第1课时—— 正弦定理(1)(教师版)

听课随笔

第1章 解三角形

【知识结构】

正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭

⎬⎫

【重点难点】

重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

第1课时 正弦定理（1）

【学习导航】

知识网络

直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理

学习要求

1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突

出向量证法；

2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角

一边”、“已知两边一对角”等的相关问题

【课堂互动】

自学评价

1．正弦定理：在△ABC 中，

===C

c

B b A a sin sin sin R 2, 2．正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，

进而可求其它的边和角

【精典范例】

【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．

分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．

【解】因为30A =︒，105C =︒，所以

45B =︒．因为

sin sin sin a b c

A B C ==， 所以s i n 10s i 5

12s i n s i n a B b A ︒===︒，

sin 10sin105sin sin 30a C c A ︒

=

==︒

因此， b ，c 的长分别为和． 【例2】根据下列条件解三角形： （1）60,1b B c =︒=；

（2）45,2c A a =︒=． 分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 【解】（1）

sin sin b c

B C

=，∴sin 1

sin 2c B C b ===，

,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角，

∴30,90C A ==，∴2a ==． （2）

sin sin a c

A C =，∴sin 453

sin c A C a ===

，∴60120C =或，

∴当

sin 75

6075,31sin c B C B b C ===

=时， ∴当sin sin1512015,31

sin c B C B b C ====时，所以，1,75,60b B C ==或

1,15,120b B C ===．

追踪训练一

1．在△ABC 中，

0105=C ，045=B ，5=c ，

听课随笔

则b 的值为（ A ）

A )13(5-

B )13(5+

C 10

D )26(5+

2．在△ABC 中，已知3=a ，

4=b ，32sin =B ，则A sin = （ C ）

A 43

B 61

C 21

D 1 3．（课本P9练习第2题）在△ABC 中， （1）已知075=A ，045=B ，23=c ，

求a ，b ；

（2）已知030=A ，0

120=B ，12=b ，求a ，c 。

略解：（1）33+=a ，32=b ； （2）34=a ，34=c （可以先判断是等腰三角形再解） 4．（课本P9练习第3题）根据下列条件解三角形：

（1）40=b ，20=c ，0

25=C ；

（2）13=b ，26=a ，0

30=B 。 略解：（1）由题意知：

058423.025sin 2sin 2sin =⇒≈==B C B 或0

122

097=⇒A ，47=a 或033=A ，8

.25≈a （要注意两解的情况） （2）由题意知：

313609000=⇒=⇒=c C A 【选修延伸】

【例3】在锐角三角形ABC 中，A=2B ，a 、

b 、

c 所对的角分别为A 、B 、C ，试求b

a

的

范围。 分析：本题由条件锐角三角形得到B 的范围，

从而得出b

a

的范围。

【解】在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <900

，

即：000000

453090318090290<<⇒⎪⎩

⎪⎨⎧<-<

由正弦定理知：

(

)

3,2cos 2sin 2sin sin sin ∈===B B

B B A b a ，

故所求的范围是：

(

)

3,2。

【例4】在△ABC 中，设

a

A

c C b B cos 2cos 3cos ==，求A cos 的值。 【解】由正弦定理得： cos cos cos 3sin 2sin sin 1tan tan 31tan tan 2B C A

B C A

B A

C A ==⎧

=⎪⎪⇒⎨

⎪=⎪⎩ 又tan tan tan tan()1tan tan B C

A B C B C

+=-+=-

-，

22

5tan tan 116tan A

A A

=-

⇒=- 6

3cos =

⇒A 。 追踪训练二

（1）在ABC ∆中，已知8b c +=，

30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．

（2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ． （3）在ABC ∆中，

30bc =

，ABC S ∆=，则A ∠= ．

【师生互动】