人教版九年级第二十五章概率初步知识点(供参考)

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2024九年级数学上册“第二十五章概率初步”必背知识点

2024九年级数学上册“第二十五章概率初步”必背知识点一、随机事件与概率1. 随机事件定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

对比：与随机事件相对的是确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件。

必然事件是事先能肯定它一定会发生的事件；不可能事件是事先能肯定它一定不会发生的事件。

2. 概率的定义一般定义：在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)=p。

取值范围：概率的取值范围是0≤p≤1。

特别地，P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0。

二、概率的计算方法1. 理论概率在一次试验中，如果包含n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n。

2. 列举法求概率列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，常用列表法列出所有可能的结果，再求出概率。

树状图法：当试验涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。

三、用频率估计概率原理：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n 稳定于某一个常数p，那么可以认为事件A发生的概率为p。

即，频率可以作为概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。

四、概率的应用与理解1. 概率的意义概率是对事件发生可能性大小的量的表现，它反映了随机事件的稳定性和规律性。

2. 游戏公平性判断游戏公平性需要计算每个事件的概率，并比较它们是否相等。

如果概率相等，则游戏公平；否则，游戏不公平。

五、综合应用概率知识在解决实际问题中的应用：如抽奖、天气预测、投资决策等领域的概率计算和分析。

示例题目1. 理论概率计算例题：从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃的概率。

解析：一副扑克牌共有54张（包括大王和小王），其中红桃有13张。

因此，抽到红桃的概率为P=13/54。

2. 列举法求概率例题：一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同。

第25章+++概率初步(知识点及考点精讲)课件+2024—2025学年人教版数学九年级上册

箱1
箱2
小结
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性大小可能不同
2
概率
情景引入小白将一枚硬币抛向空中，落地后出现正面的可能性有多大，出现背面的可能性多大？
概率一般地，对于一个随机事件A，刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A)。【注意】 ①每一次试验中，可能出现的结果只有有限个。 ②每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。
频率
概率
试验值或统计值
理论值
区别
与试验次数变化有关
与试验人、时间、地点有关
与试验次数变化无关
与试验人、时间、地点无关
联系
试验的次数越多，频率越趋向于概率
一般地，如果在一次试验中,有n种可能的结果,且它们
发生的可能性相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A
发生的概率为：
P(A) m n
不
可能
0
事
件
事件发生的可能性越来越小
事件发生的可能性越来越大 (概率的值率
列表法
当问题涉及两步试验(如一个骰(tou)子掷两次)或一次试验要涉及两个因素(如同时掷两个骰子),且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
思考抽奖箱中有5个黄球，3个红球，摸出一个球是红球，这一事件是随机事件吗？
不是。原因:若红球比黄球大的条件下摸红球是必然事件
思考：增加什么限定条件，这一事件是随机事件？这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无差别。
思考小白、小黄分别从箱1、箱2各抽取一球,两人摸出黄球和红球的可能性一样大吗(除颜色外无差别)？
例：同时掷两个质地均匀的骰子,观察向上一面的点数, 求下列事件的概率： ①两个骰子点数的和是9.

九年级数学人教版(上册)第25章小结与复习

乙转盘
第一回第二回
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
共有9种等可能结果，其中中奖的有4种；
∴P(乙）=
4； 9
（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市
购物？说明理由.
选甲超市.理由如下：
∵P(甲）>P(乙）， ∴选甲超市.
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
课堂小结
必然事件
事件不可能事件
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( A )
A. 2
B. 3
C. 8
D. 1 3
5
5
25
25
4. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相
同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( A )
随机事件与概率
概
率
初
步列举法求
概
率
用频率估计概率
侵权必究
概率
随机事件
定义
刻画随机事件发生可能性大小的数值
计算公式
P(A) m (m为试验总结果数， n
n为事件A包含的结果种数）
直接列举法列表法
画树状图法
适合于两个试验因素或分两步进行适合于三个试验因素或分三步进行
频率与概率的关系
在大量重复试验中，频率具有稳定性时才可以用来估计概率
那么重转一次，直到指针指向 4 3
某一份为止）.
12

数学九年级上册第二十五章《概率初步》小结与复习(共27张PPT)

B）
A．布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
B．如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次
摸中红球
C．摸7次，就有2次摸中红球
D．摸7次，就有5次摸不中红球
2.下列事件中是必然事件的是（ D ） A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球 B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C．小红期末考试数学成绩一定得满分 D．将油滴入水中，油会浮在水面上
第二十五章概率初步
小结与复习
复习目标
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识. 2.巩固并能熟练运用列举法、列表法和树状图法求概率.（重、难点） 3.能应用频率估计概率解决生活中的实际问题.
要点梳理
一、事件的分类及其概念
事件
不可能事件：必然不会发生的事件
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件
考点二概率的计算例2 (1)一个口袋中装有3个红球，2个绿球，1 个黄球，每个球除颜色外其他都相同，搅匀后
1
随机地从中摸出一个球是绿球的概率是___3___.
(2)三张分别画有平行四边形、等边三角形、圆的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，
从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称 2
(2) 如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？说明理由.
(2) 选甲超市.理由如下： ∵P(甲）>P(乙）， ∴选甲超市.
成活数
47
235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活频率
0.94
0.87 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902
由此可以估计该种幼树移植成活的概率约为（ C ） (结果保留小数点后两位)

九年级数学上册第二十五章概率初步全部重要知识点(带答案)

九年级数学上册第二十五章概率初步全部重要知识点单选题1、有4张分别印有实数0，-0.5，−√2，-2的纸牌，除数字外无其他差异。

从这4张纸牌中随机抽取2张，恰好抽到2张均印有负数的纸牌的概率为（）．A ．12B ．34C ．35D ．23答案：A分析：利用画树状图的方法计算即可．解：画树状图如下：一共有12种等可能性，其中同时负数的等可能性由6种，故恰好抽到2张均印有负数的纸牌的概率为612=12，故选：A ．小提示：本题考查了概率的计算，熟练掌握画树状图法计算概率是解题的关键．2、某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）A ．15B ．14C ．13D ．12答案：C分析：用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率．解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，即甲和乙从同一节车厢上车的概率是39=13，故选：C ．小提示：本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、小明在一天晚上帮妈妈洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，这时突然停电了，小明只好将茶杯和杯盖随机搭配在一起，那么三个茶杯颜色全部搭配正确的概率是( )A ．13B ．16C ．19D ．127答案：B分析：根据题意, 分析可得三个只有颜色不同的有盖茶杯,将茶杯和杯盖随机搭配在一起, 共3×2×1=6种情况,结合概率的计算公式可得答案.解: 根据题意, 三个只有颜色不同的有盖茶杯, 将茶杯和杯盖随机搭配在一起, 共3×2×1=6种情况,而三个茶杯颜色全部搭配正确的只是其中一种;故三个茶杯颜色全部搭配正确的概率为16.故选B.小提示：本题主要考查概率的计算，用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.4、A 、B 、C 、D 四个人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红桃和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色扑克牌的两个人为游戏搭档，若A 、B 两人各抽取了一张扑克牌，则两人恰好成为游戏搭档的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．34 答案：B分析：利用列举法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解．解：根据题意画图如下：共有12种情况，从4张牌中任意摸出2张牌花色相同颜色有4种可能，所以两人恰好成为游戏搭档的概率=412=13．故选：B小提示：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．5、小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（）A ．12B ．23C ．16D ．56答案：C分析：利用列表法或树状图即可解决．分别用r 、b 代表红色帽子、黑色帽子，用R 、B 、W 分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是16．故选：C ．小提示：本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解．6、不透明袋中装有除颜色外完全相同的a 个白球、b 个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（）A ．b a+bB ．b aC ．a a+bD ．ab答案：A分析：根据概率公式直接求解即可．∵共有(a +b)个球，其中红球b 个∴从中任意摸出一球，摸出红球的概率是b a+b ．故选A ．小提示：本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．7、如图所示，甲乙两个转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针同时落在偶数上的概率是（）．A ．425B ．45C ．35D ．925 答案：A分析：根据题意列表，然后根据表格即可求得所有等可能的结果数与两个指针同时落在偶数上的情况数，再根据概率公式求解即可求得答案．解：列表得：∴一共有25种等可能的结果，两个指针同时落在偶数上的有4种情况，∴两个指针同时落在偶数上的概率是425．故选：A ．小提示：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8、在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有白球（）A ．10B ．15C ．20D ．都不对答案：B分析：由摸到红球的频率稳定在0.25附近，可以得出摸到红球的概率，即可求出白球个数．∵摸到红球的频率稳定在0.25附近，∴摸到红球的概率为0.25，∴总球数：5÷0.25=20（个）∴白球个数：20-5=15（个）所以答案是：B ．小提示：本题考查了用频率估计概率、已知概率求数量，得出摸到红球的概率是本题的关键．9、如图，已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，随机地往⊙O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（）A ．3√32πB ．√32πC ．√34πD ．以上答案都不对答案：A分析：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由正六边形的特点可证得△OAB 是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出△OAB 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积，即可得出结果．解：如图：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB =60°，∵OA =OB =r ，∴△OAB 是等边三角形，∴AB =OA =OB =r ，∠OAB =60°，在Rt △OAH 中，OH =OA ⋅sin∠OAB =r ×√32=√32r ， ∴S △OAB =12AB ⋅OH =12r ×√32r =√34r 2， ∴正六边形的面积=6×√34r 2=3√32r 2， ∵⊙O 的面积=πr 2， ∴米粒落在正六边形内的概率为：3√32r 2πr 2=3√32π，故选：A ．小提示：本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出△OAB 的面积是解决问题的关键．10、某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A ．19B ．16C ．13D ．23 答案：C分析：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．详解：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列表如下：3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13.故选C ．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．填空题11、如图，数学活动小组自制了一个飞镖盘．若向飞镖盘内投掷飞镖（落在边界线重新投掷），则飞镖落在阴影区域的概率是_____．答案：13 分析：利用阴影部分面积除以总面积=投掷在阴影区域的概率，进而得出答案．解：由题意可得，投掷在阴影区域的概率是：39=13．所以答案是：13．小提示：此题主要考查了几何概率，求出阴影部分面积与总面积的比值是解题关键．12、小明将飞镖随意投中如图所示的正方体木框中，那么投中阴影部分的概率为_____．答案：518 分析：根据题意，设每个小正方形面积为1，观察图形并计算可得阴影部分的面积与总面积之比即为所求的概率．设小正方形面积为1，观察图形可得，图形中共36个小正方形，则总面积为36，其中阴影部分面积为：2+2+3+3=10，则投中阴影部分的概率为：1036=518.故答案为5.18小提示：本题考查几何概率，解题的关键是熟练掌握几何概率的求法.13、在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有____个．答案：6分析：球的总数乘以红球所占球的总数的比例即为红球的个数．红球个数为：40×15%＝6个，所以答案是：6．小提示：本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14、小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个自然数，然后同时呈现出来．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜．这个游戏对双方_____．（填“公平”或“不公平”）．答案：公平分析：根据题意画出符合要求的树状图，列出所有等可能的结果，并由此计算出两人各自获胜的概率进行比较，即可得到结论.详解：根据题意画出树状图如下：由图可知：共有四种等可能结果出现，其中小明获胜的有两种，小亮获胜的也有两种，∴P（小明获胜）=24=12，P（小亮获胜）=24=12，∴P（小明获胜）=P（小亮获胜），∴该游戏是“公平”的.故答案为公平.点睛：本题的解题要点有两点：（1）能够画出符合题意的树状图；（2）在一个游戏中，当游戏双方获胜的概率相等时，游戏是公平的；当游戏双方获胜的概率不等是，游戏是不公平的.15、为减轻“新冠”带来的影响，西城天街商场决定在国庆期间开展促销活动，方案如下：在负二楼兑奖区旁放置一个不透明的箱子，箱子里有大小、形状、质地等完全相同的黑、白、红球各一个，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中黑、白、红三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、20元．商场分上午、下午和晚上三个时间段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果如下：下午摸到黑球次数为上午的3倍，摸到白球次数为上午的2倍，摸到红球次数为上午的4倍；晚上摸到黑球次数与上午相同，摸到白球次数为上午的4倍，摸到红球次数为上午的2倍，三个时间段返现总金额共为5020元，晚上返现金额比上午多840元，则下午返现金额为_______元．答案：2460分析：根据题意表示出上午、下午、晚上摸到黑、白、红的次数，列数返现的金额式子，确定出a，b，c的值代入计算即可；设上午黑、白、红摸到的次数分别是a，b，c，则下午摸到黑、白、红的次数是3a，2b，4c，晚上摸到黑、白、红的次数是a，4b，2c，晚上返现金额比上午多840，∴3b×60+c×20=840，∴180b+20c=840，总返现为：500a+420b+140c=5020，根据题意：a，b，c是大于零的正整数，当b=4时满足条件a，b，c为正整数，∴b=4，c=6，a=5，即下午返现的金额为15×100+8×60+24×20=2460元；故答案是2460．小提示：本题主要考查了三元一次方程的应用，理解题意，找准题目间数量关系，准确分析计算是解题的关键．解答题16、据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：(1)设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值．(2)根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？(3)为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．答案：(1)200，7.2(2)3360(3)35分析：（1）先用“基本了解”的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数，再求出“非常了解”的人数，进而得到“不太了解”的人数，最后用“不太了解”的人数所占的百分比乘以360°，即可求解；（2）用12000乘以“非常了解”的人数所占的百分比，即可求解；（3）根据题意，列出表格，可得一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的有12种，再根据概率公式，即可求解．（1）解：根据题意得：m=40÷20%=200人，∴“非常了解”的人数为200×28%=56人，∴“不太了解”的人数为200−56−100−40=4人，∴“不太了解”所对应扇形的圆心角4200×360°=7.2°，即n=7.2；（2）解：“非常了解”的人数有12000×28%=3360人；（3）解：根据题意，列出表格，如下：∴恰好抽到一男一女的概率为1220=35．小提示：本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．17、盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案：(1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件；(2)“摸到红球”是必然事件；(3)“摸到两个黄球”是随机事件；(4)“摸到两个黄球”是确定事件．答案：(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）；(2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）；(3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）；(4)盒中装有红球9个、黄球1个（答案不唯一）．分析：（1）要使“摸出的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可；（2）要使“摸出红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球；（3）要使“摸出2个黄球”是随机事件，即可能摸出2个黄球，也可能摸不出2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸出2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸出2个黄球；（4）确定事件包含不可能事件和必然事件，要使“摸出2个黄球”是必然事件，即一定可以摸出2个黄球，要使“摸出2个黄球”是不可能事件，即一定摸不出2个黄球．（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件；（2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件；（3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件；（4）解：盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到两个黄球”是不可能事件，属于确定事件．小提示：本题主要考查了随机事件、必然事件以及不可能事件，解答此题要注意：不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在0和1之间．18、某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：(1)①此次调查一共随机抽取了________名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角α=________度；(2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；(3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．答案：(1)①200；②见解析；③54(2)1120(3)16分析：（1）①由B组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除C组的人数即可得到C组的人数；③用360°乘以C组人数所占比例即可；（2）用3200乘以D组人数所占比例即可；（3）根据题意列出树状图即可求解（1）解：（1）①50÷25%=200；②C组人数=200−30−50−70−20=30，补全的条形统计图如图所示：③360°×30200=54°；（2）解：3200×70200=1120；（3）解：画树状图如下：从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种，因此，P（恰好抽中甲、乙两人）=212=16．小提示：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．。

人教版数学九年级上册第25章：概率初步复习课件

－40%＝60%，所以口袋中白色球的个数＝10×60%＝6，即布袋中白色球
的个数很可能是6.故选C.
章末复习
专题五利用概率判断游戏的公平性
【要点指点】通过计算概率判断游戏是否公平是概率知识的一个重要应用, 解决游戏是否公平的问题, 应先计算游戏参与者获胜的概率, 若概率相等, 则游戏公平；若概率不相等, 则游戏不公平.
章末复习
例5 色盲是伴X染色体隐性先天遗传病, 患者中男性远多于女生, 从男性体检信息库中随机抽取体检表, 统计结果如下表：
根据表中数据, 估计在男性中, 男性患色盲的概率为___0_.0_7__ (结果保留小数点后两位).
章末复习
分析视察表格发现, 随着抽取的体检表的增多, 在男性中, 男性患色盲的频率逐渐稳定在0.07附近, 所以估计在男性中, 男生患色盲的概率为 0.07.
章末复习
例3 一个不透明的袋子中装有4个黑球, 2个白球, 这些球除颜色不同外其他都相同, 从袋子中随机摸出1个球, 摸到黑球的概率是( D ).
章末复习
相关题3 如果从包括小军在内的 10名大学生中任选1名作为 “保护母亲河”的志愿者, 那么小军被选中的概率是( C ).
解析共有 10 种等可能的结果，小军被选中的结果有 1 种，故 P(小军被选中)＝110.
章末复习
解 (1)获奖的学生中男生3名, 女生4名, 男生、女生共7名, 故参加颁奖大会的学生是男生的概率为 . (2)从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会, 用列表法列出所有可能的结果如下：
章末复习
∵共有12种等可能的结果, 其中是1名男生、1名女生的结果有6种, ∴从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会, 刚好是 1名男生、1名女生的概率为

(人教版)武汉九年级数学上册第二十五章《概率初步》知识点总结(答案解析)

一、选择题1．在不透明的布袋中，装有三个颜色分别为红色、白色、绿色的小球，所有小球除颜色外其他都相同，若分别从两个布袋中随机各取出一个小球，则所取出的两个小球颜色相同的概率是（）A．13B．12C．23D．12．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1，A2，B1，B2中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（）A．34B．13C．23D．123．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红色与蓝色能配成紫色)游戏，配得紫色的概率是( )A．12B．13C．14D．164．下列事件中必然发生的事件是（）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数5．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（）A．16B．29C．13D．236．下列事件中，属于必然事件的是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．三角形任意两边之差小于第三边C．一个三角形三个内角之和大于180°D．在只有红球的盒子里摸到白球7．一位批发商从某服装制造公司购进60包型号为L的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中混进了型号为M的衬衫，每包混入的M号衬衫数及相应的包数如表所示．一位零售商从60包中任意选取一包，则包中混入M号衬衫数不超过3的概率是（）A．120B．115C．920D．4278．下列说法：①“明天的降水概率为80%”是指明天有80%的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次（）A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都错误9．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（）A．2πB．2πC．12πD．2π10．如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，现在任意取一个白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（）A．613B．513C．413D．31311．某校食堂每天中午为学生提供A、B两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（）A．12B．13C．14D．2312．现有两个可以自由转动的转盘，每个转盘分成三个相同的扇形，涂色情况如图所示，指针的位置固定，同时转动两个转盘，则转盘停止后指针指向同种颜色区域的概率是（）A ．19B ．16C ．23D ．1313．下列说法正确的是（） A ．“穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件B ．任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件C ．某彩票中奖概率为1%，那么买100张彩票一定会中奖D ．“福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是1214．下列事件：（1）如果a 、b 都是实数，那么a+b=b+a ；（2）从分别标有数字1～10的10张小标签中任取1张，得到10号签；（3）同时抛掷两枚骰子向上一面的点数之和为13；（4）射击1次中靶．其中随机事件的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个15．在四边形ABCD 中，从以下四个条件中：①//AB CD ②//AD BC ③AD BC =④B D ∠=∠，其中任选两个能判定四边形ABCD 为平行四边形的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．56二、填空题 16．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果．试验种子数n（粒）1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 …发芽频率m0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率m n 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 …①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95；②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951；其中合理的是____________（填序号）17．有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④正八边形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是________．18．三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为________．19．如图所示的转盘分成8等份，若自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是_______．20．在一个不透明的袋子中装有红球和黑球一共12个，每个球除颜色不同外其余都一样，任意摸出一个球是黑球的概率为14，那么袋中的红球有_________个． 21．在一个不透明的盒子里装有6个形状大小完全相同的乒乓球，上面分别标有-1，-2，0，0.5，1，2，六个数字，现将它们摇匀后从中任取一个乒乓球，将该乒乓球上的数字记为m ，则使关于x 的一元二次方程mx 2+4x+4=0有实数根，且使关于x 的分式方程112m x -=-有正数解的概率为______． 22．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色球共20只．其中，黑球6只试估算口袋中再加入黑球______只，才能使摸出黑球的概率是13？ 23．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：每批粒数100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）．24．如图，小明和小亮两人在玩转盘游戏，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则是：转动两个转盘，停止后指针所指的两个数字之和为奇数时，小明胜；数字之和为偶数时，小亮胜.那么小明获胜的概率是__________.25．有黄色抹子9只，绿色袜子7只，白色袜子4只，红色袜子2只，黑色袜子1只，盲人摸袜子（摸出的袜子不放回）：（1）若每次摸1只，连续摸两次，恰好凑成一双黄袜子的概率是________.（2）若要保证凑出2双不同色袜子，则至少要摸出________只袜子。

人教版初中数学九年级上册教学课件第二十五章概率初步用列举法求概率第1课时用列表法求概率

当一个事件要涉及两个因素并且可能出现
的结果数目较多时，通常采用列表法.
运用列表法求概率的步骤如下：
①列表；
②通过表格确定公式中m、n的值；
③利用P(A)=
m n
计算事件的概率.
基础巩固
随堂演练
• 1.把一个质地均匀的骰子掷两次，至少有一次
骰子的点数为2的概率是( ) D
A. 1 2
C. 1 36
2
3
4
5
6
1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
第1枚第2枚
1 2 3 4 5 6
(123•)记解两至：枚少骰有子一的枚点骰数子相的同和点为是数事9为为件2事为A件事. B件. C.
P(CBA)
1641 36
.
1 69
.
点数一相共同有的3有6 种几结种果？.
1
2
3
4
5
6
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
解：记一次打开锁为事件A.
P(
A)
2 6
13 .
练习
1. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差
别。随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个。
求下列事件的概率:
【教材P138练习第1题】
(1)第一次摸到红球，第二次摸到绿球;

人教版九年级数学上册第25章：概率

RJ九(上) 教学课件
第二十五章概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.2 概率
学习目标
1.理解一个事件概率的意义. 2.掌握在具体情境中求一个事件的概率的方法.（重点） 3.会进行简单的概率计算及应用.（难点）
新课导入
问题1 什么是必然事件,不可能事件和随机事件？必然事件：在一定条件下,必然会发生的事件. 不可能事件：必然不会发生的事件. 随机事件：可能会发生,也可能不发生的事件.也叫不确定性事件.
பைடு நூலகம்
A. A B.
C.
D.
1
1
3
1
2
4
20
10
随堂即练
2.不透明袋子里有1个红球,2个白球和3个黄球,每一个球除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,则
1 （1）P(摸到红球)= 6 ;
1
（2）P(摸到白球)= 3 ;
1
（3）P(摸到黄球)= 2 .
随堂即练
3.已知一个口袋装有7个只有颜色不同,其他都相同的球,其中3
5
新课讲解
活动2 掷一枚骰子,向上一面的点数有6种可能,即1,2,3,4,5,6.
因为骰子形状规则、质地均匀,又是随机掷出,所以
每种点数出现的可能性大小相等.我们用每一种点数出现的可能性大小.
1表示
6
新课讲解
★概率的定义
数值
1 5
和
1 6
刻画了试验中相应随机事件发生的可能性
大小.
一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为 P（A）.
新课讲解
解：掷一枚质地均匀的骰子时,向上一面的点数可能
是1,2,3,4,5,6,共6种.这些点数出现的可能性相等.

九年级数学上册第二十五章概率初步必考知识点归纳(带答案)

九年级数学上册第二十五章概率初步必考知识点归纳单选题1、在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有白球（）A．10B．15C．20D．都不对答案：B分析：由摸到红球的频率稳定在0.25附近，可以得出摸到红球的概率，即可求出白球个数．∵摸到红球的频率稳定在0.25附近，∴摸到红球的概率为0.25，∴总球数：5÷0.25=20（个）∴白球个数：20-5=15（个）所以答案是：B．小提示：本题考查了用频率估计概率、已知概率求数量，得出摸到红球的概率是本题的关键．2、在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（）. A．男、女生做代表的可能性一样大B．男生做代表的可能性较大C．女生做代表的可能性较大D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定答案：B分析：根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答．∵某班有25名男生和24名女生，∴用抽签方式确定一名学生代表，男生当选的可能性为2525+24=25 49，女生当选的可能性为2425+24=24 49，∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性．故选B．小提示：此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．3、某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（） A ．19B ．16C ．13D ．23答案：C分析：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．详解：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列表如下：3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13. 故选C ．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4、某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（） A ．2081B ．1081C ．5243D ．10243答案：B分析：因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有36种情况，而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是3×C 64，根据概率公式求解．解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有36种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为3×6×5，所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率=3×6×536=1081，故选：B ．【小提示】选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率． 5、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（） A ．14B ．13C ．12D ．23答案：C分析：根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．解：由题意得：∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是P =24=12；故选C ．小提示：本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．6、①三点确定一个圆； ②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为π3；⑤方程x 2－x ＋3=0的两根之积是3，从上述5个命题中任取一个，是真命题的概率是（） A ．1B ．35C ．25D ．15 答案：C分析：先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据弧长公式对④进行判断；利用根与系数关系对⑤进行判断．然后利用概率公式进行计算即可．解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题； ②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题； ③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题； ④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为2π3，所以④错误，是假命题；⑤方程x 2-x+3=0的两根之积是3，正确，是真命题，其中真命题有2个，所以是真命题的概率是：25，故选：C ．小提示：本题考查了真假命题的判断及概率公式，解题的关键是：先判断命题的真假．7、不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（） A ．14B ．13C ．12D ．34答案：A分析：首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A ．小提示：本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．8、如图是用七巧板拼成的正方形桌面，一个小球在桌面上自由地滚动，它最终停在黑色区域的概率是（）A ．14B ．18C ．316D ．23答案：C分析：先求出黑色区域的面积是正方形桌面的分率，再根据概率公式即可得出答案．解：观察图形可知，黑色区域的面积是正方形桌面的316，∴最终停在黑色区域的概率是316，故选：C ．小提示：本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．9、将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )A ．12B ．13C ．25D ．35答案：A分析：随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是几何概率．解：设正六边形边长为a ，过A 作AD ⊥BC 于D ，过B 作BE ⊥CE 于E ，如图所示：∵正六边形的内角为180°−360°6=120°，∴在RtΔACD 中，∠ADC =90°,∠CAD =60°,AC =a ，则AD =12a,CD =√32a ， ∴BC =2CD =√3a ，∴在RtΔBCE 中，∠BEC =90°,∠BCE =60°,BC =√3a ，则CE =√32a,BE =32a ，则灰色部分面积为3S ΔABC =3×12BC ⋅AD =3×12×√3a ×12a =34√3a 2，白色区域面积为2S ΔBCE =2×12CE ⋅BE =√32a ×32a =3√34a 2，所以正六边形面积为两部分面积之和为32√3a 2，飞镖落在白色区域的概率P =34√3a 232√3a 2=12，故选：A ．小提示：本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．10、如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）A ．13B ．14C ．16D ．18答案：B分析：连接菱形对角线，设大矩形的长=2a ，大矩形的宽=2b ，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．解：如图，连接EG ，FH ，设AD=BC=2a ，AB=DC=2b ，则FH=AD=2a ，EG=AB=2b ， ∵四边形EFGH 是菱形，∴S 菱形EFGH =12FH ⋅EG =12⋅2a ⋅2b =2ab ， ∵M ，O ，P ，N 点分别是各边的中点，∴OP=MN=12FH=a ，MO=NP=12EG=b ，∵四边形MOPN 是矩形， ∴S 矩形MOPN =OP ⋅MO=ab ，∴S 阴影= S 菱形EFGH -S 矩形MOPN =2ab-ab=ab ， ∵S 矩形ABCD =AB ⋅BC=2a ⋅2b=4ab ， ∴飞镖落在阴影区域的概率是ab 4ab=14，故选B ．小提示：本题考查了几何概率问题．用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比．填空题11、小兰和小华两人做游戏，她们准备了一个质地均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6，若掷出的骰子的点数为偶数，则小兰赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则小华赢，游戏规则对______（填“小兰”或“小华”）有利．答案：小兰分析：根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答．解：骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为36=12，骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为26=13，而12>13，∴游戏规则对小兰有利，所以答案是：小兰．小提示：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12、甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是_________的．（填“公平”或“不公平”）答案：不公平分析：根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答．解：∵骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为36=12，骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为26=13，故游戏规则对甲有利．所以答案是：不公平.小提示：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13、巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 _____．答案：38分析：设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案．图，设小正方形的边长为1，根据等腰三角形和正方形的性质可求得AB=BE=2√2，FG=DC=√2，则空白的面积为：12×√2×√2+1×1+12×1×1×2+12×2×2=5；大正方形的面积是：2√2×2√2=8，阴影区域的面积为：8-5=3，所以针尖落在在阴影区域上的概率是：38．所以答案是：3．8小提示：本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．14、如图，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中，A，B两点均在格点上，若在格点上任意放置点C，恰的概率为_________．好使得△ABC的面积为12##0.375答案：38分析：按照题意分别找出点C所在的位置，根据概率公式求出概率即可．的三角形，解：可以找到6个恰好能使△ABC的面积为12，则概率为：6÷16=38所以答案是：3．8小提示：此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点．15、口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是___．答案：37分析：用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，∴摸出编号为偶数的球的概率为3，7所以答案是：37．小提示：本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．解答题16、在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名．（1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率；（2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率．答案：（1）13；（2）13分析：（1）利用列举法求解即可；（2）分类讨论，利用列举法即可求解．（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种， 9班和5班抽签到一个小组只有一种情况，故概率为：13；（2）①分组为(2，5)和(6，9)，故概率为：3×4=6； ②分组为(2，9)和(5，6)，故概率为：3×4=6；综上，在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率为16+16=13．小提示：本题考查了利用列举法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．17、为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各投放了一袋垃圾．(1)小明投放的垃圾恰好是A类的概率为；(2)求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．答案：(1)14(2)14分析：（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．（1）解：∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：14；所以答案是：14；（2）解：如图所示：由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为416=14．小提示：此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．18、一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，(1)求摸到的球是白球的概率，(2)如果要使摸到白球的概率为14，需要在这个口袋中再放入多少个白球？答案：(1)16(2)2分析：（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据绿球的概率公式得到相应的方程，求解即可．（1）解：根据题意分析可得：口袋中装有红球6个，黄球9个，白球3个，共18个球，故P（摸到白球）=318=16（2）设需要在这个口袋中再放入x个白球，得：3+x18+x =14，解得：x=2．经检验x=2符合题意，所以需要在这个口袋中再放入2个白球．小提示：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．。

人教版数学九年级上册课件28-第二十五章25.1.1随机事件

的可能性为 21
2 021
5.(2019江苏淮安开明中学期末)从一副扑克牌中任意抽取1张:①这张牌是“A”; ②这张牌是“红心”;③这张牌是“大王”.其中发生的可能性最大的事件是
.(填序号) 答案 ②
解析 ∵①这张牌是“A”的可能性为 4 = 2 ;②这张牌是“红心”的可能性为
3.(2020独家原创试题)下列事件是不可能事件的是 ( ) A.|a|≥0 B.圆内接四边形对角相等 C.(π-3.14)0=1 D. (-2 020)2 =-2 020 答案 D 事件“|a|≥0”是必然事件;事件“圆内接四边形对角相等”是随机事件;事件“(π-3.14)0=1”是必然事件;事件“ (-2 020)2 =-2 020”是不可能事件.故选 D.
D.3个球中有白球
解析分析如下:
选项 A B C D
答案 B
分析 “3个球都是黑球”可能发生 “3个球都是白球”不会发生 “3个球中有黑球”一定发生 “3个球中有白球”可能发生
事件类型随机事件不可能事件必然事件随机事件
题型二估计事件发生的可能性例2 (2019江苏常州金坛期中)如图25-1-1-3,转盘中8个扇形的面积都相等,任意转动转盘1次,当转盘停止转动时,估计下列4个事件发生的可能性大小,其中事件发生的可能性最大的是 ( )
2.(2018湖南长沙天心期中)下列事件中,是确定性事件的为 ( ) A.买一张电影票,座位号是8 B.射击运动员射击一次,命中10环 C.明天会下雨 D.度量多边形的外角和,结果是520° 答案 D 买一张电影票,座位号是8,是随机事件,故A不符合题意;射击运动员射击一次,命中10环,是随机事件,故B不符合题意;明天会下雨,是随机事件,故C不符合题意;度量多边形的外角和,结果是520°,是不可能事件,是确定性事件,故D符合题意.故选D.

九年级数学上册同步精品课堂(人教版)第25章概率初步(单元总结)(解析版)

第二十五章概率初步单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一事件概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.事件类型：①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.【典例分析】1．（2019·莆田第二十五中学初三期末）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件【答案】D【解析】“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选D．2．（2017·重庆十八中初三期中）下列说法正确的是（）A.打开电视，它正在播广告是必然事件B.要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D.甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定【答案】C【解析】试题分析：A．打开电视，它正在播广告是随机事件，A错误；B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查，B错误；C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，C正确；D．甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明甲的射击成绩比乙稳定，D错误；故选C．3．（2017·成都树德中学博瑞实验学校初一期末）下列事件为必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是偶数B．打开电视机，正在播放动画片C．两角及一边对应相等的两个三角形全等D．三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾相接能摆成三角形【答案】C【详解】A、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件；B、打开电视机，正在播放动画片是随机事件；C、两角及一边对应相等的两个三角形全等是必然事件；D、三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾相接能摆成三角形是不可能事件.故选C.4．（2018·成都七中嘉祥外国语学校初三期中）下列事件中是必然事件的是（）A.任意画一个正五边形，它是中心对称图形x-有意义，则实数x＞3B.实数x3C.a，b均为实数，若a38，b4，则a＞bD.5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3【答案】D【解析】解：A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形，是不可能时事件，故本选项错误；x-有意义，则实数x＞3，是不可能时事件，应为x≥3，故本选项错误；B．实数x3C．a，b均为实数，若a=38，b=4，则a=2，b=2，所以，a=b，故a＞b是不可能事件，故本选项错误；D．5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3，是必然事件，故本选项正确．故选D．5．（2018·福建省泉州第一中学初三期中）下利事件中，是必然事件的是（）A.将油滴在水中，油会浮在水面上B.车辆随机到达一个路口，遇到红灯C.如果，那么D.掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【答案】A【解析】选项A，将油滴在水中，油会浮在水面上，是必然事件；选项B，车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件；选项C，如果，那么，是随机事件；选项D，掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上，是随机事件，故选A.知识点二概率计算概率的计算一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为利用列举法求概率方法一:直接列举法求概率当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。

第25章概率初步初中数学人教版九年级上册知识点精讲精练

第二十五章概率初步知识点思维导图知识点一：随机事件与概率1. 事件的类型事件的类型定义举例必然事件在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件.在一个只装有红球的袋中摸球，摸出红球.确定性事件不可能事件在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件.在一个只装有红球的袋中摸球，摸出白球.随机事件（不确定性事件）在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球.2. 事件发生的可能性一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.（1）必然事件：试验中必然发生的事件，其发生的可能性为100%或1；（2）不可能事件：试验中不可能发生的事件，其发生的可能性为0；（3）随机事件：试验中可能发生也可能不发生的事件，其发生的可能性介于0和1之间.3. 概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）.4. 概率的计算一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）＝，0≤P（A）≤1.当A为必然事件时，P（A）＝1；当A为不可能事件时，P（A）＝0.5. 事件发生的可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.6. 计算简单事件的概率的主要类型（1）个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果的试验；（2）面积类型：如果随机试验是向S区域内掷一点，那么掷在区域A（A在S内）内的概率P＝.【例1】一个不透明的口袋中装有只有颜色不同的5个球，其中有3个白球和2个黑球.（1）求从中随机取出一个黑球的概率；（2）若往口袋中再放入x个白球和8个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求x的值.【例1】【解析】（1）由题意知从中随机取出一个球共有5种情况，其中是黑球的有2种可能，根据概率公式计算可得；（2）利用概率公式：，列出关于x的分式方程，解之可得.【答案】解：（1）∵口袋中共装有5个球，其中黑球有2个，∴从中随机取出一个黑球的概率是.（2）根据题意，得，解得x＝2，经检验，x＝2是分式方程的根，所以x＝2.【巩固】1. 投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）A. 两枚骰子向上一面的点数之和大于1B. 两枚骰子向上一面的点数之和等于1C. 两枚骰子向上一面的点数之和大于12D. 两枚骰子向上一面的点数之和等于122. 如图，六边形广场由6个大小完全相同的灰色和白色正三角形组成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在灰色正三角形区域的概率为_____________.【巩固答案】1. D3.知识点二：用直接列举法（枚举法）求概率当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式P（A）＝（在一次试验中，有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果）求事件发生的概率.注意：（1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.（2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个；②每个结果出现的可能性相等.（3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.【例2】有4根细木棒，长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________.【例2】【解析】从4根细木棒中任选3根，有①2 cm，3 cm，4 cm；②3 cm，4 cm，5 cm；③2 cm，3 cm，5 cm；④2 cm，4 cm，5 cm，共4种选法，恰好能搭成一个三角形的有①②④共3种，故恰好能搭成一个三角形的概率是.【答案】【巩固】1. 为支援某贫困山区，小慧准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后3位由5，1，2这三个数字组成，但具体顺序忘记了. 则她第一次就拨通正确电话的概率是（）A. B. C. D.2. 小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（）A. B. C. D.【巩固答案】1. C2. D知识点三：用列表法求概率1. 列表法列表法就是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.2. 适用条件当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法.3. 具体步骤（1）选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖行，列出表格；（2）运用概率公式P（A）＝计算概率.注意：用列表法列举所有可能出现的结果时，要注意“放回”与“不放回”的区别.【例3】不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A.B.C.D.【例3】【解析】两次摸球的所有可能出现的结果列表如下：红球绿球红球（红球，红球）（绿球，红球）绿球（红球，绿球）（绿球，绿球）由表可知，共有4种等可能的结果，其中两次都是红球的结果只有1种，所以P （两次都摸到红球）＝. 故选D.【答案】D 【巩固】1. “学雷锋”活动月中，“飞翼”班组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两个恰好选择同一场馆的概率是（）A.B.C.D.2. 某校举行以“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（）A.B.C.D.3. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A.B.C.D.【巩固答案】1.A 2. D 3. C第一次第二次知识点四：用画树状图法求概率1. 画树状图法画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法.2. 适用条件当一次试验涉及三个或更多个因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率.注意：（1）当试验包含两步时，用列表法比较方便，当然此时也可以用画树状图法；当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便.（2）树状图中，从左到右（或从上往下），每一条路径都表示一种可能的结果，并且每种结果出现的可能性相同.【例4】小刚一家三口参加“懂法纪，知敬畏”网上答题活动，每人获得一次抽奖机会，有三个彩球，分别代表特等奖，一等奖，谢谢参与，随机点击其中一个，翻开即为所得奖项. 三人都随机点击其中一个，则三人获得的奖项都不相同的概率是（）A. B. C. D.【例4】【解析】用A、B、C分别表示特等奖，一等奖和谢谢参与，画树状图如下：由树状图可知，共有27种等可能的结果，三人获得的奖项都不相同的结果有6种，∴P（三人获得的奖项都不相同）＝＝. 故选D.【答案】D【巩固】1. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，恰好选择同一方向的概率是（）A. B. C. D.2. 小明与两位同学进行乒乓球比赛，用“手心、手背”游戏确定出场顺序. 设每人每次出手心、手背的可能性相同. 若有一人与另外两人不同，则此人最后出场. 三人同时出手一次，小明最后出场比赛的概率为___________.【巩固答案】1. C2.知识点五：用频率估计概率1. 频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率.2. 用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.3. 适用对象：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计概率.4. 计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果时间A发生的频率稳定于某个常数p，那么估计事件A发生的概率P（A）＝p.5. 频率与概率的关系区别：频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点等有关；概率是理论值，与其他外界因素无关.联系：试验次数越多，频率越趋向于概率.【例5】某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（）A. 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9【例5】【解析】A项，取到红球的概率为；B 项，向上的面的点数是偶数的概率为；C 项，先后两次掷一枚质地均匀的硬币，等可能的结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，所以两次都出现反面的概率为；D 项，列表如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可知共有36种等可能的结果，其中两次向上的面的点数之和为7或超过9的结果有12种，所以所求概率为. 结合题图可知选D.【答案】D【巩固】第一次和第二次1. 不透明的盒子中有白球和黄球若干个，它们除了颜色外其他完全相同，某同学进行了如下试验：每次摸出一个小球，记下颜色后放回盒中，如此重复400次，其中摸出白球100次. 由此估计摸出黄球的概率为（）A. B. C. D.2. 下列说法合理的是（）A. 小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是B. 抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，出现6的概率是的意思是每6次就有1次掷得6C. 某彩票的中奖机会是2%，则买100张彩票一定会有2张中奖D. 在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51【巩固答案】1. D2. D。

人教版九年级数学上册第25章《概率初步》知识小结与复习

（2006年广东茂名市第10题）
为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞 100条鱼都做上标记，然后放回湖中去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞100条鱼，发现其中10条
有标记，那么你估计湖里大约有鱼 D
A. 500条 B. 600条 C. 800 条 D. 1000条
“建模”——数学思想
（1）请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；
（2）求一个回合能确定两人先下棋的概率．
游戏规则
三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合．落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋．
概率的计算方法
具有等可
随机
简单的随
事
机事件
能性
件
不具有等
概
可能性
率
的
计算
复杂的随机事件
摸拟试验
概率定义树状图列表试验法
有放回摸球
无放回摸球
理论计算
试验估算小明的方法: 多次逐个抽查
小亮的方法: 多次抽样调查
一、知识回顾
1、事先能肯定它_一__定__发生的事件称为必然事件，它发生的概率是_____1__.
下列事件中，确定事件是（）
A、掷一枚六面分别标有1—6数字的均匀骰子，骰子停止转动后偶数点朝上
B、从一副完整的扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃
C、任意选择电视的某一频道，正在播放动画片
D、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天
在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数，

九年上第二十五章概率初步全章知识点总结

概率初步
随机事件与概率
事件概念：用陈述句对一件事情做出判断的语句，便是事件。

必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件。

不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件。

确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。

随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

概率：一般地，对于一个随机事件A ，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为()A P 。

归纳：一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率： ()n
m A P =，n m ≤≤0，()10≤≤∴A P 当A 为必然事件时，()1=A P
当A 为不可能事件时，()0=A P
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。

用列举法求概率
列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以采用列表法或画数状图法列举试验结果，求出随机事件发生的概率。

用频率估计概率：对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。

因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。

人教版九年级第二十五章概率初步知识点

人教版九年级第二十五章概率初步知识点一、随机事件与概率1、随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件；事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下；可能发生也可能不发生的事件；称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件）；确定事件又分为必然事件和不可能事件；其中；①必然事件发生的概率为1；即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0；即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件）；那么0＜P（A）＜1．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：2、概率的意义（1）一般地；在大量重复实验中；如果事件A发生的频率m、n会稳定在某个常数p附近；那么这个常数p就叫做事件A的概率；记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值；是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P （A）=0．（4）事件发生的可能性越大；概率越接近与1；事件发生的可能性越小；概率越接近于0．二、用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时；我们常用列表的方式；列出所有可能的结果；再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n；再从中选出符合事件A或B的结果数目m；求出概率．（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果；列表法是一种；但当一个事件涉及三个或更多元素时；为不重不漏地列出所有可能的结果；通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合；依次列出；象树的枝丫形式；最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时；可用树形图列举；也可以列表列举．4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率；然后比较概率的大小；概率相等就公平；否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．三、利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时；事件发生的频率在某个固定位置左右摆动；并且摆动的幅度越来越小；根据这个频率稳定性定理；可以用频率的集中趋势来估计概率；这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值；随实验次数的增多；值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多；或各种可能结果发生的可能性不相等时；一般通过统计频率来估计概率．。

第二十五章概率初步【复习课件】九年级数学上册单元复习(人教版)

A
B
C
B C A CA B C BC ABA
知识梳理
考点5 树状图法求概率
当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时, 为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树状图”.
树形图的画法:
一个试验
如一个试验中涉及2个或3 个因数,第一个因数中有2 种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况;第三个因数中有2种可能的情况.
第一个因数 A
B
第二个 1 2 3 1 2 3 第三个 a b a b a b a b a b a b
A.24个
B.18个
C.16个
D.6个
课堂检测
2.某人有3把钥匙,但忘记了开房门的是哪一把,于是,他逐把不重复地试开, (1)恰好第2次打开房门锁的概率是多少？ (2)2次内打开房门锁的概率是多少？ (3)如果3把内有2把房门钥匙,那么2次内打开的概率是多少？
课堂检测
解:用“A,B,C”表示三把钥匙其中编
件A发生的概率P(A)= m . n
0≤P(A)≤1 当A为必然事件时，P(A)=1；当A为不可能事件时，P(A)=0.
课堂检测
1.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是( A )
知识梳理考点2 概率的概念
概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）.
0
概率的值
事件发生的可能性越来越小
不可能事件事件发生的可能性越来越大
1 必然事件
知识梳理
考点3 概率的计算公式