递推数列竞赛题

构建新数列巧解递推数列竞赛题

递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项

求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。

例1、数列{}n a 中，11=a ，()

n n n a a a 2414116

1

1+++=

+。求n a 。 （1981年第22届IMO 预选题）

分析 本题的难点是已知递推关系式中的n a 241+较难处理，可构建新数列{}n b ，令n n a b 241+=，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。

解：构建新数列{}n b ，使0241>+=n n a b

则 51=b ，n n

a b 2412+= ，即24

1

2-=n n b a

∴ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-⨯+=-+n n n b b b 241411612412

21 化简得 ()()2

2

132+=+n n b b

∴ 321+=+n n b b ，即 ()32131-=-+n n b b

数列 {}3-n b 是以2为首项，2

1

为公比的等比数列。

n n n b --=⎪

⎭

⎫

⎝⎛⨯=-21

22123 即 322+=-n n b

∴ 1

211222

31

232241---⨯+⨯+=-=n n n n n b a 2 证明不等式

这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。

例2、设10=a ，1

2

11

1---+=

n n n a a a ()N n ∈，求证：2

2

+>

n n a π

。

（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）

分析 利用待证的不等式中含有π及递推关系式中含有2

11-+n a 这两

个信息，考虑进行三角代换，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，化简递推关系式。

证明：易知0>n a ，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈2,0παn

则 2

sin cos 1111111

12-----=-=

-+=

n n n n n n tg tg tg a α

αααα

∴ 2

1-=n n tg tg αα，2

1-=n n αα

又 10=a ，8

121π

tg a =-= ，从而 8

1π

α=

因此，新数列{}n α是以

8

π为首项，21

为公比的等比数列。

2

1

28

21+-=

⋅

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=n n n π

π

α

考虑到当)2,0(π

∈x 时，有 x tgx >。

所以，222

2++>=n n n tg a π

π

注：对型如 2

1n a ±，n a ±1，

1

11++±n n n

n a a a a 都可采用三角代换。

3 证明是整数

这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。

例3、设数列{}n a 满足11=a ，n

n n a a a 1

211+

=+ )(N n ∈ 求证：

N a n

∈-2

22 ()1,>∈n N n 。

（《中学数学教学参考》2001年第8期第53页，高中数学竞赛模拟试题） 分析 直接令2

22

-=

n

n a b ，转化为证明N b n ∈ )1,(>∈n N n

证明：构建新数列{}n b ，令02

22

>-=

n

n a b

则 2422+=n

n

b a ，242

12

1+=++n n b a 代入 2

2

1

121⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+=+n n n a a a 整理得

()

2

22124n n n b b b +=+

从而 ()

2121224--+=n n n b b b )3(≥n

于是 ()[]()[]

2

212121*********+=++=---+n n n n n n b b b b b b )3(≥n

∴ ()12211+=-+n n n b b b )3(≥n

由已知，42=b ，243=b ，由上式可知，N b ∈4，N b ∈5，依次类推，

N b n ∈ )1(>n ，即

N a n

∈-2

22。

例4、设r 为正整数，定义数列{}n a 如下： 11=a ，2

)1(221

+++=+n n na a r

n n

)(N n ∈ 求证：N a n ∈。

（1992年中国台北数学奥林匹克试题）

分析 把条件变形为()()r

n n n na a n 21122++=++比较1+n a 与 n a 前的系

数及1+n a 与 n a 的足码，考虑到另一项为()r

n 212+，等式两边同乘以()1+n ，

容易想到构新数列{}n b ，使()n n a n n b 1+=。

证明：由已知得()()r

n n n na a n 21122++=++

∴ ()()()()12112121+++++=++r n n n a n n a n n

构建新数列{}n b ，()n n a n n b 1+= 则21=b ，()

1

2112+++=-r n n n b b

∴()∑-=+-+=1

1

11n k k k n b b b b

()

1212123212+++++++=r r r n

∴ N b n ∈ []

∑-=+++-++=1

1

12121

2)(2n k r r r n k n k n

b