、0m ≠，并结合二次函数的性质，列不等式求参数范围，合并不同情况的m 取值即可.【详解】当0m =时，()1f x x =--在[1,)-+∞上是严格单调函数，符合题意；当0m ≠时，()221(1)()24m m f x m x m m-+=+-， ∴112m m -≤-，即102mm+≤，可得10m -≤<， 综上，有10m -≤≤. 故答案为：[]1,0-.13．若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,4【分析】转化条件为无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，按照a =0、0a ≠分类，即可得解.【详解】由题意，无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，当a =0时，10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，[)0,4a ∈. 故答案为：[)0,4.14．已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[0,1)【分析】解绝对值不等式得{|11}A x a x a =-≤≤+，且0a ≥，结合条件可得1A ∈，进而得011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，从而得解.【详解】由{||1|}A x x a =-≤得{|1}{|11}A x a x a x a x a =-≤-≤=-≤≤+，且0a ≥ 若A 只有1个整数元素，又111a a -≤≤+，所以1A ∈，所以011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，解得01a ≤<. 故答案为：[0,1).15．设a R ∈，若关于x 的不等式2236x x a a --+<-有解，则a 的取值范围是________． 【答案】(,1)(5,)-∞+∞【分析】令()|2||3|f x x x =--+并得到其分段函数形式，由题设不等式有解，即2min 6()a a f x ->即可，解一元二次不等式即可求a 的范围.【详解】由235,3()|2||3|2321,32235,2x x x f x x x x x x x x x x -++=≤-⎧⎪=--+=---=---<≤⎨⎪---=->⎩，∴要使不等式2236x x a a --+<-有解，仅需2min 6()5a a f x ->=-即可，∴2650a a -+>，解得1x <或5x >. 故答案为：(,1)(5,)-∞+∞.16．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________． 【答案】710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f . 【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数，∴0032415x x -=+，得01x =， 又222log 3332[(log 3)][(log 3)]41105f f f f +=+=+， ∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =. 故答案为：710. 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.三、解答题17．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【详解】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【解析】不等式选讲.18．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =. (1)由基本不等式及1ab =,有22a b ab +≥=,即2a b +≥(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 19．已知函数()33xxf x a -=-⋅，其中a 为实常数.（1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =； （2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）1x =或3log 2（2）当1a =时，函数为奇函数，当1a =-时，函数为偶函数，当1a ≠±时，函数为非奇非偶函数，见解析【分析】（1）根据()07f =,代入可求得a 的值.即可得()f x 的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出()f x -.根据奇偶性定义即可求得a 的值,即可判断奇偶性. 【详解】（1）因为()07f = 代入可得17a -=,解得6a =- 所以()363xxf x -=+⋅则()5f x =可化为3635x x -+⋅= 化简可得()235360x x -⋅+=即()()32330xx--= 解得3log 2x =或1x = （2）()33xxf x a -=-⋅则()33xxf x a --=-⋅当1a =时,()33xxf x -=-,()33xx f x --=-此时()()f x f x =--,函数()f x 为奇函数当1a =-时,()33x x f x -=+,()33x x f x --=+,此时()()f x f x =-,函数()f x 为偶函数当1a ≠±时,()()f x f x =--与()()f x f x =-都不能成立,所以函数()f x 为非奇非偶函数综上可知, 当1a =时,()f x 为奇函数;当1a =-时,()f x 为偶函数;当1a ≠±时, 函数()f x 为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题. 20．小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？【答案】（1）2=290700y x x -+-；定价为22元或23元（2）25元【分析】（1）根据题意先求出销售量t 与售价x 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．【详解】设t kx b =+，∴3010{ 2520k b k b ⋅+=⋅+=，解得2k =-，b=70，∴702t x =-． （1）21010702290700y x t x x x x =-=--=-+-（）（）（）， ∵9012242=+，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高． （2）设售价x （元）时总利润为z （元），∴2000200010200702z x x=---（） ，1002000?25352000251000035x x =--+≤-=-（（（）））（ 元， 当1003535x x-=-时，即25x =时，取得等号， ∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 21．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f x g x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 1=2x 时，max ()=2g x . (3) 1(0,)16【详解】试题分析：（1）根据112f ⎛⎫=⎪⎝⎭确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得()()2220f x f x m -+=，设()t f x =,转化为方程方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m 的取值范围. 试题解析：(1) 由112=1122a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以()|1|x f x x -=. 当1x >时，()11=1x f x x x-=-，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()1221121212121111=x x x x x x f x f x x x x x ------=- ()()1221221211=x x x x x x --- 1212=x x x x -， 因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，()()120f x f x -<， 所以()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）()()2221,141==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧≤≤⎪-⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩， 当14x ≤≤时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==---+ ⎪⎝⎭， 因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，()max 1=4g x ； 当112x ≤<时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==--- ⎪⎝⎭， 因为112x ≤<时，所以112x <≤，所以当1=2x时，()max =2g x ； 综上，当1=2x 即1=2x 时，()max =2g x . （3）由（1）可知，()f x 在()1,+∞上为增函数,当()1,x ∈+∞时，()()1=10,1f x x -∈. 同理可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()1=10,f x x -∈+∞. 方程()2221120x x x mx ---+=可化为221|1|220x x m x x---+=， 即()()2220f x f x m -+=.设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，则有211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<， 所以实数m 的取值范围为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】
数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。
【数学】上海市普陀区曹杨第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试试卷 (解析版)
上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一，填空题1．已知复数z＝1﹣i,则Im z＝ ．【结果】﹣1【思路】∵复数z＝1﹣i,∴Im z＝﹣1,故结果为：﹣1．2．已知复数z满足,且|z+i|＝1,则z＝ ．【结果】1﹣i【思路】设复数z＝a+bi（a,b∈R）,∵,∴a+bi+a﹣bi＝2,∴a＝1,∴z＝1+bi,∵|z+i|＝|1+（b+1）i|＝＝1,∴b＝﹣1,∴z＝1﹣i,故结果为：1﹣i．3．已知向量＝（2,4）,＝（﹣1,1）,则2﹣＝ ．【结果】（5,7）【思路】∵向量＝（2,4）,＝（﹣1,1）,∴2﹣＝2（2,4）﹣（﹣1,1）＝（5,7）．故结果为：（5,7）．4．若cos（θ+）＝1,则cosθ＝ ．【结果】【思路】因为cos（θ+）＝1,所以sin（θ+）＝0,所以cosθ＝cos[（θ+）﹣]＝cos（θ+）cos+sin（θ+）sin＝1×+0×＝．故结果为：．5．若向量,,,则＝ ．【结果】0【思路】向量,,,可得,所以1+2+4＝5,所以＝0．故结果为：0．6．已知{a n}为等差数列,{a n}地前5项和S5＝20,a5＝6,则a10＝ ．【结果】11【思路】∵{a n}为等差数列,∴S5＝5a3＝20,∴a3＝4,∵a5＝6,a3＝4,∴2d＝a5﹣a3＝6﹣4＝2,即d＝1,∴a10＝a5+5d＝6+5＝11．故结果为：11．7．已知{a n}为等比数列,首项和公比均为,则{a n}前10项和为 ．【结果】【思路】依据题意,{a n}为等比数列,首项和公比均为,则S10＝＝。
故结果为：．8．设O为坐标原点,A（2,0）,B（﹣3,4）,则向量在上地投影为 ﹣3 ．【结果】-3【思路】因为A（2,0）,B（﹣3,4）,所以,所以在上地投影为．故结果为：﹣3．9．已知正方形ABCD地边长为3,点E,F分别在边BC,DC上,BC＝3BE,,若,则实数λ地值为 ．【结果】【思路】,,所以,解得．故结果为：．10．已知数列{a n}为等比数列,函数过定点（a1,a2）,设b n＝log2a n,数列{b n}地前n项和为S n,则S n地最大值为 1 ．【结果】1【思路】函数过定点（a1,a2）,令x＝2＝0,解得x＝2,当x＝2时,y＝1,所以a1＝2,a2＝1,由于数列{a n}为等比数列,,所以公比q＝,所以,则b n＝log2a n＝2﹣n,由于b1＝1,b2＝0,b3＝﹣1,......,所以S n地最大值为：S2＝b1+b2＝1．故结果为：1．11．已知函数,则地值为 ．【结果】2020【思路】依据题意,函数,则f（1﹣x）＝（1﹣x﹣）3+1＝﹣（x﹣）3+1,故f（x）+f（1﹣x）＝2,则＝f（）+f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）＝2×1010＝2020。
2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设全集U={-1，0，1，2，3}，若集合A={-1，0，2}，则A =___ ．2.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．3.（填空题，0分）函数f（x）= √x+2x−1的定义域是___ ．4.（填空题，0分）设a＞0且a≠1，b＞0，若log a b•log5a=3，则b=___ ．5.（填空题，0分）函数y=x2-1，x∈（-∞，0）的反函数为y=___ ．6.（填空题，0分）不等式log2x+2x＜2的解集为 ___ ．7.（填空题，0分）函数y= 12x−1的值域是 ___ ．8.（填空题，0分）若函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，则实数m的取值范围是___ ．9.（填空题，0分）函数y=f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=e x的图像关于y轴对称，则f（x）=___ ．10.（填空题，0分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（-1）的值为___ ．11.（填空题，0分）已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f （ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．12.（填空题，0分）设f（x）=x-1，g（x）=- 4x ，若存在x1，x2，…，x n∈[ 14，4]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n-1）+g（x n）=g（x1）+g（x2）+…+g（x n-1）+f（x n）成立，则正整数n 的最大值为 ___ ．13.（单选题，0分）若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0（）A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解14.（单选题，0分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab15.（单选题，0分）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B.若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0C.若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0D.若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=016.（单选题，0分）已知函数y=f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）=0．则下列说法正确的是（）A.q1、q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1、q2都不是p的充分条件17.（问答题，0分）设m为实数，f（x）=（m2-m-1）x-2m，已知幂函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f（x）＞x13的x的取值范围．18.（问答题，0分）设f（x）=2x+a•2-x，其中a∈R．（1）若函数y=f（x）的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；（2）若函数y=f（x）在（-∞，2]上是严格减函数，求a的取值范围．19.（问答题，0分）设f（x）=lg（2a-x），其中a为实数．（1）设集合A={x|y=f（x）}，集合B={y|y=-2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围．20.（问答题，0分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入aa+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每（单位：万元）满足P=80+4 √2a，Q= 14年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？21.（问答题，0分）对于函数y=f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)=)≠0，则称函数y=f（x）为“P函数”．f(b)=2f(a+b2（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x实数k的取值范围．2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设全集U={-1，0，1，2，3}，若集合A={-1，0，2}，则A =___ ．【正确答案】：[1]{1，3}【解析】：利用补集定义直接求解．【解答】：解：∵全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，2}，∴ A ={1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】：本题考查了补集及其运算，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-3，2）【解析】：把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式组{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，求出解集即可．【解答】：解：不等式2−xx+3＞0可化为{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，解得-3＜x＜2，或∅；∴不等式的解集为（-3，2）．故答案为：（-3，2）．【点评】：本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式（组），求出解集即可，是基础题．3.（填空题，0分）函数f（x）= √x+2x−1的定义域是___ ．【正确答案】：[1]{x|x≥-2且x≠1}【解析】：由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】：解：由题意，要使函数有意义，则 {x −1≠0x +2≥0， 解得，x≠1且x≥-2；故函数的定义域为：{x|x≥-2且x≠1}，故答案为：{x|x≥-2且x≠1}．【点评】：本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．4.（填空题，0分）设a ＞0且a≠1，b ＞0，若log a b•log 5a=3，则b=___ ．【正确答案】：[1]125【解析】：利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【解答】：解：∵log a b•log 5a=3，∴ lgb lga • lga lg5 =3，∴ lgb lg5 =3，∴lgb=3lg5=lg125，∴b=125，故答案为：125．【点评】：本题考查对数的性质、运算法则及换底公式的应用，属于基础题．5.（填空题，0分）函数y=x 2-1，x∈（-∞，0）的反函数为y=___ ．【正确答案】：[1]- √x +1 ，x∈（-1，+∞）【解析】：由y=x 2-1，x∈（-∞，0）知y ＞-1，且可得x=- √y +1 ，x ，y 互换，得其反函数．【解答】：解：由y=x²-1，x∈（-∞，0），可得y ＞-1，且可得x=- √y +1 ，x ，y 互换，可得其反函数为y=- √x +1 ，x∈（-1，+∞）．故答案为：y=- √x +1 ，x∈（-1，+∞）．【点评】：本题考查反函数的定义，属于基础题．6.（填空题，0分）不等式log 2x+2x ＜2的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：可设f（x）=log2x+2x-2，x∈（0，+∞），判断f（x）的单调性，求出f（x）的零点，从而求出不等式的解集．【解答】：解：由题意，设f（x）=log2x+2x-2，x∈（0，+∞）；则f（x）在定义域（0，+∞）上是单调增函数，且f（1）=log21+2-2=0，所以f（x）在定义域（0，+∞）有唯一的零点是1，所以f（x）＜0的解集为（0，1），即不等式log2x+2x＜2的解集为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查了利用函数的单调性求不等式解集的应用问题，是基础题．7.（填空题，0分）函数y= 12x−1的值域是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-1）∪（0，+∞）【解析】：直接利用指数函数的性质的应用求出结果、【解答】：解：由于2x∈（0，+∞），故2x-1∈（-1，0）∪（0，+∞）；12x−1∈(−∞，−1)∪(0，+∞)．故答案为：（-∞，-1）∪（0，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：指数函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.（填空题，0分）若函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：根据指数函数的最值以及二次函数的性质求出f（x）的值域（-∞，1]，从而判断出a的范围即可．【解答】：解：x≤0时：f（x）=2x∈（0，1]．x＞0时，f（x）=-x2+m，函数的对称轴x=0，f（x）在（-∞，0）递增，∴f（x）=-x2+m＜m，函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，故0＜m≤1，故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道中档题．9.（填空题，0分）函数y=f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=e x的图像关于y轴对称，则f（x）=___ ．【正确答案】：[1]e-x-1【解析】：根据题意，由已知可得将函数y=e x的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度，可得函数f（x）的解析式．【解答】：解：根据题意，函数y=2x的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：y=e-x，将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为：y=e-（x+1）=e-x-1，即f（x）=e-x-1，故答案为：e-x-1．【点评】：本题考查函数解析式的计算，涉及函数图象的平移变换规律，属于基础题．10.（填空题，0分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（-1）的值为___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由奇函数的性质得f（0）=0，代入解析式求出b的值，利用函数的奇偶性将f（-1）转化为f（-1）=-f（1），然后直接代入解析式即可．【解答】：解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得b=-1，则当x≥0时，f（x）=2x+2x-1，∴f（-1）=-f（1）=-（2+2-1）=-3，故答案为：-3．【点评】：本题考查了奇函数的结论：f（0）=0的灵活应用，以及函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f（-1）转化到已知条件上求解．11.（填空题，0分）已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f（ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][- 32，12]【解析】：由题意可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即x-3≤ax+1≤3-x ，即- 3x ≤a≤ 1x 在x∈[1，2]恒成立，运用函数的单调性求得最值，即可得到a 的取值范围．【解答】：解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是增函数，由f （ax+1）≤f （2）对于任意x∈[1，2]恒成立，可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即-2≤ax+1≤2在x∈[1，2]恒成立，即- 3x ≤a≤ 1x 在x∈[1，2]恒成立，由y=- 3x 在x∈[1，2]上单调递增，可得y 的最大值为- 32 ；y= 1x 在x∈[1，2]上单调递减，可得y 的最小值为 12 ，则- 32 ≤a≤ 12 ，即实数a 的取值范围是[- 32 ， 12 ]．故答案为：[- 32 ， 12 ]．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．12.（填空题，0分）设f （x ）=x-1，g （x ）=- 4x ，若存在x 1，x 2，…，x n ∈[ 14 ，4]，使得f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n-1）+g （x n ）=g （x 1）+g （x 2）+…+g （x n-1）+f （x n ）成立，则正整数n 的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：把已知等式变形，可得f （x 1）-g （x 1）+f （x 2）-g （x 2）+…+f （x n-1）-g （x n-1）=f （x n ）-g （x n ）成立，利用基本不等式求得f （x n ）-g （x n ）≥3，可得f （x n ）-g （x n ）≥3（n-1），由x n 的范围求得f （x n ）-g （x n ）∈[3， 654 ]，问题转化为3（n-1）≤ 654 ，由此即可求得正整数n 的最大值．【解答】：解：由题意知，存在x 1，x 2，…，x n ∈[ 14 ，4]，使得f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n-1）+g （x n ）=g （x 1）+g （x 2）+…+g （x n-1）+f （x n ）成立， 即f （x 1）-g （x 1）+f （x 2）-g （x 2）+…+f （x n-1）-g （x n-1）=f （x n ）-g （x n ）成立．而f （x n ）-g （x n ）= x n −1+4x n ≥2√x n •4x n −1=3 ， 当且仅当x n =2∈[ 14 ，4]时等号成立，又f（x1）-g（x1）+f（x2）-g（x2）+…+f（x n-1）-g（x n-1）=f（x n）-g（x n），∴f（x n）-g（x n）≥3（n-1），而x n∈[ 14，4]，即f（x n）-g（x n）∈[3，654]．∴仅需3（n-1）≤ 654成立即可，有n ≤7712，故正整数n的最大值为6．故答案为：6．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．13.（单选题，0分）若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0（）A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解【正确答案】：C【解析】：利用函数定义可知每一个自变量都有唯一确定的一个数与之对应，再结合反函数的性质即可得到结论．【解答】：解：因为函数y=f（x）有反函数为y=f-1（x），所以y=f（x）是一个单射函数，设其定义域为I，故若0∈I，设f（0）=a∈R，由函数定义知a有唯一值，故f-1（a）=0只有一实数a，若0∉I，f（0）无意义，故不存在x，使得f-1（x）=0，故方程f-1（x）=0无解，综上：f-1（x）=0至多有一个实数解，故选：C．【点评】：本题考查反函数的定义，考查分类讨论思想，属于基础题．14.（单选题，0分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab【正确答案】：C【解析】：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】：解：A选项不正确，因为a=-2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为1ab2＜1a2b⇔a＜b，故当a＜b时一定有1ab2＜1a2b；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；故选：C．【点评】：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．15.（单选题，0分）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B.若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0C.若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0D.若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0【正确答案】：B【解析】：画满足条件的函数图象排除不正确的选项【解答】：解：首先，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，故A错误，B正确；其次，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＜0，但C都错误，D、根据零点存在定理，一定存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，所以D错误，故选：B．【点评】：本题主要考查函数零点存在定理，画函数的图象研究函数的性质是常见的方法，突出说明数形结合思想的重要性．16.（单选题，0分）已知函数y=f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）=0．则下列说法正确的是（）A.q1、q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1、q2都不是p的充分条件【正确答案】：A【解析】：先由命题q1成立时，利用单调性和函数值为正，结合不等式性质即推出命题p成立，再由命题q2成立时，利用单调性和函数零点，推出命题p成立，即得结果．【解答】：解：命题q1成立，即y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立，故取a＞0时，对任意的x∈R，x+a＞x，则f（x+a）＜f（x），f（a）＞0 即0＜f（a），故f（x+a）＜f（x）+f（a），即命题q1可推出命题p，即q1是p的充分条件；命题q2成立，y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x0）=0，故取a=x0＜0时，对任意的x∈R，x+a＜x，则f（x+a）＜f（x），f（a）=f（x0）=0，f （x+a）＜f（x）+f（a），即命题q2可推出命题p，即q2是p的充分条件；故q1、q2都是p的充分条件．故选：A ．【点评】：本题考查充分条件与必要条件，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．17.（问答题，0分）设m 为实数，f （x ）=（m 2-m-1）x -2m ，已知幂函数y=f （x ）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围．【正确答案】：【解析】：利用幂函数的定义和性质列方程组，求出m=-1．从而f （x ）=x 2，由此能求出满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围．【解答】：解：设m 为实数，f （x ）=（m 2-m-1）x -2m ，∵幂函数y=f （x ）在区间（0，+∞）上是严格增函数，∴ {m 2−m −1=1，−2m ＞0，解得m=-1． ∴f （x ）=x 2，∵f （x ）＞ x 13 ，∴ x 2＞x 13，∴当x ＞0时，x ＞1；当x ＜0时，成立，∴满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．【点评】：本题考查幂函数的运算，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.（问答题，0分）设f （x ）=2x +a•2-x ，其中a∈R ．（1）若函数y=f （x ）的图像关于原点成中心对称图形，求a 的值；（2）若函数y=f （x ）在（-∞，2]上是严格减函数，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可知f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），从而可求得a的值；（2）由题意可得对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）-f（x2）＞0，从而可得2x1• 2x2＜a恒成立，求出2x1• 2x2的最大值，即可求解a的取值范围．【解答】：解：（1）因为函数y=f（x）的图像关于原点成中心对称图形，所以f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），即2-x+a•2x=-2x-a•2-x，即（a+1）（2x+2-x）=0，因为2x+2-x＞0，解得a=-1．（2）函数y=f（x）在（-∞，2]上是严格减函数，所以对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）-f（x2）＞0，）＞0恒成立，即f（x1）-f（x2）=（2x1 - 2x2）（1- a2x12x2＜0恒成立，即2x1• 2x2＜a恒成立，由2x1 - 2x2＜0，知1- a2x12x2由于当x1＜x2≤2时，（2x1• 2x2）max＜16，所以a≥16，即a的取值范围是[16，+∞）．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，0分）设f（x）=lg（2a-x），其中a为实数．（1）设集合A={x|y=f（x）}，集合B={y|y=-2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据对数函数，指数函数的图象与性质求出A，B，再由子集的定义即可求解；（2）先得到2a=-x2+5x-3，且1＜x＜3，再求出g（x）=-x2+5x-3在1＜x＜3上的值域即可，【解答】：解：（1）A={x|y=f（x）}={x|y=lg（2a-x）}={x|x＜2a}，B={y|y=-2x，x≤0}={y|-1≤y＜0}，又B⊆A，∴2a≥0，∴a≥0，∴a的取值范围为[0，+∞）．（2）由C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}，得2a=-x2+5x-3，且1＜x＜3，设g（x）=-x2+5x-3，对称轴x= 52，则g（x）在（1，52）上单调递增，在（52，3）上单调递减，且g（52）= 134，g（1）=1，g（3）=3，若直线y=2a与函数g（x）=-x2+5x-3在（1，3）上恰有两个交点时，则3＜2a＜134，∴ 32＜a＜138．∴a的取值范围为（32，138）．【点评】：本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，也考查了集合的运算问题，二次函数求值域问题，属于中档题．20.（问答题，0分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a （单位：万元）满足P=80+4 √2a，Q= 14a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？【正确答案】：【解析】：（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．（2）f(x)=80+4√2x+14(200−x)+120=−14x+4√2x+250，依题意得{x≥20200−x≥20⇒20≤x≤180，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．【解答】：解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，∴ f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5万元．（2）f(x)=80+4√2x+14(200−x)+120=−14x+4√2x+250，依题意得{x≥20200−x≥20⇒20≤x≤180，故f(x)=−14x+4√2x+250(20≤x≤180)．令t=√x∈[2√5，6√5]，则f(x)=−14t2+4√2t+250=−14(t−8√2)2+282，当t=8√2，即x=128时，f（x）max=282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．【点评】：本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）对于函数y=f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)= f(b)=2f(a+b2)≠0，则称函数y=f（x）为“P函数”．（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用反证法思想，假设y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，由已知条件得关于a，b的方程组，求解a，b的值，得到f（a）或f（b）=0，与已知矛盾；（2）对k分类讨论函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)的单调性，可得只有当k＞0时符合题意，再由f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0运算得到a，b，k三者间的关系，结合题意得到关于a的不等式，进一步求得k的取值范围．【解答】：解：（1）若y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，则满足(a−1)2=(b−1)2=2(a+b2−1)2，∴ {a2−b2−2a+2b=0a2−b2−2ab+4b−2=0，两式相减得-2a+2ab+2b-4b+2=0，即ab-a-b+1=0．∴（b-1）（a-1）=0，则b=1或a=1，与f（a）=f（b）≠0矛盾，故y1=(x−1)2，x∈R不是“P函数”；（2）y2=|2x−k|，x∈(0，n)是“P函数”．① 若k≤0，则2x −k＞0，则y2=|2x−k|=2x−k在x∈（0，n）上单调递减，故不满足存在实数a、b满足b＞a＞1且f（a）=f（b），不合题意；② 若k＞0，∵g（x）= 2x −k，x∈（0，n）单调递减，且g（2k）=0，故x∈（0，2k ）时，f（x）=| 2x−k |单调递减，x∈（2k，+∞）时，f（x）=| 2x−k |单调递增，故a∈（0，2k ），b∈（2k，+∞），∴f（a）= 2a −k =f（b）=k- 2b=2f（a+b2），则k= 1a+1b，∴f（a）= 2a −1a−1b=1a−1b，则2f（a+b2）=2| 4a+b−k |=2| 4a+b−(1a+1b) |．若2[ 4a+b −(1a+1b) ]= 1a−1b，则8a+b=3a+1b=3b+aab，整理可得a2+3b2-4ab=0，得a=3b，不合题意；若2[ 4a+b −(1a+1b) ]= 1b−1a，则8a+b=3b+1a=3a+bab，整理可得3a2+b2-4ab=0，得b=3a，故k= 1a +1b=43a，2k=3a2，a= 43k．由（0，n）中存在实数a、b满足b＞a＞1且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，n的最小值为5，故在（0，5）中存在a满足f（a）=f（3a）=2f（2a），且4≤3a＜5，故4≤ k4＜5，得45＜k≤1．综上所述，实数k的取值范围是（45，1]．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的单调性及其应用，考查逻辑思维能力及推理论证能力，考查运算求解能力，属难题．。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数111y x =-+的值域是（ ） A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知101x ≠+，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：101y x =≠+，则1111y x =-≠+，故值域为()(),11,+-∞⋃∞. 故选：C.2．若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ ）A ．ab bc >B ．ac bc >C ．a b b c >D ．ab ac > 【答案】D【分析】已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】a b c >>且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a <<,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,当1a =,0b =,1c =-时,ab bc =,故A 项错误;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故D 项正确.故选：D3．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ ）A ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格减函数B ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增.故选：B4．设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为（ ） AB ．2C ．4 D．【答案】A 【分析】转化条件为原式211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--，结合基本不等式即可得解. 【详解】()221121025a ac c ab a a b ++-+- 2211()()21025()ab a a b ab a a b a ac c ab a a b =+++----+-+- 2211()1025()ab a a b a ac c ab a a b =+++-+-+-211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--04≥=， 当且仅当1()15ab a a b a c =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即a =2b =5c =时，等号成立. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题5．已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________.【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A ={}|710x x ≤≤.故答案为：[]7,10.6．设实数a 满足2log 4a =，则a =_________.【答案】16【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为2log 4a =，所以4216a ==，故答案为：167．已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】2【分析】先由幂函数的定义求出m ，再检验得解.【详解】依题意得11m -=，解得2m =．此时()771f x x x -==，其图像不经过原点，符合题意， 因此实数m 的值为2．故答案为: 28．函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3为严格减函数，所以二次函数对称轴3x a =≥，故答案为：3a ≥9．函数22()log (1)f x x =-的定义域为_________.【答案】(1,1)-【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】()()22log 1f x x =-， 210x ∴->，解得11x -<<所以函数()()2log 1a f x x =-的定义域为()1,1-， 故答案为：()1,1-10．设函数f （x ）200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞，若f （α）＝9，则α＝_____． 【答案】﹣9或3 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得09αα≤⎧⎨-=⎩或209αα⎧⎨=⎩＞， ∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.11．若函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】12【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-单调递增，所以24a =，解得2a =，当1x =-，1min 1()(1)22f x f -=-==， 故答案为：1212．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是______. 【答案】13- 【分析】根据函数的对称性求出()f x 的解析式，代入a 求解即可.【详解】解：因为函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，则()3log g x x =， 又函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，则()3()log f x x =-，()3()log 1f a a =-=-，则13a =-. 故答案为：13- 【点睛】知识点点睛：（1）()y g x =与x y a =图像关于直线y x =对称，则()log a g x x =；（2）()y f x =与()y g x =关于y 轴对称，则()()f x g x =-；（3）()y f x =与()y g x =关于x 轴对称，则()()f x g x =-；13．如果关于x 的方程53x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)8,+∞【分析】根据绝对值的几何意义求得53x x -++最小值为8，即可求出实数a 的取值范围．【详解】因为53x x -++表示数轴上的x 对应点到-3和5对应点的距离之和，其最小值为8， 故当8a ≥时，关于x 的方程53x x a -++=有解，故实数a 的取值范围为[8,)+∞，故答案为：[8,)+∞．14．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【答案】(,4)(4,)-∞-⋃+∞【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出()0f x >和()0f x <的解集，再分别讨论当0x >和0x <时()0xf x >的解集即可求出结果.【详解】解：因为()f x 为奇函数，且有(4)0f -=，则()f x 在(,0)-∞上是也严格递增，且(4)0f =，所以()0f x >的解集为：()()4,04,-+∞；()0f x <的解集为：()(),40,4-∞-，则当0x >时，()0xf x >的解为()4,+∞，当0x <时，()0xf x >的解为(),4-∞-故()0xf x >成立的x 的取值范围是()(),44,-∞-+∞. 故答案为：()(),44,-∞-+∞【点睛】思路点睛：类似求()0xf x >或求()0f x x >的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出()0f x >或()0f x <的解，再结合x 的范围进行求解.15．函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】](,1-∞-【分析】函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，即()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设()221x x g x a -=++-，由()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，知()221x x g x a -=++-可以取所有的正值，又()22111x x g x a a a -=++-≥-=+，当且仅当0x =时等号成立，故()g x 的值域为[1,)a ++∞，所以只需满足[)()1,0,a ++∞⊇+∞即可，即1a ≤-故答案为：](,1-∞-【点睛】关键点点睛：求出()221x x g x a -=++-的值域，由题意知()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，转化为()g x 的值域包含()0,∞+是解题的关键，属于中档题.16．．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0(){2,0x x x x f x x e++<=≥，则()f x 的“友好点对”有 个. 【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x 2+4x+1（x ＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /e x （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f （x ）的“友好点对”有：2个．故答案为2三、解答题17．已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间(不需要过程)；（2）已知函数()y f x =在区间[3,2]-上的最大值为2，求实数a 的值.【答案】（1）增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）18a =或1a =-. 【分析】（1）求出()f x 的单调区间，然后根据复合函数的单调性写出()3f x y =的单调区间即可；（2）根据二次函数的性质，讨论0a <，0a =，0a >不同范围下()f x 的最值，解出a .【详解】解：（1）1a =时，()221f x x x =++，在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；则()3f x y =的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞.（2）()()222111f x ax ax a x a =++=++-，对称轴为1-， 当0a <时，()f x 在1x =-处取得最大值，()112f a -=-=，解得：1a =-当0a =时，()1f x =不成立；当0a >时，()f x 在()3,1--上单调递减，在()1,2-上单调递增，且对称轴为1x =-，()max f x =()2f ()2912f a a =+-=，解得：18a =综上所述：1a =-或18a =. 【点睛】本题考查复合函数的单调性以及二次函数的最值，属于基础题.思路点睛：（1）复合函数的单调性：分别判断内层函数和外层函数的单调性，根据同增异减的原则写出单调区间即可；（2）()221f x ax ax =++的最高次项系数为a ，不一定为二次函数，需讨论a 与0的关系； 18．设函数()|2|,()2f x x a g x x =-=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12. 【答案】（1）1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）利用反证法证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，|2x －1|≤x ＋2， 化简可得12122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-≤+⎩或12212x x x ⎧<⎪⎨⎪-≤+⎩ 解得1132x -≤≤或132x <≤ 综上，不等式的解集为)1|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)证明：假设1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则1122112211122a ba ba⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得－12<a<12与第三式12<a<32矛盾.因此假设不成立，故1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x∈时，曲线是函数0.880log()y x a=++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x=的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log(15)80,(16,40]x xf xx x⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x∈和(16,40]x∈上的解析式，即可求解；（2）当(0,16]x∈和(16,40]x∈时，令()68f x<，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b=-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.20．已知1()log 1a mx f x x -=-(0a >､1a ≠)是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值.【答案】（1）1m =-；（2）1a >时()f x 在(1,)+∞上严格减；01a <<时.()f x 在(1,)+∞上严格增；（3）21a n ==.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f （﹣x ）+f （x ）＝0，建立关于m 的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a 的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n ，a ﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n 和a 的值．【详解】（1）∵函数()11amx f x log x -=-（a ＞0，a ≠1）是奇函数． ∴f （﹣x ）+f （x ）＝0 即11log log 011aa mx mx x x +-+=---， 所以11log 011a mx mx x x +-⋅=---， 即222111m x x-=- 解得1m =±，当1m =时，1()log log (1)1a a xf x x -==--无意义，舍去. 故1m =-.（2）由（1）及题设知：()11ax f x log x +=-， 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当x 1＞x 2＞1时，()()()211212122221111x x t t x x x x --=-=---- ∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知11121an log n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当1≤n ＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩得2a =+n ＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.21．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x x =是，2()h x x =不是，理由见解析；(2)9；(3)(1,1)a ∈-. 【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得； (2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f (x )的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】(1)g (x )定义域R ，3333[1,0],(),()()()02222x x R g x g x x x ∀∈-+∈+-=+-=>，g (x )是， 取x =-1，311(1)()1(1)224h h h -+==<=-，h (x )不是， 函数()g x x =是区间[]1,0-上的32-增长函数，函数2()h x x =不是；(2)依题意，2[4,2],()()||||20x f x n f x x n x nx n ∀∈--+>⇔+>⇔+>， 而n>0，关于x 的一次函数22nx n +是增函数，x =-4时22min (2)8nx n n n +=-， 所以n 2-8n>0得n>8，从而正整数n 的最小值为9；(3)依题意，2222222,?(),?2,?x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，而,(4)()x R f x f x ∀∈+>， f (x )在区间[-a 2,a 2]上是递减的，则x ，x +4不能同在区间[-a 2,a 2]上，4>a 2-(-a 2)=2a 2， 又x ∈[-2a 2，0]时，f (x )≥0，x ∈[0，2a 2]时，f (x )≤0，若2a 2<4≤4a 2，当x =-2a 2时，x +4∈[0，2a 2]，f (x +4)≤f (x )不符合要求， 所以4a 2<4，即-1<a<1.因为：当4a 2<4时，①x +4≤-a 2，f (x +4)>f (x )显然成立；②-a 2<x +4<a 2时，x <a 2-4<-3a 2，f (x +4)=-(x +4)>-a 2，f (x )=x +2a 2<-a 2，f (x +4)>f (x )； ③x +4>a 2时，f (x +4)=(x +4)-2a 2>x +2a 2≥f (x )，综上知，当-1<a<1时，()f x 为R 上的4-增长函数， 所以实数a 的取值范围是(-1，1).【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合，，则__________． {1,1,2}A =-{}20B x x x =+=A B = 【答案】{}1-【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．B 【详解】解：，1，，，，{1A =- 2}{1B =-0}．{1}A B ∴=- 故答案为：．{}1-2．设a 、b 都为正数，且，则的最小值为________. 4a b +=11a b +【答案】1【分析】把变形为：利用已知，结合基本不等式进行求解即可. 11a b +1114()4a b ⨯⋅+【详解】因为a 、b 都为正数，所以有：， 111111114(()((2)(214444b a a b a b a b a b ⨯⋅+=+⋅+=⋅++≥⋅+=当且仅当时取等号，即时取等号，b a a b=2a b ==故答案为：13．函数，则______________. 2()1y f x x ==-1(3)f -=【答案】 53【解析】3在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系相反，故由解得值为所求. 231x =-x 【详解】由解得，所以. 231x =-53x =15(3)3f -=故答案为： 534．已知且，若，，则_______________.0a >1a ≠log 2a m =log 3a n =m n a +=【答案】6【解析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.【详解】，同理：log 2,2m a m a =∴= 3n a =∴236m n m n a a a +==⨯=故答案为：6【点睛】对数运算技巧：(1)指数式与对数式互化；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．5．已知函数，是偶函数，则的值为______．()()221f x ax b x =+++22,x a a ⎡⎤∈-⎣⎦a b +【答案】1-【分析】根据奇偶定义可建立方程求解即可.【详解】由题意得，所以，所以.2220202b a a a a +=⎧⎪-+=⎨⎪-<⎩1,2a b ==-1a b +=-故答案为：1-6．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______．22mm y x -++=m R m 【答案】或01【分析】依题意可得，解得的取值范围，再由为整数，求出参数的值.220m m -++>m m 【详解】由题意得，解得，又为整数，所以或.220m m -++>12m -<<m 0m =1故答案为：或017．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一340x x +-=()1,32x =个取的点是______．x =【答案】1.5## 32【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数，易得函数为严格增函数，3()4f x x x =+-因为，，(1)20f =-<(2)60f =>所以下一个有根区间是，(1,2)那么下一个取的点是．1.5x =故答案为：1.58．已知函数的最小值为-2，则实数a =________.22([0,1])y x ax x =+∈【答案】 32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，222()2()y f x x ax x a a ==+=+-x a =-当时，即，函数在时单调递减，1a ≤-1a ≤-2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，显然符合； min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-1a ≤-当时，即时，； 01a <-<10a -<<2min ()2f x a a =-=-⇒=10a -<<当时，即时，函数在时单调递增，0a -≤0a ≥2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，不符合题意，综上所述：， min ()(0)02f x f ==≠-32a =-故答案为： 32-9．设方程的实根，其中k 为正整数，则所有实根的和为22log 1122x a a --=-+12,,,k x x x ______．【答案】4【分析】画出的图象，由图象的特征可求.2()log 11g x x =--【详解】令，，2()|log ||1|f x x =-22()|log ||1||log ||1|()f x x x f x -=--=-=所以函数图象关于轴对称，2()|log ||1|f x x =-y 令，则的图象关于直线对称，2()log 11g x x =--()(1)g x f x =-1x =因为方程的实根，可以看作函数的图象与直线22log 1122x a a --=-+2()log 11g x x =--的交点横坐标.222y a a =-+由图可知方程有4个实根，且关于直线对称.22log 1122x a a --=-+1x =所以.12344x x x x +++=故答案为：4.10．设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等()2x f x =2()2g x x x a =-+1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈式恒成立，则实数a 的取值范围为________．()()121f x g x -≥【答案】(,1][6,)-∞+∞U【分析】分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2]a 组，求出解集即可【详解】解：因为在上为增函数，()2x f x =[1,2]所以，min max ()(1)2,()(2)4f x f f x f ====所以在上的值域为，()2x f x =[1,2][2,4]因为的对称轴为直线，2()2g x x x a =-+1x =所以在上为增函数，2()2g x x x a =-+[1,2]所以，min max ()(1)1,()(2)g x g a g x g a ==-==所以在上的值域为，2()2g x x x a =-+[1,2][1]a a -,因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈()()121f x g x -≥所以，解得， (1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩4613a a a a ≤≥⎧⎨≤≥⎩或或所以或，1a ≤6a ≥所以实数a 的取值范围为，(,1][6,)-∞+∞U 故答案为：(,1][6,)-∞+∞U 【点睛】此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2](1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩可求出实数a 的取值范围，属于中档题二、单选题11．已知x ，y 是实数，则“”是“”的（ ）x y >33x y >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为 ， 2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则， x y >223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则，即， 223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦0x y ->x y >所以 ，即“”是“”的充要条件，33x y x y >⇔>x y >33x y >故选：C.12．如果，那么（ ）12log 0.8log 0.80x x <<A ．B ． 2101x x <<<1201x x <<<C ．D ．121x x <<211x x <<【答案】C【分析】根据换底公式可得，再利用单调性可以判断C 正0.820.810.8log log 0log 1x x <<=0.8log y x =确.【详解】因为，则，12log 0.8log 0.80x x <<0.820.810.8log log 0log 1x x <<=又因为在上单调递减，0.8log y x =()0,∞+那么，121x x <<故选：C ．13．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ） 2y ax bx =+(0)b a y x x =>A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >b x 02a =->0b a<幂函数为减函数，符合题意；(0)b a y x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0b x 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b a y x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a=-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)b a y x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)b a y x x =>故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.14．若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ） ||y x a =--1a y x =+[1,2]a A ．B ．C ．D ． (,0)-∞(1,0)(0,1]-⋃(0,1)(0,1]【答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围.a 【详解】函数的图像关于对称，||y x a =--x a =所以当，y 随x 的增大而减小，当，y 随x 的增大而增大.x a >x a <要使函数在区间上都是严格减函数，||y x a =--[1,2]只需； 1a ≤要使在区间上都是严格减函数，只需； 1a y x =+[1,2]0a >故a 的范围为.01a <≤故选：D三、解答题15．求下列不等式的解集：(1) 4351x x +>-(2)2332x x -<-【答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【分析】（1）根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）应用公式法求绝对值不等式的解集.【详解】（1），故解集为； ()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--(1,8)（2），|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-故解集为.(1,)+∞16．已知函数． ()22(11)1x f x x x =-<<-(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；()f x (2)判断函数的单调性并证明．()f x 【答案】(1)是奇函数，理由见解析()f x (2)在上单调递减，证明见解析()f x (1,1)-【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）是奇函数，理由如下：()f x 函数，则定义域关于原点对称， ()22(11)1x f x x x =-<<-因为，所以是奇函数； ()()221x f x f x x --==--()f x （2）任取，1211x x -<<<则 22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- ， 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----因为，所以， 1211x x -<<<2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<所以，所以在上单调递减.12())0(f x f x ->()f x (1,1)-17．将函数（且）的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到log 2a y x =-0a >1a ≠函数的图像．()y f x =(1)求函数的解析式()f x (2)设函数，若对一切恒成立，求实数m 的取值范围；()()()1f x f x F x a ++=()m F x <()1,x ∈-+∞(3)讨论关于x 的方程，在区间上解的个数． ()log ap f x x=()1,-+∞【答案】(1)()log (1)a f x x =+(2)(,0]-∞(3)答案见解析【分析】(1)由图象的平移特点可得所求函数的解析式；(2)求得的解析式，可得对一切恒成立，再由二次函数的性质可得所()F x (1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 求范围；(3)将方程等价转化为且，根据题意只需讨论在区间()log a p f x x =1(1p x x x +=>-0)x ≠(1)p x x =+上的解的个数，利用图象，数形结合即可求得答案.(1,)-+∞【详解】（1）将函数且的图象向左平移1个单位，log 2(0a y x a =->1)a ≠得到的图象，再向上平移2个单位，得函数的图象； log (1)2a y x =+-()log (1)a f x x =+（2）函数，，()()()()()()()1log 1log 212a a f x f x x x F x a a x x +++++===++1x >-若对一切恒成立，()m F x <(1,)∈-+∞x 则对一切恒成立，(1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 由在严格单调递增，得，(1)(2)y x x =++(1,)-+∞(1)(2)0y x x =++>所以，即的取值范围是；0m ≤m (,0]-∞（3）关于的方程 x ()log log (1)log aa a p p f x x x x=⇔+=且， 1(1p x x x ⇔+=>-0)x ≠所以只需讨论在区间且x ≠0上的解的个数．(1)p x x =+(1,)-+∞由二次函数且的图象得，(1)(1y x x x =+>-0)x ≠当时，原方程的解有0个； 1(,)4p ∈-∞-当时，原方程的解有1个； 1(0,)4p ⎧⎫∈-+∞⎨⎬⎩⎭当时，原方程的解有2个． 1(,0)4p ∈-18．其公司研发新产品，预估获得25万元到2000万元的投资收益，现在准备拟定一个奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(1)用数学语言列出公司对函数模型的基本要求；(2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； ()1050x f x =+(3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 取值范围． ()1252g x a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭【答案】(1)答案见解析(2)不符合，理由见解析(3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数单调性的定义以及最值的定义，结合题意中的不等关系，可得答案； （2）由（1）所得的三个条件，进行检验，可得答案；（3）利用幂函数的单调性，结合题意中的最值以及不等关系，可得不等式组，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）满足的基本要求是：①是定义域上的严格增函数，()f x ()f x [25,2000]②的最大值不超过75，③在上恒成立； ()f x ()5x f x ≤[25,2000]（2），不满足要求③，故不符合； ()1050x f x =+()5050115f =>（3）因为，所以函数满足条件①， 12a ≥()gx 由函数满足条件②得，解得()g x 2575≤a ≤由函数满足条件③得，对恒成立， ()gx 255x ≤[25,2000]x ∈即恒成立，2a ≤[25,2000]x ∈时取等号，所以． 2≥=25x =1a ≤综上所述，实数的取值范围是． a 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．已知函数 ()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩(1)设k 、m 均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的(],x m ∈-∞()f x 值，使得关于x 的不等式恒成立，求k 的取值范围；()()22310f x m k m k ≤--+-(2)设t 为实数，若关于x 的方程恰有两个不相等的实数根且，()()2log 0f f x t x --=⎡⎤⎣⎦12,x x 12x x <试将表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域． 1221212log 211++--+-x x x x 【答案】(1)4k ≥(2)， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t=+(]1,3【分析】(1)分离参数，得，再借助基本不等式求解即可； 4(3)83k m m ≥-++-(2)先得出，再对，进行分类讨论. ()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩1x >1x ≤【详解】（1）当时，，故.(,]x m ∈-∞max ()f x =102m ≤≤要使得不等式恒成立，2()(2)310f x m k m k ≤--+-需使，2(2)310m k m k --+-1≥即对于任意的都成立. 2(2)3110m k m k --+-≥[0,2]m ∈因为，所以. 133m ≤-≤4(3)83k m m ≥-++-由，得 30m ->403m <-4(3)84843m m -++≤-+=- （当且仅当时取等号）1m =所以；4k ≥（2）由函数，得， ()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩①若，则方程变为，1x ≤[]2()log ()0f f x t x --=x =2log ()t x -即，则，2x t x =-2x t x =+为递增函数，，则有；2x y x =+1x ≤3t ≤②若，则方程变为1x >[]2()log ()0f f x t x --=，即，且，故，()222log log log ()x t x =-2log x t x =-0t x ->1t >于是分别是方程、的两个根，则，，12,x x 2x t x =-2log x t x =-11x ≤21x <即，121x x ≤<由于函数与的图像关于直线对称，2log y x =2x y =y x =故，12x x t +=， 122122log 2()x x t x x t +=-+=()()1212112|1||1|211x x x x =--+-+-+-1t=故，且， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t =+13t <≤故此函数的定义域为.(]1,3【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.20．对于定义在D 上的函数，设区间是D 的一个子集，若存在，使得函()y f x =[,]m n 0(,)x m n ∈数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区()y f x =[]0,m x []0,x n ()y f x =间上具有性质P ．[,]m n （1）若函数在区间上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件；2y ax bx =+[0,1]（2）设c 是常数，若函数在区间上具有性质P ，求实数c 的取值范围．3y x cx =-[1,2]【答案】（1）；（2）．20a b -<<()3,12c ∈【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出2y ax bx =+()f x 的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；2y ax bx =+,a b （2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出3y x cx =-[1,2]c 在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.3y x cx =-[1,2]c c 【详解】（1）当函数在区间上具有性质P 时，由其图象在R 上是抛物线， 2y ax bx =+[0,1]故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是； 0a >(0,1)2b x a=-∈于是，实数a ，b 所满足的条件为：．20a b -<<（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，3()f x x cx =-1x 2x [1,2]总有． ()()()()2212121122f x f x x x x x x x c -=-++-若，当时，总有且，3c ≤12x x <120x x -<22112211130x x x x c ++->++-=故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．()()120f x f x -<3y x cx =-[1,2]若，当时，总有且，12c ≥12x x <120x x -<222211222222120x x x x c ++-<+⨯+-=故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．()()120f x f x ->3y x cx =-[1,2]若，当且时，总有且， 312c <<12x x <12,x x ⎡∈⎢⎣120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++-<++-=故，因此在区间上是严格减函数； ()()120f x f x ->3y x cx =-⎡⎢⎣当且时，总有且， 12x x <12,2x x ⎤∈⎥⎦120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++->=++-=故，因此在区间上是严格增函数．()()120f x f x -<3y x cx =-2⎤⎥⎦因此，当时，函数在区间上具有性质P ．()3,12c ∈3y x cx =-[1,2]【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理P 解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质P的情况，然后再进行验证即可. P。
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝．2．函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是．3．已知α∈[0，2π），且α与﹣终边相同，则α＝．4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且B⊆A，则实数a取值范围为．5．若lg2＝a，lg3＝b，则log524＝．6．已知＜x﹣1，则实数x取值范围为．7．已知tanα＝2，则sinαcosα+cos2α+2sin2α＝．8．已知x+2y＝1，求+的最小值为．9．“求方程＝1的解”有如下解题思路：设f（x）＝，则y ＝f（x）是R上的严格减函数，且f（2）＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x的解集为．10．已知y＝f﹣1（x）是y＝f（x）＝2x+x，x∈[0，2]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为．11．已知，若a，b∈[﹣2，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，恒成立，则b﹣a的最大值为．12．定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，若M表示到点A（1，3）、B（6，9）的曼哈顿距离相等的所有点C（x，y）的集合，其中x，y∈[0，10]，则点集M与坐标轴及直线x＝10所围成的图形的面积为．二、选择题13．已知k∈{}，若y＝x k为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数k的值是（）A．﹣1，3B．，3C．D．14．“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），若不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），则不等式f（10x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（lg2，+∞）B．（﹣1，lg2）C．（﹣lg2，+∞）D．（﹣∞，﹣lg2）16．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y＝D（x）＝，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：①D（D（x））＝0；②对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；③任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；④存在三个点A（x1，D（x1））、B（x2，D（x2））、C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④B．②④C．②③④D．①②③三、解答题17．已知．（1）求的值；（2）若，β终边经过P（﹣3，4），求．18．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求实数a的取值范围．19．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y＝2x2+（15﹣4k）x+128k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x＝1时，总成本为142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？20．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．21．对于任意y＝f（x），x∈D，若存在x0∈D，使得f（x0+1）＝f（x0）•f（1），则称f（x）具有性质P．记M＝{f（x）|f（x）具有性质P}．（1）判断f（x）＝lgx和g（x）＝2x+x2是否属于集合M；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知x∈（0，1]时，f（x）＝8x2﹣8x+2；且对任意x∈（﹣1，1]，都有f（x+1）＝f （x）•f（1），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1，k∈R，试讨论函数y＝h（x），x∈（﹣1，1]的零点个数．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3，4}．解：∵集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．2．函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是（1，3）．解：因为函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1），当x＝1时，y＝3，所以函数的图象恒过定点P（1，3）．故答案为：（1，3）．3．已知α∈[0，2π），且α与﹣终边相同，则α＝．解：∵α与﹣终边相同，∴α＝2kπ﹣，k＝2时，α＝∈[0，2π]，故答案为：．4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且B⊆A，则实数a取值范围为[3，+∞）．解：由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，可得B＝（﹣1，3）．∵B⊆A．∴a≥3．∴实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为[3，+∞）．5．若lg2＝a，lg3＝b，则log524＝．解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log524＝＝＝，故答案为：．6．已知＜x﹣1，则实数x取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．解：当x＞0时，不等式化为，两边三次方得x4＜1，解得0＜x＜1；当x＜0时，不等式化为，两边三次方得x4＞1，解得x＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．7．已知tanα＝2，则sinαcosα+cos2α+2sin2α＝．解：因为tanα＝2，所以sinαcosα+cos2α+2sin2α＝＝＝＝．故答案为：．8．已知x+2y＝1，求+的最小值为．解：∵x+2y＝1，x，y＞0，∴+＝（x+2y）＝+＝，当且仅当x＝y＝时取等号．故答案为：．9．“求方程＝1的解”有如下解题思路：设f（x）＝，则y ＝f（x）是R上的严格减函数，且f（2）＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x的解集为（1，4）．解：不等式式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x变形为x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2，令u＝x，v＝（x﹣2）2，则x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2⇔u3+u＞v3+v；考察函数f（x）＝x3+x，知f（x）在R上为增函数，∴f（u）＞f（v），∴u＞v；不等式x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2可化为x＞（x﹣2）2，解得1＜x＜4；∴不等式的解集为：（1，4）．故答案为：（1，4）．10．已知y＝f﹣1（x）是y＝f（x）＝2x+x，x∈[0，2]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为3．解：因为y＝2x在[0，2]上为增函数，y＝x在[0，2]上为增函数，故f（x）＝2x+x在x∈[0，2]上为增函数，所以其值域为[1，6]，所以y＝f﹣1（x）定义域为[1，6]，且在[1，6]上为增函数，因此y＝f（x）+f﹣1（x）在[1，6]上为增函数，∴y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为f（1）+f﹣1（1）＝2+1+0＝3．故答案为：3．11．已知，若a，b∈[﹣2，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，恒成立，则b﹣a的最大值为4．解：∵a，b∈[﹣2，5]，且x1，x2∈[a，b]，∴a＜b，∵恒成立，∴g（x）在区间[a，b]上单调递增，∵函数，∴g（x）＝，当x∈[﹣2，0）时，g（x）＝+1，单调递增；当x∈（0，1]时，g（x）＝1﹣x，单调递减；当x∈[1，）时，g（x）＝x﹣1，单调递增；当x∈[，5]时，g（x）＝+1，单调递增．∴当a＝1，b＝5时，b﹣a取得最大值为5﹣1＝4．故答案为：4．12．定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，若M表示到点A（1，3）、B（6，9）的曼哈顿距离相等的所有点C（x，y）的集合，其中x，y∈[0，10]，则点集M与坐标轴及直线x＝10所围成的图形的面积为52.5．解：由题意可知|x﹣1|+|y﹣3|＝|x﹣6|+|y﹣9|，x，y∈[0，10]，①当x≤1，y≤3时，1﹣x+3﹣y＝6﹣x+9﹣y，∴4＝13，无解，②当x≤1，3＜y≤9时，1﹣x+y﹣3＝6﹣x+9﹣y，∴y＝8.5，③当x≤1，y＞9时，1﹣x+y﹣3＝6﹣x+y﹣9，∴﹣2＝﹣3，无解，④当1＜x≤6，y≤3时，x﹣1+3﹣y＝6﹣x+y﹣9，∴x＝6.5＞6，无解，⑤当1＜x≤6，3＜y≤9时，x﹣1+y﹣3＝6﹣x+9﹣y，∴x+y＝，⑥当1＜x≤6，y＞9时，x﹣1+y﹣3＝6﹣x+y﹣9，∴x＝＜1，无解，⑦当x＞6，y≤3时，x﹣1+3﹣y＝x﹣6+9﹣y，∴2＝7，无解，⑧当x＞6，3＜y≤9时，x﹣1+y﹣3＝x﹣6+9﹣y，∴y＝，⑨当x＞6，y＞9时，x﹣1+y﹣3＝x﹣6+y﹣9，∴﹣4＝﹣15，无解，综上，符合条件线段有：x∈[0，1]，y＝8.5；x∈（1，6]，y∈（3，9]，x+y＝；x∈（6，10]，y∈（3，9]，y＝，∴如图所示：，∴图中阴影部分面积为所求面积，∴面积S＝1×8.5+×（6﹣1）+（10﹣6）×3.5＝8.5+30+14＝52.5．故答案为：52.5．二、选择题13．已知k∈{}，若y＝x k为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数k的值是（）A．﹣1，3B．，3C．D．解：当k＝﹣1时，y＝x﹣1为奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；当k＝2时，y＝x2为偶函数，不符合题意；当k＝时，y＝＝为非奇非偶函数，不符合题意；当k＝3时，y＝x3为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，符合题意；当k＝时，y＝为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，符合题意．故实数k的值是3，．故选：B．14．“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为＝＝2+，所以当函数在区间（﹣∞，1）上严格减时，有：2﹣a＞0，即a＜2．由于集合A＝{a|a＜1|⊊B＝{a|a＜2}，所以“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的充分不必要条件，故选：A．15．已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），若不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），则不等式f（10x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（lg2，+∞）B．（﹣1，lg2）C．（﹣lg2，+∞）D．（﹣∞，﹣lg2）解：∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∴二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣1，0），（，0）且a＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c在（，+∞）上为减函数，∵10x＞0，f（10x）＞0＝f（），∴10x＜，∴x＜lg＝﹣lg2，∴不等式f（10x）＞0的解集为（﹣∞，﹣lg2）．故选：D．16．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y＝D（x）＝，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：①D（D（x））＝0；②对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；③任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；④存在三个点A（x1，D（x1））、B（x2，D（x2））、C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④B．②④C．②③④D．①②③解：①若x为有理数，则D（x）＝1是有理数，则D（D（x））＝1，若x为无理数，则D（x）＝0是有理数，则D（D（x））＝1；故①错误，②若x为有理数，则﹣x为有理数，此时D（x）＝1，D（﹣x）＝1，即D（x）＝D（﹣x）成立，若x为无理数，则﹣x为无理数，此时D（x）＝0，D（﹣x）＝0，即D（x）＝D（﹣x）成立，综上对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；故②正确，③若x为有理数，则x+T为有理数，此时D（x+T）＝1，D（x）＝1，即D（x+T）＝D（﹣）成立，若x为无理数，则x+T为无理数，此时D（x+T）＝0，D（x）＝0，即D（x+T）＝D（x）成立，综上任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；故③正确，④对任意有理数x，存在三个点A（x，1）、B（x﹣，0）、C（x+，0）是边长为的等边三角形，故④正确，故选：C．三、解答题17．已知．（1）求的值；（2）若，β终边经过P（﹣3，4），求．解：（1）因为，所以两边平方，可得1+2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝﹣，所以＝cosα（﹣sinα）＝．（2）由（1）可得（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝，又，所以sinα﹣cosα＞0，可得sinα﹣cosα＝，又β终边经过P（﹣3，4），所以cosβ＝＝﹣，＝﹣+＝+＝+＝﹣．18．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）不等式f（x）+g（x）≥3可化为|2x﹣1|+|2x﹣a|≥3﹣a，即，当a≥3时，原不等式成立．当a＜3时，由绝对值三角不等式可得，∴，平方得（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴实数a的取值范围是[2，+∞）．19．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y＝2x2+（15﹣4k）x+128k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x＝1时，总成本为142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？解：（1）由题意可得，除尘后y＝2x2+（15﹣4k）x+120k+8+kx＝2x2+（15﹣3k）x+120k+8，∵当日产量x＝1时，总成本为142，∴2+15﹣3k+120k+8＝142，解得k＝1．（2）由（1）y＝2x2+12x+128，∵总利润L＝48x﹣（2x2+12x+128）＝36x﹣2x2﹣128，（x＞0），∴每吨产品的利润＝4，当且仅当时，即x＝8时，等号成立，∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．20．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．解：（1），∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，∴函数h（x）的值域为[0，2]．（2）由得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞k⋅log2x，令t＝log2x，∵x∈[2n，2n+1]，∴t＝log2x∈[n，n+1]，∴（3﹣4t）（3﹣t）＞k⋅t对一切的t∈[n，n+1]恒成立，①当n＝0时，若t＝0时，k∈R；当t∈（0，1]时，恒成立，即，函数在t∈（0，1]单调递减，于是t＝1时取最小值﹣2，此时x＝2，于是k∈（﹣∞，﹣2）；②当n＝1时，此时t∈[1，2]时，恒成立，即，∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为﹣3，k∈（﹣∞，﹣3）；③当n≥2时，此时t∈[n，n+1]时，k＜恒成立，即，函数在t∈[n，n+1]单调递增，于是t＝n时取最小值，此时x＝2n，于是．由于4n﹣15+在n≥2递增，可得4n﹣15+≥﹣＞﹣3，综上可得，k的范围是（﹣∞，﹣3）．21．对于任意y＝f（x），x∈D，若存在x0∈D，使得f（x0+1）＝f（x0）•f（1），则称f（x）具有性质P．记M＝{f（x）|f（x）具有性质P}．（1）判断f（x）＝lgx和g（x）＝2x+x2是否属于集合M；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知x∈（0，1]时，f（x）＝8x2﹣8x+2；且对任意x∈（﹣1，1]，都有f（x+1）＝f （x）•f（1），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1，k∈R，试讨论函数y＝h（x），x∈（﹣1，1]的零点个数．解：（1）若假设f（x）∈M，则存在x0＞0有lg（x0+1）＝lgx0⋅0＝0⇒x0＝0与x0＞0矛盾，所以f（x）∉M，假设存在x0∈R，有．易知x0＝0是其解，所以g（x）∈M；（2）因为，所以存在x∈R有①当a＝0，①式是恒成立．当a≠0，由①式可以得到有解．令t＝2x+1∈（1，+∞），则，所以，综上所述，；（3）任意x∈（﹣1，0），x+1∈（0，1）x∈（﹣1，0），且有f（x+1）＝f（x）f（1），则有，令x＝0得到f（1）＝f（0）f（1），又因为f（1）＝2≠0，所以f（0）＝1，所以f（x），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1＝0，当x＝0，h（0）＝0，所以x＝0是h（x）的零点，当x≠0时，k＝g（x）＝＝，当x∈（0，1]时，g（x）＝8x+﹣8≥4﹣8，其图象为：有图象易知，当k∈（﹣∞，4﹣8）有1个零点，当k∈{4﹣8}∪[4，+∞）有2个零点，当k∈（4﹣8，0]∪（1，4）有3个零点，当k∈（0，1]，有4个零点．。
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期期末数学试题一、填空题 1．函数()f x =__________. 【答案】(),2∞-【分析】解不等式20x ->即可得出函数()f x 的定义域. 【详解】对于函数()f x =20x ->，解得2x <. 因此，函数()f x =的定义域为(),2∞-. 故答案为：(),2∞-.2．设x ∈R ，写出“1x >”的一个充分条件：______． 【答案】2x >（答案不唯一）． 【分析】根据充分条件的定义求解．【详解】只要是集合{|1}x x >的子集即可，如2x >． 故答案为：2x >（答案不唯一）．3．已知a 、b ∈R ，用反证法证明命题：“若220a b +=，则a 、b 全为零”时的假设是______． 【答案】“若220a b +=，a 不为零或b 不为零”.【解析】由反证法思路，条件成立时否定原结论，然后证明与条件矛盾的结果，说明原结论成立，即可知命题的假设.【详解】命题“若220a b +=，则a 、b 全为零”，应用反证法时，假设的命题为“若220a b +=，则a 不为零或b 不为零”，故答案为：a 不为零或b 不为零.【点睛】本题考查了反证法的思路，条件不变否定结论，属于简单题.4．集合{}|10A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B ⋃=，则a 的值是__．【答案】0或1或12【分析】解一元二次方程，可得集合{}1,2B =，再由且A B B ⋃=得到A B ⊆，最后分析集合A 的元素，可得a 的值是0或1或12．【详解】{}()(){}{}23201201,2B x x x x x x =-+==--==A B B = A B ∴⊆①当0a =时，A =∅，满足题意； ②当0a ≠时，1A x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭ 11a∴=或12a =，解得：1a =或12 综上所述：a 的值为0或1或12 故答案为：0或1或12【点睛】本题考查了集合包含关系的判断及应用，属于基础题；在解决一个集合是另一个集合子集的问题时，应注意不能忽略空集这一特殊情况而致错．5．已知0a >且1a ≠，函数21x y a -=+的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为______． 【答案】(2,2)【分析】根据指数函数的图象与性质求解. 【详解】令20x -=得2x =，此时112y =+=， 所以图象过定点(2,2)． 故答案为：(2,2)．6．已知16log 3m =，则9log 16=______（用m 表示）． 【答案】12m【分析】由对数的换底公式及运算法则求解． 【详解】由题意91616111log 16log 92log 32m===． 故答案为：12m． 7．已知函数()231x f x x -=+的图像关于点P 中心对称，则点P 的坐标是__________． 【答案】1,2；【分析】由题意，对函数进行简化，可得()235211x f x x x --==+++，即可求得点P 的坐标. 【详解】()235211x f x x x --==+++， 函数()231x f x x -=+的图像关于点P 中心对称， ∴点P 的坐标是1,2.故答案为：1,2【点睛】本题主要考查函数的中心对称点，对于分式形式可采用分离参数法求解，属于基础题.8．已知()f x 是定义在{}|0D x x =≠上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =__________．【答案】2x x --；【分析】首先，根据当0x >时，()2f x x x =-，令0x <，则0x ->，然后结合函数为奇函数，求解相对应的解析式.【详解】令0x <，则0x ->， ()()()22f x x x x x ∴-=---=+，函数()f x 是定义在{}|0D x x =≠上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，()2f x x x ∴-=+， ()2f x x x ∴=--故答案为：2x x --【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解析式，需掌握函数奇偶性的定义，属于基础题. 9．在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v （单位：m/s ）和燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）满足2000e 1v M m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底）．当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的______倍时，火箭的最大速度可以达到8000m/s （结果精确到0.1）． 【答案】53.6【分析】由已知函数式解方程可得．【详解】由2000e 1vM m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得2000ln(1)2000ln(1)M Mv n m=+=+， 2000ln(1)8000M m +=，ln(1)4M m +=，4e 153.6Mn=-≈， 故答案为：53.6.10．方程35232x x x -+-=-的解集是______．【答案】3523x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭##35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】利用零点分区间法去绝对值符号，分段解方程.【详解】当32x ≤时，原方程化为：(53)(32)2x x x -+-=-，即32x =，故此时32x =； 当3523x <<时，原方程化为：(53)(23)2x x x -+-=-，即22x x -=-， 故此时3523x <<.当523x ≤<时，原方程化为：35232x x x -+-=-，即53x =，当2x ≥时，原方程化为：35232x x x -+-=-，即32x =，舍去. 综上所述：方程22335x x x -+-=-的解集为：3523x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.故答案为：3523x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.11．已知函数23,22,2x x y x m x ⎧≤=⎨-+>⎩的值域是(],9-∞，则实数m 的取值范围是______． 【答案】[0,)+∞．【分析】分别求出2x ≤和2x >时y 的取值范围，然后由值域可得集合的关系，从而得参数范围． 【详解】2x ≤时，39x y =≤且0y >，即(0,9]y ∈， 因此2x >时，y 的取值范围应包含(,0]-∞， 又2x >时，22y x m m =-+≤，所以0m ≥． 故答案为：[0,)+∞．12．设R,Z a m ∈∈，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组21122x m x a -<<+有解，则a 的取值范围是______.【答案】(1,1-【分析】根据给定条件，确定m 的最小值，再由函数不等式有解得当0m =时不等式组有解，当1m =时不等式组无解，求出a 的范围作答.【详解】依题意，2111222x -≥-，由不等式21122x m -<有解知，12m >-，而m ∈Z ，因此N m ∈，因存在唯一的m 使得关于x 的不等式组21122x m x a -<<+有解，则当且仅当0m =时，不等式组211022x x a -<<+有解，且当1m =时不等式组211122x x a -<<+无解，由211022x x a -<<+有解得11x x a -<<⎧⎨>-⎩有解，于是得<1a -，解得1a >-，由211122x x a -<<+无解得1x x a⎧<<⎪⎨>-⎪⎩1a -≥1a ≤11a -<≤所以a 的取值范围是(1,1-.故答案为：(1,1-【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.二、单选题13．下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A ．1y x=B ．2xy =C ．1lny x= D ．2y x【答案】C【分析】首先判断函数1y x=为奇函数，从而判断A 错误，根据指数函数和二次函数的单调性即可判断B 、D 选项的函数在区间()0,∞+上单调递增，从而判断B 、D 都错误，而根据偶函数定义、减函数定义，以及对数函数单调性即可判断选项C 正确. 【详解】对于A ，1y x=为奇函数，∴该选项错误；对于B ，0x >时，22x xy ==单调递增，∴该选项错误；对于C ，1ln y x =为偶函数，当0x >时，11ln ln y x x==单调递减，∴该选项正确；对于D ，2y x 在区间()0,∞+上单调递增，∴该选项错误；故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，需掌握常见函数的性质，属于基础题. 14．x ∈R ，且使代数式有意义，则下列代数式中最小值为2的是（ ）A ．1xx+B ．22x x -+C ．224+x x D 【答案】B【分析】根据基本不等式判断．【详解】选项A 中，0x <时，0y <，不合题意；选项B 中，222-+≥x x ，当且仅当0x =时等号成立，满足题意；选项C 中，2244x x +≥，当且仅当x =选项D2≥==时等号成立，但此方程无实解，不合题意． 故选：B ．15．设函数()322xf x x -=-则其零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】分别计算()0f ，()1f ，()2f ，()3f ，()4f ，根据零点存在定理结合函数的单调性，得到答案.【详解】函数()322xf x x -=-，所以()040f =-<，()110f =-<，()270f =>，()53302f =>，()255404f =>， 又()2332122xx f x x x --⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-，因为函数3y x =在(),-∞+∞上为单调递增，函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减，所以函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递增，结合零点存在定理，可知()f x 的零点所在区间为()1,2. 故选：B.16．函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且对于任意的12x x ≠，都有()()12121f x f x x x -<-成立.如果()f m m >，则实数m 的取值集合是（ ）A ．{}0B ．{}0m m >C ．{}0m m <D ．R【答案】C【分析】依题意可得()()g x f x x =-在定义域R 上单调递减，由()00g =，则()f m m >等价于()()0g m g >，根据函数的单调性即可得解；【详解】解：因为对于任意的12x x ≠，都有()()12121f x f x x x -<-，当12x x >时()()1212f x f x x x -<-，即()()1122f x x f x x -<-， 当12x x <时()()1212f x f x x x ->-，即()()1122f x x f x x ->-， 即()()g x f x x =-在定义域R 上单调递减，又()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =， 所以()()0000g f =-=，则()f m m >，即()0f m m ->，即()()0g m g >，所以0m <， 即不等式()f m m >的解集为{}0m m <； 故选：C三、解答题17．设关于x 的不等式4220x x -⋅>的解集为M ，不等式103x x +≤-的解集为N ．求集合M N ⋂． 【答案】{|13}x x <<【分析】解指数不等式得集合M ，解分式不等式得集合N ，然后由交集定义计算． 【详解】4220221x x x x -⋅>⇔>⇔>，{|1}M x x =>，(1)(3)01013303x x x x x x +-≤⎧+≤⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，{|13}N x x =-≤<，∴{|13}M N x x ⋂=<<．18．已知幂函数()23f x x =，写出函数定义域，奇偶性，单调区间，值域，零点，并做出大致图像．【答案】答案见解析．【分析】描点法作出函数图象，根据图象得出函数的性质． 【详解】列表： x3- 2- 1- 0 12 3y 2.08 1.591 0 1 1.59 2.08描点，用光滑曲线连接各点，得函数图象，如图，函数定义域是R ，函数为偶函数（因为图象关于y 轴对称）， 增区间是(0,)+∞，减区间是(,0)-∞，值域是[0,)+∞，零点是0x =．19．设函数()2f x x x a =+-，a 为常数． (1)若()f x 为偶函数，求a 的值； (2)设0a >，()()f x g x x=，(]0,x a ∈为严格减函数，先将()g x 表达式化简（去掉绝对值），再利用函数单调性的定义求实数a 的取值范围． 【答案】(1)0a =； (2)见解析【分析】（1）由偶函数的定义求解；（2）根据绝对值的定义去掉绝对值符号，由严格减函数的定义求参数范围．【详解】（1）由题意()()f x f x -=，即22x x a x x a +--=+-，--=-x a x a ，平方得0ax =恒成立，所以0a =；（2）x a ≥时，2()()1f x x x a ag x x x x x+-===-+，x a <时，2()1x a x a g x x x x+-==+-，即1,()1,a x x a xg x a x x a x ⎧-+≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩，(]0,x a ∈时，()g x 为严格减函数，设120x x a <<≤，121212121212()()()()0x x x x a a a g x g x x x x x x x ---=+--=>恒成立， ∵120x x -<，∴120x x a -<，即12<x x a ，又120x x a <<<，则212x x a <，所以2a a ≤，而0a >，故解得01a <≤．∴a 的范围是(0,1]．20．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h ．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M （单位：Wh ）与速度v （单位：km/h ）的数据如下表所示：为了描述国道上该汽车每小时耗电量M 与速度v 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40M v v bv cv =++；②22()10003vM v a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭；③3()300log a M v v b =+．(1)当080v ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；(2)现有一辆同型号电动汽车从A 地行驶到B 地，其中高速上行驶200km ，国道上行驶30km ，若高速路上该汽车每小时耗电量N （单位：Wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足2()210200N v v v =-+(80120)v ≤≤，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】(1)3211()40M v v bv cv =++符合，3211()215040M v v v v =-+ (2)当高速路上速度为80km/h ，国道上速度为40km/h 时，总耗电量最少，为33500Wh【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；（2）根据题意可得高速路上的耗电量100()400(5)f v v v=+-，再分析()f v 的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的3211()215040M v v v v =-+，可得国道上的耗电量21()30[(40)110]40h v v =-+，根据二次函数的最值分析最小值即可【详解】（1）因为函数22()10003vM v a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭是定义域上的减函数，又3(0)M 无意义，所以函数22()10003vM v a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭与3()300log a M v v b =+不可能是符合表格中所列数据的函数模型，故3211()40M v v bv cv =++是可能符合表格中所列数据的函数模型. 由()()()111101325404400607200M M M ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，得：1402180a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，所以3211()215040M v v v v =-+（2）由题意，高速路上的耗电量200100()()400(5)f v N v v v v=⨯=+- 任取12,[80,120]v v ∈，当12v v <时，12121212400()(100)()()0v v v v f v f v v v ---=<所以函数()y f v =在区间[80,120]上是增函数，所以min (80)30500y f ==Wh 国道上的耗电量2213011()()30(2150)30[(40)110]4040h v M v v v v v =⨯=-+=-+ 所以min ()(40)3300h v h ==Wh所以当高速路上速度为80km/h ，国道上速度为40km/h 时，总耗电量最少，为33500Wh 21．已知函数()221x f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)(,1)-∞ (2)2- (3)(0,1)【分析】（1）化简函数得21()1(0)f x x x =-≠，由2x >，可求出2111x -<，从而可求得函数的值域， （2）等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，转化为2k x x ≤-+在[]1,2x ∈时恒成立，令2211()24h x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，可得()h x 在[]1,2上单调递减，从而可求出其最小值，进而可求得实数k 的最大值，（3）由题意得min max 11()23,()23g x g m g x g n m n ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得,m n 是方程2310(0)tx x t t -+-=>的两个不相等的正根，令2()310(0)x tx x t t ϕ=-+-=>，则有Δ94(1)0302(0)10t t t t ϕ=-->⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，从而可求出实数t 的取值范围 【详解】（1）由题意得21()1(0)f x x x =-≠， 因为20x >，所以210x >，则2111x -<， 所以函数()f x 的值域为(,1)-∞（2）因为[]1,2x ∈，所以不等式可化为2311kx x x ≤-+-，所以2k x x ≤-+，令2211()24h x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 则()h x 在[]1,2上单调递减，所以min ()(2)422h x h ==-+=-，所以2k ≤-，所以实数k 的取值范围为(,2]-∞-，所以实数k 的最大值为2-（3）由题意得2()1t g x t x =-++， 因为0t >，所以()g x 在11,(0,0)m n m n ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以min max 11()23,()23g x g m g x g n m n ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()221123,1123t m m t n n -+=--+=-，所以,m n 是方程()21123t x x -+=-，即2310(0)tx x t t -+-=>的两个不相等的正根，令2()310(0)x tx x t t ϕ=-+-=>，其图象开口向上，对称轴为直线32x t=，且有两个不相等的正零点， 所以Δ94(1)0302(0)10t t t t ϕ=-->⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，即01t R t t ∈⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得01t <<所以实数t 的取值范围为(0,1)。
上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期中仿真密卷数学试题(解析版)
因 ，且
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 的上确界为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查基本不等式“1”的代换，在用基本不等式时，一定要注意“一正，二定，三相等”原则，考查学生的逻辑推理与转化能力，属于中档题.
三、解答题
17.记关于 的不等式 的解集为P,不等式 的解集为Q，若 求实数 的取值范围.
（1）若 比3远离0，求 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 远离 ．
【答案】（1） （2）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义得到不等式 ，解这个不等式可得 的取值范围．
（2）只要证明 即可，利用作差法可证该不等式，注意利用基本不等式可证绝对值符号内的代数式恒正．
【详解】（1）因为 比3远离0，所以 即 ，
【答案】
【解析】
【分析】先根据条件求出 t＜x＜2（a+b） t；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a+b=t，最后结合基本不等式即可求出a2+b2的最小值．
【详解】因为A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，
∴|x （a+b t）|＜a+b⇒ t＜x＜2（a+b） t，
而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a+b t=0
设b和c都是整数，若 有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求二次函数 的解析式，使得其所有项的系数和最小．
【答案】(1) ， ， ， ；(2)
【解析】
【分析】 由题意可得 ，设 ，则 ，求得t，进而得到x的值；
，即为 ，由题意不妨设四个根分别为 ， ， ， ，可得四个根的和为 ，即 ；再由韦达定理，消去d，可得b，c的方程，结合b，c为正整数和 取得最小值，化简运算和推理可得b，c的最小值，即可得到所求解析式．
2020-2021学年上海市松江区高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市松江区高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝．2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为．3．函数的定义域是．4．已知函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝．5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是．6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝．7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是．8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是．9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝．10．已知函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是．11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为．12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是．二、选择题（共4小题）.13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A．证明所有实数的平方都不是正数B．证明平方是正数的实数有无限多个C．至少找到一个实数，其平方是正数D．至少找到一个实数，其平方不是正数14．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝e lnx，g（x）＝xB．C．f（x）＝x0，g（x）＝1D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（）A．B．（0，1]∪[3，+∞）C．D．三、解答题（共5小题）.17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．（1）求实数m的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．20．（16分）给出关于函数f（x）的一些限制条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求函数g（x）的值域；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．参考答案一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝{1，2}．解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故答案为：{1，2}．2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为{0}．解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为：∁U（A∪B）＝{0}．故答案为：{0}．3．函数的定义域是（，1）．解：由题意得：，解得：＜x＜1，故答案为：（，1）．4．已知函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝2．解：函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，可得：1＝a﹣1，解得：a＝2．∴f（x）＝2x﹣1那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1＝3时，x的值．由2x﹣1＝3，解得：x＝2．∴f﹣1（3）＝2．故答案为2．5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是（1.5，2）．解：因为f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28，所以f（1）＝9＞0，f（2）＝﹣4＜0，f（1.5）＝1＞0，由零点的存在性定理可得，f（x）的下一个有零点的区间是（1.5，2）．故答案为：（1.5，2）．6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣2﹣x+1．解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）﹣2﹣x+1＝﹣x﹣2﹣x+1，又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝﹣x﹣2﹣x+1，故答案为：﹣x﹣2﹣x+1．7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（﹣，﹣）．解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则ax2+5x+b＝0的实数根是3和2，由根与系数的关系，得3+2＝﹣，3×2＝，解得a＝﹣1，b＝﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．解：当x≤2时，y＝﹣x+8≥6，要使函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则有x＞2时，函数y＝log a x+5≥6，∴，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝1．解：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得：f（x+4）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数；又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，则f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1+0+（﹣1）+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝1，故答案为：1．10．已知函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是8．解：函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，令x﹣3＝1，即x＝4时，y＝1，故定点A（4，1），又点A在一次函数的图象上，所以有，即2m+n＝1，所以＝，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是8．故答案为：8．11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为（﹣∞，5）．解：由题意可得：|x﹣2|＞﹣|x+3|+m在R上恒成立，即m＜|x﹣2|+|x+3|在R上恒成立，只需m＜（|x﹣2|+|x+3|）min即可，又|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5，当且仅当x﹣2与x+3的符号异号取等号，所以m＜5，故答案为：（﹣∞，5）．12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n的最大值是4．解：若[t]＝1，则t∈[1，2），若[t2]＝2，则t∈[），（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]＝3，则t∈[，），若[t4]＝4，则t∈[，），若[t5]＝5，则t∈[，），其中，，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，综上，当t＝4时，可以找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）上，但当t＝5时，无法找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）∩[）上，∴正整数n的最大值为4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A．证明所有实数的平方都不是正数B．证明平方是正数的实数有无限多个C．至少找到一个实数，其平方是正数D．至少找到一个实数，其平方不是正数解：因为“全称量词命题”的否定是“存在量词命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选：D．14．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝e lnx，g（x）＝xB．C．f（x）＝x0，g（x）＝1D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}解：A．f（x）的定义域是（0，+∞），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B．f（x）＝x﹣2，（x≠﹣2），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，C．f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，D．f（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，g（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D．15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：因为3a＞3b＞3，所以a＞b＞1，因为log a3＜log b3，①当a＞1，b＞1时，则有a＞b＞1；②当0＜a＜1，0＜b＜1时，则有0＜b＜a＜1，所以“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的必要不充分条件．故选：B．16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（）A．B．（0，1]∪[3，+∞）C．D．解：根据题意，由于m为正数，y＝（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y＝+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y＝（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y＝（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3，综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．解：由已知可得A＝{﹣2，1}，因为B⊆A，则B＝∅或{﹣2}或{1}或{﹣2，1}，当B＝∅时，△＝a2﹣4（2a﹣2）＝a2﹣8a+8＜0，无解，当B＝{﹣2}时，则，解得a＝4，当B＝{1}时，则，无解，当B＝{﹣2，1}时，则，解得a＝1，综上，实数a的值为1或4．18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．【解答】证明：假设x+y是有理数，则x+y＝（m，n∈Z）．∵x是有理数，∴x＝（p，q∈Z），∴x+y＝+y＝，∴y＝﹣＝，∵m，n，p，q∈Z，∴mp∈Z，mq﹣pm∈Z，∴y是有理数，与y是无理数相矛盾．∴假设错误，x+y是无理数，得证．19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．（1）求实数m的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．解：（1）因为幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，所以（m﹣1）2＝1且m2﹣4m+2＞0，解得m＝0．（2）由（1）得f（x）＝x2，当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为0，f（x）的最大值为4，故A＝[0，4]，因为g（x）＝2x﹣k在x∈[﹣1，2]上单调递增，故g（x）的最小值为，g（x）的最大值为4﹣k，故B＝，因为命题p：x∈A，命题：q：x∈B，且命题p是q成立的必要条件，故B⊆A，所以，解得，所以实数k的取值范围为．20．（16分）给出关于函数f（x）的一些限制条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．解：（1）若不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集，即f（x﹣1）≤0恒成立，由f（﹣1）＝0，所以函数f（x）不可能单调递增或单调递减，所以①②都不能选，只能选③④，此时f（x）＝0，不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集；所以选③④；（2）若不等式f（x﹣1）＞0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤；（3）若选①③：由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，则f（x）在（﹣∞，0）上严格减函数，由f（x﹣1）＞0，则x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，解得x＜0或1＜x＜2，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；若选①④⑤：由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，则f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）；若选②③：由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，则f（x）在（0，+∞）上严格增函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜或x﹣1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（2，+∞）；若选②④⑤：由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，则f（x）在（0，+∞）上严格减函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）．21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求函数g（x）的值域；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．解：（1）∵f（x）＝f（﹣4﹣x），x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．∴f（x）的对称轴为x＝﹣2，可得x1＝﹣3，x2＝﹣1（不妨设x1＜x2），设f（x）＝a（x+3）（x+1）（a≠0），由f（0）＝3a＝3，得a＝1，∴f（x）＝x2+4x+3（2）∵＝＝x++4，当x＞0时，x++4≥2+4，当且仅当x＝时取等号，此时g（x）∈[2+4，+∞）；当x＜0时，x++4≤﹣2+4，当且仅当x＝﹣时取等号，此时g（x）∈（﹣∞，﹣2+4]，∴函数g（x）的值域是（﹣∞，﹣2+4]∪[2+4，+∞）．（3）不等式g（2x）﹣k•2x≥0可化为2x++4﹣k•2x≥0，即k≤1+3+4•恒成立，令t＝，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，令h（t）＝3t2+4t+1，t∈[，2]，图象开口向上对称轴为t＝﹣，∴当t＝时，h（t）取得最小值为h（）＝，∴k≤．∴实数k的取值范围为（﹣∞，]．。
上海市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合，，则______. {}1,A x x x =∈Z {}|04B x x =<<A B = 【答案】{2,3}【分析】根据交集的定义求解判断.【详解】因为，， {}1,A x x x =∈Z {}|04B x x =<<由交集的定义可得. {}{}|14,2,3A B x x x ⋂=<<∈=Z 故答案为：{2,3}2．若，则_____82log 3x =-x =【答案】； 14【解析】根据对数运算与指数运算的关系可直接求得结果.【详解】，.82log 3x =- 23184x -∴===故答案为：. 143．不等式的解集是______. 113x <【答案】()(),03,-∞+∞ 【分析】两边同乘以,变为一元二次不等式解出解集即可. 23x 【详解】解:因为,所以,两边同时乘以可得: 113x <0x ≠23x ,解得或,所以解集为:23x x <0x <3x >()(),03,-∞+∞ 故答案为:()(),03,-∞+∞ 4．用反证法证明命题：“若 ， 且 ，则 和 中至少有一个小于2”0x >0y >2x y +>1yx+1x y +时，应假设___． 【答案】两者都大于或等于2 11,x yy x++【分析】由反证法思想：先否定原结论并推出矛盾，故只需写出原结论的否命题即可. 【详解】由于“，中至少有一个小于”的反面是“，都大于或等于”， 1x y +1y x +21x y +1yx+2故用反证法证明命题: “若且，则，中至少有一个小于”时，应假设0,0x y >>2x y +>1x y +1yx+2，都大于或等于. 1x y +1yx+2故答案为：和都大于或等于 . 1x y +1yx+25．已知幂函数在区间是减函数，则实数的值是__________．()223222mm y m m x--=--()0,∞+m 【答案】3【详解】∵幂函数在区间是减函数()223222mm y m m x--=--()0,+∞∴，解得： 22221320m m m m ⎧--=⎨--<⎩3m =故答案为36．函数且的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是_____. 1()1(0x f x a a -=+>1)a ≠【答案】(1,2)【分析】令，得， 10x -=1x =()2f x =【详解】令，则有10x -=1x = 0()12f x a =+=所以过定点 ()f x (1,2)故答案为：(1,2)【点睛】处理与指数函数有关的函数过定点时是利用且. 01a =(0a >1)a ≠7．函数的最大值为________ y =【分析】首先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求出最大值.【详解】函数的定义域为，y =1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦函数在上是增函数，y =1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦函数上是减函数，y =1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦根据结论：增函数减函数增函数，-=函数在上是增函数，∴y =1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦当 2x =【点睛】本题考查了利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题.8．已知关于x 的不等式有实数解，则a 的取值范围是______. 112x a x --≤-+【答案】2a ≥【分析】分离参数转化为能成立问题，再利用绝对值不等式求解. 【详解】由题意得，min (|1||2|1)a x x ≥-++-因为，当时等号成立， |1||2||1||2||12|3x x x x x x -++=-++≥-++=21x -≤≤所以. 2a ≥故答案为：.2a ≥9．函数在区间上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的()f x (,)∞∞-+(1)1f =-1(2)1f x -≤-≤x 取值范围是 ．【答案】[1,3]【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性即可求出x 的范围即可． 【详解】因为f （x ）为奇函数， 所以f （﹣1）＝﹣f （1）＝1，于是﹣1≤f （x ﹣2）≤1等价于f （1）≤f （x ﹣2）≤f （﹣1）， 又f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减， ∴﹣1≤x ﹣2≤1， ∴1≤x ≤3． 故答案为[]1,3【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，考查转化思想，属于基础题． 10．当，时，则的取值范围是______. lg lg a b =a b <2+a b 【答案】()3,+∞【分析】先，，得到，，，推出，， lg lg a b =a b <01a <<1b >lg lg a b -=1ab =122+=+a b b b令，，用定义法判断该函数单调性，即可得出结果. 1()2=+f x x x1x >【详解】因为，，所以，，， lg lg a b =a b <01a <<1b >lg lg a b -=即， lg lg lg 0a b ab +==因此，所以， 1ab =122+=+a b b b令，， 1()2=+f x x x1x >任取，则121x x <<，1212121212121211111()()222()()2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x f x x x x x x x x x x x x x 因为，所以，， 121x x <<120x x -<12120->x x 因此，即， 1212121()()()20⎛⎫-=--<⎪⎝⎭f x f x x x x x 12()()f x f x <所以函数在上单调递增， 1()2=+f x x x(1,)+∞所以，即的取值范围是.()(1)3>=f x f 2+a b ()3,+∞【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.11．若函数的值域为，则实数的取值范围是________ 231()21x x f x x m x ⎧≤=⎨-+>⎩(,3]-∞m 【答案】(2,5]【分析】分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可 1x ≤3x 1x >【详解】当时，，；1x ≤1333x ≤=()(]0,3f x ∈当时，是减函数，，要满足，此时应满足1x >()22x m f x -=+()(),2f x m ∈-∞-()(,3]f x ∞∈- ，即(]20,3m -∈(2,5]m ∈故答案为(2,5]【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题12．已知，函数在区间上有两个不同零点，则的取值范,a b R ∈()af x x b x=++()0,1()21a b a ++围是________. 【答案】10,16⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设函数的两个不同的零点分别为，且，用表示后利用基()f x 12,x x 12x x <12,x x ()21a b a ++本不等式可求的取值范围.()21a b a ++【详解】设函数在上的两个不同的零点分别为，()f x ()0,112,x x则为的两个不同的解， 12,x x 20x bx a ++=所以，，12x x b +=-12x x a =故()()()222121212*********a b a x x x x x x x x x x x x ++=+--+=--+，()()()()121212121111x x x x x x x x =--=--由基本不等式可得，，()111014x x <-≤()221014x x <-≤故，因，故等号不可取， ()()1212101116x x x x <--≤12x x ≠所以的取值范围为.()21a b a ++10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：.10,16⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的零点、二次函数的图象和性质和基本不等式，注意用二次方程的根表示目标代数式，本题属于难题.二、单选题13．已知，条件：，条件：，则是的（ ） ,a b R ∈p a b >q lg lg 1a b >+p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分性、必要性的定义，结合对数的运算性质和对数函数的性质进行判断即可. 【详解】若，则有，因此有，故； lg lg 1a b >+lg lg10a b >100a b >>a b >反之，若，当其中有负数时，不成立，故是的必要不充分条件. a b >q p q 故选：B14．下列函数中，值域是的是 ()0,+∞A ． B ． 2y x =211y x =+C ． D ．2x y =-()lg 1(0)y x x =+>【答案】D【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：的值域为；2y x =[)0,+∞对于B ：，，， 20x ≥ 211x ∴+≥21011x ∴<≤+的值域为； 211y x ∴=+(]0,1对于C ：的值域为；2x y =-(),0-∞对于D ：，，，0x > 11x ∴+>()lg 10x ∴+>的值域为；()lg 1y x ∴=+()0,+∞故选D ．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题． 15．已知定义域为R 的函数满足：对任意，恒成立，则函数()y f x =,x y R ∈()()()f x y f x f y +=-（ ）()y f x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数【答案】C【解析】利用赋值法，再根据函数的奇偶性定义，即可求解. 【详解】令，则， 0x y ==()()()0000f f f =-=令，则，0x =()()()()0f y f f y f y =-=-令，则，即， y x =-()()(0)f f x f x =--()()=f x f x -所以函数既是奇函数又是偶函数. ()f x 故选：C.【点睛】判定函数的奇偶性的常见方法：（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立；()()f x f x -=±()()0f x f x -±=（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可y 得函数为偶函数；（3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上，奇+奇=奇，奇奇()(),f x g x 12,D D ⨯=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.⨯⨯16．设函数的定义域为D ，若函数满足条件：存在，使在上的值域为()f x ()f x [,]a b D ⊆()f x [,]a b ，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是[,]22a b()f x 2()(2)x f x log t =+t（ ） A ．B ．C ．D ．1(0,]2(0,1)1(0,)41(,)4+∞【答案】C【详解】函数为“倍增函数”，且满足存在，使在上的值域为2()log (2)xf x t =+[,]a b D ⊆()f x [],a b ，所以在上是增函数 ，则，即， 方程,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x [,]a b 22log (2)2log (2)2a b a t b t ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩222222a a b b t t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩∴有两个不等实根且两根都大于零，设,有两个不等实根都大2220x xt -+=22(0)xm m =>20m m t -+=于零， , 解得，选C.121214000t x x x x t ∆=->⎧⎪+>⎨⎪=>⎩104t <<【点精】本题为自定义信息题，属于创新题型，解决自定义信息题，首先要把新定义读懂，所谓“倍缩函数”就是要满足它的定义要求的函数，函数的定义域为D ，若函数满足条件：存()f x ()f x 在，使在上的值域为，就是要求自变量取值于[a,b],对应的值域为[],a b D ⊆()f x [],a b ,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[,]22a b ，对于所给函数按照“倍缩函数”的定义，列出需要满足的要求，化简转化后解不等式求出结论.三、解答题17．已知关于x 的不等式的解集为S . 50mx x m-<-(1)当时，求集合S ；3m =(2)若且，求实数m 的取值范围. 5S ∈7S ∉【答案】(1)5,33S ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 5,1(5,7]7⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）将代入后，将分式不等式转化为一元二次不等式求解； 3m =（2）根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求m 的取值范围. 【详解】（1）当时，， 3m =()()35035303x x x x -<⇔--<-解得：，533x <<所以不等式的集合为；533S x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭（2）若且，5S ∈7S ∉则或，解得：或，55057507m m m m-⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩550570m m m -⎧<⎪-⎨⎪-=⎩57m <≤517m ≤<所以的取值范围是.m 5,1(5,7]7⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 18．函数的定义域为，关于的不等式的解集为.()f x =A x 22(23)30x a x a a -+++≤B （Ⅰ）求集合；A （Ⅱ）若，试求实数的取值范围. AB A = a 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）. (1,2)A =[1,1]-【详解】试题分析：(Ⅰ)函数有意义，则真数大于零，被开方数不小于零，分母不等于零，据此求解不等式组可得()1,2.A =(Ⅱ)求解二次不等式可得 结合可知 据此得到关于实数a 的不等式[],3.B a a =+,A B A ⋂=.A B ⊆组，求解不等式组可得的取值范围是. a []1,1-试题解析： （Ⅰ）函数则集合()f x =10,20,x x ->⎧⎨->⎩()1,2.A =（Ⅱ）解不等式()222330,x a x a a -+++≤可得. 解得 ()()30x a x a ---≤[],3.B a a =+若则,A B A ⋂=.A B ⊆所以解得：1,3 2.a a ≤⎧⎨+≥⎩1 1.a -≤≤则的取值范围是.a []1,1-19．已知函数，其中. ()y f x =()2a f x x x=-(1)讨论函数的奇偶性：()y f x =(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数a 的取值范围.[)1,+∞【答案】(1)详见解析 (2) 2a ≥-【分析】（1）分和两种情况讨论函数的奇偶性；0a =0a ≠（2）根据条件转化为当时，，参变分离后，转化为求的范121x x ≤<()()120f x f x -<()1212x x x x +围，即可求参数的取值范围.【详解】（1）当时，， 0a =2()f x x =所以的定义域为，关于原点对称， ()f x R 又，所以是偶函数；2()()f x x f x -==()f x 当时，，所以， 0a ≠(1)1,(1)1f a f a =--=+(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以是非奇非偶函数；()f x （2）由题意得任取且，则恒成立，12,[1,)x x ∈+∞12x x <()()12f x f x <即，即，， 221212a a x x x x -<-222121a a x x x x -<-()()()12212112a x x x x x x x x -<-+因为，所以，， 121x x ≤<121x x >120x x -<所以恒成立，()1212a x x x x >-+又，所以，则， 122x x +>()12122x x x x +>()12122x x x x -+<-所以.2a ≥-20．某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量250x ()C x 不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万8021()103C x x x =+8010000()511450C x x x=+-元）. 每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. 50(1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； ()L x x (2)年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】(1) 2140250,0803()100001200(80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩(2)当产量为100件时，最大利润为1000万元【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x ＜80时，投入成本为（万元），根据年21()103C x x x =+利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，当x ≥80时，投入成本为（万10000()511450C x x x=+-元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案； （2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x ＜80时，利用二次函数求最值，当x ≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案． 【详解】（1）∵①当0＜x ＜80时，根据年利润＝销售收入−成本，∴；2211()50102504025033L x x x x x x =---=-+-②当x ≥80时，根据年利润＝销售收入−成本， ∴． 1000010000()505114502501200()L x x x x x x=--+-=-+综合①②可得，；2140250,0803()100001200(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩（2）①当0＜x ＜80时，，2211()40250(60)95033L x x x x =-+-=--+∴当x ＝60时，L （x ）取得最大值L （60）＝950万元； ②当x ≥80时，，10000()1200()120012002001000L x x x =-+≤-=-=当且仅当，即x ＝100时，L （x ）取得最大值L （100）＝1000万元． 10000x x=综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元21．已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有()y f x =()0k k >D ()1212,x x x x ≠成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”.()()1212f x f x k x x -≤-()y f x =D k -(1)判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，21y x =+11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1-请说明理由；(2)若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值； y =[]1,4k -k (3)是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数m 1my x =-[)2,+∞1-的取值范围，若不存在，请说明理由.m 【答案】(1)是，证明见解析 (2)12(3)存在，11m -≤≤【分析】（1），由，()()()221212*********f x f x x x x x x x x x x x ---=---=-⋅+-121122x x -≤<≤得，即可解决；（2）由题知均有成立，不妨设12120,1xx x x ->+<1212|()()|||f x f x k x x -≤-12x x >，得，得，即可解决；（3）k ≥=2114x x ≤<≤1142<<由题得，不妨设，得，又，即可解()()()21121211m x x x x x x -≤---12x x <()()()12min ||11m x x ≤--122,2x x ≥>决. 【详解】（1）由题知，函数，定义域为， 21y x =+11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，()()()221212*********f x f x x x x x x x x x x x ---=---=-⋅+-不妨设，12x x <因为， 121122x x -≤<≤所以，12120,1x x x x ->+<所以，()()1212f x f x x x -<-所以是利普希兹条件函数21y x =+1-（2）若函数是“利普希兹条件函数”，()4)f x x =≤≤k -则对于定义域上任意两个，[1,4]1212,()x x x x ≠均有成立，1212|()()|||f x f x k x x -≤-不妨设，则 12x x>k ≥=因为，2114x x ≤<≤所以， 1142<<所以的最小值为．k 12（3）由题意得在上恒成立， 121211m m x x x x -≤---[)2,+∞即， ()()()21121211m x x x x x x -≤---不妨设， 12x x <所以， ()()()12min ||11m x x ≤--因为， 122,2x x ≥>所以，||1m ≤所以. 11m -≤≤。
上海市曹杨第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷(含简答)
2020-2021学年曹杨二中高一期中数学试卷一. 填空题1. 已知0<a <b ,则ab a+2b+2 (填“>”或“<”)2. 已知等式(2x +3)x+2020=1(其中x 为整数)成立,则x =3. 已知集合M ={x|x(4−x)<0},N ={x|(x −1)(x −6)<0,x ∈Z},则M ∩N =4. 若3a =7b =63,则2a+1b 的值为5. 不等式(x +2)(x +1)2(x −1)3(x −2)≤0的解集为6. 已知a =lg5,用a 表示lg2和lg20,分别为7. 已知关于x 的不等式|2x−a|x+a>0的解集为M ,且2∉M ,则a 的取值范围是8. 设a,b ∈R ,已知关于x 的不等式(a +b)x +(b −2a)<0的解集为(1,+∞) ,求不等式(a −b)x +3b −a >0的解集为9. 已知集合A ={x|x 2−5x +4≤0},B ={x|x 2−2ax +a +2≤0},若B ⊆A ,则a 的取值范围 10. 设x ∈R,则f(x)=|x −1|+|2x −1|+⋯+|9x −1|+|10x −1|取到最小值时,x = 11. 已知关于x 的不等式2−2x ≤kx 2+k ≤3−2x 有唯一解,则实数k 的取值集合为 12. 已知x,y ∈[0,+∞)且满足x 3+y 3+3xy =1,则x 2y 的最大值为 二. 选择题13.若a 、b 是满足ab <0的实数,那么下列结论中成立的是( ) A. |a −b |<|a|−|b| B. |a −b |<|a |+|b| C. |a +b |>|a −b| D. |a +b |<|a −b| 14.已知a,b,c ∈R ,则下列四个命题正确的个数是( )①若ac 2>bc 2,则a >b ; ②若|a −2|>|b −2|,则(a −2)2>(b −2)2③若a >b >c >0,则1a<1b<1c; ④若a >0,b >0,a +b >4,ab >4,则a >2,b >2;A.1B.2C.3D.415.已知p:{a >−3b >−3,q:{a +b >−6ab >9,则p 是q 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件16.满足5x +12√xy ≤a(x +y)对所有正实数x 、y 都成立,实数a 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.前三个答案都不对三. 解答题17.已知关于x 的不等式ax−5x 2−a <0的解集为M . (1)a =4时,求集合M ;(2)若3∈M 且5∉M,求实数a 的取值范围.18.已知a,b,c∈R+,求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c)19.某工厂生产某产品x件所需成本费用为P元,且P=1000+5x+110x2,而每件售出的价格为Q元,其中Q=a+xb(a,b∈R).(1)问:该工厂生产多少件产品时,使得每件产品所需成本费用最少?(2)若生产出的产品能全部售出,且当产量为150件时利润最大,此时每件价格为30,求a、b的值.20.设函数f(x)=|x+1|−|x|的最大值是m.(1)求m的值;(2)若正实数a、b满足4a+3b=m,求12a+b +1a+b最小值及此时a、b的值;(3)若正实数a、b满足a+b=2m，求a2+2a +b2b+1的最小值及此时a、b的值.参考答案一.填空、选择题三.解答题17.(1) M={x|x<−2或54<x<2}; (2) [1,53)∪(9,25].18.略19.(1)该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少;(2)a=25,b=30.20.(1) m=1;(2)最小值为3+2√2,此时a=3√2−42,b=3−2√2;(3)最小值为2+2√23, 此时a=6−3√2,b=3√2−4.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020-2021学年上海二中高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．若角θ终边过点P（4，m），且sinθ＝，则m等于．2．幂的基本不等式是：当a＞1，s＞0时，a s1恒成立．3．已知函数f（x）＝x2+x﹣1的两个零点分别为x1和x2，则x12x2+x1x22的值为．4．函数，则f﹣1（3）＝．5．函数y＝f（x）＝a x+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，则点A坐标是．6．关于x的方程有实数根，则实数a的取值范围为．7．若log a4＝m，log a5＝n，则lga m+2n＝．8．已知函数f（x）＝，则f（log32）＝．9．不等式的解集是．10．若对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．11．设k∈{﹣2，﹣1，，，2}，若x∈（﹣1，0）∪（0，1），且x k＞|x|，则k取值的集合是．12．若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y＝f（x）的在I上是“弱增函数”．已知函数g（x）＝x2+（4﹣m）x+m的（0，2]上是“弱增函数”，则实数m的值为．二.、选择题（共4小题）.13．中国银行最新存款利率一年期为：1.75%．小明于2020年存入本金100000（元），计算到2030年可获得利息约18945（元），其计算实质采用的是（）模型．A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数14．若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．15．以下命题正确的是（）A．函数y＝f（x）的图象与垂直于x轴的直线有且仅有一个交点B．f（0）＝0是函数y＝f（x）是奇函数的充要条件C．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上有零点，则f（a）f（b）＜0D．函数是既奇又偶函数16．把定义域为[0，+∞）且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为“Ω函数”：（1）对任意的x∈[0，+∞），总有f（x）≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f（x+y）≥f（x）+f（y）成立；下列判断错误的是（）A．若f（x）为“Ω函数”，则f（0）＝0B．若f（x）为“Ω函数”，则f（x）在[0，+∞）上一定是增函数C．函数在[0，+∞）上是“Ω函数”D．函数g（x）＝[x]在[0，+∞）上是“Ω函数”（[x]表示不大于x的最大整数）三.、解答题17．已知函数y＝f（x）＝log a（2﹣2x）﹣log a（x+4），其中a＞1．（1）求函数y＝f（x）的定义域；（2）解不等式f（x）＞0．18．国际视力表值（又叫小数视力值．用V表示，范围是[0.1，1.5]）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，用L表示，范围是[4.0，5.2]）的换算关系式为L＝5.0+1gV．（1）请很据此关系式将下面视力对照表补充完整．V 1.5②0.4④L① 5.0③ 4.0（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5．乙的小数视力值是甲的2倍．求乙的对数视力值．（所求值均精确到小数点后面一位数字．参考数据：1g2＝0.3010，1g3＝0.4771）19．已知函数，x∈R．（1）判断函数y＝f（x）的单调性，并给予证明；（2）求函数y＝f（x）的值域．20．已知幂函数f（x）＝（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）讨论F（x）＝af（x）+（a﹣2）x5•f（x）的奇偶性，并说明理由．21．已知函数y＝f（x）＝4x﹣2x+1+k（x≥﹣1），y＝g（x）＝f（x）+f（﹣x）．（1）若函数y＝f（x）在区间[0，1]上有零点，求实数k的取值范围；（2）写出y＝g（x）的定义域，并求y＝g（x）的最小值；（3）若对于任意y＝g（x）的定义域中的实数x1、x2、x3、x4、x5，g（x5）＞g（x1）+g （x2）+g（x3）+g（x4）恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一.、填空题（共12小题）.1．若角θ终边过点P（4，m），且sinθ＝，则m等于3．解：角θ的终边经过点P（4，m），则r＝＝，又sinθ＝＝，解得m＝3．故答案为：3．2．幂的基本不等式是：当a＞1，s＞0时，a s＞1恒成立．解：当a＞1时，函数y＝a x在R上单调递增，由s＞0，所以a s＞a0＝1，故a s＞1恒成立．故答案为：＞．3．已知函数f（x）＝x2+x﹣1的两个零点分别为x1和x2，则x12x2+x1x22的值为1．解：∵f（x）＝x2+x﹣1的两个零点分别为x1和x2，∴x1和x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1，∴x12x2+x1x22＝x1•x2•（x1+x2）＝1．故答案为：1．4．函数，则f﹣1（3）＝．解：因为函数，所以，即，又因原函数的值域为{y|y≠0}，所以函数y＝f（x）的反函数为，所以f﹣1（3）＝．故答案为：．5．函数y＝f（x）＝a x+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，则点A坐标是（﹣1，﹣1）．解：当x＝﹣1时，f（x）＝a0﹣2＝﹣1，故函数f（x）恒过定点A（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．6．关于x的方程有实数根，则实数a的取值范围为（﹣，5）．解：设y＝2021x，则y的值域为（0，+∞），所以2021x＝有实数根⇔＞0，即＞0，∴（3a+2）（a﹣5）＜0，解得a∈（﹣，5），故答案为：（﹣，5）．7．若log a4＝m，log a5＝n，则lga m+2n＝2．解：∵log a4＝m，log a5＝n，∴a m＝4，a n＝5，∴a m+2n＝a m•（a n）2＝4×25＝100，∴lga m+2n＝lg100＝2．故答案为：2．8．已知函数f（x）＝，则f（log32）＝．解：根据题意，函数f（x）＝，而log32＞0，则f（log32）＝f（﹣log32）＝f（log3）＝＝，故答案为：．9．不等式的解集是（1，+∞）．解：根据题意，设f（x）＝+2x+log3x，其定义域为（0，+∞），则f（x）在（0，+∞）为增函数且f（1）＝1+2+0＝3，不等式即f（x）＞f（1），其解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）10．若对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是a＞4．解：若对任意x∈R恒成立，即不等式ax2﹣4x+a﹣2＞1对任意x∈R恒成立，即不等式ax2﹣4x+a﹣3＞0对任意x∈R恒成立，a＝0时，显然不成立，a≠0时，，解得：a＞4，故答案为：a＞4．11．设k∈{﹣2，﹣1，，，2}，若x∈（﹣1，0）∪（0，1），且x k＞|x|，则k取值的集合是{﹣2，}，．解：令f（x）＝x k，由f（x）＞|x|，可知，幂函数f（x）的图象在y＝|x|的图象上方，如果函数f（x）为奇函数，则第三象限有图象，所以函数f（x）不是奇函数，所以k＝﹣1，，不符合，由于x∈（0，1），x k＞x，整理得1＞x1﹣k，所以1﹣k＞0，所以k＜1，故k＝2不符合，所以k＝﹣2，，即{﹣2，}，故答案为：{﹣2，}，12．若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y＝f（x）的在I上是“弱增函数”．已知函数g（x）＝x2+（4﹣m）x+m的（0，2]上是“弱增函数”，则实数m的值为4．解：由题意可知g（x）＝x2+（4﹣m）x+m在（0，2]上是增函数，∴≤0，即m≤4．令h（x）＝＝x++4﹣m，则h（x）在（0，2]上是减函数，（1）当m≤0时，h（x）在（0，2]上为增函数，不符合题意；（2）当m＞0时，由对勾函数性质可知h（x）在（0，]上单调递减，∴≥2，即m≥4．又m≤4，故m＝4．故答案为：4．二.选择题13．中国银行最新存款利率一年期为：1.75%．小明于2020年存入本金100000（元），计算到2030年可获得利息约18945（元），其计算实质采用的是（）模型．A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解：由本金为100000（元），利率一年期为：1.75%，得1年后的本息为100000（1+1.75%），2年后的本息为100000（1+1.75%）2，…10年后的本息为100000（1+1.75%）10，则到2030年可获得利息约为100000（1+1.75%）10﹣100000≈18945（元）．该计算的实质采用的是指数函数模型．故选：C．14．若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为，所以，当a＞1时，，不成立，舍去．当0＜a＜1时，对数函数是减函数，所以．故选：C．15．以下命题正确的是（）A．函数y＝f（x）的图象与垂直于x轴的直线有且仅有一个交点B．f（0）＝0是函数y＝f（x）是奇函数的充要条件C．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上有零点，则f（a）f（b）＜0D．函数是既奇又偶函数解：对于A，当函数y＝f（x），在某处无定义时，图象与垂直于x轴的直线无交点，则A错；对于B，f（0）＝0，f（x）未必是奇函数，如f（x）＝；f（x）是奇函数，未必有f（0）＝0，如f（x）＝，则B错；对于C，举反例，f（x）＝x2，在[﹣1，1]上有零点，但f（﹣1）f（1）＞0；则C错；对于D，x2﹣4≥0，4﹣x2≥0⇒x2＝4，x＝﹣2或2则f（x）＝0 （x∈{﹣2，2}）⇒f（x）既是奇函数也是偶函数，则D对．故选：D．16．把定义域为[0，+∞）且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为“Ω函数”：（1）对任意的x∈[0，+∞），总有f（x）≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f（x+y）≥f（x）+f（y）成立；下列判断错误的是（）A．若f（x）为“Ω函数”，则f（0）＝0B．若f（x）为“Ω函数”，则f（x）在[0，+∞）上一定是增函数C．函数在[0，+∞）上是“Ω函数”D．函数g（x）＝[x]在[0，+∞）上是“Ω函数”（[x]表示不大于x的最大整数）解：对于A，由f（x）定义知，f（0）≥0，再令x＝y＝0，则有f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，于是f（0）＝0，则A对；对于B，对任意x≥0，y≥0，且x＜y，y＝（y﹣x）+x，则有f（y）≥f（y﹣x）+f（x），于是f（y）﹣f（x）＝f（y﹣x）≥0；则B对；对于C，由于g（x）在[0，+∞）上不是增函数，所以不是，“Ω函数“，则C错；对于D，下面证明g（x）是“Ω函数“：（1）对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）＝[x]≥0；（2）若x≥0，y≥0，设x＝m+p，y＝n+q，（m，n∈N，p，q∈[0，1），x+y＝m+n+（p+q），则有f（x+y）≥m+n＝f（x）+f（y）成立；所以g（x）＝[x]在[0，+∞）上是“Ω函数”，则D对；故选：C．三.解答题17．已知函数y＝f（x）＝log a（2﹣2x）﹣log a（x+4），其中a＞1．（1）求函数y＝f（x）的定义域；（2）解不等式f（x）＞0．解：∵函数y＝f（x）＝log a（2﹣2x）﹣log a（x+4），其中a＞1，∴2﹣2x＞0，且x+4＞0，求得﹣4＜x＜1，可得函数的定义域为（﹣4，1）．（2）不等式f（x）＞0，即log a（2﹣2x）＞log a（x+4），即2﹣2x＞x+4＞0，求得﹣4＜x＜﹣，故不等式的解集为．18．国际视力表值（又叫小数视力值．用V表示，范围是[0.1，1.5]）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，用L表示，范围是[4.0，5.2]）的换算关系式为L＝5.0+1gV．（1）请很据此关系式将下面视力对照表补充完整．V 1.5②0.4④L① 5.0③ 4.0（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5．乙的小数视力值是甲的2倍．求乙的对数视力值．（所求值均精确到小数点后面一位数字．参考数据：1g2＝0.3010，1g3＝0.4771）解：（1）L＝5.0+1gV．①V＝1.5时，L＝5.0+lg1.5＝5.0+0，4771﹣0.3010≈5.2．②L＝5.0，5.0＝5.0+lgL，L＝1；③V＝0.4时，L＝5.0+lg0.4＝5.0+2×0.3010﹣1≈4.6．④L＝4.0，4.0＝5.0+lgL，L＝0.1；（2）甲的对数视力值为4.5．则4.5＝5.0+1gV，解得v＝10﹣0.5≈0.32，则乙的小数视力值为：0.64，L＝5.0+lg0.64＝5.0﹣0.2≈4.8．19．已知函数，x∈R．（1）判断函数y＝f（x）的单调性，并给予证明；（2）求函数y＝f（x）的值域．解：（1）y＝，f（x）在R上单调递减，证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：＝，∵x1＜x2，∴，，且，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上单调递减；（2）∵2x＞0，∴3+2x＞3，∴，∴，∴y＝f（x）的值域为（﹣1，1）．20．已知幂函数f（x）＝（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）讨论F（x）＝af（x）+（a﹣2）x5•f（x）的奇偶性，并说明理由．解：（1）由幂函数f（x）＝（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，得：m2﹣2m﹣3＜0⇒﹣1＜m＜3，又m∈z，∴m＝0或1或2，m＝0时f（x）＝x﹣3；m＝1时f（x）＝x﹣4，m＝2时f（x）＝x﹣3，又函数是偶函数，∴f（x）＝x﹣4．（2）F（x）＝a•x﹣4+（a﹣2）x，当a＝0时，F（x）＝﹣2x，∵F（﹣x）＝﹣F（x），∴函数是奇函数；当a＝2时，F（x）＝，∵F（﹣x）＝F（x），∴函数是偶函数；当a≠0且a≠2时，F（1）＝2a﹣2，F（﹣1）＝2，F（1）≠±F（﹣1），∴函数对∀x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），F（﹣x）＝F（x）不成立，F（﹣x）＝﹣F（x）也不成立，∴函数F（x）是非奇非偶函数．21．已知函数y＝f（x）＝4x﹣2x+1+k（x≥﹣1），y＝g（x）＝f（x）+f（﹣x）．（1）若函数y＝f（x）在区间[0，1]上有零点，求实数k的取值范围；（2）写出y＝g（x）的定义域，并求y＝g（x）的最小值；（3）若对于任意y＝g（x）的定义域中的实数x1、x2、x3、x4、x5，g（x5）＞g（x1）+g （x2）+g（x3）+g（x4）恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）设t＝2x（1≤t≤2），所以f（t）＝t2﹣2t+k＝（t﹣1）2+k﹣1，f（t）min＝f（0）＝k﹣1，f（x）max＝f（2）＝k，由于y＝f（x）有零点，可得f（t）min≤0≤f（t）max，即k﹣1≤0≤k，解得0≤k≤1，所以k的取值范围是[0，1]；（2）由x≥1且﹣x≤﹣1，得﹣1≤x≤1，所以g（x）的定义域为[﹣1，1]；g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝4x+4﹣x﹣2（2x+2﹣x）+2k＝（2x+2﹣x）2﹣2（2x+2﹣x）+2k﹣2＝（2x+2﹣x﹣1）2+2k﹣3，因为2x+2﹣x≥2（当且仅当x＝0时取得等号），所以g（x）min＝2k﹣2；（3）对于任意y＝g（x）的定义域中的实数x1、x2、x3、x4、x5，g（x5）＞g（x1）+g（x2）+g（x3）+g（x4）恒成立，可得g（x）min＞4g（x）max，由（2）可得g（x）min＝g（0）＝2k﹣2，g（x）max＝g（1）＝2k﹣，所以2k﹣2＞4（2k﹣），解得k＜，所以k的取值范围是（﹣∞，）．。