重庆中考数学题位复习系统之反比例函数与几何综合

2019重庆中考数学题位复习系统之

反比例函数与几何综合

典例剖析

例1（2018•重庆）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）

A．B．3 C．D．5

【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．

【解答】

解：

过点D做DF⊥BC于F

由已知，BC=5

∵四边形ABCD是菱形

∴DC=5

∵BE=3DE

∴设DE=x，则BE=3x

∴DF=3x，BF=x，FC=5﹣x

在Rt△DFC中，

DF2+FC2=DC2

∴（3x）2+（5﹣x）2=52

∴解得x=1

∴DE=3，FD=3

设OB=a

则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a）

∵点D、C在双曲线上

∴1×（a+3）=5a

∴a=

∴点C坐标为（5，）

∴k=

故选：C．

【点评】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．

例2（2018•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（）

A．B．C．4 D．5

【分析】根据题意，利用面积法求出AE，设出点B坐标，表示点A的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k构造方程求k．

【解答】解：设AC与BD、x轴分别交于点E、F．

由已知，A、B横坐标分别为1，4

∴BE=3

∵四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线

∴S

=4×AE•BE=

菱形ABCD

∴AE=

设点B的坐标为（4，y），则A点坐标为（1，y+）

∵点A、B同在y=图象上

∴4y=1•（y+）

∴y=

∴B点坐标为（4，）

∴k=5

故选：D．

【点评】本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与k之间的关系．

跟踪训练

1．（2015•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）

A．2 B．4 C．2D．4

【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．

【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，

∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，

∴A，B横坐标分别为1，3，

∴AE=2，BE=2，

∴AB=2，

S菱形ABCD=底×高=2×2=4，

故选：D．

【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．

2．（2015•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）

A．6B．﹣6C．12D．﹣12

【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，

3），可求得OC的长，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且∠AOB=30°，继而求得DB的长，则可求得点D 的坐标，又由反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，

∵顶点C的坐标为（m，3），

∴OE=﹣m，CE=3，

∵菱形ABOC中，∠BOC=60°，

∴OB=OC==6，∠BOD=∠BOC=30°，

∵DB⊥x轴，

∴DB=OB•tan30°=6×=2，

∴点D的坐标为：（﹣6，2），

∵反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，

∴k=xy=﹣12．

故选：D．

【点评】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求得点D的坐标是关键．

3．（2014•重庆）如图，反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（）

A．8 B．10 C．12 D．24

【分析】根据已知点横坐标得出其纵坐标，进而求出直线AB的解析式，求出直线AB与x轴横坐标交点，即可得出△AOC的面积．

【解答】解：∵反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，

∴x=﹣1，y=6；x=﹣3，y=2，

∴A（﹣1，6），B（﹣3，2），

设直线AB的解析式为：y=kx+b，则

，

解得：，

则直线AB的解析式是：y=2x+8，

∴y=0时，x=﹣4，

∴CO=4，

∴△AOC的面积为：×6×4=12．

故选：C．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，得出直线AB的解析式是解题关键．

4．（2014•重庆）如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是（）