第六章简单的超静定问题

例1 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和 木材的许用应力分别为[]1=160M Fa和[]2=12MFa，弹性模
量分别为E1=200GFa 和 E2 =10GFa；求许可载荷P。 P 解：平衡方程: y Y 4F F P 0

N1
N2
4FN1
FN2
几何方程
2 FN1 FN3
X F
Y F
FN2
N1
N1
sin FN 2 sin 0

A P
cos FN 2 cos FN 3 P 0

A P
B 3
D
1

A
2
C 几何方程——变形协调方程： L1 L3 cos
物理方程——弹性定律：
L1 FN 1 L1 E1 A1 L3 FN 3 L3 E3 A3
(a)
Tb Ta
(b)
解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 ── 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程
Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。
2. 位移相容条件为
Ba Bb
Tb Ta
(b)
3. 利用物理关系得补充方程为
Ga I pa Tal Tbl ，即 Ta Tb Ga I pa Gb I pb Gb I pb
P1 A11 / 0.07 308.6 160/ 0.07 705.4kN
FN 2 0.72P A2 2
P2 A2 2 / 0.72 2502 12 / 0.72 1042kN
求结构的许可载荷： 方法2:
1 L1 / E1 0.8mm 2 L 2 / E2 1.2mm
一次超静定 二次超静定
解超静定问题的方法步骤:
平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程——弹性定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组
§6-2拉压超静定问题
超静定结构的类型
1、不同材料制成的组和杆件的超静定问题
这类超静定问题的变形特征是:两种材料的伸长(缩短) 变形相等.
于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧 配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。
§6—4 简单超静定梁的求解
q q B
L/2
AA
L/2
C
AA
L/2
C
FcY
B
L/2
步骤—— 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 4、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。 分析——
第六章 简单的超静定问题 §6—1 §6—2 超静定问题及其解法 拉压超静定问题
§6—3
§6—4
扭转超静定问题
简单超静定梁
§6-1 超静定问题及其解法
定义： 约束反力及轴力都可以由静力平 衡方程求得，这类问题称为静定 问题。
凭静力平衡方程不能求得约束反 力或轴力，这类问题称为静不定 问题。
未知力个数--平衡方程的个数=1 未知力个数--平衡方程的个数=2

A
杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分
L2
L3
A1
L1
别为i ; △T= T2 -T1)
解：、平衡方程:
X F
N1
sin FN2 sin 0
Y F
B
3 1 D C 2
N1
cos FN2 cos FN3 0
L1 L3 cos
、几何方程 、物理方程：
钢管横截面上任意点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
a b
a
a
b
a
上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情 况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量
Gb，故铜杆和钢管在 = a处切应力并不相等，两者之比就等
N1 N2 2T EA1 EA2
解平衡方程和补充方程，得: 、温度应力
FN1 FN2 33.3kN
FN2 A2
1
FN1 A1
66.7MPa
2
33.3MPa
B 1
C
二、装配应力 1、静定问题无装配应力。
2、静不定问题存在装配应力。
2 例3 如图，3号杆的尺寸误差为，求 各杆的装配内力。 解：、平衡方程: B 1
各杆的温度应力。(线膨胀系数 =12.5× 106 1 C a FN1 解：、平衡方程： a
弹性模量E=200GPa)
Y F
N1
F
N2
0
、几何方程：
a
L LT LN 0
FN2
、物理方程
LT 2aT ;
、补充方程
LN
FN1 a EA1

FN2 a EA2
故为一次超静定问题。
2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多 余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷 载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移
相容条件为
BM BM
e
B
注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程： M e a M Bl GI p GI p 由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为 M ea MB l 另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为 M e a M eb M A Me MB Me l l
B2
L1 1 B1 G
得N 3 N 2 0.5 N1 (3)
联立(1),(2),(3)可得
E
N1 57.7 KN (压) N 2 42.3KN (压) N3 13.5KN (拉)
300
B/
D
B
3 1
D
C 2
温度应力和装配应力 一 、温度应力 1、静定结构当温度升高时可自由变 形所以不会引起构件的内力，即无温 度应力。 2、静不定问题存在温度应力。 例1、如图，1、2号杆的尺寸及材料都 相同，当结构温度由T1变到T2时,求各
两种图 受力图 变形与 内力一致 变形几何关系图 补充方程
静力平衡方程
两种方程
例3 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量 为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。 解：、平衡方程:
B
3 1
D
C
二、 两端固定的超静定问题 这类超静定问题的变形特征是:杆件的 总长度不变. 例2 、结构受力如图,求两端的约束反力
B
解：、平衡方程：
Y F
N1
FN 2 P 0
A
FN1
、几何方程：
L LAC LBC 0
C P
B FN2
、物理方程
LAC LBC
FN 1 L1 E1 A1
所以在△1=△2 的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。
FN 1 1 A1 160 308 .6 705 .4kN P 0.07 0.07 0.07
另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？
若将木的面积变为25mm，又怎样？
结构的最大载荷永远由钢控制着。
A L1 L2 E1A1 C E2A2 p
L2
L3
A1
L1
2E1 A1 (1 3 cos2 )T cos FN 3 3 1 2cos E1 A1 / E3 A3
例2、 a
如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被
固定,杆的上下两段的面积分别
=cm2 ， =cm2，当温度升至T2=25℃时,求
A
3 D C

A1
2
X F sin F sin 0 Y F cos F cos F 0
N1 N2
N1
N2
N3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

、几何方程
A
( L3 ) cos L1
FN3 FN1
、物理方程及补充方程：
FN2
A1
FN1 L1 E1 A1
(
FN3 L3 E3 A3
) cos
、解平衡方程和补充方程，得:
L3 A 1

E1 A1 cos2 FN1 FN2 L3 1 2cos3 E1 A1 / E3 A3

L1
A
L2
2E1 A1 cos3 FN 3 L3 1 2cos3 E1 A1 / E3 A3
4. 联立求解补充方程和平衡方程得：
Ta
Ga I pa Ga I pa Gb I pb
M e，Tb
Gb I pb Ga I pa Gb I pb
Me
5. 铜杆横截面上任意点的切应力为
ρa
Ta Ga M e I pa Ga I pa Gb I pb
0 a

§6-3 扭转超静定问题
例题 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转 力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆 两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。
(a)
MA (a)
MB
解: 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一 个独立的静力平衡方程
M
x
0，
M A Me M B 0