第五讲推断统计的基本原理

推断的可靠性越大；显著性水平越低(α值越大)，越容易 拒绝零假设，推断的可靠性越小
假设检验中所用的概念(4)

统计决断的两类错误及其控制
两类错误(α错误，β错误) α错误：第一类错误，是“假设真实而被拒绝”(拒绝H0犯错误的 概率)，其大小与显著性水平(α)相等，故称α错误
在.05显著性水平上检验分设，犯第一类错误的概率为5%；
单侧检验
H0： μ1≮μ0(μ1≥μ0) H1： μ1<μ0
问题

如果确实知道样本所来自的总体平均数大于 假设总体平均数，应采用单侧检验总还是双 侧检验？(若用单侧检验，是左侧检验还是右 侧检验？)
总体平均数的显著性检验（1/2）
一、σ已知,正态总体条件下总体平均数的显著 性检验
计算临界比率 (Critical Ratio) RC＝Z＝
练习

某市全体7岁男童平均体重21.61公斤，标准 差为2.21公斤，某小学70个7岁男童平均体重 22.9公斤，问该校7岁男童与该市是否一样？
(提示：单侧还是双侧？)
单侧Z检验统计决断规则
_________________________________________________ |Z|与临界值的比较 p值 检验结果
提示：H0：μ ≥68
H1：μ <68
总体平均数的显著性检验(2/2)
二、σ未知，正态总体条件下总体平均数的显 著性检验 1.小样本的情况
某区初三英语统一测验平均成绩分数为65，该区
某校20份试卷平均分69.8，标准差9.234。问该 校初三英语平均分数与全区是否一样？
t检验统计决断规则
心 理 与 教 育 统 计 学
第五讲：推断统计的基本原理
席居哲
推断统计的基本原理

假设检验
设作出拒绝或保留，称之 现以总体参数的假设检验来说明假设检验的原理：当对某一总体 参数进行假设检验时，首先从该总体中随机抽取一个样本，计算 出其统计量的值，并根据经验对相应总体参数提出一个假设值。 这个假设是说：这个样本统计量的值是这个假设总体参数值的一 个随机样本，即这个样本是来自于这个总体，而样本统计量与总 体参数值之间的差异乃抽样误差所致。据此假设，可以认为，象 这样的一切可能样本统计量的值，应当以总体参数值(假设的)为 中心形成该种统计量的一个抽样分布，如果这个随机样本统计量 的值在其抽样分布上出现的概率较大，这里只好保留这个假设， 即承认其来自总体，误差乃抽样所致，此时称样本统计量的总体 参数与假设的总体参数差异不显著；否则为小概率事件，则拒绝 “其来自该总体”的假设，误差乃差异所致，此时称样本统计量 的部体参数与假设的总体参数差异显著。
|Z|<1.96 1.96≤|Z|<2.58 |Z|≥2.58
p>.05 .01<p≤.05 p≤.01
保留H0，拒绝H1
在.05显著水平上拒绝H0，接受H1
在.01显著水平上拒绝H0，接受H1
_________________________________________________________________
p>.05 .01<p≤.05 p≤.01
保留H0，拒绝H1
在.05显著水平上拒绝H0，接受H1
在.01显著水平上拒绝H0，接受H1
_________________________________________________________________
练习

某校上一届初一学生自学能力平均分数为38， 这一届初一24个学生自学能力平均分数为42， 标准差为5.7，假定这一届初一学生的学习条 件与上一届相同，试这一届初一学生的自学 能力是否高于上一届？
有差异却说没有差异 所犯的错误：纳伪错误
注意：不同的错误，因为前提不同， 要看不同的曲线
假设检验中所用的概念(5)

单侧检验与双侧检验
在研究中，要根据研究目的所规定的问题的方向
性来确定双侧检验还是单侧检验
双侧检验 H0： μ1=μ0 H1： μ1 ≠ μ0
H0： μ1≯μ0(μ1≤μ0) H1： μ1>μ0
实际上，可以说，显著性水平是在统计推断时，可能犯
错误的概率：
如果在95%的可靠度上对假设进行检验，则显著性水平为.05；
如果在99%的可靠度上对假设进行检验，则显著性水平为.01。

显著性水平(续)
在统计学中，通常对显著性水平的冠称如下： 显著性水平(α)在.05与.01之间(表示为.01<p≤.05)，为显性； 显著性水平(α)在.01与.001之间(表示为.001<p≤.01)，为非常显著； 显著性水平(α)在.000与.001之间(表示为.000<p≤.001)，为极其显 著。 可见，显著性水平越高(α值越小)，越不容易拒绝零假设，
α错误的前提是(“H0为真”)，β错误的前提是(“H0
为假”)，故α+β不一定等于1 在其它条件不变的情况下， α与β不可能同时减 小或增大，此消彼长 当H1为真，即μ 1与μ 0确实有差异时，能以(1- β) 的概率以接受之。 (1-β)反映着正确辨认真实差 异的能力，统计学中将(1-β)称为统计检验力
X
/
n

例(双侧检验)：
某小学历届毕业生汉语拼音测验均分66，标准差
11.7。现以同样的试题测验应届毕业生(假定应 届与历届毕业生条件基本相同)，并从中随机抽 18份试卷，算得平均分为69，问该校应届与历届 毕业生汉语拼音测验成绩是否一样？ 检验步骤：
(1)提出假设 H0：μ =66 H1： μ ≠66 (2)选择检验统计量并计算其值 X 69 66 0 Z 1 . 09 (3)确定检验形式 双侧 / n 11 . 7 / 18 (4)统计决断 双侧的话两侧各.025，根据.5-.025=.475 查表得|Z.05|=1.96，可见|Z|<|Z.05|，故接受H0，拒绝 H1，结论：该校应届与历届毕业生汉语拼音测验成绩 无显著性差异。
_________________________________________________ |t|与临界值的比较 p值 检验结果
__________________________________________________________________________
|t|<t(df).05 t(df).05 ≤|t|< t(df).01 |t|≥ t(df).01
在.05显著水平上拒绝H0，接受H1
_________________________________________________________________
练习

某市高中入学考试数学平均分数68分，标准差 为8.6分。其中某所中学参加此次Baidu Nhomakorabea试的46名
学生的平均分为63。过去的资料表明，该校数 学成绩低于全市平均水平，问此次考试该校数 学平均是否仍显著低于全市的平均分数？
假设检验中所用的概念(2/3)

小概率事件
样本统计的值(随机事件)在其抽样分布上出现的
概率小于或等于事先规定的水平，这时就认为发 生了小概率事件。把出现小概率的随机事件称为 小概率事件。 小概率事件是否出现，是对假设作决断的根据。 在用样本统计量的值推断其总体参数时，要注意 到在此之前已经对总体参数值提出过零假设。在 假设零假设真实的前提下发生了小概率事件，使 人不得不认为这个样本并非抽自假定的总体。
| Z | Z | Z

2 .0 5 2 .0 1 2
| 1 .9 6 | 1 .9 6 | 2 .5 8
Z
2
Z
2
双侧Z检验统计决断规则
_________________________________________________ |Z|与临界值的比较 p值 检验结果
__________________________________________________________________________
假设检验中所用的概念(3/3)

显著性水平
统计学中把拒绝零假设的概率(小概率事件发生时的概率)
称为显著性水平。 小到什么程度才算小概率事件呢？这由研究者对于假设 检验的结论所欲达到的可靠性程度所决定。 通常统计学规定了两种水平：
概率等于或小于.05；
概率等于或小于.01。
用α =.05， α =.01表示
在.01显著性水平上检验分设，犯第一类错误的概率为1%。
β错误：第二类错误，是“假设虚伪而被保留”(接受H0犯错误的
概率)，用β表示，又称β错误。其值亦可以计算出来，但比较复 杂
两类错误之间的关系笼统来讲是：此消彼长
α错误与β错误关系(具体来说)

两者是在两个前提下的概率
没有差异却说 有差异所犯的 错误:弃真错误
利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假

假设检验中所用的概念(1/3)

假设
假设检验一般有两个通常相互对立的假设： 零假设(或称原假设、虚无假设、解消假设)，即关于当 前样本属总体(指参数值)与假设总体(指参数值)无区别 的假设。一般用H0表示。 备择假设(或称研究假设、对立假设)，是与零假设相互 排斥的假设，即关于当前样本属总体(指参数值)与假设 总体(指参数值)有差异的假设，往往是研究者根据样本 信息期待证实的假设。通常用H1表示。 当拒绝了H0时，应当接受H1；当拒绝了H1时，则应当 接受H0。可见，统计推理采用的是反证法。
__________________________________________________________________________
|Z|<1.65 1.65≤|Z|<2.33 |Z|≥2.33
p>.05 .01<p≤.05 p≤.01
保留H0，拒绝H1
在.05显著水平上拒绝H0，接受H1

2.大样本的情况(可用近似正态分布处理)
例：某年高考中，某市数学平均分为60，现从参
加此次考试的文科学生中，随机抽取94份试卷， 算得均分为58，标准差为9.2，问文科数学成绩 与全市考生是否相同？ 提示：n=94>30,可视为正态分布 ＜关于此方面，亦有认为，在“总体正态分布，方 差未知”的情况下，无论样本大小，均应t检验＞