能量信号与功率信号

f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
*
T 2 T 2
f 2 (t ) f 1 (t ) d t
*

T 2 T 2
f (t ) f (t ) d t
*
三．相关与卷积的比较
f1 ( t ) 与 f 2 ( t )卷积表达式：
f1 ( t ) * f 2 ( t )
f1* (t ) f 2 (t ) d t
R21 ( ) R( )



f (t ) f 2 (t ) d t
* 1 *



f (t ) f (t ) d t
* 21
f (t ) f (t )* d t
同时具有性质：
R12 ( ) R ( )
2
f 2 (t )
2
第 6 页
由柯西－施瓦尔茨不等式，得

所以


2 2 f1 t f 2 t d t f1 t d t f 2 t d t
1 2
若f 1 t 与f 2 t 完全一样, 12 1, 此时 2 等于零 若f 1 t 与f 2 t 为正交函数, 12 0, 此时 2最大
f1(t)与f2(t)为实函数
f1(t)与f2(t)为复函数
(1)f1(t)与f2(t)是能量有ຫໍສະໝຸດ Baidu信号
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数定义:
R12 ( )

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f1 ( t ) f 2 ( t ) d t f1 ( t ) f 2 ( t ) d t

v( t )

p( t ) d t R
i (t ) d t 或
2
1 E R
T0 2 T0 2
v 2 (t ) d t
平均功率可表示为
T0 1 2 P R 2 i (t ) d t T0 T0 2
1 1 T20 2 或P T0 v ( t ) d t T0 R 2
第
定义
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定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。 令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号f(t)的 能量 E lim
T0 T0 2 T0 2
f (t ) d t
2
1 平均功率 P lim T0 T0

T0 2 T0 2
f 2 (t ) d t
讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： 0 E (有限值) 0 P (有限值)
6.6
§6.5 相关
•能量信号与功率信号 •相关系数与相关函数 •相关与卷积的比较 •相关定理
第
一．能量信号和功率信号
设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R 上的电压
2 页
瞬时功率为
i (t )
R
p( t ) i 2 ( t ) R
在一个周期内，R消耗的能量
E
T0 2 T0 2 T0 2 T0 2


f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
R21 ( )



f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
可以证明：
R12 ( ) R21 ( )

当f1 (t ) f 2 (t ) f (t )时，自相关函数为
R( )

f (t ) f (t ) d t
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数:
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相关函数：
1 R12 ( ) lim T T 1 R21 ( ) lim T T 自相关函数： 1 R( ) lim T T

T 2 T 2


f (t ) f (t ) d t
R( ) R( )τ的偶函数
(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数: 相关函数：
R12 ( )

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f1 ( t ) f ( t ) d t
* 2



f1 ( t ) f 2* ( t ) d t
*
3.若是实偶函数 , 此时F2 F2 , 此时相关定理与卷积 定理具有相同的结果。

第
12 页
f1 ( ) f 2 ( t ) d
f1 (t )与 f 2 ( t ) 相关函数表达式：
两者的关系 即
R12 ( t )

f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
R12 (t ) f1 (t ) * f 2 ( t )
f 2 ( t )反褶与 f1 (t )之卷积即得f1 (t ) 与 f 2 ( t )的相关函数R12 (t ) f1 (t )与 f 2 ( t )为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。
数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的 具体表现。 物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。
第 5 页
1．相关系数12
由两个信号的内积所决定：
12
f (t ), f (t )
1 1
f1 ( t ), f 2 ( t ) f 2 ( t ), f 2 ( t )

1 2

f 1 ( t ), f 2 ( t ) f 1 (t )
相关系数 12从信号能量误差的角度 描述了信号f1 t 与f 2 t
12 1
的相关特性, 利用矢量空间的的内积 运算给出了定量说明。
2．相关函数
分如下几种情况讨论： •f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与f2(t)为实函数
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f1(t)与f2(t)为复函数
•f1(t)与f2(t)是功率有限信号
R( ) R* ( )
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数：
1 R12 ( ) lim T T
T 2 T 2
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10 页

f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
1 T 2 R21 ( ) lim T f 2 ( t ) f1 ( t ) d t T T 2 自相关函数： 1 T 2 R( ) lim T f ( t ) f ( t ) d t T T 2
P0
E
满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。
第
一般规律
一般周期信号为功率信号。 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。 如u(t)是功率信号； 而tu(t)为非功率非能量信号;
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δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
二．相关系数与相关函数
F R12 ( ) F1 ( ) F2* ( )
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ),
F f (t ) F ( )
2
则自相关函数为
F R( ) F ( )
说明
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1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于 其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之 积。 2.自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。
第
说明
, R0最大。 ① 自相关在t 0时, 相关性最强
13 页
。 ② 若f1 t 与f 2 t 为实偶函数, 则卷积与相关完全相同
③ 相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步 骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。
四．相关定理
若已知 则 若
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14 页
F f1 (t ) F1 ( ) F f 2 (t ) F2 ( )