递推数列竞赛题
递推考试题及答案
递推考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 递推关系式是描述序列中项与项之间关系的数学表达式，以下哪个选项不是递推关系式的特点？A. 递推关系式描述了序列中项与项之间的关系B. 递推关系式可以是线性的，也可以是非线性的C. 递推关系式只能用于描述有限序列D. 递推关系式可以包含序列中的前几项答案：C2. 在递推关系式中，如果一个序列的每一项都依赖于前一项或几项，这种关系被称为：A. 线性递推关系B. 非线性递推关系C. 直接递推关系D. 间接递推关系答案：A3. 以下哪个选项是递推关系式的基本组成部分？A. 初始条件B. 序列的项C. 递推公式D. 所有以上选项答案：D4. 在递推关系式中，如果一个序列的第n项只依赖于第n-1项，这种关系被称为：A. 一阶线性递推关系B. 二阶线性递推关系C. 三阶线性递推关系D. 四阶线性递推关系答案：A5. 递推关系式中的初始条件是指：A. 序列的第一项B. 序列的前几项C. 序列的任意一项D. 序列的最后一项答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 递推关系式可以表示为：\(a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_{n-k})\)，其中\(k\)是序列的________。
答案：阶数7. 斐波那契数列是一个经典的递推关系式的例子，其递推公式为：\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，其中\(F_1 = 1\)，\(F_2 = 1\)，这是一个________阶线性递推关系。
答案：二8. 如果一个递推关系式可以表示为：\(a_n = c_1a_{n-1} +c_2a_{n-2} + ... + c_ka_{n-k}\)，其中\(c_1, c_2, ..., c_k\)是常数，那么这个递推关系式被称为________递推关系。
答案：线性9. 递推关系式中的初始条件是解决递推关系式问题时必须给定的，它包括序列的前________项。
数列经典题目(竞赛专题)
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .
递推数列与递推方法专题测试
a n a n 1 a n a n 1 1
2 2
，求数列 a n 的通项公式．
3.各项均为正数的数列 {an } ， a1 a, a2 b ，且对满足 m n p q 的正整数 m, n, p, q 都有
a p aq am an 1 4 . （1）当 a , b 时，求通项 an ; 2 5 (1 am )(1 an ) (1 a p )(1 aq )
1 2
21 n
1
.可以验证 n 1 时也满足。
2. 已知 a1 1 ， a 2 5 ， a n 1
a n a n 1 a n a n 1 1
2 2
，求数列 a n 的通项公式．
解：定义 F1 1 ， F2 0 ， Fn Fn 1 Fn 2 , n 3,4, 由所给关系式得
厦门一中 2013 级数学竞赛递推数列与递推方法专题测试（完成时间：3 小时） 1.已知数列 {x n } : x1 1, x n 我们可证 x n 是正数，
2 xn 1 x n 1 x n 1 ( n N , n 2) ，求数列 { x n } 的通项公式
1 xn
5. 定义数列an ， bn 如下：a0 2，b0 1，an1
求证：n 时， an ， bn 有相同的极限，并求出这个值。
2an bn ，bn 1 an 1bn . an bn
2 an 64 6. 给 定 数 列 an , bn ， 其 中 ， 数 列 an 满 足 ： a0 1, a1 13, an 1 ; 数 列 bn 满 足 ： an 1
（2）证明：对任意 a ，存在与 a 有关的常数 ，使得对于每个正整数对于每个正整数 n ，都有
奥数--归纳递推与逆推试题
归纳递推与逆推一只青蛙在井底，每天白天爬上4米，晚上又滑下3米，这井有90米深。
那么爬上这口井的上面一共需要多少天？1. 1.一个数是20,现在先加30,再减20,再加30 ,再减20,反复这样操作,如果每加、减一次算两次操作，请问至少经过______次操作结果是500?2. 2.有一类自然数，其数码只能是2或者3，并且没有两个3是相邻的。
请问：满足这些条件的10位数共有______个？3. 3.有一个圆，其上有两个点将圆周分成两半，并且这两个点上写有数字1，我们进行一下的操作，第1步将两段圆弧对分，在这两个分点上写上相邻的两点上的数字之和，如此继续下去，问：第6步后，圆周上所有的点的数的和是______？有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或者两级，问：要登上第十级台阶有多少种不同的走法？1. 1.从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通，李楠从学校出发，步行到少年宫，学校在东南方而少年宫在西北方，走的路径最短的不同的走法有______种？2. 2.根据各个数之间的关系，在括号内填上一个恰当的数1，2，6，24，（），720；1，2，4，7，11，16，（）。
（分别回答以上两道题目，中间用一个空格隔开）3. 3.在2×8的棋盘每个格编号。
现在用8张1×2的长方形卡片去覆盖棋盘。
问：有多少种方法将棋盘完全盖住？一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请问这个数列第14个数和第18个数分别是什么？1. 1.已知用一根线段能将一个矩形分成两部分，现在问：8条线段最多能将一个矩形分成______段？2. 2.仅由字母XY组成的长度为n的“单词”恰好有2^n个（因为每个位置都有2个选择），设这些单词中至少有两个X相连的有an个，比如XXYY，YXXX，XXXY等。
现在问a10=______3. 3.从边长为1的小正方形开始，以这个正方形的对角线为边做第二个正方形，再以第二个正方形的对角线做第三个正方形，如此下去，那么，第11个正方形的边长是_____？六年级六个班组织乒乓球单打比赛，每班派甲、乙两人参赛，根据规则每两人之间至多赛一场，且同班的两人之间不进行比赛。
高中数学：第三章：数列-递推法解题(竞赛精讲)
§3.3递推法解题基础知识对于某些与自然数有关的问题，我们有时可以用递推法解决，扎谓用递推法解题，就是根据题目的特点，构造出递推关系解题的一种方法，解决问题的关键在于构造递推关系。
递推关系一般可以用归纳、猜想等途径获得。
利用递推法解题的一般步骤为：(1)确定初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系求通项。
递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n个数为a n，则a n+1=a n+1; 即由自然数中第n个数加上1，就是第n+1个数。
由此可得a n＋2=a n＋1＋1，这样就可以得到自然数数列中任何一个数.再看一个例子：平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？解：假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k＝0，1，2，….a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11…归纳出递推公式a n＋1＝a n+n. （1）即画第n＋1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1＝2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段.而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式（1）是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成：a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。
高中数学竞赛数列问题
高中数学竞赛数列问题一、高考数列知识及方法应用(见考纲)二、二阶高次递推关系1. 因式分解降次。
例：正项数列｛an｝,满足2尻=“”+1,求an (化异为同后高次)2. 两边取对数降次。
例：正项数列｛a」，a.=1,且a n• a n.2 = 36,求a.三、线性递推数列的特征方程法定理仁若数列｛a」的递推关系为a/gi+g 则设特征方程xjx+入2, 且此方程有相异两根Xf, X2(Xi=^=x2),则必有a“二CtxJ+czX?",其中6 , C2由此数列已知前2项解得,即“1 =5工1 +C2X2(I2 =C]X] +©2*2■或由严产勺+勺得到。
(见训练及考试题)51 =C l X l+C2X2定理2:若方程xJ心X+入2有相等重根X。
，则有a n= (Ci+c2n) x o n,其中Ci, c?仍由定理1方程组解得。
例如.：1,已知.数列｛«…｝满足终=勺=1，%2 ="”科+"“(*”+),求数列｛«…｝的通项公式2, •数列仏｝中,设勺=坷=1卫3=2,且％科=+%'心(nN 3),求数列「你2｛"”｝的通项公式t“7a n + J45«； -363, •数列｛〜｝满圧：5=1,终田= ——zN・2证明：(1)对任意n e N,a n为正整数；(2)求数列仗”｝的通项公式。
4, 已知.数列仏｝满足4 = 1,他=2,九e N*都有a,/ = -4a n,求数列仏｝的通项公式四、特殊递推的不动点法(f (x)二x的解称为f (x)的不动点)定理仁若数列｛%｝满足递推：a n>,=a • a…+b (a, bGR),则设x二ax+b,得不动点x。
=一且数列递推化为：a卄厂X。
二a (a n-x0),a — i进而用构造法解得。
定理2:若数列｛a n ｝满足递推:则设X = ax + ^ 9得不动点Xi, x 2,cx+d若X1*X 2,则原递推化为：=巴二±1£(仝匚乞)，再由构造勺小_兀2 “_兀2°法解得。
数列递推公式练习(带答案)
数列递推公式练习1、数列,9910,638,356,154,32中第8项是 （ ） A. 19514 B. 25516 C. 32318 D. 39920 2、已知数列{}n a 满足()n n n n a a a 111-+=--且11=a ，则=35a a （ ） A. 1516 B. 34 C. 158 D. 38 3、数列{}n a 中，已知()*1221,2,1N n a a a a a n n n ∈-===++，则=2002a （ ） A. 1 B. 1- C. 2- D. 24、已知()*1133,21N n a a a a n n n ∈+==+，则=n a （ ） A. 52+n B. 42+n C. 53+n D. 43+n 5、数列{}n a 满足341+=-n n a a 且01=a ，则此数列第5项是 （ ）A. 15B. 255C. 16D. 636、数列{}n a 中，02,311=-=+n n a a a ，数列{}n b 的通项n b 满足关系式()()*1N n b a n n n ∈-=，则=n b 。
7、设数列{}n a 满足11=a ，()1111>+=-n a a n n ，写出这个数列的前5项。
8、设数列{}n a 满足51=a ，n n a a 31=+，写出这个数列的前5项并归纳猜想通项公式。
9、数列{}n a 中，nn n a a a a a +==+12,11，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出数列的一个通项公式。
10、设数列{}n a 满足11=a ，13321++=-+n n a a n n ，写出这个数列的前5项并归纳通项公式。
11、已知数列{}n a 满足q pa a a n n +==+11,1，且15,342==a a ，求q p ,的值。
参考答案：1、 B2、 B3、 B4、 C5、B6、12131-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=n n a7、58,35,23,2,154321=====a a a a a 8、405,135,45,154321====a a a a 135-⨯=n n a9、aa a a aa a aa a a 718314122321+=+=+== ()a a a n n n 121211-+=-- 10、125,64,27,8,154321=====a a a a a 3n a n =11、解：由已知可得q pa a +=12，即3=+q p ()q pq a p q q pa p q pa a ++=++=+=22234 即1532=++q pq p 联立方程组⎩⎨⎧=++=+15332q pq p q p 解得⎩⎨⎧=-=63q p 或⎩⎨⎧==12q p。
行测：数字推理递推数列
行测：数字推理递推数列行测：数字推理递推数列第一节递推数列综合介绍基本定义：所谓递推数列，是指数列中从某一项开始，其每项都是通过它前面的项经过一定的运算得到。
基本类型：差、商、和、方、积、倍六种，包括基本型与修正型。
一、递推差数列【例1】（黑龙江2007-7）25，15，10， 5， 5，（）。
A. -5B. 0C. 5D. 10［答案］B［解析］递推差数列：前两项之差等于第三项。
［特征］整体递减，相邻三项构成明显差关系。
【例2】97，53，29，15，9，5，1，（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4［答案］C［解析］递推差数列：第一项减去第二项，再减去第三项，等于第四项。
［特征］整体递减，相邻四项构成明显差关系。
另外：当数列较长时，优先考虑“三项递推”。
【例3】22，14，9，6，4，3，（）。
A. 2B. 4C. 6D. 8［答案］A［解析］递推差修正数列：第一项减去第二项，再加1，等于第三项。
［特征］整体递减，相邻三项构成较明显差关系。
二、递推商数列【例4】（北京应届2007-5）9，6，32，4，（）。
A. 2B. 34C. 3D. 38［答案］D［解析］递推商数列：前两项之商等于第三项。
［特征］整体递减，相邻三项构成明显商关系。
【例5】780,60,12,4,2,1,（）。
A. -1B. 0C. 1D. 2［答案］C［解析］递推商修正数列：第一项除以第二项，再减1，等于第三项。
［特征］整体递减，相邻三项构成较明显商关系。
三、递推和数列【例6】（陕西2008-5）11,22,33,55,（）。
A. 77B. 66C. 88D. 99［答案］C［解析］递推和数列：前两项之和等于第三项。
［特征］整体递增，增长平缓，相邻三项构成明显和关系。
【例7】2,2,3,7,12,22,41,（）。
A. 56B. 68C. 75D. 84［答案］C［解析］递推和数列：前三项之和等于第四项。
［特征］整体递增，增长平缓，相邻四项构成明显和关系。
竞赛数学典型问题解决----数列与递推关系(新)讲诉
可得 an an1 n(n 1)4 3 (a2 a1 ) n!，于是
an n!(n 1)! 2!1!
第十六页，共32页。
an n!(n 1)! 2!1!
注意 n 6 时 9 n!，而计算知前5项只有 a5是9的
倍数, 故 n 的最小值为5.
第十七页，共32页。
例然数92.考n已,察总知数有a列1an的a为2 性整1, a质n数2 .(a1n29a16n32年．求,莫证斯:对科一) 切非零自
求 20012 x1 20022 x2 20072 x7的值. (第6届美国 数学邀请赛试题改编)
解 记 n 2 x1 (n 1) 2 x2 (n 6) 2 x7 an , 则 a1 1, a2 12, a3 123 ．为求 a2001 ，注意到有相邻系数
关系, 设 (n 3)2 a(n 2)2 b(n 1)2 cn2
,解得
2
2
.
解三 (母函数法)
f (x) a0 a1x
a2
x设2 {an}的an母xn函 数为an2 xn2
则
3xf (x) 3a0 x 3a1x2 3an1xn 3an1xn2
2x2 f (x) 2a0 x2 2a1x3 2an2 xn 2an xn2
则
(n
2． 1)!
an1
an
(n 1)2 (n 1)!
2
用递
变形,得
(n 1) 2
n2
an1 (n 1)! an n!
第二十页，共32页。
an1
(n 1) 2 (n 1)!
an
n2 n!
故
an
数列的递推公式练习题
（2）127是这个数列的第几项？ （2）第7项.
15．数列{an}中，若a1+2a2+3a3+……+nan =n(n+1)(n+2)，求通项公式an.
an=3(n+1)
2．已知数列{an}中，a1=5，an+1=2an+3，则a3
等于（ C ）
（A）13 （C）29 （B）16 （D）27
a 2 1 n 3．在数列{an}中，a1=1， (n∈N+), a n 1 2 an
则a5等于（ B ）
2 （A） 5
2 （C） 3
1 （B） 3 （ D） 1 2
9．若a1=1，an+1=an+n(n∈N+)，则数列{an}的 前4项为 1， 2， 4， 7 。
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n2+2n， 则通项公式an等于 4n 。
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=3n－2,
则通项公式an等于
n 1 1, 。 n 1 2 3 , n ≥ 2
12．已知数列{an}满足an+1=pan+q，且a1=2， a2=3，a4=9，则实数p= －3或2 ；q= 9或－1 .
13．数列：3，8，13，18，……，相邻三项
间的递推公式是 an+2=2an+1－an
。
14．已知数列{an}的各项满足an+2=3an+1－2an， 且a1=1，a2=3， （1）求a5； （1）a5=31；
6． 已知数列{an}的通项公式为an=lg1536－(n －1)lg2，则使得an<0成立的最小正整数n的值 为（ B ） （B）12 （D）15
构建新数列巧解递推数列竞赛题目
构建新数列巧解递推数列竞赛题梁新潮（浙江新昌中学 312500）石美英（浙江新昌教师进修学校 312500）递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。
本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。
其中，怎样构造新数列是答题关键。
1 求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。
例1、数列{}n a 中，11=a ，()n n n a a a 241411611+++=+。
求n a 。
（1981年第22届IMO 预选题）分析 本题的难点是已知递推关系式中的n a 241+较难处理，可构建新数列{}n b ，令n n a b 241+=，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。
解：构建新数列{}n b ，使0241>+=n n a b则 51=b ，n na b 2412+= ，即2412-=n n b a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+=-+n n n b b b 24141161241221化简得 ()()22132+=+n n b b321+=+n n b b ，即 ()32131-=-+n n b b数列 {}3-n b 是以2为首项，21为公比的等比数列。
n n n b --=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-2122123 即 322+=-n n b121122231232241---⨯+⨯+=-=n n n n n b a2 证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。
例2、设10=a ，12111---+=n n n a a a ()N n ∈，求证：22+>n n a π。
奥赛例题及答案—递推法、类比法和估算法
由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为
∴在发生第11次碰撞过程中的路程：
s = s1+ 2s2+ 2s3+…+ 2s11= 2 (s1+ s2+ s3+…+ s11)－s1
= 2× －s1= 10－12×( )11= 9.86m
A2、小球从高h0=180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小 （n = 2），求小球从下落到停止经过的总时间和通过的总路程。（g取10m/s2）
练习题七：递推法、类比法和估算法
（一）递推法
A1、如图6—6所示，一固定的斜面，倾角θ= 45°，斜面长L =2.00米。在斜面下端有一与斜面垂直的挡板。一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零。下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数μ= 0.20，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。
= =
因为v1= v0=3m/s，a = = m/s2
所以：s总= 1.25m
A9、一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？
解析：若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同。
= h0+ = h0 = h0= 300m
经过的总时间为Σt = t0+ t1+ t2+…+ tm+…
= + +…+ +…
构建新数列巧解递推数列竞赛题目共6页文档
构建新数列巧解递推数列竞赛题梁新潮（浙江新昌中学 312500） 石美英（浙江新昌教师进修学校 312500）递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。
本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。
其中，怎样构造新数列是答题关键。
1 求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。
例1、数列{}n a 中，11=a ，()n n n a a a 241411611+++=+。
求n a 。
（1981年第22届IMO 预选题）分析 本题的难点是已知递推关系式中的n a 241+较难处理，可构建新数列{}n b ，令n n a b 241+=，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。
解：构建新数列{}n b ，使0241>+=n n a b则 51=b ，n na b 2412+= ，即2412-=n n b a化简得 ()()22132+=+n n b b∴ 321+=+n n b b ，即 ()32131-=-+n n b b数列 {}3-n b 是以2为首项，21为公比的等比数列。
n n n b --=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-2122123 即 322+=-n n b2 证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。
例2、设10=a ，12111---+=n n n a a a ()N n ∈，求证：22+>n n a π。
（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）分析 利用待证的不等式中含有π及递推关系式中含有211-+n a 这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，化简递推关系式。
数列竞赛习题及解答
高中数学竞赛专题讲座之 数列一、选择题部分1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ）()A 1a()B 2a()C 3a ()D 4a3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）A. 2007B. 2008C. 2006D. 10044．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
则满足不等式|S n -n-6|<1251的最小整数n 是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为-31的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)=311])31(1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。
5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx= （ ）A ．1B ．-1C ．2+3D ．-2+3解：x n+1=n n x x 33133-+，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1,x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有∑===2005111n nx x。
信息学竞赛3 - 5递推
马拦过河卒
• 棋盘用坐标表示，A点（0，0）、B点 （m,n)(n,m <=15），同样马的位置坐标 是需要给出的。 • 要求计算出卒从A点能够到达B点的路径的 条数（假设马的位置是固定不动的，并不 是卒走一步马走一步）。
马拦过河卒
慈善的约瑟夫
• 你一定听说过约瑟夫问题吧？即从N个人找出唯一的幸 存者。现在老约瑟夫将组织一个皆大欢喜的新游戏，假 设N个人站成一圈，从第1人开始交替的去掉游戏者， 但只是暂时去掉（例如首先去掉2，接着是4，1，5）， 直到最后剩下唯一的幸存者为止。幸存者选出后，所有 比幸存者号码高的人每人得到1个金币，永久性离开。 其余剩下的将重复以上的游戏过程，比幸存者号码主的 人每人得到1个金币后离开。经过这们的过程后，一旦 人数不再减少，则最后剩下的那些人将得到2个金币。 请你计算一下老约瑟夫一共要付出多少钱？ • 例如第一轮有5人，幸存者是3，所以4,5得到1个金币后 离开，下一轮幸存者仍然是3，因此没有人离开，所以 前面3人每人得2个金币。水手分椰子
• 5名水手来到岛上，采了一堆椰子然后就都睡了。 • 第1个水手醒来后，把椰子分成5份，多出1个，便给了旁 边的猴子；自己藏了1份，再把椰子重新合在一起，然后 继续睡觉 • 以后第2个——第5个水手，依次醒来，做了和第1个水手 相同的事。 • 第二天，5名水手一起醒来后，便把剩下的椰子分成5份， 恰恰又多1个。 • 问：这堆椰子原有多少？
整数划分
• 正整数可以分成若干个正整数之和 • 如：
2：1+1；2 3：1+1+1；1+2；3 4：1+1+1+1；1+1+2；1+3；2+2；4
整数划分
马拦过河卒
数学竞赛中的递推数列问题
= 2 + ( b1 - 1) n - 1 .
n 由于 b1 = 3 , 故有 S′ n = 2 + 2 n - 1.
由 a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = 7 , 均不是 4 的倍数 , 为此 我们猜测{ an } 中所有的项都不是 4 的倍数 . 事实上 , 假设 am 是 4 的倍数 , m 为最小下标
an = a n 1
= =
2 an - 1 + 2 an - 3 - 3
an a1
2
= …
2 a2 + 2 a0 - 3
= 5 ( 容易求得 a2 = 13) .
+ an - 3 + a n -
4
( 1)
故 2 an + 2 a n - 2 - 3 = 5 a n - 1 , 即有 an - 2 an - 1 - 3 =
n- 2 = 2 n - 1・ S1 + 2 + 2 n - 3 + …+ 2 + 1
迭代法就是反复运用题设所给数列{ an } 的递推 关系进行代换 , 每代一次 , 脚标 n 就往下降 , 直到能 用初始值表示 an 为止 . 但是在大多数情况下 , 迭代 之后不能写成简单的形式 , 因此迭代不出任何结果 , 这时也可考虑进行适当的变换 , 然后再进行迭代 . 例 1 ( 1996 年全国高中数学联赛试题 ) 设数
41
证 由递推关系可知 an , an + 1 , an + 2 的奇偶性
= ( 2 - 1) + ( 22 - 1) + …+ ( 2 n - 1 - 1) + nb1
= 1 + 2 + 2 + …+ 2
高中数学竞赛专题精讲11数列(含答案)
11数列一、数列的基础知识1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ；2．递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。
常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =Aαn +Bβn ，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
二、等差数列与等比数列1．定义：2．通项公式与前n 项和公式：函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。
可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。
三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换．数列问题的灵活性表现在：1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系．例题讲解1．已知(b －c )log m x +(c －a )log m y +(a －b )log m z ＝0 ①(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差不为0，求证x 、y 、z 成等比数列；(2) 若x 、y 、z 依次成等比数列，且公比不为1，求证a 、b 、c 成等差数列．2. 数列｛a n ｝的 前 n 项 和S n ＝a · 2n + b （n ∈N ），则｛a n ｝为等比数列的充要条件是________．3.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S7＝56，S n＝420，a n－3＝34，则n＝________．4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为S n，若S10=10，S30=70，求S40。
数学竞赛-数列试题及答案
所 以 ， 数 列 an
2
2 2 n1 2 a1 n1 ． ．所以 an
n1 成 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 其 首 项 为
于
an
是
n 1
故 a100 101 298 ． 2． （09）已知 p ， q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根 ， ，数列 an 满足 a1 p ， 4， a2 p2 q ， an pan1 qan2 n 3 ， (Ⅰ)求数列 an 的通项公式（用 ， 表示） ； (Ⅱ)若 p 1 ， q ，求 an 的前 n 项和． 方法一： (Ⅰ)由韦达定理知 q 0 ，又 p ，所以 an pxn1 qxn2 an1 an2 ， n 3 ， 4， 5， 整理得 an an1 an1 an2 2， ．所以 bn 是公比为 的等比数列． 令 bn an1 an ，则 bn1 bn n 1， 数列 bn 的首项为：
1 1 1 ， ( a1 0 )， b1 a1 2 2 n(n 1)
有 bn 1 1 bn ，故 bn
2
1 ，所以 a n 1n 1 ． n 2 n(n 1) 2
4． (07) 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0， 等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。 若 a1=d， 2 2 2 a a2 a3 b1=d2，且 1 是正整数，则 q 等于________。 b1 b2 b3 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。若 a1=d，b1=d2， 2 2 1 a 2 a2 a3 且 1 是正整数，则 q 等于 。 2 b1 b2 b3
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构建新数列巧解递推数列竞赛题递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。
本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。
其中，怎样构造新数列是答题关键。
1 求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。
例1、数列{}n a 中，11=a ，()n n n a a a 241411611+++=+。
求n a 。
（1981年第22届IMO 预选题）分析 本题的难点是已知递推关系式中的n a 241+较难处理，可构建新数列{}n b ，令n n a b 241+=，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。
解：构建新数列{}n b ，使0241>+=n n a b则 51=b ，n na b 2412+= ，即2412-=n n b a∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+=-+n n n b b b 24141161241221 化简得 ()()22132+=+n n b b∴ 321+=+n n b b ，即 ()32131-=-+n n b b数列 {}3-n b 是以2为首项，21为公比的等比数列。
n n n b --=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-2122123 即 322+=-n n b∴ 121122231232241---⨯+⨯+=-=n n n n n b a 2 证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。
例2、设10=a ，12111---+=n n n a a a ()N n ∈，求证：22+>n n a π。
（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）分析 利用待证的不等式中含有π及递推关系式中含有211-+n a 这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，化简递推关系式。
证明：易知0>n a ，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0παn则 2sin cos 111111112-----=-=-+=n n n n n n tg tg tg a ααααα∴ 21-=n n tg tg αα，21-=n n αα又 10=a ，8121πtg a =-= ，从而 81πα=因此，新数列{}n α是以8π为首项，21为公比的等比数列。
212821+-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n n n ππα考虑到当)2,0(π∈x 时，有 x tgx >。
所以，2222++>=n n n tg a ππ注：对型如 21n a ±，n a ±1，111++±n n nn a a a a 都可采用三角代换。
3 证明是整数这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。
例3、设数列{}n a 满足11=a ，nn n a a a 1211+=+ )(N n ∈ 求证：N a n∈-222 ()1,>∈n N n 。
（《中学数学教学参考》2001年第8期第53页，高中数学竞赛模拟试题） 分析 直接令222-=nn a b ，转化为证明N b n ∈ )1,(>∈n N n证明：构建新数列{}n b ，令0222>-=nn a b则 2422+=nnb a ，242121+=++n n b a 代入 221121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a 整理得()222124n n n b b b +=+从而 ()2121224--+=n n n b b b )3(≥n于是 ()[]()[]2212121*********+=++=---+n n n n n n b b b b b b )3(≥n∴ ()12211+=-+n n n b b b )3(≥n由已知，42=b ，243=b ，由上式可知，N b ∈4，N b ∈5，依次类推，N b n ∈ )1(>n ，即N a n∈-222。
例4、设r 为正整数，定义数列{}n a 如下： 11=a ，2)1(221+++=+n n na a rn n)(N n ∈ 求证：N a n ∈。
（1992年中国台北数学奥林匹克试题）分析 把条件变形为()()rn n n na a n 21122++=++比较1+n a 与 n a 前的系数及1+n a 与 n a 的足码，考虑到另一项为()rn 212+，等式两边同乘以()1+n ，容易想到构新数列{}n b ，使()n n a n n b 1+=。
证明：由已知得()()rn n n na a n 21122++=++∴ ()()()()12112121+++++=++r n n n a n n a n n构建新数列{}n b ，()n n a n n b 1+= 则21=b ，()12112+++=-r n n n b b∴()∑-=+-+=1111n k k k n b b b b()1212123212+++++++=r r r n∴ N b n ∈ []∑-=+++-++=11121212)(2n k r r r n k n k nb()∑-=+-++++⋅+-+-+=112212212212211212122n k rr r r r r r r r k n C k n C k n C n n∴ n b n又 ()[]∑∑∑=++==++-++=-++=nk r r nk nk r r n k n k k n kb 112121112121)1(()()()()[]∑=+++++++-++⋅+-+=nk rr r r r rr r kn C k n C k n C n 122122122122112121111 ∴ ()1+n | n b∴ ()1+n n | n b ，从而 N a n ∈。
4 解决整除问题一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明。
例5、设数列{}n a 满足11=a ，32=a ，对一切N n ∈，有()()n n n a n a n a 2312+-+=++，求所有被11整除的n a 的一切n 值。
（1990年巴尔干地区数学奥林匹克试题）分析 变形递推关系式为()()n n n n a a n a a -+=-+++1122，就容易想到怎样构建新数列了。
解：由已知()()n n n n a a n a a -+=-+++1122 构建新数列{}(),2≥n b n n n n a a b -=++11 ()1≥n 则22=b ，()()()n n n n b n a a n b 1111+=-+=-+ ()2≥n∴ ()()!311221n b n n b n n nb b n n n =-==-==-- ()2≥n ∴ ()∑∑∑===-=+=-+=nk nk k nk n n n k b a a a a 12211!1从而3114⨯=a ，4203118⨯=a ，3670831110⨯=a ，当11≥n 时，由于∑=101!k k 被11整除，因而∑∑==+=nk k n k k a 11101!!也被11整除。
所以，所求n 值为4=n ，8，及10≥n 的一切自然数。
5 证明是完全平方数这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项n a ，问题也就迎刃而解了。
例6、设数列{}n a 和{}n b 满足10=a ，00=b ，且⎩⎨⎧-+=-+=++47836711n n n n n n b a b b a a () ,2,1,0=n求证：n a 是完全平方数。
（2000年全国高中联赛加试题）分析 先用代入法消去n b 和1+n b ，得061412=++-++n n n a a a ，如果等式中没有常数项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令a a C n n +=，易求得21-=a 。
证明：由①式得n b ，1+n b 代入②得061412=++-++n n n a a a化为021********=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++n n n a a a构建新数列{}n c ，21-=n n a c ，且210=c ， ()2721367210011=--+=-=b a a c①②()01412=+-++n n n c c c由特征方程 01142=+-λλ 得两根3471+=λ，3472-=λ所以 n nn m m c 2211λλ+=当0=n ，1时，有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+21347347212121m m m m解得：4121==m m 则 ()()n n n c 3474134741-++=()()n n 2232413241-++=则()()232324121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=+=n n n n c a 因为()()nn 3232-++ 为正偶数，所以，n a 是完全平方数。
从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。
构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。