高中数学竞赛解题策略-几何分册第8章 垂心组

第8章 垂心组

由三角形的三顶点及垂心引发我们给出垂心组的概念．

以三点为三角形的顶点，另一点为该三角形的垂心的四点称为垂心组，由此即知，垂心组中的四点，每一点都可以为其余三点为顶点的三角形的垂心．垂心组有如下的优美性质． 性质1 垂心组的四个三角形的外接圆是等圆．

证明 如图81-，设H 为锐角ABC △的垂心，延长AH 交ABC △的外接圆于点1H ，则1BH C △与

BHC △关于边BC 对称．于是，BHC △的外接圆与1BH C △的外接圆关于边BC 对称，即为等圆，而

1BH C △的外接圆即为ABC △的外接圆，故BHC △的外接圆与ABC △的外接圆是等圆．

图8-1

2

A

同理，AHB △、AHC △的外接圆与ABC △的外接圆是等圆． 若H 为钝角ABC △的垂心，可同理证得结论成立．

性质2 若三个等圆相交于一点，则这点和其他三个交点构成一垂心组．

证明 如图82-，设三个等圆相交于点H ，每两圆的另一交点为A 、B 、C ．直线BH 、CH 分别交直线AC 、AB 于点E 、F ．

图8-2

（1）

（2）

H

E F

A C

B

F H E

C D

B A

由等圆中等弧所对的圆周角相等，有ABH ACH ∠=∠，即B 、C 、E 、F 四点共圆． 又由BFC BEC ∠=∠，知AFC AEC ∠=∠，即知A 、F 、H 、E 四点共圆． 于是，BFC BEC AFH ∠=∠=∠=邻补角相等90=︒．即知CF AB ⊥．

同理，BE AC ⊥．故H 为ABC △的垂心．从而H 、A 、B 、C 为垂心组． 性质3 垂心组的四个三角形的外心构成一垂心组．

证明 如图83-，设H 为ABC △的垂心，ABC △、BHC △、CHA △、AHB 的外心分别为O 、2O 、

1O 、3O ．

图8-3

（1）

（2）

2

2

1

H

B

B

联结2AO 、AO 、1BO 、BO 、1CO 、2CO 、CO ，则知四边形2AOCO 、1BO CO 均为菱形，即有21AO OC BO ====∥∥，从而四边形12ABO O 为平行四边形，于是12O O BA ==∥． 同理，3OO CH ==∥．

又CH AB ⊥，则312OO O O ⊥．

同理，213OO O O ⊥，123OO O O ⊥．故O 为123O O O △的垂心，即O 、1O ，2O 、3O 为一垂心组． 性质4 垂心组的四个三角形的重心构成一垂心组．

证明 如图84-，设H 为ABC △的垂心，ABC △、BHC △、AHC △、AHB △的重心分别为G 、1G 、2G 、3G ．联结AG 并延长交BC 于点M ，则M 为BC 的中点，且1G 在HM 上；联结BG 并延长交AC

于点N ，则N 为AC 的中点，且2G 在HN 上．

图8-4

（1）

（2）

B

H

注意到重心在中线的

23处，在MAH △中，13MG MA =，113MG MH =，故1GG AH ∥． 在HMN △中，123HG HM =，22

3HG HN =，从而12G G MN BA ∥∥．同理32G G BC ∥．

又注意到AH BC ⊥，则132GG G G ⊥．

同理，213GG G G ⊥，312GG G G ⊥．故G 为123G G G △的垂心，即G 、1G 、2G 、3G 为一垂心组． 性质5 垂心组四点位于中间的一点可作为一个三角形的内心，其余三点作为这个三角形的三个旁心．反过来结论亦成立．一个三角形的内心、三个旁心构成一垂心组．

事实上，垂心组位于中间的一点作为垂心时，这个垂心即垂足三角形的内心，此时其余三点恰为垂足三角形的三个旁心．反过来，结论亦成立，留给读者自行推证．

注意到：内心、旁心位于三角形顶点处的内角平分线、外角平分线上，且同一顶点处的内、外角平分线相互垂直．又两个旁心所在直线过三角形一顶点．由此即证得结论成立，即一个三角形的内心、三个旁心构成一垂心组．

性质6 垂心组中的两点与其余一点的平方差等于这两点与其余另一点的平方差． 事实上，参见图84-，由定差幂线定理（参见第5章中例3），知 2222AB AC HB HC -=-，2222BA BC HA HC -=-，2222CA CB HA HB -=-． 推论 设垂心组A 、B 、C 、H 中的三角形的外接圆半径为R ，则

22222224AB CH AC BH BC AH R +=+=+=．

事实上，如图85-，作ABC △的外接圆O ，设H 为其垂心，联结AO 并延长交O 于点M ，则四边形BMCH 为平行四边形．从而，BH MC =，CH BM =．

图8-5

在Rt AMC △、Rt ABM △中，有222MC AC AM +=，222BM AB AM +=． 从而，有222224AB CH R AC BH +==+． 同理有2224BC AH R +=．

下面看几道应用上述性质处理问题的例子：

例1 设H 为ABC △的垂心，R 为ABC △的外接圆半径，则2|cos |AH R A =⋅，2|cos |BH R B =⋅，2|cos |CH R C =⋅．

证明 由性质1，知AHC △的外接圆半径为R ，在AHC △中应用正弦定理，有

2sin AH

R ACH

=∠．

当A ∠为锐角时，如图86-（1），90ACH A ∠=︒-∠，从而2sin 2sin(90)AH R ACH R A =⋅∠=⋅︒-∠ 2cos R A =⋅．

图8-6

（1）

（2）

H

E A B

H

E C

B

A

当A ∠为直角时，cos 0A =，H 点与A 重合，此时，亦有2cos AH R A =⋅．