结构力学 静定结构的位移计算1

结构发生虚位移的状态和结构承受外力的状态是两个独立 的状态。分别称为结构的位移状态和力状态
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2

2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D

1 EI

一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）

ΔA A
ΔB
B A
θA
θ
C θB
（A、B两点的相对位移Δ =Δ A+Δ B）
（结点C左右截面的相 对转角θ=θA+θB）
EI

1 EI
1 2
Pl l 4
1 2

Pl 2 16 EI
(
)
例2：求图示梁C点的挠度。
等截面简支梁，已知EI＝常数。 A
中点C的竖向位移Δ Cy。A端的角 位移θA
解 1）做MP图 2）做M图
3）求位移
CV

21 EI

2 3

l 2

ql 2 8

5 l 84
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对 角位移，可在两个截面上加两个 方向相反的单位力偶。
3
Ri Ci + 1 =∑ N d V d M d
i 1
4). 依材料力学的结果，上述dλ、dη、dθ可写为：
dλ= N P ds ，dη= kVP ds ，dθ= M P ds
3) 由于图乘过程中需计算图形的面积及形心，要熟记以下四 个基本图形。
ω
2L/3 L
XC h L/3
ω=Lh /2 三角形
h
L/2
L/2
ω=2Lh /3 标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载）
h
ω=Lh /3
L/4 3L/4
标准二次抛物线 （悬臂梁承受均布荷载）
4）梯形图形的处理
a
b= a
b =
a
1 2
66
2 3
1
1 EI

2 3
69
1 2
1
+
1 EI

1 2
2 61

1 EI

2 3
2 11
= 4 （逆时针） 3EI
M=1 D
例2．刚架的位移计算
6 kN C
4m
12 kN D
2．使结构产生位移的因素
1) 荷载。由于材料的应变而产生位移 2) 温度变化。热胀冷缩而产生位移 3) 支座移动。地基沉降 4) 材料的干缩、制造误差
3．计算结构位移的目的 1) 验算结构的刚度。刚度的大小是以变形或位移来度量的
（框架结构的侧移要满 足刚度要求）
2) 为制作、架设结构等提供依据 3) 为分析超静定结构作准备。
二、变形体系的虚功原理
1.实功、虚功的概念
A P1 Δ11
P1
A Δ11 Δ12
P2 B
Δ22
荷载P1加在梁上，在荷载作用点产生位移Δ11 则力P1作功
W1=
1 2
P1

11
梁上再加荷载P2 ，此时P1处有位移Δ12
P1是恒力，继续作功W2=P1·Δ12
P2作功W3=P2·Δ22 /2
A P1 Δ11
P1
A Δ11 Δ12
P2 B
Δ22
分析：作功过程 ，存在两种情况：
• 力在其自身引起的位移上作功，称为实功；
如： W1=
1 2
P1

11
， W3=
1 2 P2 22
•在别的因素引起的与力本身无关的位移上所作的功，称为虚功，
如： W2=P1·Δ12
虚功并非为不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无 关的特点。
1




M
M EI
P
ds
1．图乘法解决的问题
坐应标用R系k公 ，C式k写11弯 矩方程。MM当EEMI杆MI P件Pdds较s多过N，E程AN荷中P载d，s较要复k逐VG杂杆AV时建P ，d立s积
分运算甚为麻烦。
2．应用图乘法的条件
1) 杆轴是直线 2) 该段轴EI=常数 3) MP图和M 图至少有一个是直线图
（正号表示位移方向与虚 拟力方向一致，向下）
**为求结点B的转角，在结点B处作用单位力矩M=1
BC杆：M（X）=0 AB杆：M（X）=1
B



M

X
M
EI
P

X

dX
=0+
4 8 1 dX = 32
0 EI
EI


（正号表示位移方向与虚拟 力方向一致，顺时针）
M=1 X
X
三、图形相乘法
M M P ds N N P ds kV VP ds
EI
EA
GA
5）特殊情况
（1）体系无支座移动时：1


M M P ds EI
N NP EA
ds

kV VP GA
ds
（2）静定体系仅发生支座移动时（结构无内力，从而无W变）：
Ri Ci + 1 = 0
h ω=2Lh /3
5L/8 3L/8
标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载的半图）
+
b
b + a
5）非标准二次抛物线的处理 b
=a
a
梯形
4、应用举例
例1:求梁B段转角。
P
A
EI
b + 标准二次抛物线
B
l/2
l/2
1）做MP图
P
A
EI
B

Pl/4 2）做M图
yC
M=1
1/2
3）求位移
B
yC
2）虚力状态的建立 P=1
dx A
P A
dx
q
Δ
R3 R1
C3
C2
C1
R2
W外=W变
（在A点作用虚设的单位力）
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变
形上所作的虚功的总和W变 。
N
NV
VM
M
轴力N
剪力V （微段的受力）
弯矩M
这样，体系在虚设力作用 下，所有的虚力为：
外力：R1 、R2 、R3 、P=1 微段内力：N 、V 、M
2）虚拟状态下各杆的弯矩表达式（各杆坐标同1）中规定） **为求C点的竖向位移，在C点作用竖向单位力P=1
P=1
B X
则，
CV



M

X
M
EI
P

X

dX
X
= 42X X dX + 48 4 dX
0 EI
0 EI
512
=
3EI

BC杆：M（X）=X，0<X<4 AB杆：M（X）=4，0<X<4
R3 R1
R2 支座反力
3）公式的建立
3
W外=W变
W外= Ri Ci + 1
i 1
微段dW变= N d V d M d
微段所在杆件所作虚功之和：
dx A
N d V d M d
dx q
体系所有杆件所作虚功之和，即：
W变=∑ N d V d M d
Δ
C3
C2
C1
M M+dM
N V
dλ
N+dN （微元段dx的受力）
dx V+dV
dθ dη
轴力作用下伸长dλ 剪力作用下的变形dη 弯矩作用下的变形dθ （微元在内力作用下的变形）
这样，体系在荷载及支座移动的作用下，所有的虚位移为： 外部：支座移动C1、C2、C3，A点的竖向位移Δ 内部：微段dx的变形dλ、dη、dθ，

x N2
EA

q P d2s
lxkVx2VdP xds
GA
EI 0
384 EI
例2
求：1）C点的竖向位移
2）结点B的转角
2kN
B
X
XC EI=常数
4m
A 4m
解： 1）荷载作用下各杆的弯矩表达 式（各杆坐标如图中所示）
BC杆：MP（X）=2X（规定上 侧受拉为正），0<X<4
AB杆：MP（X）=8 （规定左 侧受拉为正），0<X<4
4．线弹性体系的特征 1）结构的变形或位移与其作用力成正比
P1=1 K δ
若单位力P1=1作用下产生的位移δ，则力P作用下在K处产生 的位移为Pδ 2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1 P2 Pi
Pn
K
Δ
δK i 表示Pi=1时在 K处产生的位移。
n
Δ= P1 K1 P2 K 2 Pn Kn Pi Ki i 1
（3）桁架结构
Rk Ck 1
N NP ds EA
（4）梁和刚架结构（忽略轴向及剪切变形）
Rk
Ck
1


M MP EI
ds
（5）组合结构（忽略受弯杆件的轴向及剪切变形）
Rk
Ck
1


M M P ds EI


N NP EA
ds
5．应用例题 例1 试求等截q面简支梁中点C的竖向位移Δ Cy。已知EI＝常数。 P=1
5ql4
384 EI
q
C l
.
ql2/8
MP
P=1 yC
A

1 EI

2 3
l

ql 2 8

1 2
ql3 24EI
l/4
P=1
M1
yC
1
M2
例3．梁的位移计算
2kN/m A
1kN
EI=常数，求ΔCV及截 面D的转角θD
解：1）作MP图（荷载作 用下的弯矩图）
C
3m
3m
xl C
x
解： 1）荷载作用下的弯矩表达式（坐标如图中所示）
MP（x）=q(lx-x2)/2（规定下侧受拉为正），0<x<l/2
2）虚拟状态下的弯矩表达式（坐标同1中规定）
M（x）=x/2，0<x<l/2

CVRkq Cl kMl/21lxxE2 MI xP3xdxMdxEMI52qPld0l4s/2E1NI
3．图乘公式
y A
α x
MP dx
M
MP图 B M图
x

M M P ds = EI
BM A EI

M
P dx
1
=
EI
B
A x tg M Pdx
=
tg
EI
B
A x d ----------------（1）
M x tg d M P dx
是MP图微元面积。
C3
依虚功原理：
3
C2 C1
Ri Ci + 1 =∑ N d V d M d
i 1
这就是求位移的一般公式。
P=1 A
P Δ
若计算结果为正，表示单位荷载所作虚功为正，故所求位移Δ 的实际指向与所假设的单位荷载P的指向相同，为负则相反。
4．虚功原理的说明
1). 虚功原理适用于线弹性、非线弹性、弹塑性、塑性， 静定结构、超静定结构， 2). 适用于由荷载、温度变化、支座移动、制造误差、材 料收缩等情况。 3). 求位移时，需在拟求位移处作用与位移方向一致的单 位力
2．变形体系的虚功原理的表述 变形体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合变
形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系上所 有外力所作的虚功总和W外，等于变形体系各微段截面上的 内力在其虚变形上所作的虚功的总和W变 。
用公式表示为： W外=W变
虚位移可以是与力状态无关的任何原因引起的，甚至是假 想的，但虚位移必须是微小的，且为约束条件和变形连续 条件允许的。
A
=
xC tg = yC
EI
EI
------（3）
式中，yC为MP图面积形心对应的M 图的纵标。




M
M EI
P
dx

yC 就是图形相乘公式
EI
4．应用公式（3）应注意的问题
1) MP图与 M 图在杆的同侧，图乘结果为正；在异侧为负
2) yC必须取自沿ω的整个长度内是一直线变化的图形，是折线 ，要分段图乘。
y
A dx
α x
xC
MP图
C
B M图
x
B
x d
A
xC
-----------------（2）
式（2）表示MP图的面积对Y轴的静矩。xC表示面积ω的 形心到Y轴的距离
y
MP图
C
A
B
dx
M图
α
yC
x xC
x
由（1）、（2）两式，

M MP EI
dx =
tg
EI
B
x d
EA
GA
EI
式中，k为截面形状系数。这样，位移公式的表达式可写为：
Rk Ck 1
M M P ds N N P ds kV VP ds
EI
EA
GA
从公式中可见，计算位移时只须写出两套内力的表达式。 MP、NP、VP表示荷载作用下的内力。
Rk Ck 1