《角的比较与运算》典型例题

《角的比较与运算》典型例题

例1 老师让同学们用量角器画出以下各角：∠AOB ＝65°，∠AOC ＝50°，∠AOD ＝ 65，∠AOE ＝90°，小明在画时发现OC 、OD 、OE 三条射线中，有一条可以落在∠AOB 的内部，有一条可以与OB 重合，有一条一定落在∠AOB 的外部，你知道他的答案吗？

例2 请你用三角板画165°的角

例3 如图，OC 、OD 、OE 四等分∠AOB ，OF 平分∠DOE ．请你观察图形，说出图中共有哪几条角平分线，它们分别是哪些角的角平分线？图中有角的三等分线吗？如果有，请你指出来．

例4 如图，OM 是 AOB ∠的平分线，射线OC 在BOM ∠内，ON 是BOC ∠的平分线，已知 80=∠AOC ，求MON ∠的度数．

例5 钟面上从2点到3点之间，何时时针与分针夹成60°角？

参考答案

例1 解：OC可以落在∠AOB内部，OD可以与OB重合，OE一定落在∠AOB 的外部．

说明：（1）使用量角器量角时要注意：①对中（角的顶点对准量角器的中心）；

②重合（角的一边与量角器上的零度线重合）；③读数（角的另一边所在线的度数）．（2）本题在画图时可先固定∠AOB，其他三个角与∠AOB有一条公共边OA，而另一边的位置与角的大小有关：当∠AOC＜∠AOB时，OC边可以落在∠AOB的内部，也可以落在∠AOB的外部；当∠AOD＝∠AOB时，OD边可能与OA边重合，也可能落在∠AOB的外部；当∠AOE＞∠AOB时，OE边必然落在∠AOB的外部．（3）对于没给出图形的问题，画图时须把满足条件的各种情况分别考虑出来，以防止漏解．

例2 画法1 （如图）

（1）利用三角板，画∠AOB＝45°；

（2）在∠AOB的内部画∠A OC＝30°；

（3）反向延长射线OB，得射线OD．

∠COD就是所要画的角．

画法2 （如图）

（1）利用三角板，画∠AOB＝90°；

（2）在∠AOB的外部画∠BOC＝45°；

（3）在∠AOC的外部画∠DOC＝30°．

∠AOD就是所要画的角．

画法3（如图）

（1）利用三角板，画∠AOB ＝60°；

（2）在∠AOB 的外部，画∠BOC ＝60°；

（3）在∠AOC 的外部，画∠COD ＝45°．

∠AOD 就是所要画的角．

说明：（1）一副三角板只有30°、45°、60°、90°的角，要画出165°的角，关键是把165°用30°、45°、60°、90°、180°角的和或差表示出来．如本题中165°可表示为180°－（45°－30°）；90°＋30°＋45°；60°＋60°＋45°，则产生了以上三种画法；（2）除了上述画法之外，本题还有其他画法，你试试；（3）实际上用一副三角板可以作出（15n ）°（n 是整数，n ≤12）的角．

例3 解：能成为角平分线的射线有四条，分别为：OC 是∠AOD 的平分线，OD 是∠COE 和∠AOB 的平分线，OE 是∠DOB 的平分线，OF 是∠DOE 和∠COB 的平分线．所以图中共有六个角有角平分线．图中有角的三等分线，分别为：OC 、OD 是∠AOE 的三等分线，OD 、OE 是∠COB 的三等分线．

说明：与线段相仿，注意观察顺序，以避免重复和遗漏；学会识图，善于从图形中发现一些隐含条件是解题的关键．

例 4 分析：如图标注3,2,1∠∠∠，即求32∠+∠．已知条件可转化为 8031=∠+∠．1322∠=∠+∠，综合可求．

解：由于ON 平分BOC ∠，因此22∠=∠BOC ．

又由于OM 是AOB ∠的平分线，因此.322∠+∠=∠BOM 已知 80=∠AOC 则 8031=∠+∠．

所以⎩⎨⎧∠+∠=∠=∠+∠3

2218031

消去1∠，得 80)32(2=∠+∠ 得 4032=∠+∠，即MON ∠为40度．

说明：①图形中角较多时，用阿拉伯数字标注角，使问题简便．

②充分利用角平分线的定义．

例5 分析：分别求出时针与分针每分钟所旋的角度然后利用夹角60°的条件．

解：分针60分钟正好旋转一圈，因此每分钟旋转6°．时针12小时＝720分旋转一周，因此每分钟旋转0.5°．2点时，时针与分针夹角为60°，

要使夹再成60°，（如图）分针转过的角度要超过时针转过的角度

120°． 所以，.119215.06120=-

则2点119

21分，时针与分针夹角为60°．

说明：①分针与时针每分钟旋转的角度差为5.5°；

②从整点开始，根据题意，求出分针与时针要旋转的度数差．