最新2020高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第2课时 等差数列的性质学案5

第2课时 等差数列的性质学习目标：1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是一固定常数；当d ≠0时，a n 相应的函数是一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．思考：由上式可得d ＝a n －a 1n －1，d ＝a n －a mn －m，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？[提示] 等差数列的通项公式可以变形为a n ＝nd ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数，d 为斜率，故两点(1，a 1)，(n ，a n )直线的斜率d ＝a n －a 1n －1，当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时有d ＝a n －a mn －m. 2．等差数列的性质(1){a n }是公差为d 的等差数列，若正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ＋a n ＝2a k .②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{a n }是公差为d 的等差数列，则①{c ＋a n }(c 为任一常数)是公差为d 的等差数列； ②{ca n }(c 为任一常数)是公差为cd 的等差数列； ③{a n ＋a n ＋k }(k 为常数，k ∈N *)是公差为2d 的等差数列．(4)若{a n }，{b n }分别是公差为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n ＋qb n }(p ，q 是常数)是公差为pd 1＋qd 2的等差数列．(5){a n }的公差为d ，则d >0⇔{a n }为递增数列；d <0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．思考：若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p 一定成立吗？ [提示] 不一定．如常数列{a n },1＋2＝3，而a 1＋a 2＝2a 3.[基础自测]1．思考辨析(1)若{a n }是等差数列，则{|a n |}也是等差数列．( ) (2)若{|a n |}是等差数列，则{a n }也是等差数列．( )(3)若{a n }是等差数列，则对任意n ∈N *都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(4)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋5，则数列{a n }的公差与函数y ＝3x ＋5的图象的斜率相等．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√提示：(1)错误，如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列． (2)错误，如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列． (3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n ∈N *都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2成立． (4)正确．因为a n ＝3n ＋5的公差d ＝3，而直线y ＝3x ＋5的斜率也是3. 2．在等差数列{a n }中，若a 5＝6，a 8＝15，则a 14＝________. 33 [由题意得d ＝a 8－a 58－5＝15－68－5＝3.∴a 14＝a 8＋6d ＝15＋18＝33.]3．在等差数列 {a n }中，已知a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.【导学号：91432150】180 [因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450， 所以a 5＝90，a 2＋a 8＝2a 5＝2×90＝180.]4．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 15 [由等差数列的性质得a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16， 又∵a 4＝1 ∴a 12＝15.][合 作 探 究·攻 重 难]灵活的设元解等差数列已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.【导学号：91432151】[解] 法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝26，a 1＋d a 1＋2d ＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －da ＋d ＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. [规律方法]1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程组求出a 1和d ，即可确定数列．2．当已知数列有2n 项时，可设为a －(2n －1)d ，…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，a ＋(2n －1)d ，此时公差为2d .3．当已知数列有2n ＋1项时，可设为a －nd ，a －(n －1)d ，…，a －d ，a ，a ＋d ，…，a ＋(n －1)d ，a ＋nd ，此时公差为d .1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数． [解] 设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d . 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，a －2d 2＋a －d 2＋a 2＋a ＋d 2＋a ＋2d 2＝859，整理得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得a ＝1，d ＝±23.当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73；当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.等差数列的实际应用甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图2­2­1.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．甲 乙图2­2­1请你根据提供的信息回答问题．(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.【导学号：91432152】思路探究：解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列．[解] 由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n .(1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 1＋5d 1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d 1＝0.2，得a 2＝1.2；由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，b 1＋5d 2＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，d 2＝－4，得b 2＝26.∴c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只．(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30，∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了．[规律方法]1．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．23．2[根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]等差数列的性质[探究问题]1．在等差数列{a n}中，若a n＝3n＋1，那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？提示：由a n＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.对于任意等差数列{a n}，设其公差为d.则a m＋a n＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，a p＋a q＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因m＋n＝p＋q，故a m＋a n＝a p＋a q对任意等差数列都适用．2．在等差数列{a n}中，如果m＋n＝2r，那么a m＋a n＝2a r是否成立？反过来呢？提示：若m＋n＝2r(m，n，r∈N*)，则a m＋a n＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d ＝2a1＋(2r－2)·d＝2[a1＋(r－1)d]＝2a r，显然成立；在等差数列{a n}中，若a m＋a n＝2a r，不一定有m＋n＝2r，如常数列．3．已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则：(1)若将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？(3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？提示：(1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d ，(2)中的公差为2d ，(3)中的公差为7d .已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.思路探究：①选用哪条性质求解更为简便？②a 15，a 30，a 45，a 60，a 75成等差数列吗？ [解] 法一：(利用隔项成等差数列)因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也成等差数列，设其公差为d ，a 15为首项，则a 60为第四项， 所以a 60＝a 15＋3d ，得d ＝4，所以a 75＝a 60＋d ＝24. 法二：(利用首项与公差)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .a 60＝a 15＋45d ，所以20＝8＋45d ，所以d ＝415， a 75＝a 15＋60d ＝8＋60×415＝24.母题探究：1.(变条件，变结论)本例中条件变为“在等差数列{a n }中，若a 5＝8，a 10＝20”，求a 15.[解] 法一：因为a 5，a 10，a 15成等差数列， 所以a 5＋a 15＝2a 10.所以a 15＝2a 10－a 5＝2×20－8＝32.法二：因为{a n }为等差数列，设其公差为d ， 所以a 10＝a 5＋5d ，所以20＝8＋5d ，所以d ＝125.所以a 15＝a 10＋5d ＝20＋5×125＝32. 2．本例中的条件变为“{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21”求a 5＋b 5的值． [解] (1)法一：设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3＋b 3＝(a 1＋2d 1)＋(b 1＋2d 2)＝(a 1＋b 1)＋2(d 1＋d 2)＝7＋2(d 1＋d 2)＝21，所以d 1＋d 2＝7，所以a 5＋b 5＝(a 3＋b 3)＋2(d 1＋d 2)＝21＋2×7＝35.法二：∵数列{a n }，{b n }都是等差数列， ∴数列{a n ＋b n }也构成等差数列， ∴2(a 3＋b 3)＝(a 1＋b 1)＋(a 5＋b 5)， ∴2×21＝7＋a 5＋b 5，∴a 5＋b 5＝35. [规律方法] 等差数列运算的两条常用思路，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .易错警示：对于新构造的等差数列，要注意判断其公差和首项.1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为( )【导学号：91432153】A ．20B ．30C ．40D ．50C [∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7， ∴a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100， ∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝3(a 7＋2d )－(a 7＋6d )＝2a 7＝40.]2．已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77且a k ＝13，则k ＝________.18 [∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17， ∴a 7＝173.又∵a 4＋a 5＋…＋a 13＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7. 故d ＝a 9－a 79－7＝7－1732＝23.∵a k ＝a 9＋(k －9)d ＝13， ∴13－7＝(k －9)×23，∴k ＝18.]3．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.【导学号：91432154】－1 [可求得数列的通项公式为a n ＝35－4n . 则当n ≤8时a n >0；当n ≥9时a n <0.又a 8＝3，a 9＝－1.故绝对值最小的项为a 9＝－1.]4．一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2 m ，以后每秒都比前一秒多滑行4 m ，又知离地前一秒滑行了58 m ，则这架飞机起飞所用的时间为________秒．15 [飞机每秒滑行的距离组成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝2，d ＝4，a n ＝58，代入等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，得2＋4(n －1)＝58，所以n ＝15(秒)．]5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.【导学号：91432155】[解] 法一：设这三个数为a ，b ，c (a <b <c )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c a ＋b ＋c ＝18a 2＋b 2＋c 2＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝6，c ＝8.法二：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝18， ①a －d2＋a 2＋a ＋d2＝116， ②由①得a ＝6，代入②得d ＝±2， ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去， ∴这三个数为4,6,8.。