第1课时—— 正弦定理(1)(教师版)
高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
正弦定理
课堂练习： 1、一个三角形的两个内角分别为300和450，如果450角所对的 边长为8，那么300角所对边的长为（ ） A4 B 4 2 C
4 3
Dห้องสมุดไป่ตู้
4 6
2、在△ABC中
（1）已知A=750，B=450，c= 3 2 求a，b
如图在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.
a b c 求证： sin A sin B sin C
Ａ
★角度二 : 借助三角形的面积相等
CD=asinB, S ABC= 同理 S ABC =
1 2
c
D
b
absinC，S ABC=
1 2
acsinB,
Ｂ
a
Ｃ
所以
1 2
acsinA,
a b c sin A sin B sin C
正弦定理
——第一课时
回顾特殊角的三角函数值：
s in
0
30
45
60
90
120
135
150
180
cos
回顾三角形中的边角关系:
1、边的关系： 1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 2）在直角三角形中：a2+b2=c2 2、角的关系： 1）A+B+C=1800
) sin( A B) sin C cos(A B) cosC 22 ）
C
a
B
逻辑推理、证明猜想
如图在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.
a b c 求证： sin A sin B sin C
Ａ
6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
新教材北师大版数学必修五：《正弦定理》导学案(含答案)
（新教材）北师大版精品数学资料第1课时正弦定理1.掌握正弦定理及其证明过程.2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状.古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律,准备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),如果古埃及人通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?问题1:在上面的问题中,△ABC的已知元素有和边.若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则BC=,CD=.解三角形:的过程.问题2:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即. 问题3:正弦定理的拓展:①a∶b∶c=;②设R为△ABC外接圆的半径,则===.问题4:在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①②③解的个数一解两解一解一解1.在△ABC中,下列等式总能成立的是().A.a cos C=c cos AB.b sin C=c sin AC.ab sin C=bc sin BD.a sin C=c sin A2.已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是().A.一解B.两解C.无解D.一解或无解3.在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于.4.在△ABC中,已知b=5,B=,tan A=2,求sin A和边a.利用正弦定理判断三角形的形状在△ABC中,若sin A=2sin B cos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.已知两角及其中一角的对边,解三角形在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.已知两边及其中一边的对角,解三角形在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c.在△ABC中,若==,则△ABC是().A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则A=,b=,c=.在△ABC中,已知a=,c=2,A=60°,求B、C及b的值.1.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则().A.B=45°或135°B.B=135°C.B=45°D.以上答案都不对2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a等于().A.B.2C.D.3.在△ABC中,cos A=,cos B=,则△ABC中三边的比值a∶b∶c=.4.在△ABC中,若B=60°,AC=3,AB=,求A.(2013年·北京卷)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B等于().A. B. C. D.1考题变式(我来改编):第二章解三角形第1课时正弦定理知识体系梳理问题1:∠ABC、∠BAC AB2已知三角形的几个元素求其他元素问题2:==问题3:sin A∶sin B∶sin C2R问题4:a=b sin A b sin A<a<b a≥b a>b基础学习交流1.D根据正弦定理有:=,所以a sin C=c sin A,故选D.2.B因为a,b,A的关系满足b sin A<a<b,故有两解.3.105°或15°根据正弦定理得:sin C===,∴C=45°或135°,故B=105°或15°.4.解:因为△ABC中,tan A=2,所以A是锐角,又=2,sin2A+cos2A=1,联立解得sin A=,再由正弦定理得=,代入数据解得a=2.重点难点探究探究一:【解析】在△ABC中,根据正弦定理:===2R,∵sin2A=sin2B+sin2C,∴()2=()2+()2,即a2=b2+c2,∴A=90°,∴B+C=180°-A=90°.由sin A=2sin B cos C,得sin90°=2sin B cos(90°-B),∴sin2B=.∵B是锐角,∴sin B=,∴B=45°,C=45°.∴△ABC是等腰直角三角形.【小结】(1)判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手.从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,求出边与边的关系或求出角与角的关系,从而作出准确判断.(2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.探究二:【解析】∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由=得a===10.由=得b===20sin75°,∵sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=,∴b=20×=5+5.【小结】解三角形时,如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.探究三:【解析】由正弦定理得=,=,∴sinA=,∴A=60°,C=180°-45°-60°=75°,由正弦定理得:c==.[问题]本题中根据sin A=得出的角A一定是60°吗?[结论]角A不一定是60°,∵a>b,∴角A还可能是120°.于是正确的解答如下:由正弦定理得=,=,∴sin A=.∵a>b,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.【小结】已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用,求边时可用正弦定理的变式,把要求的边用已知条件表示出来再代入计算.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先运用正弦定理求出另一边对角的正弦值,再利用三角形中大边对大角看能否判断所求的这个角是锐角,当已知的角为大边对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角;当已知小边对的角时,则不能判断.思维拓展应用应用一:B由正弦定理得a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C(R为△ABC外接圆的半径),∴==,即tan A=tan B=tan C,∴A=B=C.应用二:45°44(+1)A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由正弦定理=,得b===4,由=,得c====4(+1).应用三:由正弦定理==,得sin C===.∵c<a,∴C<A=60°,∴C=45°,∴B=180°-A-C=180°-60°-45°=75°,b===2sin(30°+45°)=+1.基础智能检测1.C由正弦定理得:sin B=,∵a>b,∴B=45°.2.D由正弦定理=⇒sin C=,于是C=30°⇒A=30°⇒a=c=.3.∶1∶2根据cos A=,cos B=可得:A=60°,B=30°,所以C=90°,故a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=∶1∶2.4.解:由正弦定理==,∵AC=3,AB=,B=60°,∴=,解得sin C=.又AB<AC,∴C=45°,∴A=180°-45°-60°=75°.全新视角拓展B由=得=,从而得出sin B=.思维导图构建。
正弦定理(第一课时)
课题: §1．1．1正弦定理（第1课时）●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 1.课题导入在直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=Ccsin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2．学生探究思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD DaA a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明三：（向量法）过A 作单位向量垂直于由 +=两边同乘以单位向量 得 •(+)=•则•+•=•∴||•||cos90︒+||•||cos(90︒-C)=||•|AB |cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理，若过C 作垂直于得：C c sin =Bbsin ∴A a sin =B b sin =Ccsin 。
正弦定理
正弦定理(第一课时)教学设计一、教学内容分析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章1.1.1正弦定理。
本章“解三角形”内容既是必修4中三角函数与向量内容的延续，又包含求解三角形的重要数量关系，蕴含较强的理论性和应用性。
解三角形作为几何度量问题，突出了几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。
本节课作为本单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对一般三角形边角关系的量化探究，发现并初步掌握正弦定理，解决简单的两类解三角形问题，并为后续余弦定理等相关内容作知识和方法上的准备。
教学过程中，可发挥学生的主动性，通过试验猜测、探究发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思维能力和推理水平。
二、学生学情分析对刚刚升入高中不久的学生来说，虽已具备一定的平面几何、解直角三角形、三角函数及向量等知识，也具有一定观察、分析、解决问题的能力，但对知识间的联系与综合有一定难度，思维灵活性受到制约；尤其是本课中涉及到推理证明的复杂性、多样性和从特殊到一般的思维方式等，对学生学习会形成较大障碍。
因此，教学中教师应适时引导，降低各环节之间的联系难度，多带动前后知识间的联想，引领学生直接参与分析问题、解决问题并体验获得成果的喜悦。
若能注意与生活实际相结合，注重知识的发生、发展过程，就更能激发学生学习兴趣和参与探索的积极性。
三、教学任务分析1、通过对特殊三角形边角数量关系的试验结论归纳，猜测出正弦定理；2、尝试从各种途径证明正弦定理；3、初步应用正弦定理求解三角形（两种基本情形）；4、自行归纳表述本课收获；四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。
高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计2016年10月正弦定理第一课时一、教学内容解析本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。
课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。
本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。
其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。
正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。
从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。
这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。
这其实是一个推陈出新的过程。
通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。
从实际中来，到实际中去。
课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。
二、教学目标设置《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
”根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为：1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；2、证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法；3、初步熟知正弦定理的两个重要应用。
人教B版高中数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 9.1.1 第1课时 正弦定理
=c=
;若△ABC 为斜三角形,式
sin sin
sin
子
=
=
成立吗?
sin sin sin
提示:成立.
2.(1)正弦定理
(2)面积公式
1
1
S= sin = sin =
2
2
1
sin
2
.
(3)解三角形
三角形的3个角与3条边都称为三角形的 元素 ,已知三角形的若干元素求
1
,a=3,求三角形中其他边与角的大小.
2
解:∵A=60°,
∴0°<B<120°,
1
又 sin B= ,
2
∴B=30°,C=90°.
由正弦定理可知sin = sin = sin,
sin
sin30°
故 b=sin ·a=sin60° ×3= 3,
sin
sin90°
c=
·a=
×3=2 3.
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.不等边三角形
答案:B
解析:∵c=2acos B,∴sin C=2sin Acos B.
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B-cos Asin B=0,∴sin(A-B)=0.
第九章
9.1.1 第1课时 正弦定理
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
正弦定理(第一课时)
a b c sin A sin B sin C
在△ABC中，已知a=5， B=45°，C=30°，求边c。
解：由三角形的内角和 定理知： A 180 ( B C ) 180 (45 30) 105 a c 由正弦定理，有： sin A sin C
c a sin C sin 30 sin 30 sin 30 5 5 5 sin A sin 105 sin(60 45) sin 60 cos 45 cos60 sin 45 5 c （ 6 - 2） 2 已知两角和一边解三角形
§1.1 正弦定理
第二章
解三角形
简艳辉
新余四中毓秀校区
目
录
余弦定理
正弦定理
三角形中的 几何计算
解三角形 的实际应 用举例
回 顾
我们分别用a，b，c 表示△ABC的边BC， CA，AB，用A，B， C表示角∠A，∠B， ∠C，如图所示。
C
b
A c
a B
一般地，我们把三角形 的三个角A，B，C和 他们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已 知三角 形的几个元素求其他元 素的过程叫做解三角形 。
故B 45
已知两边和一边的对应角解三角形
§1.1 正弦定理
巩固提高
a b c sin A sin B sin C
在△ABC中，已知a 2 3，
b 6，A 30，求B、C和c。
§1.1 正弦定理
本 节 小 结
正弦定理
a b c sin A sin B sin C
三角形的面积公式
1 1 1 S△ ABC b c sin A a c sin B a b sin C 2 2 2
第1课时—— 正弦定理(1)(教师版)
听课随笔第1章 解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫【重点难点】重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题第1课时 正弦定理（1）【学习导航】知识网络直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin R 2, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角【精典范例】【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．【解】因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C ==，所以s i n 10s i 4512s i n s i n a B b A ︒===︒，sin 10sin105sin sin 30a C c A ︒===︒因此， b ，c的长分别为和．【例2】根据下列条件解三角形： （1）60,1b B c =︒=；（2）45,2c A a =︒=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．【解】（1）sin sin b cB C=，∴sin 1sin 2c B C b ===， ,60b c B >= ，∴C B <，∴C 为锐角，∴30,90C A ==，∴2a =．（2）sin sin a cA C = ，∴sin sin c A C a ===，∴60120C =或，∴当sin 6075,1sinc B CB bC ===时， ∴当sin 12015,1sin c B C B b C === 时，所以，1,75,60b B C === 或听课随笔15,120C == ． 1．在△ABC 中，0105=C ，045=B ，5=c ，则b 的值为（ A ）A )13(5-B )13(5+C 10D )26(5+ 2．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin = （ C ）A 43B 61C 21D 13．（课本P9练习第2题）在△ABC 中， （1）已知075=A ，045=B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知030=A ，0120=B ，12=b ，求a ，c 。
《正弦定理》的说课稿优秀5篇
《正弦定理》的说课稿优秀5篇作为一名默默奉献的教育工作者，往往需要进行说课稿编写工作，借助说课稿可以让教学工作更科学化。
怎样写说课稿才更能起到其作用呢？旧书不厌百回读，熟读精思子自知，本文是美丽的编辑给大伙儿找到的《正弦定理》的说课稿优秀5篇，希望对大家有所帮助。
《正弦定理》的说课稿篇一大家好，今天我说课的题目是《正弦定理》。
新课标指出：高中教育属于基础教育，具有基础性，且具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。
今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材教师对教材的掌握程度，是评判一位教师是否能上好一堂课的基本标准。
在正式内容开始之前，我要先谈一谈对教材的理解。
《正弦定理》是人教A版必修5一章一节的内容，其主要内容是正弦定理及其应用。
此前学习了三角函数的相关知识，且积累很多的证明、推导的经验，为本节课的学习都起到了一定的铺垫作用。
本节课的学习，也为以后学习和解决生活中的一些问题提供帮助。
因此本节的学习有着特别重要的地位。
二、说学情合理把握学情是上好一堂课的基础，下面我来谈谈学生的实际情况。
这一阶段的学生已经具备了一定的分析问题、解决问题的能力，且在知识方面也有了一定的积累。
所以，教学中，利用学生的特点以及原有经验进行教学，增强学生的课堂参与度。
三、说教学目标根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：(一)知识与技能能证明正弦定理，并能利用正弦定理解决实际问题。
(二)过程与方法通过正弦定理的'推导过程，提高分析问题、解决问题的能力。
(三)情感、态度与价值观在正弦定理的推导过程中，感受数学的严谨，提升对数学的兴趣。
四、说教学重难点我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。
而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。
那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点为：正弦定理。
难点：正弦定理的证明。
第一课时正弦定理教案
1.1.1正弦定理教案一.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
[能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==,!则sin sin sin abcc ABC===从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcA B C==思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a 从而sin sin abAB=sin cC=！（2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生自己推导）思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。
（证法二）：过点A 作单位向量j AC ⊥，由向量的加法可得 AB AC CB =+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a cA CC A BB CA同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b c B C ，从而sin sin a b A B =sin c C= 从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=[理解定理]（（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin abA B =sin cC =等价于sin sin abA B=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC思考：正弦定理的基本作用是什么？①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
1.1.1正弦定理课件(PPT)
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C/ 能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sin B sin C
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角三角形中
B
jc
a
A
b
C
证 明 ： 过 点A作 单 位 向 量j垂 直
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
b c, sin B sinC
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sinC
即： a b c sin A sin B sinC
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sin B
AD c
且
sin（
C）
AD b
sinC
仿(2)可得 a b c
一解
ｂa
作三角形
案例小结！
C
（1）A为锐角 C
b
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解）
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b
《正弦定理》教案(精选12篇)
《正弦定理》教案（精选12篇）《正弦定理》教案篇1一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是学校“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等学问在三角形中的详细运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧学问，使同学把握新的有用的学问，体会联系、进展等辩证观点，同学通过对定理证明的探究和争论，体验到数学发觉和制造的历程，进而培育同学提出问题、解决问题等讨论性学习的力量。
二、学情分析对高一的同学来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等学问，具有肯定观看分析、解决问题的力量；但另一方面对新旧学问间的联系、理解、应用往往会消失思维障碍，思维敏捷性、深刻性受到制约。
依据以上特点，老师恰当引导，提高同学学习主动性，留意前后学问间的联系，引导同学直接参加分析问题、解决问题。
三、设计思想：培育同学学会学习、学会探究是全面进展同学力量的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。
如何培育同学学会学习、学会探究呢?建构主义认为：“学问不是被动汲取的，而是由认知主体主动建构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：学问不仅是通过老师传授得到的，更重要的是同学在肯定的情境中，运用已有的学习阅历，并通过与他人(在老师指导和学习伙伴的关心下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以同学为中心，视同学为认知的主体，老师只对同学的意义建构起关心和促进作用。
本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。
四、教学目标：1、在创设的问题情境中，让同学从已有的几何学问和处理几何图形的常用方法动身，探究和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性。
余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
故∆为等边三角形.
练习
变3.在∆中，若 2 2 + 2 2 = 2 �� ，试判断∆的形
确到1°，边长精确到1 ).
解：由余弦定理，得：
2 = 2 + 2 − 2|||| = 602 + 342 − 2 × 60 × 34 × 41° ≈ 1676.78，
所以 ≈ 41().
由余弦定理的推论，得： =
2 + 2 −2
2
=
412 +342 −602
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
新知探索
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、
面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、
锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们
已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定
2 = 2 + 2 − 2|||| .
推论
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 +2 − 2
.
2
2.解三角形的定义
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
思考1：在∆中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示
？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数
正弦定理和余弦定理》(第1课时)
1.1.1 正弦定理【教学目的】1.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形； 2.理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。
【教学重点难点】正弦定理的证明和理解 正弦定理的证明 一．新课引入：初中学习了全等三角形只要根据已知条件就能判断三角形是否全等。
能否根据给定条件算出三角形的未知边与未知角？这就是解三角形。
解三角形有几个重要定理，今天学习其中之一----正弦定理问题1.在直角三角形ABC 中，对应边依次为a,b,c ，求证：Aa sin =Bb sin =Cc sin【猜想与推广】正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即Aa sin =Bb sin =Cc sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）证明： 证明一：证明二：（外接圆法） 如图所示，二．正弦定理的应用 定理剖析，加深理解⑴正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即：Cc Bb Aa sin sin sin === 2R （R 为△ABC 外接圆半径）“知三求一”。
于是，正弦定理可解决两类有关解三角形的问题： ①已知两角与任一边，求其他两边和一角；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。
a bcOB CAD例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ 解：【变式1】在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：【比较例1，【变式1】】体会： 【变式2】 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：(*)例4 已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC四、课堂练习： 1在△ABC 中，k Cc Bb Aa ===sin sin sin ,则k 为( )A 2RB RC 4R DR 21(R 为△ABC 外接圆半径)2△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形302,135,3,ABC a A b B ∆===中，求(*)4在△ABC 中，求证：2222112cos 2cos babB aA -=-五、小结 正弦定理，两种应用六、课后作业： 1在ABC ∆中，已知3=b ， 45=A ， 60=B ，求a 2在ABC ∆中，已知3=c ， 45=A ， 60=B ，求b3在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A CA --=，求证：2b2＝a 2＋c 24．在△ABC 中，已知cos cos b A a B =试判断△ABC 的形状。
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听课随笔
第1章 解三角形
【知识结构】
正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭
⎬⎫
【重点难点】
重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
第1课时 正弦定理（1）
【学习导航】
知识网络
直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理
学习要求
1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突
出向量证法；
2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角
一边”、“已知两边一对角”等的相关问题
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：在△ABC 中，
===C
c
B b A a sin sin sin R 2, 2．正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，
进而可求其它的边和角
【精典范例】
【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．
分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．
【解】因为30A =︒，105C =︒，所以
45B =︒．因为
sin sin sin a b c
A B C ==， 所以s i n 10s i 5
12s i n s i n a B b A ︒===︒，
sin 10sin105sin sin 30a C c A ︒
=
==︒
因此， b ，c 的长分别为和． 【例2】根据下列条件解三角形： （1）60,1b B c =︒=；
（2）45,2c A a =︒=． 分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 【解】（1）
sin sin b c
B C
=，∴sin 1
sin 2c B C b ===，
,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角，
∴30,90C A ==，∴2a ==． （2）
sin sin a c
A C =，∴sin 453
sin c A C a ===
，∴60120C =或，
∴当
sin 75
6075,31sin c B C B b C ===
=时， ∴当sin sin1512015,31
sin c B C B b C ====时，所以，1,75,60b B C ==或
1,15,120b B C ===．
追踪训练一
1．在△ABC 中，
0105=C ，045=B ，5=c ，
听课随笔
则b 的值为（ A ）
A )13(5-
B )13(5+
C 10
D )26(5+
2．在△ABC 中，已知3=a ，
4=b ，32sin =B ，则A sin = （ C ）
A 43
B 61
C 21
D 1 3．（课本P9练习第2题）在△ABC 中， （1）已知075=A ，045=B ，23=c ，
求a ，b ；
（2）已知030=A ，0
120=B ，12=b ，求a ，c 。
略解：（1）33+=a ，32=b ； （2）34=a ，34=c （可以先判断是等腰三角形再解） 4．（课本P9练习第3题）根据下列条件解三角形：
（1）40=b ，20=c ，0
25=C ；
（2）13=b ，26=a ，0
30=B 。
略解：（1）由题意知：
058423.025sin 2sin 2sin =⇒≈==B C B 或0
122
097=⇒A ，47=a 或033=A ，8
.25≈a （要注意两解的情况） （2）由题意知：
313609000=⇒=⇒=c C A 【选修延伸】
【例3】在锐角三角形ABC 中，A=2B ，a 、
b 、
c 所对的角分别为A 、B 、C ，试求b
a
的
范围。
分析：本题由条件锐角三角形得到B 的范围，
从而得出b
a
的范围。
【解】在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <900
，
即：000000
453090318090290<<⇒⎪⎩
⎪⎨⎧<-<<B B B B ，
由正弦定理知：
(
)
3,2cos 2sin 2sin sin sin ∈===B B
B B A b a ，
故所求的范围是：
(
)
3,2。
【例4】在△ABC 中，设
a
A
c C b B cos 2cos 3cos ==，求A cos 的值。
【解】由正弦定理得： cos cos cos 3sin 2sin sin 1tan tan 31tan tan 2B C A
B C A
B A
C A ==⎧
=⎪⎪⇒⎨
⎪=⎪⎩ 又tan tan tan tan()1tan tan B C
A B C B C
+=-+=-
-，
22
5tan tan 116tan A
A A
=-
⇒=- 6
3cos =
⇒A 。
追踪训练二
（1）在ABC ∆中，已知8b c +=，
30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．
（2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ． （3）在ABC ∆中，
30bc =
，ABC S ∆=，则A ∠= ．
【师生互动】。