高中数学 1.1.2 余弦定理课件新人教版必修5

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数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)

1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为等腰三角形。

人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理同步教学课件(共25张PPT)

因此 A＝45°. 故 C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
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[类题通法] 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题[在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好．
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[活学活用] 在△ABC 中，已知 a＝2 2，b＝2 3，C＝15°，解此三角形．解：c2＝a2＋b2－2abcos C＝(2 2)2＋(2 3)2－2×2 2×2 3 ×cos(45°－30°)＝8－4 3＝( 6－ 2) 2， ∴c＝ 6－ 2.
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(2)∵a∶b∶c＝1∶ 3∶2， ∴设 a＝x，则 b＝ 3x，c＝2x(x>0)．由余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝3x22＋34xx·22－x x2＝ 23，∴ A＝30°.同理 cos B＝12，cos C＝0， ∴B＝60°，C＝90°.
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1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长 [典例] (12分)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD， AD ＝ 10 ， AB ＝ 14 ， ∠BDA ＝ 60° ， ∠BCD ＝ 135° ，求 BC 的长．
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高二数学人教A必修5课件：1.1.2 余弦定理 (一)

，判断三角形的形状.
解因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0).
2k ＋4k －5k C为钝角，从而三角形为钝角三角形 c所以最大， cos C＝ <0， . 2×2k×4k
≈0.839 8， ∴B≈32°53′. ∴C ＝ 180° － (A ＋ B)≈180° － (56°20′ ＋ 32°53′) ＝ 90°47′. 反思与感悟已知三边求三角：余弦值是正值时，角是
锐角；余弦值是负值时，角是钝角.
跟踪训练2 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可证：b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
例1 在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41° ，解
三角形(角度精确到1° ，边长精确到1 cm). 解根据余弦定理， a2 ＝ b2 ＋ c2 － 2bccos A ＝ 602 ＋ 342 － 2×60×34×cos 41°≈1 676.82，所以a≈41(cm).
csin A 34×sin 41° 34×0.656 由正弦定理得， sin C ＝ a ≈ ≈ 41 41 ≈0.544 0.
因为 c 不是三角形中最大的边，所以 C 为锐角，利用计算器
可得C≈33°，
∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.
反思与感悟解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本
思考1
如何用数学符号来表达 “已知三角形的两边及其夹

高中数学人教B版必修五1.1.2《余弦定理》ppt课件

【自主解答】 (1) 法一 cos 15°＝ cos(45°－ 30°) ＝
6＋ 4
2，sin 15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2 .
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2 2×( 6
＋ 2)＝8－4 3，
∴c＝ 6－ 2.又 b>a，∴∠B>∠A，∴角 A 为锐角．
在△ABC 中，若 acos A＋bcos B＝ccos C．试判断△ABC 的形状．
【解】由余弦定理可得 a·b2＋2cb2c－a2＋b·a2＋2ca2c－b2＝c·a2＋2ba2b－c2，等式两边同乘以 2abc，得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)，整理化简得 a4＋b4－2a2b2＝c4， ∴(a2－b2)2＝c4.
1．1.2 余弦定理
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题．
2．过程与方法通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦
定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力．
3．情感、态度与价值观探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想．通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义．
由余弦定理推论得： cos C＝a2＋2ba2b－c2＝9k2＋22·35kk·25－k 49k2＝－12， ∴∠C＝120°，即最大内角为 120°.
1．本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关键．
2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．

人教版数学必修五1.1.2 余弦定理课件 (共17张PPT)

2tanα 1-tan2α
06:37:52
创设情境兴趣导入
引例 2009年10月，内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设
计丹锡高速赤峰二道井子段（K166+280～K166+570）时,为保护
夏家店文化文物，需要挖掘隧道，勘测人员将隧道口A和B定位在山的两侧(如图）,在平地上选择适合测量的点C ，如果∠C=60°,
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦定理．
06:37:52
动脑思考探索新知
余弦定理三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍. 即 2 2 2 a b c 2bc cos A
b a c 2ac cos B
c a b 2ab cos C
第一章
三角公式及应用
1.2.1 余弦定理
授课班级：14普教授课教师：郭清山 2016年11月6日
06:37:52
知识积累复习巩固
1、正弦二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα
2、余弦二倍角公式 cos2α-sin2α cos2α= 2cos2α-1 1-2sin2α 3、正切二倍角公式 tan2α=
约为12.12m.
D B
A
06:37:52
归纳总结理论升华
余弦定理的内容是什么？
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
夜半偶句
余弦定理考夹角，两边平方和求好；减去倍乘抠塞角，三边平方见分晓。
分析这是已知三角形 ∠A=44°25′，的三边，求其它元素的问题，可以直 ∠B=101°32′，接应用余弦定理变 ∠C=180°-∠A-∠B=34°3′. 形公式1.22．查表或计算器可得

高中数学人教A版必修5课件：1.1.2 余弦定理

解方程 sin A=m,A∈(0,π) y=sin x 在(0,π)内先增后减,解方程所得的解不一定唯一,有时需分类讨论
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一已知两边及夹角解三角形
【例 1】在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15° ,解此三角形.
分析:思路一:可先用余弦定理求边c,再用正弦定理求角A,最后用三角形内角和定理求出角B. 思路二:可先用余弦定理求边c,再用余弦定理的推论求角A,最后用三角形内角和定理求出角B.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练 3】在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A= π ,a= 3,b=1,则 c 等于( ). 3 A.1 B.2 C.2 或-1 D. 3
解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得c2-c-2=0,解得c=2或c=1(舍去). 答案:B
2��
��2 +�� -��2 ��2 +��2 -�� =2bc· · , 2�� 2�� 2 2 [(��2 +�� -��2 )+(��2 +��2 -�� )]2 2 即 b +c2 = . 4��2
解法一:(利用正弦定理) 由正弦定理,可得 sin C=
∵0° <C<180° ,∴C=60° 或 C=120° .
��sin��
��sin��

高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.2余弦定理

当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形. 所以 a=3.
(2)在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,解此三角形.
解:(2)因为 b2=a2+c2-2accos B,所以 2=3+c2-2 3 · 2 c,即 c2- 6 c+1=0, 2
当 c=
6
2 时,由余弦定理,得 cos A= b2 c2 a2 = 2
2
2
因为 B∈(0°,180°),所以 B=60°,
所以由余弦定理得 cos B= a2 c2 b2 = 1 ,
2ac
2
又因为 a+c=2b,所以 a2+c2-（ a c ）2=ac, 2
所以 4a2+4c2-(a2+c2+2ac)=4ac,所以 3a2+3c2-6ac=0,所以(a-c)2=0, 所以 a=c,所以△ABC 为等边三角形.
所以 BC= 52 =2 13 .故选 B.
2.在△ABC 中,a=7,b=4 3 ,c= 13 ,则△ABC 的最小角为(
(A) π 3
(B) π 6
(C) π 4
(D) π 12
解析:由 c= 13 最小知角 C 最小,
cos C= a2 b2 c2 = 49 48 13 = 3 ,
2ab
(5)以cos A= b2 c2 a2 为例:
2bc
若角A为锐角,则cos A>0,从而b2+c2-a2>0,则b2+c2>a2,反之亦成立; 若角A为钝角,则cos A<0,从而b2+c2-a2<0,则b2+c2<a2,反之亦成立; 若角A为直角,则cos A=0,从而b2+c2-a2=0,则b2+c2=a2,反之亦成立. 由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. 由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都是锐角才行.

高中数学人教A版必修5《1.1.2余弦定理》课件

复习回顾正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
2.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
3.由余弦定理知
cosA = b2 + c2 - a2 ， 2bc
cosB = c2 + a2 - b2 ， 2ca
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
A
B
)450
D
C
练一练：
1、已知△ABC的三边为 1，求它的最大内角。
变一变：解：不妨设三角形的三边分别为a=
、2、
,b=2,c=1
若又由怎已余则弦最么知定大理三求内角边？为c∠的osAA比= 12是+22×2-2(×1:)22:1=, - —12
∴ A=120°
再练：
2、已知△ABC中AB=2、AC=3、 A= ，求BC的长。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运

数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教A版必修5)

思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
即：如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b C
A
c a
B
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题.
A
即：如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b
C B
讲解范例：例1. 在△ABC中，已知 a 2 3 ,
c 6 2 , B 60 , 求b及A.
o
思考5：
在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角

高中数学必修五课件：1.1.2《余弦定理》

当角C为锐角时 A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A
作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
b
a b2 sin2 A c2 b2 cos2 A 2bccos A
AC2 AB2 BC2 2AB BCcosB
32 22 2 3 2 cos120 o
C
19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
解：由余弦定理得
cos A b2 c2 a2 22 ( 3 1)2 ( 6)2 1
• 若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对的边b2长＋c，2－则2bccosA
• a2＝ a2＋c2－2accosB ，
• b2＝ a2＋b2－2abcosC ，
• c2＝
.
• 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表达形式是
• 须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定
探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,ACA=b,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
c
2
c
a cc
b (a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
b
2
2a
b
2 a b cos
C
向量法
a2 b2 2ab cosC

(人教版)高中数学必修5课件：第1章解三角形1.1.2

高效测评知能提升
[问题3] 你会利用向量求边AC吗？ [提示] 会．|B→A|＝3，|B→C|＝2，〈B→A，B→C〉＝60°. A→C2＝(B→C－B→A)2 ＝B→C2－2B→C·B→A＋B→A2 ＝22－2×2×3×cos 60°＋32 ＝7. ∴|A→C|＝ 7，即边AC为 7.
数学必修5
1．利用余弦定理解三角形的步骤： (1) 两边和它们的夹角余―弦――定→理另一边余―正弦―弦定――定理―理推→论另两角
数学必修5
第一章解三角形
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
2．利用余弦定理解三角形的注意事项： (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”． (2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断，尽可能减少出错的机会．
6－ 2
2，
故A＝60°时，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或A＝120°时，
C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
数学必修5
第一章解三角形
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
已知两边及一边对角解三角形的方法及注意事项
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理．
第一章解三角形
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．

1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件

试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。（3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,

高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt

问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法：数形结合的思想，化归与转化的思想，分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？问7：可将公式如何变形？问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？

新人教B版必修五1.1.2《余弦定理》ppt课件2

3
3 2
例2.在△ABC中， (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)
判断△ABC的形状．
分析：b2s i n A c o sB a2c o s A s i n B
例2.在△ABC中，
s(ai2+n2Bbs2)siinnA(Ac-oBs)=B(as2i-bn22A)scion(sAA+sBi)nB
判s断i△nAABsCi的n形B状0．
分析s：ibn2sBicnoAscBossiBnaA2ccoossAAs i n B sin2B sin2A
A
B或A
B
π 2
即为△ABC等腰三角形或直角三角形
分析： b2sinAcosBa2cosAsinB
b a a b 思路二：2 a2 c2 b2 2ac
命题p:
a sinB
b sinC
的( C )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既充分也不必要条件
提高练习：
1、已知在△ABC中，角A、B、C
的对
边分别为a、b、c . 向量 m n
且
m n
2 cos
cos
c 2
b sin
b2
B
c2 a2
2bc b2
sin
bc 23bc
1 2
3
A
c
3
ac
32
• 例1。在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已
知a,b,c成等比数a2列，c2 且 ac bc
解(1（)求2）A在法的大△二小A：BC中(b2s)i，cn B由的值正弦法定一理：得
asbba,ibscnbib,scns2BiicB成nbcnBA等aasbbs比isciianbn,数B2nπA3Aasic列n 3 233 sin

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思考：你会用直角三角形或正弦定理来证明余弦定理吗？
想一想：余弦定理能够解决什么问题？
a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC
方程思想：四个量，知三求一 1.已知两边和它们的夹角求另
一边（直接用）； 2.已知三边求角（变形）. 3.判断三角形形状
B
因此 c5242254(1 2)61
例2、在△ABC中，已知 a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm, 解三角形（角度解：精由确余到弦1定理）的推论得
co A sb 2 c2 a 28.8 7 2 1.6 7 2 1 1.3 6 24 0.554,3 2 bc 2 8.8 7 1.6 71
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主，利用向量法证明余弦定理定理，引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正弦定理法等多种方法证明余弦定理，使学生能够灵活应用所学知识，加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出3个例题和变式，通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要性。
当 a 3 时， a b 3 , A B C 为等腰三角形 A 3 0 ， C 1 2 0
变式训练二：已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。
解：
试判断该三角形的形状. 变式3:在△ABC 中，已知 a=10, b=8, c=6,判断△ABC的形状.
三角形中的边角关系
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
由两点间的距离公式，可得： a＝BC＝ b－ccos A2＋－csin A2. 两边平方得： a2＝(b－ccos A)2＋(－csin A)2＝b2＋c2－2bccos A. 以△ABC 的顶点 B 或顶点 C 为原点，建立直角坐标系，同样可证 b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍．
余弦定理:
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2b2c22bcco As
b2a2c22acco Bs c2a2b22acbo Cs
回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明余弦定理的方法？
（1）坐标法
证
明
（2）直角三角形的边角关系
方
法
（3）正弦定理（三角变换）
教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题，通过例2巩固掌握已知三边解三角形的问题，通过例3巩固掌握判断三角形形状的问题，每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关系证明余弦定理导，既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角形的形状等知识。
坐标法证明余弦定理
教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出坐标法证明．
证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A ，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是 (b,0)．
A56 20
cB oa s2 c2 b 2 1.3 6 2 4 1.6 7 2 1 8.8 7 20.839,8 2 ac 2 1.3 6 1 4.6 71
B32 53
C 1 A 8 B 1 0 5 8 2 0 3 6 5 0 3 9 2 4 7 0
变式训练一：已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。 b 3,c 3 3,B 30 ;
A c
B
a
余弦定理是什么？怎样证明？
如图所示，根据向量的数量积，可以得到
a2 BC BC
b
(AC AB)(AC AB)
2
2
AC 2 AC AB cosA AB
C
b2 2bccosA c2
即 a2b2c22bcco As
同理可证
b2a2c22acco Bs
c2a2b22acbo Cs
余弦定理Βιβλιοθήκη 定定定理
理
理
内
证
应
容
明
用
(1)已知三边，求三个角
(3)判断三角形形状
(2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角。
A cb BaC
变一
变变形
乐在其中
cosA= b2+c2 - a2 2bc
cosB= a2+c2 - b2 2ac
cosC= a2+b2 - c2 2ab
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4， ∠C=120°，求c.
A
解：由余弦定理，得
c
b 120
c2 a 2 b 2 2 a b c o s1 2 0 C a
解：（法一）由正弦定理，得
C60或 C120
当 C6 0 时， A 9 0 a6 当 C 1 2 0 时， A 3 0 a 3
已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。
b 3,c 3 3,B 30 ;
解：（法二）由余弦定理，得 b 2 a 2 c 2 2 a c c o sB 当解 a 得 a 6 时 6 ，由或正 a 弦定 3理，得 sinAasinB=61 21 b3 A90,C60