高等数学(下)总复习

=
2 =− 2 9 (1 + y) y=1
−2
（2）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混 ）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（ 合偏导）、 ）、多元函数的微分 合偏导）、多元函数的微分 要点： 二元抽象函数的二阶偏导数的计算； 要点：I ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算； II ：隐函数的二阶（混合）偏导数的计算； 隐函数的二阶（混合）偏导数的计算； III ：多元函数全微分的计算； 多元函数全微分的计算；
1 ∂ 2z 例1：设 z = f ( xy)+ yϕ( x + y) , 求 ： . x ∂x∂y
∂ 2z 答案： 答案： = y f ′′( xy) + ϕ′( x + y) + yϕ′′( x + y) ∂x∂y
（2）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混 ）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（ 合偏导）、 ）、多元函数的微分 合偏导）、多元函数的微分 要点： 二元抽象函数的二阶偏导数的计算； 要点：I ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算； II ：隐函数的二阶（混合）偏导数的计算； 隐函数的二阶（混合）偏导数的计算； III ：隐函数的二阶（混合）偏导数的计算； 隐函数的二阶（混合）偏导数的计算； 例2：设 z = ( x2 + ： 答案： 答案： dz = e
d ∂z 1 d = z( x,0) = =1 = arctanx 2 ∂x (0,0) dx dx x=0 x=0 1 + x x=0
∂ z
2
=
∂x2 (0,0)
)′ =( z( x,0) = 2 arctan x 2 1 + x2 x=0 dx dx x=0 x=0
− 2x (1 + x )
2 2
x + 5 y + z = 0 例3：求过直线 L : ： x − z + 4 = 0
且与平面
的平面方程。 夹角为 π 的平面方程。 Π : x − 4 y − 8z − 12 = 0 4 解：设过直线 L 的平面束方程为
x + 5 y + z + λ( x − z + 4) = 0, (1 + λ ) x + 5 y + (1 − λ)z + 4λ = 0,
期末总复习
（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与 平面与平面的位置关系（平行、夹角） 平面的位置关系。 平面的位置关系。 （1）设 Π1 : A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0, ）
Π2 : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0, 则 Π // Π 但不重和 ⇔ A = B1 = C1 ≠ D1 1 1 2 A2 B2 C2 D2
x xy ⋅ 1 y( x+ y ) 1 lim (1 + ) 1 xy = lim (1 + ) xy x→∞ = lim (1 + ) xy x→∞ xy y→a x→∞
x2 x+ y
x y ( x+ y )
y→a
1 =ea
y→a
（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数； 多元函数的定义域、在某点的极限、导数； 多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导） 多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导） 、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲 多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、 线在某点处的切线、 乘数法求最值、 线在某点处的切线、Lagrange 乘数法求最值、方向导数 （1）多元函数在某点的极限、导数 ）多元函数在某点的极限、 要点：I：求二元函数在某点的极限 要点： ：
ye− xy
(e
x
∂z ye− xy = z , ∂x e − 2
− xy
∂ z ∂ ye = ( z )= ∂x∂y ∂y e − 2
2
− xy
− xy
− xye
− xy
) ⋅ (e − 2) − ye
z
⋅e
z ∂z
∂y
(ez − 2)2
=
e− xy[(1 − e− xy )(ez − 2)2 − xyez (ez − 2)3
例2：设直线 L 和平面 Π 的方程分别为 ：
x + 3 y + 2z + 1 = 0 L: , 2x − y − 10z + 3 = 0
则必有（ 则必有（ C ）
Π : 4x − 2 y + z − 2 = 0,
( A) L//Π, (B) L在Π在上, (C) L ⊥Π,
( D) L与Π斜交. r r r i j k 解： r r r r r r r s=1 3 2 = −28 i + 14 j − 7k = −7(4 i − 2 j + k ) 2 − 1 − 10 r r r n = (4, − 2, 1), n // s , ∴ L ⊥Π,
⋅e
z ∂z
∂y
例3：设 z = z( x, y) 是由方程 e− x y − 2z + e z = 0 ： ∂ 2z 所确定的二元函数， 所确定的二元函数，求 dz, . ∂x∂y 解：两边取全微分 e− x yd(− xy) − 2dz + e zdz = 0, 整理并解得 dz = dx + z dy, ez − 2 e −2
A B1 C1 D1 Π1, Π2 重和 ⇔ 1 = = = A2 B2 C2 D2
Π1 ⊥ Π2 ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0
cosθ = , 0 ≤θ ≤ π , 2 2 2 2 2 2 A2 + B1 + C1 ⋅ A2 + B2 + C2 1 | A A2 + B1B2 + C1C2 | 1
y −arctan 2 x, y )e y x [(2x +
求 dz.
−arctan
y)dx + (2 y − x)dy]
例3：设 z = z( x, y) 是由方程 e− x y − 2z + e z = 0 ： ∂ 2z 所确定的二元函数， 所确定的二元函数，求 dz, . ∂x∂y 解：两边取全微分 e− x yd(− xy) − 2dz + e zdz = 0, 整理并解得 dz = dx + z dy, ez − 2 e −2
cos
π
4
=
| 1⋅ (1 + λ ) + (−4) ⋅ 5 + (−8) ⋅ (1 − λ ) | 12 + (−4)2 + (−8)2 ⋅ (1 + λ )2 + 52 + (1 − λ )2
3 λ =− , 4
∴ x + 20 y + 7z − 12 = 0.
（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数； 多元函数的定义域、在某点的极限、导数； 多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导） 多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导） 、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲 多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、 线在某点处的切线、 乘数法求最值、 线在某点处的切线、Lagrange 乘数法求最值、方向导数 （1）多元函数在某点的极限、导数 ）多元函数在某点的极限、 要点：I：求二元函数在某点的极限 要点： ：
Π1 : x − 5 y + 2z + 1 = 0, Π2 : 3x − 2 y + 5z + 8 = 0,
Π3 : 4x + 2 y + 3z − 9 = 0,
则必有（ 则必有（ B ）
( A) Π1 // Π2 , (B) Π1 ⊥Π3 , (C) Π2 ⊥Π3 , ( D) Π2 //Π3 , r r r 解： n1 = (1, − 5, 2), n2 = (3, − 2, 5), n3 = (4, 2, 3), r r n1 ⋅ n3 = 1⋅ 4 + (−5) ⋅ 2 + 2⋅ 3 = 0 r r ∴ n1 ⊥n3 ,
ye− xy
x
∂z ye− xy = z , ∂x e − 2
∂ z ∂ ye = ( z ) = ∂x∂y ∂y e − 2
2
− xy
( ye− xy )'y ⋅ (ez − 2) − ye− xy ⋅ (ez − 2)'y (e − 2)
z
z − xy
2
(e =
− xy
− xye
− xy
) ⋅ (e − 2) − ye (ez − 2)2
（3）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线 ）曲面在某点处的切平面、 要点： ： 要点：I：曲面在某点处的切平面 （1）设曲面方程为 F( x, y, z) = 0 ） 第一步： 第一步：计算 Fx , Fy , Fz , 第二步：计算曲面的法向量 第二步： r n = (Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )) 第三步： 第三步：分别写出切平面和法线的方程
f ( x + ∆x, y) − f ( x, y) f x ( x, y) = lim ∆x ∆x→0 d2 d , f x ( x0 , y0 ) = f ( x, y0 ) , f yy ( x0 , y0 ) = 2 f ( x0 , y) dx dy x= x0 y= y
0
d f xy ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y) dy y=y
（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与 平面与平面的位置关系（平行、夹角） 平面的位置关系。 平面的位置关系。 （2）设 Π : Ax + By + Cz + D = 0, ）
则
x − x0 y − y0 z − z0 L: = = m n p r r L// Π ⇔ s ⊥ n ⇔ Am + Bn + Cp = 0
d2
d2
1
=
=0
x=0
典型例题 例3：设 z = ln(1 + x2 + y), 求 ： 解：
2x ∂z = ∂x 1 + x2 + y2
∂ 2z ∂x∂y
2 ∂z(1, y) = 2+ y ∂x
(1,1)
∂ 2z ∂x∂y
2 d ∂z(1, y) )′ =( ) = ( 2 + y y=1 dy ∂x y=1 (1,1)
x sinay x sinay ⋅ ( xy + 1 + 1) lim = lim x→0 xy + 1 − 1 x→0 xy
y→0
y→0
sinay ⋅ ( xy + 1 + 1) sinay ⋅ 2 = a lim = a lim = 2a ay x→0 y→0 ay
y→0
（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数； 多元函数的定义域、在某点的极限、导数； 多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导） 多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导） 、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲 多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、 线在某点处的切线、 乘数法求最值、 线在某点处的切线、Lagrange 乘数法求最值、方向导数 （1）多元函数在某点的极限、导数 ）多元函数在某点的极限、 要点：I：求二元函数在某点的极限 要点： ：
x→0 x4 + y2 y→0
lim
3 x2 | y |2
=0
3 x2 | y |2
因 x4 + y2 ≥ 2x2 | y |, 0 ≤
x +y
4
≤ 2
3 x2 | y | 2
2x | y |
2
=
|
1 y |2
2
→0
（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数； 多元函数的定义域、在某点的极限、导数； 多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导） 多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导） 、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲 多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、 线在某点处的切线、 乘数法求最值、 线在某点处的切线、Lagrange 乘数法求最值、方向导数 （1）多元函数在某点的极限、导数 ）多元函数在某点的极限、 要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数 要点： ：
0
典型例题
∂f y 例1：设 f ( x, y) = sin x + ( y − 1)arcsin ： , 求 ∂x x (2,1) 解： f (x,1) = sin x2 ,
2
∂f = cos x2 ⋅ 2x, ∂x
∂f = 4cos4. ∂x (2,1)
典型例题
∂z ∂ 2z x− y , 例2：设 z = arctan ： , 求 ∂x (0,0) ∂x2 1 − xy (0,0) 解： z(x,0) = arctan x ,
Байду номын сангаас
L在Π 上 ⇔ Am + Bn + Cp = 0, ( x0 , y0 , z0 ) ∈Π r r A B C L ⊥ Π ⇔ s // n ⇔ = = m n p
sinϕ = , 0≤ϕ ≤ π , 2 A2 + B2 + C2 ⋅ m2 + n2 + p2 | Am + Bn + Cp |
（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与 平面与平面的位置关系（平行、夹角） 平面的位置关系。 平面的位置关系。 （3）典型例题 ） 例1：已知三个平面的一般方程为 ：