北京市2014年中考数学模拟试题及答案
2014年北京市中考数学模拟试卷(解析版)
2014年北京市中考数学模拟试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）．．．．C D4．（3分）下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的．．6．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为（）．．7．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）．．11．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所12．（3分）如图，将边长为a 的正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6在直线l 上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 1第一次滚动到图2位置时，顶点A 1所经过的路径的长为（ ）．．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）． 13．（3分）因式分解：a 2+2a= _________ ．14．（3分）我市在临桂新区正在建设的广西桂林图书馆、桂林博物馆、桂林大剧院及文化广场，建成后总面积达163500平方米，将成为我市“文化立市”和文化产业大发展的新标志，把163500平方米用科学记数法可表示为_________平方米．15．（3分）当x=﹣2时，代数式的值是_________．16．（3分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，BE∥AD，梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△BEC的周长为_________．17．（3分）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是_________．18．（3分）若，，，…；则a2011的值为_________．（用含m的代数式表示）三、解答题（本大题共8题，共66分，请将答案写在答题卡上）．19．（6分）计算：．20．（6分）解二元一次方程组：．21．（8分）求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．已知：求证：证明：22．（8分）“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如下的统计图，请回答下列问题：（1）这次抽查的家长总人数为_________；（2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是_________．23．（8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？24．（8分）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒．（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）．（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？25．（10分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．（1）求证：D是的中点；（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；（3）若，且AC=4，求CF的长．26．（12分）已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．2014年北京市中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）．．．×=1的倒数是．．C D4．（3分）下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的．．6．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为（）．．sinA=．7．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）．．8．（3分）直线y=kx﹣1一定经过点（）11．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所12．（3分）如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（）．．=，a C=，，++l=；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）．13．（3分）因式分解：a2+2a=a（a+2）．14．（3分）我市在临桂新区正在建设的广西桂林图书馆、桂林博物馆、桂林大剧院及文化广场，建成后总面积达163500平方米，将成为我市“文化立市”和文化产业大发展的新标志，把163500平方米用科学记数法可表示为 1.635×105平方米．15．（3分）当x=﹣2时，代数式的值是﹣．代入=．16．（3分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，BE∥AD，梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△BEC的周长为18．17．（3分）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是y2=．，过解：∵×．．18．（3分）若，，，…；则a2011的值为1﹣．（用含m的代数式表示），再求出正确答案即可．解：∵﹣﹣=m，=670．﹣三、解答题（本大题共8题，共66分，请将答案写在答题卡上）．19．（6分）计算：．．20．（6分）解二元一次方程组：．所以此二元一次方程组的解为．故答案为：．21．（8分）求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．已知：求证：证明：22．（8分）“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如下的统计图，请回答下列问题：（1）这次抽查的家长总人数为100；（2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是．扇形统计图：赞成：×，反对：）．23．（8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？24．（8分）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒．（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）．（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？根题意得：，25．（10分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．（1）求证：D是的中点；（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；（3）若，且AC=4，求CF的长．的=，即可得的中点；S，，26．（12分）已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．，求出即可；）由抛物线的解析式﹣﹣，A B∴抛物线的解析式为，∴顶点坐标∴平移后的抛物线：，得，，A B，∴平移后的抛物线：；M=AD，M，，，。
2014北京市中考数学各区一模24题教师版 (1)
2014北京市各区一模24题教师版1西城24. 四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF ．G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC ．（1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图1中的△BEF 绕点B 顺时针方向旋转至图2所示位置，在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图1中的△BEF ，绕点B 顺时针旋转α（0°<α<90°），若BE=1，AB=2，当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长及tan ABF ∠的值.24．（1）解：EG GC ⊥，2ECGC=； ··························································································· 2分 （2）(1)中的结论仍然成立．证明：取线段BF 的中点M ，连接EM ，MG ，∵△BEF 是等腰直角三角形，∴12EMMB FM FB ===，且∠FME=90°． 连接BD ，取线段BD 的中点N ，连接GN ，CN ， ∵ABCD 是正方形，∴12GN BN DN BD ===，且∠CND=90°． ∵G 是DF 的中点， ∴12GN FB EM ==，GN ∥FB ． ∴∠1=∠2．同理12MGBD CN ==，MG ∥BD ． ∴∠2=∠3．∴12GN FB EM ==，GN ∥FB ．∴∠1=∠3．∴∠EMG=∠EMF+∠1=∠CND+∠2=∠GNC ．∴△EMG ≌△GNC ． ······························································································ 4分 ∴EG=GC ．∴∠EGM=∠GCN ．在△CNG 中，∠GNC+∠GCN+∠CGN=180°． ∴∠3+∠GCN+∠CGN=90°．GFE DCBAGFEDCBA图1图 2CDBA备用图CBAD∴∠2+∠EGM+∠CGN=90°． 即EG ⊥GC,2ECGC=． ·································································································· 5分 （3）当E ，F ，D 三点共线时，连接BD.∵BE=1，AB=2，∴2BF =，BD=2．在Rt △BED 中，1sin 2BE EDB BD ∠==． ∴30EDB∠=︒．∴3DE =．31DF DE EF =-=-． ··········································································································· 6分 ∴453015FBD EFB EDB ∠=∠-∠=︒-︒=︒． ∴451530ABF ABD FBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒． ∴3tan 3ABF∠=． ························································································································ 7分 2.在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC=100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC=100°，20α=时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．24．解：（1）30°；……………………………… ………………………………………1分 （2）如图作等边△AFC ，连结DF 、BF ．∴AF=FC=AC ， ∠FAC=∠AFC=60°.∵∠BAC=100°，AB=AC ，∴∠ABC=∠BCA =40°.∵∠ACD=20°，∴∠DCB=20°.∴∠DCB=∠FCB=20°. ① ∵AC=CD ，AC=FC ，∴DC=FC. ②∵BC=BC ，③∴由①②③，得 △DCB ≌△FCB ，GFEDCB A 图 2DCBA图1ABCD∴DB=BF ， ∠DBC=∠FBC.∵∠BAC=100°， ∠FAC=60°，∴∠BAF=40°.∵∠ACD=20°，AC=CD ，∴∠CAD=80°.∴∠DAF=20°.∴∠BAD=∠FAD=20°. ④ ∵AB=AC ， AC=AF ，∴AB= AF. ⑤∵AD= AD ，⑥∴由④⑤⑥，得 △DAB ≌△DAF.∴FD= BD.∴FD= BD=FB.∴∠DBF=60°.∴∠CBD=30°. ……………………………4分 （3）120m α=︒-, α=60° 或240m α=︒- . ……………………………7分3．在△ABC 中，CA ＝CB ，在△AED 中， DA ＝DE ，点D 、E 分别在CA 、AB 上，． （1）如图①，若∠ACB ＝∠ADE ＝90°，则CD 与BE 的数量关系是 ；（2）若∠ACB ＝∠ADE ＝120°，将△AED 绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ；，（3）若∠ACB ＝∠ADE ＝2α（0°< α < 90°），将△AED 绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE 的数量关系，并加以证明(用含α的式子表示)．24.解：（1）BE ＝2CD ； ……………………………………………………………… 1分（2）BE ＝3CD ； ………………………………………………………………… 3分（3）BE=2CD ·sinα． ……………………………………………………………… 4分 证明：如图，分别过点C 、D 作CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AE 于点N ， ∵ CA ＝CB ，DA ＝DE ，∠ACB ＝∠ADE=2α ， ∴ ∠CAB ＝∠DAE ，∠ACM ＝∠ADN=α ，AM=12AB ，AN=12AE ． ∴∠CAD ＝∠BAE ． ……………………………………………………………… 5分 Rt △ACM 和Rt △ADN 中,sin ∠ACM=AMAC ，sin ∠ADN=AN AD ．∴ sin AM AN AC ADα==．∴ 2sin AB AE AC ADα==．……………………… 6分又 ∵∠CAD ＝∠BAE ，∴ △BAE ∽△CAD ．∴ 2sin BE ABCD ACα==∴ BE=2DC ·sinα． …… 7分EDBA C图①EDBAC图③ED BAC图②EG DA B CF 4．在矩形A B C D 中，A D =12，A B =8，点F 是A D 边上一点，过点F 作∠AFE=∠DFC ，交射线AB 于点E ，交射线CB 于点G ．（1） 若82FG =，则_____CFG ∠=︒；（2） 当以F ，G ，C 为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB 的长；（3）过点E 作EH//CF 交射线CB 于点H ，请探究：当GB 为何值时，以F ，H ，E ，C 为顶点的四边形是平行四边形．24．解：（1）90° ………………………………………………2分 （2）正确画图 ………………………………………………3分四边形ABCD 是 ∴∠D=90°. △FGC 是等边三角形, =60GFC ∴∠︒ .∠DFC=∠AFE ， ∴∠DFC=60° . …………4分DC=8 ，∴331660sin =︒=DC FC .△FGC 是等边三角形， ∴GC=FC=1633.BC=AD=12，∴GB=12-1633.…………5分 （3）过点F 作FK ⊥BC 于点K 四边形ABCD 是矩形 ∴∠ABC=90°，AD//BC∴∠DFC=∠KCF ，∠AFG=∠KGF ∠DFC=∠AFG∴∠KCF=∠KGF ∴FG=FC ………6分∴GK=CK四边形FHEC 是平行四边形 ∴FG=EG ……………………………7分 ∠FGK=∠EGB, ∠FKG=∠EBG=90°∴△FGK ≌△EGB∴BG=GK=KC=4312=…………8分房山5. 将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P.（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 , 位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；D A B C 备用图 G ED A B CF K H EGDA B CF（3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长.24.解：（1）BD=CE , BD ⊥CE ..................................2分（2）如图3所示，∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形 ∴AB=AC,AD=AE ∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAD=∠CAE∴△ABD ≌△ACE .................................3分 ∴ ∠ABD=∠ACE ∵∠1=∠2，∴∠CPB=∠CAB=90° ∴BP ⊥CE∵AD ⊥BP ，∠DAE=90°，AD=AE∴四边形ADPE 为正方形 ∴AD=PE=2，∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4 ∴∠ABD=30°BD=CE=23 ..................................4分 ∴CP=CE -PE=232－ ..................................5分图321PDEBACPO DE BA C图4图1 图2 DEB ACEDBCABAC备用图（3）如图4，取BC 中点O ，连结OP 、OA. ∵∠BPC ＝∠BAC ＝90°∴OP ＝OA =12BC ＝2 2 ..................................6分在此旋转过程中（0°≤α≤180°）， 由（2）知，当α＝60°时， ∠PBA 最大，且∠PBA=30°此时∠AOP ＝60°∴点P 运动的路线是以O 为圆心，OA 长为半径的AP +PA∴点P 运动的路线长为：»»»l AP PA AP ⋅π⋅=+==⨯=π602242221803 ...............................7分6.在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ．（1）如图1，请你直接写出线段AD 与BC 之间的数量关系: AD= BC ；（2）如图2，若P 是线段BC 上一个动点（点P 不与点B 、C 重合），联结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°，得到线段AE ，联结CE ，猜想线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点P 是线段BC 延长线上一个动点，（2）中的其他条件不变，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系．24.解：（1）23……………………1分 （2）AD=23（CE+PC ）． ……………2分 理由如下： ∵线段AP 绕点A 逆时针旋转60°，得到线段AE ，∴∠PAE=60°，AP=AE ，∵等边三角形ABC ，∴∠BAC=60°，AB=AC∴∠BAC ﹣∠PAC=∠PAE ﹣∠PAC ，∴∠BAP=∠CAE ， 在△ABP 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AP CAE BAP AC AB ， ∴△ABP ≌△ACE ， ……………………3分 ∴BP=CE ，∵BP+PC=BC ，∴CE+ PC=BC ， ∵AD=23BC ，∴AD=23（CE+PC ）. ……………………4分 （3）如图， …………5分 AD=23（CE-PC ）． ……………………7分7． 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF .现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至'''D F CE ,旋转角为α.（1）当点'D 恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值； （2）如图2，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：DE GD''=；（3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，'DCD ∆与'CBD ∆能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由.24．(1)''1sin '230....................................2DC EFDCD CD E CE CE CD CD ααα∴∠=∠=∴===∴=︒分EDCBARPQNM(2)(3) 能,=135=315αα︒︒或 …………………7分顺义8．已知：如图，MNQ △中，MQNQ ≠．（1）请你以MN 为一边，在MN 的同侧构造一个与MNQ △全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下 面问题： 如图，在四边形ABCD 中，180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠．求证：CD=AB ．24．解：（1）过点N 在MN 的同侧作∠MNR =∠QMN ，在NR 上截取NP=MQ ，连结MP ．MNP △即为所求．……… 画图1分，构造说明1分，共2分（2）证明：延长BC 到点E ，使CE=AD ，连结AE ．∵180ACB CAD∠+∠=︒，180ACB ACE ∠+∠=︒，∴CADACE ∠=∠．……………… 3分又∵AD = CE ，AC = CA ，∴ACD △≌CAE △．……………… 4分∴∠D=∠E ，CD=AE ．…………………………………………… 5分 ∵∠B=∠D ，G BC GC=CG'=CE=1D'CG=DCG+DCD'=90+ DCE'=D'CE'+DCD'=90+D'CG=DCE'CD'=CD GCD E'CDGD'=E'D........................................5αα∴∠∠∠︒∠∠∠︒∴∠∠∴≅∴为中点，又分#QNMDCBA∴∠B=∠E ．∴AE =AB ．………………………………………………………… 6分 ∴CD=AB ．………………………………………………………… 7分9.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ；（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα，①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．图1 图2 24. 解：（1）AEBG=； …………………2分（2）①成立．以下给出证明： 如图，连接AD ，∵在 Rt BAC ∆中，D 为斜边BC 中点，∴BD AD =，BC AD ⊥，∴︒=∠+∠90GDB ADG ． …………………3分 ∵四边形EFGD 为正方形，∴DG DE =，且︒=∠90GDE ，FGEDCABBACDEGF∴︒=∠+∠90ADE ADG，∴ADE BGD ∠=∠． ……4分 在BDG ∆和ADE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,ED GD ADE BDG AD BD∴BDG ∆≌ADE ∆， ∴AE BG=． ……………………5分②由①可得AE BG =，当BG 取得最大值时，AE 取得最大值．当旋转角为︒270时，AE BG =，最大值为642=+. ………6分如图,此时13222=+=EF AE AF ． ……………………7分通州10．已知：等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，点M 在直线BC 上，以点M 为旋转中心，将线段MD 顺时针旋转60º至D M '，连接D E '.（1）如图1，当点M 在点B 左侧时，线段D E '与MF 的数量关系是__________；（2）如图2，当点M 在BC 边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；（3）当点M 在点C 右侧时，请你在图．．3．中画出．．．相应的图形．．．．．，直接判断．．．．（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由.24. （1）D E '=MF ； ..........................................................(1分)D'FE DCAB MD'FE DC A BM图 1F EDC AB M图3图2BACDEGFBA CDE GF（2）D E '与MF 的相等关系依然成立 证明：连接DE 、DF 、D D 'D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点 ∴DE//BC ，DE=12BC ，DF//AC ，DF=12AC∴四边形DFCE 为平行四边形△ABC 是等边三角形 ∴BC=AC ，∠C=60º∴DE=DF ，∠EDF=∠C=60º...................(2分) MD=D M '，D DM '∠=60º..................(3分) ∴△D DM '是等边三角形∴︒='∠60D MD ，D D MD '= ∴EDF D MD ∠='∠D FD D MD MDF '∠-'∠=∠D FD EDF D ED '∠-∠='∠∴D ED MDF '∠=∠ ..........................................................(4分)∴△E D D '≌△DMF （SAS ）∴D E '=MF ..........................................................(5分) （3）D E '与MF 的相等关系依然成立....................................................(6分)画出正确图形 ..............................................(7分)11..已知：在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=α，点D 是AB 边上任意一点，将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E.（1）如图12-1，当α=60°时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系；_______________ （2）如图12-2，当α=45°时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明；（3）如图12-3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系：_______________________．（用含α的式子表示,其中090a <<）24. (1)BD=AE ； ………………1分 (2)BD=2AE ；理由如下： ………………2分 D'FEDCABMD'F EDC ABMECBAD 图12-1EC BAD图12-2CBAD图12-3过点D 作DF ∥AC ，交BC 于F ． ∵DF ∥AC ，∴∠ACB=∠DFC ．∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°． ∴△DFB 是等腰直角三角形 ∴BD =DF=22BF ． ………………3分 ∵AE ∥BC ，∴∠ABC+∠BAE=180°． ∵∠DFB +∠DFC=180°∴∠BAE=∠DFC ．∵∠ABC+∠BCD=∠ADC ，∠ABC=∠CDE=α，∴∠ADE =∠BCD ．∴△ADE ∽△FCD ． ∴CF AD DF AE =． ………………4分 ∵DF ∥AC ， ∴CFAD BF BD =． ∴22==BFBD BDAE ． ………………5分 ∴BD=2AE ．(3) 补全图形如图3， ………………6分关系：BD=2cos α·AE ． ………………7分 (图正确得1分，结论正确得1分)12．如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG .（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG ； （2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数； （3）如图3，如果α=45°，AB =2，AE =42，求点G 到BE 的距离.A BCD E FG图2A BC D E FG图3GFED CBA 图1F ECBA D ECBAD 图24-3图24-224．（1）证明：如图2，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAE+∠EAD=90°. ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AE=AG ，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG . ………………………………… 1分 ∴△ABE ≌△(SAS)ADG .∴BE=DG . …………………………………………………………………………… 2分（2）解：45°或135°. ………………………………………………………………………… 4分 （3）解：如图3，连接GB 、GE . 由已知α=45°，可知∠BAE=45°. 又∵GE 为正方形AEFG 的对角线， ∴∠AEG=45°. ∴AB ∥GE .∵42AE =,∴GE =8，1==162BEG AEGAEFG SSS =正方形. …………………………………………………… 5分 过点B 作BH ⊥AE 于点H. ∵AB=2， ∴2BH AH ==. ∴32HE=.∴25BE =. ………………………………………………………………………6分设点G 到BE 的距离为h.∴11251622BEGSBE h h =⋅⋅=⨯⨯=. ∴1655h =. ……………………………………………………………………………… 7分图2A BC D E FG图3GFED CBA HQPED CBA QPE D CBAQPEDCBA即点G 到BE 的距离为1655.东城13. 如图1，已知∠DAC=90°，△ABC 是等边三角形，点P 为射线AD 上任意一点（点P 与点A 不重合），连结CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，连结QB 并延长交直线AD 于点E. （1）如图1，猜想∠QEP= °；（2）如图2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明； （3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ 的长．图1 图2 图3 24. （本小题满分7分）解： (1) ∠QEP = 60 °．………………1分 (2) ∠QEP = 60 °．证明: 如图1，以∠DAC 是锐角为例．21G QPED CBAGQPEDCBA∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC =BC ，∠ACB =60°．又由题意可知，CP =CQ ，∠PCQ =6O °． ∴ ∠ACP =∠BCQ ． ∴ △ACP ≌△BCQ ． ∴ ∠APC =∠Q ．设PC 与BQ 交于点G ， 图1 ∵ ∠1=∠2，∴ ∠QEP =∠PCQ =60°． ………………4分 （3）由题意可求，∠APC =30°，∠PCB =45°． 又由（2）可证 ∠QEP =60°． ∴ 可证QE 垂直平分PC ，△GBC 为等腰直角三角形． ∵ AC =4，∴ 22GC =，26GQ =．∴2622BQ =-． ………………7分 平谷14．（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF=45°，连接EF ，则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF=BE+FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN+=，请证明这个等量关系；（2）在△ABC 中， AB=AC ，点D 、E 分别为BC 边上的两点．①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是__________________； ②如图3，当∠BAC=α，(0°<α<90°)，∠DAE=α21时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是M'AB CDEF MNAB CEDFGHCHFG EPBDA____________________．【参考：1cos sin22=+αα】AB CD EF图1B CDE 图2AB CDE 图3AMN24． (1) 在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，∠ABM=∠ADN=45°．把△ABM 绕点A 逆时针旋转90°得到M AD '∆． 连结M N '．则，，AM AM BM M D =='',︒=∠='∠45ABM M AD ，BAM M DA ∠='∠．∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°,∠DAM′+∠DAF=45°, ︒=∠=∠45'MAN AN M ． ∴N AM '∆≌AMN ∆． ∴N M '=MN ．在N DM '∆中，︒=∠+∠=∠90''ADM ADN DN M ,222''DM DN N M +=∴222BM DN MN += ---------------------------3分（2）① 222EC EC BD BD DE +⋅+=； ------------5分② 222cos 2EC EC BD BD DE +⋅⋅+=α --7分15.在等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，（1）如图1，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AF ⊥BE 交BC 于点F ，连结EF 、CD 交于点H.求证，EF ⊥CD ；（2）如图2，AD=AE ，AF ⊥BE 于点G 交BC 于点F ，过F 作FP ⊥CD 交BE 的延长线于点P ，试探究线段BP,FP,AF 之间的数量关系，并说明理由。
2014年北京中考数学一模试题最新汇编--圆综合全(学生版)
1、（2014北京西城数学一模）21．如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，交BC 于点D ，连结OD ，过点D 作圆O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ． （1）求证：OD AC ∥； （2）当10AB =，5cos 5ABC ∠=时，求AF 及BE 的长．2、（2014朝阳一模）21．如图，CA 、CB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ．直径延长AD 与CB 的延长线交于点E ． AB 、CO 交于点M ，连接OB ． （1）求证：∠ABO =12∠ACB ； （2）若sin ∠EAB =1010，CB =12，求⊙O 的半径及BEAE的值．3、（2014东城一模）21. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BD 上一点，∠DAC =∠AED ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2） 若点E 是BD 的中点，连结AE 交BC 于点F ，当BD =5，CD =4时，求DF 的值．4、（2014房山一模）21．如图， AE 是⊙O 直径，D是⊙O 上一点，连结AD 并延长使AD=DC ，连结CE 交⊙O 于点B ，连结AB .过点E 的直线与AC 的延长线交于点F ，且∠F=∠CED .（1）求证:EF 是⊙O 切线； （2）若CD=CF=2，求BE 的长.5、（2014丰台一模）20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 与边M D B OECAFB C AOEDOFEDC B AACBOD AC 相切于点E ，连结DE 并延长交BC 的延长线于点F ．（1）求证：∠B DF =∠F ； （2）如果CF ＝1，sinA ＝35，求⊙O 的半径．7、（2014门头沟一模）20.如图8，⊙O 的直径AB =4，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC . （1）若∠CP A =30°，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M . 你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小.8、（2014密云一模）21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BD=BF ；（2）若CF=1，cosB=，求⊙O 的半径．9、（2014平谷一模）20. 如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊥OB ，连接AB 交OC 于点D ． （1）求证：AC =CD ．（2）若AC =2，AO =5，求OD 的长．MPO CBAE BCOF DAOPDBCEA10、（2014石景山一模）21．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC AB =，连结CO 并延长交⊙O 的切线AP 于点P ． （1）求证：BCP APC ∠=∠； （2）若53sin =∠APC ，4=BC ，求AP 的长．11、（2014海淀一模）如图，在△ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点，DF ⊥AC 于F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若3cos 5C =，9CF =，求AE 的长．12、（2014通州一模）21．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE ∥BD ，交BC 于点F ，交AE 于点E .（1）求证：∠E =∠C ； （2）当⊙O 的半径为3，cos A ＝45时，求EF 的长.13、（2014延庆一模）21. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是边BC 的中点．以 CD 为直径作⊙O ，交边AC 于点P ，连接BP ，交AD 于点E ． （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如果PB 是⊙O 的切线，BC =4，求PE 的长．BPCO AOF EABCD14、（2014燕山一模）21. 如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交直线AB 于点F . （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若23=ED ，43tan =F ， 求⊙O 的半径.15、（2014昌平一模）21. 如图，已知A 、B 、C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，P 是直径CD 的延长线上的一点，且AP =AC .（1）求证：AP 与⊙O 相切； （2）如果AC =3，求PD 的长.EFD O CB ADPOCA B。
中考数学试卷2014年北京卷(有答案)
2014年北京市高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共32分)一、选择题(本题共32分,每小题4分)下面各题均有四个选项,其中只有一个．．是符合题意的.1.2的相反数是( )A.2B.-2C.-D.2.据报道,某小区居民李先生改进用水设备,在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨.将300 000用科学记数法表示应为( )A.0.3× 06B.3× 05C.3× 06D.30× 043.如图,有6张扑克牌,从中随机抽取一张,点数为偶数的概率是( )D.A. B. C.34.如图是某几何体的三视图,该几何体是( )A.圆锥B.圆柱C.正三棱柱D.正三棱锥5.某篮球队12则这12名队员年龄的众数和平均数分别是( )A.18,19B.19,19C.18,19.5D.19,19.56.园林队在某公园进行绿化,中间休息了一段时间.已知绿化面积S(单位:平方米)与工作时间t(单位:小时)的函数关系的图象如图所示,则休息后园林队每小时绿化面积为( )A.40平方米B.50平方米C.80平方米D.100平方米7.如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A= .5°,OC= ,CD的长为( )A.2B.4C.4D.88.已知点A为某封闭图形边界上一定点,动点P从点A出发,沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x,线段AP的长为y,表示y与x的函数关系的图象大致如图所示,则该封闭图形可能是( )第Ⅱ卷(非选择题,共88分)二、填空题(本题共16分,每小题4分)9.分解因式:ax4-9ay2= .10.在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时测得一根旗杆的影长为25 m,那么这根旗杆的高度为m.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数y=(k≠0),使它的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为.12.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把点P'(-y+1,x+1)叫做点P的伴随点.已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,A n,….若点A1的坐标为(3,1),则点A3的坐标为,点A2 014的坐标为;若点A1的坐标为(a,b),对于任意的正整数n,点A n均在x轴上方,则a,b应满足的条件为.三、解答题(本题共30分,每小题5分)13.如图,点B在线段AD上,BC∥DE,AB=ED,BC=DB.求证:∠A=∠E.14.计算:(6-π)0+-5--3tan 30°+|-3|.15.解不等式x- ≤x-,并把它的解集在数轴上表示出来.316.已知x-y=3,求代数式(x+1)2-2x+y(y-2x)的值.17.已知关于x的方程mx2-(m+ )x+ =0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.18.列方程或方程组解应用题:小马自驾私家车从A地到B地,驾驶原来的燃油汽车所需油费108元,驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元.已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元,求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.四、解答题(本题共20分,每小题5分)19.如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连结EF,PD.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若AB= ,AD= ,∠ABC= 0°,求tan∠ADP的值.20.根据某研究院公布的2009—2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据,绘制的统计图表如下:2013年成年国民倾向的阅读方式人数分布统计图2009—2013年成年国民根据以上信息解答下列问题:(1)直接写出扇形统计图中m的值;(2)从2009到2013年,成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等,估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为本;(3)2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人,若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平,估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为本.21.如图,AB是☉O的直径,C是的中点,☉O的切线BD交AC的延长线于点D,E是OB的中点,CE的延长线交切线DB于点F,AF交☉O于点H,连结BH.(1)求证:AC=CD;(2)若OB=2,求BH的长.22.阅读下面材料:小腾遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,点D在线段BC 上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD= ,BD= DC,求AC的长.小腾发现,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,通过构造△ACE,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2) .请回答:∠ACE的度数为,AC的长为.参考小腾思考问题的方法,解决问题:如图3,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2,BE=2ED,求BC的长.图3五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,-2),B(3,4).(1)求抛物线的表达式及对称轴;(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A,B之间的部分为图象G(包含A,B两点).若直线CD与图象G有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t的取值范围.24.在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连结BE,DE,其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图1;(2)若∠PAB= 0°,求∠ADF的度数;(3)如图2,若 5°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.25.对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足-M≤y≤M,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,下图中的函数是有界函数,其边界值是1.(1)分别判断函数y=(x>0)和y=x+1(- <x≤ )是不是有界函数?若是有界函数,求其边界值;(2)若函数y=-x+ (a≤x≤b,b>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围;(3)将函数y=x 2(- ≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m 个单位,得到的函数的边界值是t,当m 在什么范围时,满足3≤t≤ ?答案全解全析：一、选择题1.B ∵ +(- )=0,∴ 的相反数为-2.故选B.2.B 300 000=3× 05.故选B.3.D 6张扑克牌中,点数为偶数的有3张,所以抽到点数为偶数的概率是3 =.故选D.4.C 选项A 、B 中的几何体,三视图中一定有一个圆,与所给的三视图不符,排除A,B;选项D 中的几何体的三视图是三个三角形,与所给的三视图也不相符,排除D.只有选项C 中的几何体与所给的三视图相符,故选C.5.A 年龄为18岁的队员最多,故众数为18;12名队员年龄的平均数为5 9 0=19.故选A.6.B 休息的过程中是不进行绿化工作的,即绿化面积S 不变化,由图象可知第1~2小时为园林队休息时间,则休息后园林队的绿化面积为160-60=100(平方米),所用的时间为4-2=2(小时),所以休息后园林队每小时绿化面积为 00÷ =50(平方米).故选B. 7.C∵CO=AO,∴∠COE= ∠A= 5°.∵OC= ,∴CE=OC·sin∠COE= ×=2 .∵AB⊥CD,∴CD= C E=4 故选C.8.A 由图象可知,AP 先由短变长,然后略微变短再变长,最后AP 由长变短.选项A 与题目要求相符;选项B 是先由短变长,然后略微变短再变长,接着再略微变短再变长,最后由长变短,与题目要求不符;选项C 是先由短变长,到达第一个顶点后继续变长,到达第二个顶点后开始变短,到达第三个顶点后继续变短,与题目要求不符;选项D 是先由短变长,在经过点A 的直径与圆的另一个交点处时最长,然后开始变短,与题目要求不符.故选A.评析 解决本题的关键是根据图形特征分析函数图象随自变量变化的趋势,结合图形性质通过定性分析来确定选项.属中档题. 二、填空题9.答案 a(x 2+3y)(x 2-3y)解析 ax 4-9ay 2=a(x 4-9y 2)=a(x 2+3y)(x 2-3y). 10.答案 15解析 设旗杆的高度为x m,则 . 3=5,解得x=15.即旗杆的高度为15 m.11.答案 y=(答案不唯一,满足0<k≤ 即可)解析 要使反比例函数的图象与正方形有交点,则至少要经过点B,且k>0,而点B 的坐标为(2,2),所以k 的最大值为4,即0<k≤ . 12.答案 (-3,1);(0,4);-1<a<1,0<b<2解析 由题意可知,点A 2的坐标为(0,4),点A 3的坐标为(-3,1),点A 4的坐标为(0,-2),点A 5的坐标为(3, ),…,所以每四个点坐标为一个循环.∵ 0 ÷ =503…… ,∴点A 2 014的坐标与点A 2的坐标一致,为(0,4).因为每四个点坐标为一个循环,所以要求a,b 应满足的条件,只需要知道前4个点的坐标即可.∵点A 1的坐标为(a,b),∴点A 2、A 3、A 4的坐标依次为(-b+1,a+1)、(-a,-b+2)、(b-1,-a+ ).∵点A n 均在x 轴上方,∴0,0,-0,-0,∴-1<a<1,0<b<2.评析解决本题的关键是读懂题目要求,并按照题目要求正确操作.尤其是“在x轴上方”即为“纵坐标>0”.属中档题.三、解答题13.证明∵BC∥DE,∴∠ABC=∠D.在△ABC和△EDB中,,∠∠,,∴△ABC≌△EDB.∴∠A=∠E.14.解析原式=1-5-3×33+3=-4.15.解析去分母,得3x- ≤ x-3,移项,得3x- x≤ -3.合并同类项,得-x≤3,系数化为1,得x≥-3.不等式的解集在数轴上表示如下:16.解析(x+1)2-2x+y(y-2x)=x2+2x+1-2x+y2-2xy=x2-2xy+y2+1.∵x-y=∴原式=(x-y)2+1=4.17.解析(1)证明:∵m≠0,∴mx2-(m+2)x+2=0是关于x的一元二次方程.∴Δ=[-(m+2)]2- × m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2)由求根公式,得x=( )(- ).∴x1=1,x2=.∵方程的两个实数根都是整数,且m为正整数,∴m= 或2.18.解析设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元.由题意,得 7= 00.5.解得x=0.18.经检验,x=0.18是原方程的解,且符合题意.答:新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元.四、解答题19.解析(1)证明:∵BF是∠ABC的平分线,∴∠ABF=∠EBF.∴∠AFB=∠EBF.∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.同理,AB=BE.∴AF=BE.又∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形.∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形.(2)过点P作PG⊥AD于点G,如图.∵四边形ABEF是菱形,∠ABC= 0°,∴△ABE是等边三角形.∵AB= ,∴AE=AB= ,∴AP=AE=2.在Rt△AGP中,可求得∠PAG= 0°.∴AG=AP·cos 0°= ,GP=AP·sin 0°=3.∵AD= ,∴DG=5,.∴tan∠ADP==3520.解析(1)66.0.( )5.00±0.0 .(3)7 500±30.(990÷ .0%×5=7 500) 21.解析(1)证明:连结BC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵C是的中点,∴=.∴AC=BC.∴∠CAB=∠CBA= 5°.∵BD是☉O的切线,∴∠ABD=90°.可得∠CBD=∠D= 5°.∴BC=CD.∴AC=CD.(2)连结OC.∴∠OCA=∠CAB= 5°.∴∠COE=90°.∵E是OB的中点,∴OE=BE.∵∠CEO=∠FEB,∴Rt△COE≌Rt△FBE.∴BF=OC.∵OB= ,∴BF= .由勾股定理,得AF=2.∵∠ABF=∠AHB=90°,∴BH=·=55.22.解析∠ACE的度数为75°,AC的长为3.解决问题:过点D作DF∥AB交AC于点F,如图.∴∠DFE=∠BAC=90°,又∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE.∴==.∵BE= ED,AE= ,∴FE= ,∴AF=3.∵∠CAD=30°,∴FD=,AD=2∵= ,∴AB=∵∠ADC=75°,∠CAD=30°,∴∠ACD=75°,∴AC=AD= 3.在Rt△ABC中,由勾股定理可得BC=2.评析本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数等知识.解决本题的关键是读懂题目中给出的操作方法,由平行想到相似三角形.属中档题.五、解答题23.解析( )∵点A,B在抛物线y=2x2+mx+n上,∴-,33m n.解得- ,- .∴抛物线的表达式为y=2x2-4x-2.∴抛物线的对称轴为x=1.(2)由题意可知,点C的坐标为(-3,-4). 设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0).∴3,--3,解得3,0.∴直线BC的表达式为y=3x.∴当x=1时,y=3.结合图象可知,点A在直线BC的下方,且抛物线的顶点坐标为(1,-4),∴- ≤t≤3.24.解析(1)补全图形,如图所示.(2)连结AE,如图.∵点E与点B关于直线AP对称,∴AE=AB,∠EAP=∠BAP= 0°.∵AB=AD,∴AE=AD,∴∠AED=∠ADF.又∠BAD=90°,∴ ∠ADF+ 0°+90°= 0°.∴∠ADF= 5°.(3)AB,FE,FD满足的数量关系为FE2+FD2=2AB2. 证明:连结AE,BF,BD,设BF交AD于点G,如图.∵点E与点B关于直线AP对称,∴AE=AB,FE=FB.可证得∠FEA=∠FBA.∵AB=AD,∴AE=AD.∴∠ADE=∠AED.∴∠ADE=∠ABF.又∵∠DGF=∠AGB,∴∠DFB=∠BAD=90°.∴FB2+FD2=BD2.∵BD2=2AB2,∴FE2+FD2=2AB2.25.解析(1)y=(x>0)不是有界函数;y=x+1(- <x≤ )是有界函数,边界值是3.(2)对于函数y=-x+ (a≤x≤b,b>a),∵y随x的增大而减小,∴y的最大值是-a+1,y的最小值是-b+1.∵函数的最大值是2,∴a=-1.又∵函数的边界值是2,∴-b+ ≥-2,∴b≤3.∴- <b≤3.(3)由题意,函数平移后的表达式为y=x2-m(- ≤x≤m,m≥0).当x=-1时,y=1-m;当x=0时,y=-m;当x=m时,y=m2-m.根据二次函数的对称性,当0≤m≤ 时,1-m≥m2-m;当m>1时,1-m<m2-m.①当0≤m≤时,1-m≥m,由题意,边界值t=1-m.当3≤t≤ 时,0≤m≤.∴0≤m≤.②当<m≤ 时,1-m<m.由题意,边界值t=m.当3≤t≤ 时,3≤m≤ .∴3≤m≤ .③当m>1时,由题意,边界值t≥m.∴不存在满足3≤t≤ 的m值.综上所述,当0≤m≤或3≤m≤ 时,满足3≤t≤ .。
2014北京中考数学试题及答案
2014年北京市高级中等学校招生考试学校姓名准考证号一、 选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1.2的相反数是A ．2B ．2-C ．12-D ．122. 据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨，将300 000用科学记数法表示应为 A ．60.310⨯ B ．50.310⨯ C ．6310⨯ D ．43010⨯ 3. 如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是A ．16 B ．14 C ．13D ．12 4. 右图是某几何体的三视图，该几何体是 A ．圆锥 B ．圆柱 C ．正三棱柱D ．正三棱锥5. 某篮球队12名球员的年龄如下表所示：则这12名队员年龄的众数和平均数分别是A ．18,19B ．19,19C ．18,19.5D ．19,19.56. 园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间。
已知绿化面积S （单位：平方米）与工作时间（单位：小时）的函数关系如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 A ．40平方米 B ．50平方米 C ．80平方米 D ．100平方米7. 如图，O 的直径垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为A． B ．4 C． D ．88. 已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y ．表示y 与x 的函数关系的图像大致如右图所以，则该封闭图形可能是ABCD二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 分解因式：429ax ay -=．10. 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为．11. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数(0)ky k x=≠，使它的图像与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为．A A AAODCBA12. 在平面直角坐标系xoy 中，对于点(,)P x y ，我们把点'11P y x -++（，）叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，3A 2A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…n A ，…．若点1A 的坐标为(3,1)，则点3A 的坐标为， 点2014A 的坐标为；若点1A 的坐标为(,)a b ，对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a 、b 应满足的条件为．三、解答题（本题共O 30分，每小题5分）13. 如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB = 求证：A E ∠=∠14、计算：()1163tan3035π-︒⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭15、解不等式1211232x x -≤-，并把它的解集在数轴上表示出来16、已知x y -，求代数式()()2122x x y y x +-+-的值ECBA-44-33-22-1117、已知关于x 的方程()2220mx m x -++=()0m ≠ （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值18、列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元。
2014年北京市西城区中考数学二模试卷-含详细解析
2014年北京市西城区中考数学二模试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.在，0，-2，-1这四个数中，最小的数是（）A. B. 0 C. 1 D.2.据报道，按常住人口计算，2013年北京市人均GDP（地区生产总值）达到约93210元，将93210用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（）A.B.C.D.4.在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字-2，-1，0，1，3，从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为（）A. B. C. D.5.如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是（）A. B. 7m C. 8m D. 9m6.如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（）A. 6B. 12C. 24D. 487.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A.B.C.D.8.如图表示一个正方体的展开图，下面四个正方体中只有一个符合要求，那么这个正方体是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）9.函数y=-1中，自变量x的取值范围是______．10.若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：______．11.一组数据：3，2，1，2，2的中位数是______，方差是______．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x（x-3）（0≤x≤3）在x轴上方的部分，记作C1，它与x轴交于点O，A1，将C1绕点A1旋转180°得C2，C2与x轴交于另一点A2．请继续操作并探究：将C2绕点A2旋转180°得C3，与x轴交于另一点A3；将C3绕点A2旋转180°得C4，与x轴交于另一点A4，这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，A n，…，及抛物线C1，C2，…，C n，…．则点A4的坐标为______；Cn的顶点坐标为______（n为正整数，用含n的代数式表示）．三、计算题（本大题共3小题，共17.0分）13.解分式方程：+=1．14.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．15.在△ABC，∠BAC为锐角，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若∠ABE=60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC+AB=AE，求∠BAC的度数．四、解答题（本大题共10小题，共55.0分）16.计算：（）-1+|-|-（π-3）0+3tan30°．17.已知：如图，C是AE上一点，∠B=∠DAE，BC∥DE，AC=DE．求证：AB=DA．18.在海南东环高铁上运行的一列“和谐号”动车组有一等车厢和二等车厢共6节，一共设有座位496个．其中每节一等车厢设座位64个，每节二等车厢设座位92个．试求该列车一等车厢和二等车厢各有多少节？19.抛物线y=x2+bx+c（b，c均为常数）与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若P是抛物线上一点，且点P到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P 的坐标．20.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，E是CD的延长线上一点，且∠AEC=∠ADC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）若DB⊥CB，∠BCD=60°，CD=12，作AH⊥BD于H，求四边形AEDH的周长．21.据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图表的一部分：请根据以上信息，回答以下问题：（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了______分钟；（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使用户约为______亿（结果精确到0.1）；（3）从调查数据看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用户的规模将到达______亿．22.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F．（1）求证：∠ABC=∠F；（2）若，DF=6，求⊙O的半径．23.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，五个正方形的边长都为1，将这五个正方形分割为四部分，再拼接为一个大正方形．小明研究发现：如图2，拼接的大正方形的边长为，“日”字形的对角线长都为，五个正方形被两条互相垂直的线段AB，CD分割为四部分，将这四部分图形分别标号，以CD为一边画大正方形，把这四部分图形分别移入正方形内，就解决问题．请你参考小明的画法，完成下列问题：（1）如图3，边长分别为a，b的两个正方形被两条互相垂直的线段AB，CD分割为四部分图形，现将这四部分图形拼接成一个大正方形，请画出拼接示意图（2）如图4，一个八角形纸板有个个角都是直角，所有的边都相等，将这个纸板沿虚线分割为八部分，再拼接成一个正方形，如图5所示，画出拼接示意图；若拼接后的正方形的面积为，则八角形纸板的边长为______．24.经过点（1，1）的直线l：y=kx+2（k≠0）与反比例函数G1的图象交于点A（-1，a），B（b，-1），与y轴交于点D．（1）求直线l对应的函数表达式及反比例函数G1的表达式；（2）反比例函数G2：，①若点E在第一象限内，且在反比例函数G2的图象上，若EA=EB，且△AEB的面积为8，求点E的坐标及t值；②反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N（点M在点N的左侧），若＜，直接写出t的取值范围．25.在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作l PBM．（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0，2），①直线l1：y=2，直线l2：y=x+2，直线l3：，直线l4：y=-2x+2都经过点P，在直线l1，l2，l3，l4中，是⊙O的“x关联直线”的是______；②若直线l PBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标x M的最大值是______；（2）点A（2，0），⊙A的半径为1，①若P（-1，2），⊙A的“x关联直线”l PBM：y=kx+k+2，点M的横坐标为x M，当x M最大时，求k的值；②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标y p＞2，⊙A的两条“x关联直线”l PCM，l PDN是⊙A的两条切线，切点分别为C，D，作直线CD与x轴交于点E，当点P的位置发生变化时，AE的长度是否发生改变？并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为-2＜-1＜0＜，所以最小的数是-2．故选：D．利用有理数大小比较的方法：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；直接按顺序排列，选择答案即可．此题考查有理数大小比较的方法，注意先分类再比较．2.【答案】B【解析】解：将93210用科学记数法表示为：9.321×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；又∵∠BCD=110°，∴∠BAD=70°．故选D．根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．本题主要考查了圆内接四边形的性质．解答此题时，利用了圆内接四边形的对角互补的性质来求∠BCD的补角即可．4.【答案】C【解析】解：∵在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字-2，-1，0，1，3，∴从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为：．故选C．由在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字-2，-1，0，1，3，直接利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5.【答案】C【解析】解：设旗杆高度为h，由题意得=，h=8米．故选：C．因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．6.【答案】C【解析】解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB=20÷4=5，AC⊥BD，OB=BD=3，∴OA==4，∴AC=2OA=8，∴菱形ABCD的面积是：AC•BD=×8×6=24．故选：C．由菱形ABCD的周长是20，即可求得AB=5，然后由股定理即可求得OA的长，继而求得AC的长，则可求得菱形ABCD的面积．此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7.【答案】A【解析】解：∵AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），∴y=2，∴点A的坐标为（2，2），∴AB=2，OB=2，由勾股定理得，OA===4，∴∠A=30°，∠AOB=60°，∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，∴∠C=30°，CD∥x轴，设AB与CD相交于点E，则BE=BC=AB=×2=，CE===3，∴点C的横坐标为3+2=5，∴点C的坐标为（5，）．故选：A．根据直线解析式求出点A的坐标，然后求出AB、OB，再利用勾股定理列式求出OA，然后判断出∠C=30°，CD∥x轴，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，利用勾股定理列式求出CE，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．本题考查了坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求出△AOB的各角的度数以及CD∥x轴是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：空白面的每个邻面是斜线面，故选：B．本题考查了展开图折成几何体，邻面间的相对关系是解题关键，根据相邻面、对面的关系，可得答案．9.【答案】x≥0【解析】解：根据题意，得x≥0．故答案为：x≥0．根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．10.【答案】y=x+2【解析】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，把（0，2）代入得b=2，∴y=kx+2，∵函数y随自变量x的增大而增大，∴k＞0，∴k可取1，此时一次函数解析式为y=x+2．故答案为y=x+2．设一次函数的解析式为y=kx+b，根据一次函数的图象过点（0，2）得到b=2，根据函数y随自变量x的增大而增大得到k＞0，然后取k=1写出一个满足条件的解析式．本题考查了一次函数y=kx+b的性质：当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．11.【答案】2；0.4【解析】解：把这组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，最中间的数是2，则中位数是2；∵这组数据的平均数是（1+2+2+2+3）÷5=2，∴方差是：[（3-2）2+（2-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（2-2）2]=0.4．故答案为：2，0.4．先将这组数据从小到大排列，再找出最中间的数，即可得出中位数；先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=[（x 1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]进行计算即可．本题考查方差和中位数：一般地设n个数据，x 1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x 1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．12.【答案】（12，0）；（3n-，（-1）n+1•）【解析】解：这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，A n，…，及抛物线C1，C2，…，C n，…．则点A4的坐标为（12，0）；Cn的顶点坐标为（3n-，（-1）n+1•），故答案为：（12，0），（3n-，（-1））．根据图形连续旋转，旋转奇数次时，图象在x轴下方，每两个图象全等且相隔三个单位；旋转偶数次时，图象在x轴上方，每两个图象全等且相隔三个单位．本题考查了二次函数图象与几何变换，交点间的距离是3，顶点间的横向距离距离是3，纵向距离是．13.【答案】解：去分母得：2+x（x+2）=x2-4，解得：x=-3，经检验x=-3是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14.【答案】解：（1）根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0，解得：k＜；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=-1±，∵方程的解为整数，∴5-2k为完全平方数，则k的值为2．【解析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．15.【答案】解：（1）AB=AC+CD，理由为：过D作DE⊥AB，如图1所示，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=45°，即△BDE为等腰直角三角形，∴CD=DE=EB，则AB=AE+EB=AC+CD；（2）①AB=AC+CE；证明：在线段AB上截取AH=AC，连接EH，如图2所示，∵AD平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AHE中，，∴△ACE≌△AHE（SAS），∴CE=HE，∵EF垂直平分BC，∴CE=BE，又∠ABE=60°，∴△EHB是等边三角形，∴BH=HE，∴AB=AH+HB=AC+CE；②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，作EM⊥AB于点M．如图3所示，同理可得△ACE≌△AHE，∴CE=HE，∴△EHB是等腰三角形，∴HM=BM，∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM，∵AC+AB=AE，∴AM=AE，在Rt△AEM中，cos∠EAM==，∴∠EAB=30°．∴∠CAB=2∠EAB=60°．【解析】（1）AB=AC+CD，理由为：过D作DE垂直于AB，利用角平分线定理得到DC=DE，进而利用HL得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，再由三角形ABC为等腰直角三角形得到三角形BDE为等腰直角三角形，即DE=EB，由AB=AE+EB，等量代换即可得证；（2）①AB=AC+CE，理由为：在线段AB上截取AH=AC，连接EH，由AD为角平分线得到一对角相等，再由AC=AH，AE=AE，利用SAS得到三角形ACE与三角形AHE全等，得到CE=HE，由EF垂直平分BC，得到CE=BE，根据∠ABE=60°，得到△EHB是等边三角形，进而得到BH=HE，由AB=AH+HB，等量代换即可得证；②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，作EM⊥AB于点M．同理可得△ACE≌△AHE，得到CE=HE，进而确定出△EHB是等腰三角形，得到HM=BM，根据AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM，将已知等式AC+AB=AE，代入得：AM=AE，在Rt△AEM中，利用锐角三角函数定义求出cos∠EAM的值，进而确定出∠EAB=30°，即可得到∠CAB的度数．此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线定理，等腰直角三角形，以及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．16.【答案】解：+|-|-1+3×=4+-1+3×=3+2．【解析】本题涉及负指数幂、绝对值、0指数幂、特殊角的三角函数值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记负指数幂、绝对值、0指数幂、特殊角的三角函数值等考点的运算．17.【答案】证明：∵BC∥DE，∴∠ACB=∠DEA，在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（AAS）∴AB=DA．【解析】由BC与DE平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由已知一对角相等，一对边相等，利用AAS得到三角形ABC与三角形DAE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．18.【答案】解：设该列车一等车厢和二等车厢各有x、y节，根据题意得：，解得：．答：该列车一等车厢和二等车厢各有2，4节．【解析】设该列车一等车厢和二等车厢各有x、y节，则第一个相等关系为：x+Y=6，再根据一共设有座位496个．其中每节一等车厢设座位64个，每节二等车厢设座位92个得第二个相等关系为：64x+92y=496，由此列方程组求解．此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，解题的关键是由已知找出两个相等关系，列方程组求解．19.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），∴c=3．∴y=x2+bx+3．又∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），∴b=-4．∴y=x2-4x+3．（2）点P的坐标为（5，8）或（-1，8）．【解析】（1）抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），代入可得出c=3，又由抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），代入又可得出b=-4，从而得出抛物线的解析式y=x2-4x+3；（2）求得对称轴为直线x=2，由点P到抛物线的对称轴的距离为3，可得出点P 的横坐标为-1或5，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标为（5，8）或（-1，8）．本题考查了抛物线和x轴的交点问题，以及抛物线的表达式的求法--待定系数法．20.【答案】解：（1）∵DB平分∠ADC，∴，又∵，∴∠AEC=∠1，∴AE∥BD，又∵AB∥EC，∴四边形AEDB是平行四边形；（2）∵DB平分∠ADC，∠ADC=60°，AB∥EC，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴AD=AB，又∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，在Rt△BDC中，CD=12，∴BC=6，，在等腰△ADB中，AH⊥BD，∴DH=BH=，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=3，AB=6，∵四边形AEDB是平行四边形，∴，ED=AB=6，∴，∴四边形AEDH的周长为．【解析】（1）求出∠AEC=∠1，得出AE∥BD，再由AB∥EC证出四边形ABDE是平行四边形．（2）在Rt△BDC中，求出BD，再在在等腰△ADB中求出DH，AH，在Rt△ABH 中求出AB，进而求出四边形的四条边求周长．本题主要考查平行四边形的判定及性质，解题的过程中要灵活运用直角三角形来求边．21.【答案】6.7；1.5；8.64【解析】解：（1）2012年到2013年微信的人均使用时长增加了9.7-3.0=6.7分钟；（2）偶尔使用所占的百分比为1-13%-7.4%-13%-24.2%=42.4%；我国6亿微信用户中，经常使用户约为6×24.2%≈1.5亿（3）两年后，我国微信用户的规模将到达6×（1+20%）2=8.64亿，故答案为：6.7，1.5，8.64．（1）用2013年的微信使用时长减去2012年的微信使用时长即可确定答案；（2）用单位1减去其他所占的百分比即可确定偶尔使用的所占的百分比，用总量乘以经常使用的所占的百分比即可确定经常使用的用户的数量；（3）用总量乘以增长的百分比即可确定两年后的微信用户量．本题考查了扇形统计图及统计表的知识，解题的关键是仔细的读表或统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．22.【答案】（1）证明：∵BF为⊙O的切线，∴AB⊥BF于点B．∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠AHD=90°．∴CD∥BF．∴∠ADC=∠F．又∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC=∠F．（2）解：连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由（1）∠ABF=90°，∴∠A=∠DBF．又∵∠A=∠C．∴∠C=∠DBF．在Rt△DBF中，，DF=6，∴BD=8．在Rt△ABD中，，∴．∴⊙O的半径为．【解析】【分析】（1）由切线的性质得AB⊥BF，因为CD⊥AB，所以CD∥BF，由平行线的性质得∠ADC=∠F，由圆周角定理得∠ABC=∠ADC，于是得证∠ABC=∠F；（2）连接BD．由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，因为∠ABF=90°，所以∠A=∠DBF，于是得∠C=∠DBF．在Rt△DBF中得BD=8．在Rt△ABD中，，，于是⊙O的半径为．本题主要考查了切线的性质以及解直角三角形，还用到圆周角定理及其推论，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．【解答】（1）证明：∵BF为⊙O的切线，∴AB⊥BF于点B．∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠AHD=90°．∴CD∥BF．∴∠ADC=∠F．又∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC=∠F．（2）解：连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由（1）∠ABF=90°，∴∠A=∠DBF．又∵∠A=∠C．∴∠C=∠DBF．在Rt△DBF中，，DF=6，∴BD=8．在Rt△ABD中，，∴．∴⊙O的半径为．23.【答案】1【解析】解：（1）拼接示意图如下；（2）拼接示意图如下，设八角形的边长为a，则原正方形的边长为a+a+a=（2+）a，八角形的面积=（2+）2a2+4×a2=8+4，整理得，（8+4）a2=8+4，解得a=1，答：八角形纸板的边长为1．（1）根据图形形状，把①放在最上边，②③放在左边即可；（2）以四个较大的部分为拼成的正方形的四个角，剪开的四个小直角三角形组成一个小正方形在中间拼接即可，设八角形的边长为a，表示出原正方形的边长，再根据八角形的面积等于正方形的面积加上四个小直角三角形的面积，列出方程求解即可．本题考查了图形的拼接，读懂题目信息，仔细观察图形的形状是解题的关键．24.【答案】解：（1）∵直线l：y=kx+2（k≠0）经过（1，1），∴k=-1，∴直线l对应的函数表达式y=-x+2．∵直线l与反比例函数G1：的图象交于点A（-1，a），B（b，-1），∴a=b=3．∴A（-1，3），B（3，-1）．∴m=-3．∴反比例函数G1函数表达式为．（2）①∵EA=EB，A（-1，3），B（3，-1），∴点E在直线y=x上．∵△AEB的面积为8，，∴．∴△AEB是等腰直角三角形．∴E（3，3），此时t=3×3=9②分两种情况：（ⅰ）当t＞0时，∵y=-x+2，与x轴交于点F（2，0），与y轴交于点D（0，2），∴DF=2，∴DM+DN＜3，∴只要y=-x+2与y2=有交点坐标即可，∴-x+2=，整理得：x2-2x+t=0，∴b2-4ac＞0，∴4-4t＞0，解得：t＜1，则0＜t＜1；（ⅱ）当t＜0时，当DM+DN=3，则DM=FN=，∵y=-x+2，与x轴交于点F（2，0），与y轴交于点D（0，2），∴可求出M（-，），则xy=t=-，则＜＜．综上，当＜＜或0＜t＜1时，反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N，且＜．【解析】（1）利用待定系数法把（1，1）代入y=kx+2可得k的值，进而得到直线l对应的函数表达式；利用一次函数解析式求出a、b的值，然后再利用待定系数法求出反比例函数G1函数表达式即可；（2）由条件EA=EB，A（-1，3），B（3，-1）可得点E在直线y=x上，再根据△AEB的面积为8，，可得，进而得到E点坐标；（3）根据题意得出当t＞0时，以及当t＜0时，分别利用数形结合得出t的最值．此题主要考查了反比例函数综合以及等腰直角三角形的性质和根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．25.【答案】l3，l4；【解析】解：（1）①l3，l4；分析如下：根据题意，如图1，l1，l2与⊙O没有交点，对l3，过点O作OB⊥AC于B，∵A（0，2），C（，0），∴AO=2，C0=，∴根据勾股定理，AC=．∴根据面积相等，OB==1，∵⊙O半径为1，∴AC切⊙O于B，∴l3是⊙O的“x关联直线”．对l4，显然与⊙O有两个交点，故l4是⊙O的“x关联直线”．综上所述，l3，l4是⊙O的“x关联直线”．②；分析如下：如图2，PM与⊙O相切于B点时，M的横坐标x M最大，连接OB，则OB⊥PM，在Rt△OPB中，∵PO=2，OB=1，∴∠OPB=30°，∴OM=tan∠OPB•OP==，所以点M的横坐标x M最大值为．（2）如图3，直线PM⊙A相切于点B时，此时点M的横坐标x M最大，作PH⊥x轴于点H，连接AB，HM=x M+1，AM=x M-2，在Rt△ABM和Rt△PHM中，∵，AB=1，PH=2∴BM=HM=．在Rt△ABM中，∵AM2=AB2+BM2，∴．解得．∴点M的横坐标x M最大时，，此时M（，0），∴代入直线y=kx+k+2，解得．②当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变．理由如下：如图4，⊙A的两条“x关联直线”与⊙A相切于点C，D，连接AC，AD，AP交CD于F，此时PC=PD．在△ADP和△ACP中，，∴△ADP≌△ACP∴∠CPF=∠DPF∴AP⊥BC，在Rt△ADF和Rt△ADP中，∵∠ADF=∠APD，∴sin∠ADF=sin∠APD，∴AF•AP=AD2在Rt△AEF和Rt△AOP中，∵，∴AF•AP=AE•AO∴AD2=AE•AO∵AD=1，AO=2，∴，即当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变．（1）①讨论是否为关联直线最直接的方式就是画图确定圆与直线是否有交点，画图易得l1，l2无交点，非关联直线，而l4有两个交点，为关联直线，对l3近似相切，则需要求证判断，利用求证相切的常规作法，作垂线讨论圆心到直线距离是否与半径相等易得结论．②画图已知，相切时M点横坐标最大，作图利用解直角三角形，易得所求边长，即M横坐标最大值易知．（2）①类似上小问，最大值时相切，利用解三角形得到最大时M点坐标，代入直线y=kx+k+2，即可求得k．②根据题意画出图示，AE不在三角形中，不易表示，所以可以适当作辅助线，因为相切，通常都有圆心与切点的连线，如此可得垂直关系；而同时出现过P 点的两条与圆的切线，通常连接圆心与P点，如此可得全等三角形等相等关系，此时看到PA⊥CD，则AE所属的三角形与PAO相似，则可试着将其转化．本题思考的确有一定难度，利用三角函数关系可以技巧的得出AF•AP=AD2，AF•AP=AE•AO，则有AD2=AE•AO，且AD，AO都为固定值，则易知AE值亦固定．本题重点考查直线与圆相切的相关性质，并结合直角坐标系利用三角函数、解直角三角形等相关技巧计算线段长度．最后一问难度较高，不过思路方面我们要牢记要想计算边长，我们通常需要通过辅助线将此线放在与其他简单三角形全等相似的三角形中，以便可以将此线段长度转化出来，这种思路需要学生在平时的题目中多加实践，总体来说本题前面常规，后面难度偏高，学生重点加强理解．。
北京市2014年中考数学试题及答案(word解析版)
北京市2014年中考数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．是符合题意的．1．（4分）（2014•北京）2的相反数是（）D．A．2B．﹣2 C．﹣考点：相反数．分析：根据相反数的概念作答即可．解答：解：根据相反数的定义可知：2的相反数是﹣2．故选：B．点评：此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．2．（4分）（2014•北京）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（）A．0.3×106B．3×105C．3×106D．30×104考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：300 000=3×105，故选：B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2014•北京）如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．分析：由有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是：=．故选D．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．（4分）（2014•北京）如图是几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥考点：由三视图判断几何体．分析：如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．解答：解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱．故选C．点评：本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．5．（4分）（2014•北京）某篮球队12名队员的年龄如表：年龄（岁）18 19 20 21人数 5 4 1 2则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）A．18，19 B．19，19 C．18，19.5 D．19，19.5考点：众数；加权平均数．分析：根据众数及平均数的概念求解．解答：解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是18；平均数==19．故选A．点评：本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．6．（4分）（2014•北京）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（）A．40平方米B．50平方米C．80平方米D．100平方米考点：函数的图象．分析：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，然后可得绿化速度．解答：解：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，每小时绿化面积为100÷2=50（平方米）．故选：B．点评：此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，从图象中找出正确信息．7．（4分）（2014•北京）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．分析：根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于圆O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．解答：解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵圆O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选C．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．8．（4分）（2014•北京）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据等边三角形，菱形，正方形，圆的性质，分析得到y随x的增大的变化关系，然后选择答案即可．解答：解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．故选A．点评：本题考查了动点问题函数图象，熟练掌握等边三角形，菱形，正方形以及圆的性质，理清点P在各边时AP的长度的变化情况是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2014•北京）分解因式：ax4﹣9ay2=a（x2﹣3y）（x2+3y）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式a，进而利用平方差公式进行分解即可．解答：解：ax4﹣9ay2=a（x4﹣9y2）=a（x2﹣3y）（x2+3y）．故答案为：a（x2﹣3y）（x2+3y）．点评：此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，正确利用平方差公式是解题关键．10．（4分）（2014•北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为15m．考点：相似三角形的应用．分析：根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．解答：解：设旗杆高度为x米，由题意得，=，解得x=15．故答案为：15．点评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．11．（4分）（2014•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：开放型．分析：先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B 点的反比例函数解析式即可．解答：解：∵正方形OABC的边长为2，∴B点坐标为（2，2），当函数y=（k≠0）过B点时，k=2×2=4，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=．故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．12．（4分）（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为（﹣3，1），点A2014的坐标为（0，4）；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b 应满足的条件为﹣1＜a＜1且0＜b＜2．考点：规律型：点的坐标．分析：根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点A2014的坐标即可；再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．解答：解：∵A1的坐标为（3，1），∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2014÷4=503余2，∴点A2014的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）；∵点A1的坐标为（a，b），∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，∴，，解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．故答案为：（﹣3，1），（0，4）；﹣1＜a＜1且0＜b＜2．点评：本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2014•北京）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDB，则对应角相等：∠A=∠E．解答：证明：如图，∵BC∥DE，∴∠ABC=∠BDE．在△ABC与△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A=∠E．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．14．（5分）（2014•北京）计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=1﹣5﹣+=﹣4．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．15．（5分）（2014•北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．分析：去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解．解答：解：去分母，得：3x﹣6≤4x﹣3，移项，得：3x﹣4x≤6﹣3，合并同类项，得：﹣x≤3，系数化成1得：x≥﹣3．则解集在数轴上表示出来为：．点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．16．（5分）（2014•北京）已知x﹣y=，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：先把代数式计算，进一步化简，再整体代入x﹣y=，求得数值即可．解答：解：∵x﹣y=，∴（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）=x2+2x+1﹣2x+y2﹣2xy=x2+y2﹣2xy+1=（x﹣y）2+1=（）2+1=3+1=4．点评：此题考查整式的混合运算与化简求值，注意先化简，再整体代入求值．17．（5分）（2014•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．解答：（1）证明：∵m≠0，△=（m+2）2﹣4m×2=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，x﹣1=0或mx﹣2=0，∴x1=1，x2=，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．18．（5分）（2014•北京）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．考点：分式方程的应用．分析：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x+0.54）元，根据驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，所行的路程相等列出方程解决问题．解答：解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，由题意得=解得：x=0.18经检验x=0.18为原方程的解答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．点评：此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2014•北京）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD 于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．考点：菱形的判定；平行四边形的性质；解直角三角形．分析：（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．同理AB=AF．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．点评：本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．20．（5分）（2014•北京）根据某研究院公布的2009～2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：2009～2013年成年国民年人均阅读图书数量统计表年份年人均阅读图书数量（本）2009 3.882010 4.122011 4.352012 4.562013 4.78根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为5本；（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为7500本．考点：扇形统计图；用样本估计总体；统计表．分析：（1）1直接减去个部分的百分数即可；（2）设从2009到2013年平均增长幅度为x，列方程求出x的值即可；（3）根据（2）的结果直接计算．解答：解：（1）m%=1﹣1.0%﹣15.6%﹣2.4%﹣15.0%=66%，∴m=66．（2）设从2009到2013年平均增长幅度为x，列方程得，3.88×（1+x）4=4.78，1+x≈1.05，x≈0.05，4.78×（1+0.05）≈5．（3）990÷0.66×5=7500，故2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为7500本．故答案为5，7500．点评：本题考查了扇形统计图，能从图表中找到相关信息并加以利用是解题的关键．21．（5分）（2014•北京）如图，AB是eO的直径，C是»AB的中点，eO的切线BD交AC的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交eO于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）连接OC，由C是的中点，AB是⊙O的直径，则OC⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．解答：（1）证明：连接OC，∵C是AB的中点，AB是⊙O的直径，∴O⊥AB，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA=OB，∴AC=CD；（2）解：∵E是OB的中点，∴OE=BE，在△COE和△FBE中，，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF=CO，∴OB=2，∴BF=2，∴AF==2，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴=，∴AB•BF=AF•BH，∴BH===．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．22．（5分）（2014•北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为75°，AC的长为3．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．分析：根据相似的三角形的判定与性质，可得=2，根据等腰三角形的判定，可得AD=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．解答：解：∠ACE=75°，AC的长为3．过点D作DF⊥AC于点F．∵∠BAC=90°=∠DFA，∴AB∥DF，∴△ABE∽△FDE，∴=2，∴EF=1，AB=2DF．在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴∠ACD=75°，AC=AD．∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，∴DF=AFtan30°=，AD=2DF=2．∴AC=AD=2，AB=2DF=2．∴BC==2．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值．专题：计算题．分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；（2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC 解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．解答：解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入得：，解得：k=，b=0，∴直线BC解析式为y=x，当x=1时，y=，则t的范围为﹣4≤t≤．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24．（7分）（2014•北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．考点：四边形综合题．分析：（1）根据题意直接画出图形得出即可；（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；（3）由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，进而利用勾股定理得出答案．解答：解：（1）如图1所示：（2）如图2，连接AE，则∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAP=∠BAP=20°，∴∠EAD=130°，∴∠ADF==25°；（3）如图3，连接AE、BF、BD，由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，∴∠BFD=∠BAD=90°，∴BF2+FD2=BD2，∴EF2+FD2=2AB2．点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质得出对应边相等是解题关键．25．（8分）（2014•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M＜y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？考点：二次函数综合题．分析：（1）根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题；（2）根据函数的增减性、边界值确定a=﹣1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围；（3）需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（﹣1，1）、（0，0），根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）；最后由函数边界值的定义列出不等式≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，易求m取值范围：0≤m≤或≤m≤1．解答：解：（1）根据有界函数的定义知，函数y=（x＞0）不是有界函数．y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；（2）∵函数y=﹣x+1的图象是y随x的增大而减小，∴当x=a时，y=﹣a+1=2，则a=﹣1当x=b时，y=﹣b+1．则，∴﹣1＜b≤3；（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于﹣1，此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1．当x=﹣1时，y=1 即过点（﹣1，1）当x=0时，y最小=0，即过点（0，0），都向下平移m个单位，则（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，∴0≤m≤或≤m≤1．点评：本题考查了二次函数综合题型．掌握“有界函数”和“有界函数的边界值”的定义是解题的关键．。
(试题)北京市2014年中考数学试题含答案(word版)范文
2014年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校姓名准考证号1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟．．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．．在答题卡上，选择题、作图题用铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2的相反数是A ．2B ．2-C ．12-D ．122．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为A ．60.310⨯B ．5310⨯C ．6310⨯D ．43010⨯3．如图，有6张扑克处于，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是A ．16B ．14C ．13D ．124．右图是几何体的三视图，该几何体是A.圆锥B ．圆柱C ．正三棱柱D ．正三棱锥5．某篮球队12名队员的年龄如下表所示：名队员年龄的众数和平均数分别是A ．18，19B ．19，19C ．18，19.5D ．19，19.56．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t （单位：小时）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 A ．40平方米 B ．50平方米 C ．80平方米D ．100平方米OE DCBA7．如图．O e 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为A ．B ．4C ．D ．88．已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP的长为y ．表示y 与x 的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是AADCBAA二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：429______________ax ay -=．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数(0)ky k x=≠，使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P x y ，，我们把点(11)P y x '-++，叫做点P 的伴随点，已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，….若点1A 的坐标为（3，1），则点3A 的坐标为 ，点2014A 的坐标为 ；若点1A 的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 .三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =. 求证：A E ∠=∠.ECBAD生物达人1214．计算：11(6π)()3tan30|5--︒+--︒+.15．解不等式1211232x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来.16．已知x y -2(1)2(2)x x y y x +-+-的值. 17．已知关于x 的方程2(2)20(0)mx m x m -++=≠.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值.18．列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在ABCD Y 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平分ABC ∠，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD . （1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若4AB =，6AD =，60ABC ∠=︒，求tan ADP ∠的值.20．根据某研究院公布的2009~2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：下载并打印阅读1.0%手机阅读15.6%电子阅读器阅读2.4%网络在线阅读15.0%图书阅读m %根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出扇形统计图中m 的值；（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为 本；（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 本.2011 2013 FPECBAD图3ABCDE21．如图，AB 是O e 的直径，C 是»AB 的中点，O e 的切线BD 交AC 的延长线于点D ，E是OB 的中点，CE 的延长线交切线BD 于点F ，AF 交O e 于点H ，连接BH . （1）求证：AC CD =； （2）若2OB =，求BH 的长.22．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在ABC △中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，2AD =，2BD DC =，求AC 的长．E图2图1AB CD D CB A小腾发现，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，通过构造ACE △，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：ACE ∠的度数为 ，AC 的长为 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，30CAD ∠=︒，75ADC ∠=︒，AC 与BD 交于点E ，2AE =，2BE ED =，求BC 的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）生物达人1223．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （0，2-），B （3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图像，求点D 纵坐标t 的取值范围．24．在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE DE ，，其中DE 交直线AP 于点F ． （1）依题意补全图1；（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB FE FD ，，之间的数量关系，并证明．图 1PD CBA A BCDP图 225．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M >，对于任意的函数值y ，都满足M y M -≤≤，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数1y x=()0x >和()142y x x =+-<≤是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数1y x =-+()a x b b a ≤≤>，的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数()210y x x m m =-≤≤≥，的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足314t ≤≤？生物达人12生物达人12生物达人12。
北京市昌平区2014年中考数学一模试题及参考答案和评分标准
D BCD BC ADBCA北京市昌平区2014年中考一模数学试题考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25个小题，满分120分，考试时间120分钟。
2．在答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将答题卡交回。
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．据统计，第22届冬季奥林匹克运动会的电视转播时间长达88000小时，社交网站和国际奥委会官方网站也创下冬奥会收看率纪录. 用科学计数法表示88000为A ．50.8810⨯B ．48.810⨯C ．58.810⨯D ．68.810⨯2． 12-的倒数是A ．12-B ．12C ．2-D ．23. 抽奖箱里有6个除颜色外其他都相同的U 盘，其中1个红色，2个黄色，3个蓝色，摇匀后从中任意摸出一个是黄色的概率为A ．12B ．13 C ．15 D ．164．如图，已知AB ∥CD ，EA 是CEB ∠的平分线，若40BED ∠=︒，则A ∠的度数是 A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°5．下列图形中，既是．．轴对称图形又是．．中心对称图形的是A B CD6．学校体育课进行定点投篮比赛，10位同学参加，每人连续投5次，投中情况统计如下：投中球数量（个） 2 3 4 5 人数（人）1432这10位同学投中球数量．．．．．的众数和中位数分别是 ABCDEABCDEF C '2.2m?4m10m一楼二楼A ．4, 2B . 3，4C . 2，3.5D . 3，3.57．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行. 张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m ）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为A ．5.5mB . 6.2mC . 11 mD . 2.2 m8．如图，在△ABC 中，AB =AC ，tan ∠B =2， BC =32. 边A B 上一动点M 从点B 出发沿B →A 运动，动点N 从点B 出发沿B →C →A 运动，在运动过程中，射线MN 与射线BC 交于点E ，且夹角始终保持45°. 设BE =x ， MN =y ，则能表示y 与x 的函数关系的大致图象是ABC D459yOx11459yOx11459yOx11459yOx11二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．把多项式32m mn 分解因式，结果为 ．10．请写出一个位于第一、三象限的反比例函数表达式，y = ．11．如图，已知平行四边形纸片ABCD 的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D 与点B 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，则△ABE 的周长为 ．ABCM N12． 已知：四边形ABCD 的面积为1. 如图1，取四边形ABCD 各边中点，则图中阴影部分的面积为 ；如图2，取四边形ABCD 各边三等分点，则图中阴影部分的面积为 ；…；取四边形ABCD 各边的n （n 为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为 .A 3B 3C 3D 3AA 1A 2B B 1B 2C C 1C 2D D 1D 2A 2B 2C 2D 2A 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1图3图2图1C DABC D A 1BA三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）13.计算： 10184sin 4520142-⎛⎫-︒-+ ⎪⎝⎭．14. 已知：D 是AC 上一点，BC =AE ，DE ∥AB ，∠B =∠DAE .求证：AB =DA .15.解方程：211x x x-=-.16. 已知210x x --=，求22(1)(+3)4x x x x +-+的值．17. 列方程解应用题：王亮的父母每天坚持走步锻炼. 今天王亮的妈妈以每小时3千米的速度走了10分钟后，王亮的爸爸刚好看完球赛，马上沿着妈妈所走的路线以每小时4千米的速度追赶，求爸爸追上妈妈时所走的路程.18. 反比例函数1m y x+=在第二象限的图象如图所示. （1）直接写出m 的取值范围； （2）若一次函数112y x =-+的图象与上述反比例函数图象交ABC DEy于点A ，与x 轴交于点B ，△AOB 的面积为32，求m 的值.四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分）19. 已知：BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C =60°，AB =1，BC =33 ，CD =23.（1）求tan ∠ABD 的值； （2）求AD 的长.20. 某校为了更好地开展“阳光体育一小时”活动，围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么（只写一项）？”的问题，对本校学生进行了随机抽样调查，以下是根据得到的相关数据绘制的统计图的一部分.204080图2图1%其它 10%踢毽子 20%跳绳 40%投篮各运动项目的喜欢人数占抽样总人数百分比统计图抽样调查学生最喜欢的运动项目的人数统计图兴趣爱好人数其它跳绳投篮踢毽子80604020各年级学生人数统计表年级 七年级 八年级 九年级 学生人数180120请根据以上信息解答下列问题： （1）该校对多少名学生进行了抽样调查？ （2）请将图1和图2补充完整；（3）已知该校七年级学生比九年级学生少20人，请你补全上表，并利用样本数据估计全DCBA校学生中最喜欢踢毽子运动的人数约为多少？21. 如图，已知A 、B 、C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，P 是直径CD 的延长线上的一点，且AP =AC .（1）求证：AP 与⊙O 相切； （2）如果AC =3，求PD 的长.22. 图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B =90°，∠A =45°，62BC ，∠F =90°，∠EDF =30°，EF =2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)． （1）请回答李晨的问题：若CD =10，则AD = ；（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD 的最大度数为 ；②当FC ∥AB 时，AD = ；③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD = ;④△FCD 的面积s 的取值范围是 .AB CDEF图2ABC备用图图1FE DCB A五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题7分，第25题8分，共22分）DPO CAB23. 如图，已知二次函数y =ax 2＋bx －23（a ≠0）的图象经过点A ，点B ． （1）求二次函数的表达式； （2）若反比例函数2y x=（x ＞0）的图象与二次函数y =ax 2＋bx －23（a ≠0）的图象在第一象限内交于点()C p q ，，p 落在两个相邻的正整数之间，请你直接写出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数k y x=（x ＞0，k ＞0）的图象与二次函数y =ax 2＋bx －23（a ≠0）的图象在第一象限内交于点()D m n ，，且23m <<，试求实数k 的取值范围．24．如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG .（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE =DG ； （2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数； （3）如图3，如果α=45°，AB =2，AE =42，求点G 到BE 的距离.A BCD E FG图2A BC D E FG图3GFED CBA 图1-31-1-11yA B xO-11-11xO y25. 无论k 取任何实数，对于直线y kx =都会经过一个固定的点(0,0)，我们就称直线y kx =恒过定点(0,0).（1）无论m 取任何实数，抛物线2(13)2y mx m x =-++恒过定点()00A x y ，，直接写出定点A 的坐标；（2）已知△ABC 的一个顶点是（1）中的定点()00A x >，且B ∠，C ∠的角平分线分别是y 轴和直线y x =，求边BC 所在直线的表达式； （3）求△ABC 内切圆的半径.昌平区2013—2014学年初三第一次统一练习数学试卷参考答案及评分标准 2014．5 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案BCBCADAD二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）题 号9101112答 案 ()()m m n m n +-1x（比例系数大于0即可）1012,79，221n- （给1,1，2分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 13．解：原式=222-42+12⨯- ……………………………………………………………………… 4分=-1． ………………………………………………………………………………… 5分14．证明：∵DE //AB ,∴∠EDA =∠CAB . ………………………………………… 1分在△DAE 和△ABC 中，,,,EDA CAB DAE B AE BC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩…………………………………… 3分DAE ∆∴≌(AAS).ABC …………………………… 4分∴.AB DA = ………………………………………………………………………………… 5分15．解：22(1)x x x x --=-. …………………………………………………………………… 1分ABC DE2222x x x x -+=-. …………………………………………………………………… 2分2x -=-. …………………………………………………………………………………… 3分2x =. ……………………………………………………………………………………… 4分 经检验：2x =是原方程的解. ……………………………………………………………… 5分 16．解：原式22(21)(3)4x x x x x =++-++…………………………………………………… …1分3232234x x x x x =++--+………………………………………………………… 2分24x x =-++………………………………………………………………………… 3分2()4x x =--+.210,x x --=21x x ∴-=． …………………………………………………………………… 4分∴原式=14 3.-+=……………………………………………………………………… 5分 17．解：设爸爸追上妈妈时所走的路程为x 千米. ………………………………………………… 1分根据题意，得：1346x x -=. …………………………………………………………………………………… 3分解得：2x =. ………………………………………………………………………………… 4分 答：爸爸追上妈妈时所走的路程为2千米. ……………………………………………… 5分 18. 解：（1）1m <-. …………………………………………………………………………… 1分A BCDEF（2）令0,y =则110.2x -+= 2(2,0).x B ∴=即 …………………………………………………………………… 2分2.OB ∴=3,2AOB S ∆=132.22A y ∴⨯⨯=3.2A y ∴= ………………………………………………………………………………… 3分∵点A 在直线112y x =+上，131.22x ∴-+=1x ∴=-. ………………………………………………………………………………… 4分3(1,).2A ∴-311.2m ∴+=-⨯5.2m ∴=- ……………………………………………………………………………… 5分四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分） 19. 解：(1) 作DE BC ⊥于点E .∵在Rt △CDE 中，∠C =60°，CD =23，∴3, 3.CE DE ==………………………………………………… 1分 ∵BC =33+，∴333 3.BE BC CE =-=+-=∴ 3.DE BE == ………………………………………………… 2分 ∴在Rt △BDE 中，∠EDB = ∠EBD =45º.∵AB ⊥BC ，∠ABC =90º，∴∠ABD =∠ABC -∠EBD =45º.∴tan ∠ABD =1. ………………………………………………………………………………3分(2) 作AF BD ⊥于点F .在Rt △ABF 中，∠ABF =45º, AB =1，2.2BF AF ∴==……………………………………………………………………… 4分 ∵在Rt △BDE 中，3DE BE ==，∴3.2BD =∴3.252222DF BD BF =-=-= ∴在Rt △AFD 中，22.13AD DF AF =+= ……………………………………… 5分20.（1）解：408020=200.20%40%10%或或（名） …………………………………………………… 1分 （2）如图所示： ……………………………………………………………………………… 3分603020406080踢毽子投篮跳绳其它人数兴趣爱好抽样调查学生最喜欢的运动项目的人数统计图各运动项目的喜欢人数占抽样总人数百分比统计图投篮跳绳 40%踢毽子 20%其它 10%%图1图2804020（3）表中填200. ……………………………………………………………………………… 4分（180+120+200）⨯20%=100. ………………………………………………………… 5分答：全校学生中最喜欢踢毽子运动的人数约为100名.21. （1）证明：连接OA .∵60B ︒∠=.∴120AOC ∠=︒. ∴60AOP ∠=︒.∵OA =OC ,∴30OAC ACO ∠=∠=︒. ………………… 1分 ∵AP =AC , ∴30P ACP ∠=∠=︒. …………………… 2分∴90PAO ∠=︒. ∴OA PA ⊥.又∵点A 在⊙O 上， ∴PA 是⊙O 的切线. ………………………………………………………… 3分 (2)在Rt △PAO 中，30P ∠=︒，∴2PO AO =. 又∵AC =3， ∴AP =AC =3.根据勾股定理得:3AO =. …………………………………………………… 4分∴3AO DO ==，23PO =. ∴3PD =. ……………………………………………………………………………5分22．解：（1）2. ……………………………………………………………………………………… 1分（2）① 60°. ………………………………………………………………………………… 2分②39-. ……………………………………………………………………………… 3分③23. ……………………………………………………………………………………… 4分 ④3326s ≤≤. ………………………………………………………………………… 5分五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题7分，第25题8分，共22分） 23．解：（1）由图可知：点A 、点B 的坐标分别为（-3,0），（1,0）， ……………………………… 1分且在抛物线232y ax bx =+-上， B ACOPD∴3,2393.2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：1,21.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ……………………………………………… 2分 ∴二次函数的表达式为213.22y x x =+- ……………………………………………… 3分 （2）两个相邻的正整数为1,2. ………………………………………………………………… 4分 （3）由题意可得：2213222221333.322k k ⎧>⨯+-⎪⎪⎨⎪<⨯+-⎪⎩， ………………………………………………………………………… 6分解得：5 < k < 18. (7)分∴实数k 的取值范围为5 < k < 18.24．（1）证明：如图2，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAE +∠EAD =90°. ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AE=AG ，∠EAD +∠DAG =90°.∴∠BAE =∠DAG . ………………………………… 1分 ∴△ABE ≌△(SAS)ADG .∴BE=DG . …………………………………………………………………………… 2分（2）解：45°或135°. ………………………………………………………………………… 4分（3）解：如图3，连接GB 、GE .图2A BC D E FGGFD A由已知α=45°，可知∠BAE =45°. 又∵GE 为正方形AEFG 的对角线， ∴∠AEG =45°. ∴AB ∥GE .∵42AE =, ∴GE =8，1==162BEG AEGAEFG SSS =正方形. ……………………………………………………………… 5分过点B 作BH ⊥AE 于点H . ∵AB =2，∴2BH AH ==. ∴32HE =. ∴25BE =. ………………………………………………………………………6分设点G 到BE 的距离为h . ∴11251622BEGS BE h h =⋅⋅=⨯⨯=. ∴1655h =. ……………………………………………………………………………… 7分 即点G 到BE 的距离为1655.25．解：(1) （0,2），（3，-1）. ………………………………………………………………… 2分(2) ∵△ABC 的一个顶点是（1）中的定点()00A x >， ∴()3,1A -. ……………………………………………………………………………… 3分∵B ∠，C ∠的角平分线所在直线分别是y 轴和直线y x =，xO y 1-11-1GF ABCE Dy = x∴点B 、点C 在点A 关于y 轴、直线y x =的对称点所确定的直线上.作点A 关于y 轴的对称点()3,1D --，作点A 关于直线y x =的对称点()1,3E -. 直线DE 与y 轴的交点即为点B ，与直线y x =的交点即为点C. 连接AB ，AC. 设直线BC 的表达式为y kx b =+.则有3,13.k b k b =-+⎧⎨-=-+⎩ 解之，得2,5.k b =⎧⎨=⎩所以，25BC y x =+.…………………………5分 (3) ∵B ∠，C ∠的角平分线所在直线分别是y 轴和直线y x =，y 轴和直线y x =的交点O 即为△ABC 内切圆的圆心.……………………………………………………………………………………………………6分过点O 作OF BC ⊥于F ，则OF 即为△ABC 内切圆的半径. ………………………………7分设BC 与x 轴交点为点G ，易知,052G -⎛⎫⎪⎝⎭ , ()0,5B .∴552BG =.∵1122BOGS OB OG GB OF =⋅⋅=⋅⋅, ∴5OF =，即△ABC 内切圆的半径为5. …………………………………………… 8分说明：学生给出的解法与评标的解法不同，正确者要参照评分标准相应给分。
2014中考数学模拟测试卷含答案(北京).pdf
16．已知：如图， E、 F 为 BC 上的点， BF=CE ，点 A、 D 分别在 BC 的两侧，且 AE∥DF ，
AE=DF ．
求证： AB∥ CD．
A
B
F
E
C
D
17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx － 2 的图象与 x、y 轴分别交于点 A、
B，与反比例函数 y
3 （ x＜ 0）的图象交于点 M ( 3 ，n) ．
A
D
F
B
E
C
20．如图，在△ ABC 中， AC=BC ，D 是 BC 上的一点，且满足∠ 径的⊙ O 与 AB、 AC 分别相交于点 E、 F .
BAD ＝ 1 ∠ C，以 AD 为直 2 A
（ 1）求证：直线 BC 是⊙ O 的切线；
（ 2）连接 EF ，若 tan∠ AEF ＝ 4 ， AD＝ 4，求 BD 的长 . 3
若∠ BCD ＝ 32°，则∠ AFD 的度数为 ．
12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x、y 轴分别交于点 A、 B，且 A(-2 ， 0)，
B(0，1) ，在直线 AB 上截取 BB1=AB ，过点 B1 分别作 x、y 轴的垂线， 垂足分别为点 A1 、
C1，得到矩形 OA1B1C1；在直线 AB 上截取 B1B2= BB1，过点 B2 分别作 x、 y 轴的垂线，
3 的倍数的概率为
1
A．
9
1
B．
8
2
C．
9
1
D．
3
5．如图，圆锥的底面半径 OA 为 2，母线 AB 为 3，则这个圆锥的侧面积为
B
A.3 π
B. 6π
北京市通州区2014年中考数学一模试题(含答案)
通州区初三年级模拟考试数学试卷2014年5月考 生须知1．本试卷共7页，八道大题，25个小题，满分120分. 考试时间为120分钟. 2．请在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号. 3．试题答案一律用黑色钢笔、签字笔按要求．．．．．．．．．．．．填涂或书写在答题卡划定的区域内，在试卷上作答无效；作图题可以使用黑色铅笔作答．．．．．．．．．．．．．. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（每题只有一个正确答案，共8个小题，每小题4分，共32分） 1．12-的绝对值是（ ）A ．2B ．12C ．－2D ．12-2．2013年12月14日，随着嫦娥三号月球探测器缓缓降落在月球表面，中国成为继前苏联和美国后第三个实现月球软着陆的国家. 月球与地球的平均距离是384000公里. 数字384000用科学记数法表示为（ ） A ．3.84×105B ．38.4×104C ．0.384×106D ．3.84×1063．如果一个正多边形的一个外角是︒45，那么这个正多边形的边数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．94．右图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ） A ．圆锥B ．圆柱C ．正三棱柱D ．三棱锥5．某市2014年4月份一周空气质量报告中某种污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．32，31B ．31，32C ．31，31D ．32，356．如图，AB ∥CD ，CD ＝BD ，∠ABD ＝68°，那么∠C 的度数是（ ） A ．30° B ．33°C ．34°D ．36°ADCB主视图 左视图 俯视图CBOAD 7．一盒子内放有只有颜色不同的2个红球、3个白球和4个黑球，搅匀后任意摸出1个球是黑球的概率为（ ） A ．91B ．31C ．41D ．94 8．如图，平行四边形纸片ABCD ，CD ＝5，BC ＝2， ∠A ＝60°，将纸片折叠，使点A 落在射线AD 上（记为 点A '），折痕与AB 交于点P ，设AP 的长为x ，折叠后纸片重叠部分的面积为y ，可以表示y 与x 之间关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如果二次根式13+x 有意义，那么x 的取值范围是 ． 10．分解因式：231212x x -+= ．11．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在圆上，∠D ＝68°， 则∠ABC 等于 ． 12．如图，在反比例函数)0(4>=x xy 的图象上，有 点1P ，2P ，3P ，4P ……n P (n 为正整数，且n ≥1)， 它们的横坐标依次为1，2，3，4……n (n 为正整数， 且n ≥1)．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ……1-n S (n 为正整数，且n ≥2)，那么=++321S S S ，=++++-14321n S S S S S .（用含有n 的代数式表示）．第11题图第8题图第12题图D CA P BA '三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：().330cos 212)21(02-+-+-π14．解不等式：2(2)31x x ++≤.15．已知：y x 23=，求代数式22)2()2(y y x x y x ----的值．16．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，高线AD 和BE 交于点F .求证：CD ＝DF .AFE BDC17．已知：关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0.（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为－2时，求方程的另一个根.18．列方程或方程组解应用题：现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装60台空调，两个安装队同时开工恰好同时安装完成，甲队比乙队平均每天多安装2台空调. 求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调.人数成绩等级1060100806040200CD B A 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．为了解某区2014年八年级学生的体育测试情况，随机抽取了该区若干名八年级学生的测试成绩进行了统计分析，并根据抽取的成绩等级绘制了如下的统计图表(不完整)： 图1图2 图3请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽查的学生有___________名,成绩为B 类的学生人数为_________名,C 类成绩所在扇形的圆心角度数为________； （2）请补全条形统计图； （3）根据抽样调查结果，请估计该区约5000名八年级学生体育测试成绩为D 类的学生人数．20．如图：在矩形ABCD 中，AB =2，BC =5，E 、P 分别在AD 、BC 上，且DE =BP =1． 求证：四边形EFPH 为矩形.5% B 50%C 15%D A ______成绩等级 A B C D 人数 60 10PADC B H F EEBCOF DA21．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE ∥BD ，交BC 于点F ，交AE 于点E . （1）求证：∠E =∠C ； （2）当⊙O 的半径为3，cos A ＝45时，求EF 的长.22．问题解决如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°， ∠B =∠E =30°.（1）如图2，固定△ABC ，将△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时， 设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，那么1S 与2S 的数量关系是__________；（2）当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）如图4，∠ABC =60°，点D 在其角平分线上，BD =CD =6，DE ∥AB 交BC 于点E ，若点F 在射线BA 上，并且DCF BDE S S ∆∆=，请直接写出．．．．相应的BF 的长．ACA （D ）B （E ）CD E图1 图 2BDABCDE 图 4ABCDENM图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数822++-=x x y 的图象与一次函数b x y +-=的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为7-. 点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点（不与点A 、B 重合），设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D . （1）求b 及sin ∠ACP 的值；（2）用含m 的代数式表示线段PD 的长；（3）连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为2:1. 如果存在，直接写．．．出．m 的值；如果不存在，请说明理由.yxA BDC OP24．已知：等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，点M 在直线BC 上，以点M 为旋转中心，将线段MD 顺时针旋转60º至D M '，连接D E '. （1）如图1，当点M 在点B 左侧时，线段D E '与MF 的数量关系是__________； （2）如图2，当点M 在BC 边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；（3）当点M 在点C 右侧时，请你在图．．3．中画出相应的图形．．．．．．．．，直接判断．．．．（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由.D'FEDCAB MD'FE DC A BM图 1 F EDC AB M图3图225．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心点A 在x 轴上，直径OB =8，点C 是半圆上一点，︒=∠60COA ，二次函数k h x a y +-=2)(的图象经过点A 、B 、C .动点P 和点Q 同时从点O 出发，点P 以每秒1个单位的速度从O 点运动到点C ，点Q 以每秒两个单位的速度在OB 上运动，当点P 运动到点C 时，点Q 随之停止运动.点D 是点C 关于二次函数图象对称轴的对称点，顺次连接点D 、P 、Q ，设点P 的运动时间为t 秒，△DPQ 的面积为y .（1）求二次函数k h x a y +-=2)(的表达式； （2）当︒=∠120DQP 时，直接写出．．．．点P 的坐标； （3）在点P 和点Q 运动的过程中，△DPQ 的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的t 值和△DPQ 面积的最大值；如果不存在，请说明理由.备用图yxQDCABO PyxQDCABOP初三数学模拟试卷第11页（共7页）参考答案一、选择题1.B ,2.A ,3.C ,4.A ,5.C ,6.C ,7.D ,8.A 二、填空题9.31-≥x ， 10.2)2(3-x ， 11.︒22，12. 23；n 22-.三、解答题：（本题共30分，每小题5分）13.解：().330cos 212)21(02-+-+-π= 4+1332+- ………………………………..(4分) = 35+ ………………………………..(5分)14.解： 2(2)31x x ++≤1342+≤+x x ………………………………..(1分)3-≤-x ………………………………..(3分)3≥x ………………………………..(5分)15.解：22)2()2(y y x x y x ----2222244y xy x y xy x -+-+-= ………………………………..(2分)= xy x 232- ………………………………..(3分)y x 23=∴原式=xy x x 23-⋅ ………………………………..(4分)=xy xy 22-= 0 ………………………………..(5分)16． 证明： AD 、BE 是△ABC 的高线∴BC AD ⊥，AC BE ⊥431FEA初三数学模拟试卷第12页（共7页）∴︒=∠=∠90ADC ADB ,︒=∠90AEB …….(1分) ∠ABC ＝45°∴△ADB 是等腰直角三角形∴BD AD = …………………..(2分) ︒=∠+∠9032, ︒=∠+∠9041,43∠=∠∴21∠=∠ ………………………………..(3分) ∴△BDF ≌△ADC (ASA ) ………………………………..(4分) ∴ CD ＝DF ………………………………..(5分)17． （1）证明： )2(142-⨯⨯-=∆a a 842+-=a a4)2(2+-=a …………………………..(1分) 0)2(2≥-a∴0>∆ …………………………..(2分)∴无论a 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根.……………..(3分)（2）解： 此方程的一个根为－2∴4－2a ＋a －2＝02=a …………………………..(4分)一元二次方程为：022=+x x∴方程的另一个根为：0=x ………………………………..(5分)18．解：设乙安装队每天安装x 台空调，则甲安装队每天安装)2(+x 台空调根据题意得： ………………………………..(1分)解方程得：20=x ………………………………..(2分) 经检验20=x 是方程的解，并且符合实际 . ………………………..(3分) ∴222=+x …………………………..(4分 答：甲安装队每天安装22台空调，乙安装队每天安装20台空调.…..(5分) 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19． 解：（1）本次抽查的学生有200名；成绩为B 类的学生人数为100名,x x 60266=+初三数学模拟试卷第13页（共7页）C 类成绩所在扇形的圆心角度数为54º； . ………………………..(3分) （2）. ………………………..(4分)（3）该区约5000名八年级学生实验成绩为D 类的学生约为250人.………..(5分) 20．解： 在矩形ABCD 中∴,DC AB =AD //BCED ＝BP∴四边形DEBP 是平行四边形 ∴BE //DPAD =BC ，AD //BC ，DE =BP∴AE =CP∴四边形AECP 是平行四边形∴AP //CE∴四边形EFPH 是平行四边形 在矩形ABCD 中∴∠ADC =∠ABP =90º,AD =BC =5,AB =CD =2 ∴CE =5,同理BE =2∴ 222BC CE BE =+ ∴∠BEC =90º∴四边形EFPH 是矩形21． (1) 证明：连接OB CD 为⊙O 的直径∴︒=∠+∠=∠90OBD CBO CBD初三数学模拟试卷第14页（共7页）AE 是⊙O 的切线. .∴︒=∠+∠=∠90OBD ABD ABO∴CBO ABD ∠=∠OB 、OC 是⊙O 的半径 ∴OB=OC ∴CBO C ∠=∠OE ∥BD ，∴ABD E ∠=∠∴C E ∠=∠(2)解： 在Rt △OBA 中，cosA ＝54，OB =3 ∴5,4==AO AB∴AD =2 . . …………………..(3分) BD//OE∴∴ ∴6=BE . . …………………..(4分)OE ∥BD ，∴︒=∠=∠=∠90OBE CBD EFB在Rt △OBE 中，tanE ＝2163==BE OB ∴在Rt △FBE 中，tanE ＝21=FE FB 设FB 为x222BF EF EB += ∴222)2(6x x +=∴ （舍负）∴EF =. . …………………..(5分)22.（1）相等. . …………………..(1分)OD ADBE AB =324=BE 556=x5512初三数学模拟试卷第15页（共7页）（2）证明： DM 、AN 分别是△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高， ∴︒=∠=∠90ANC DMC ︒=∠90DCE∴︒=∠90DCN∴︒=∠+∠90BCN DCB ︒=∠90ACB∴︒=∠+∠90BCN ACN∴ACN DCB ∠=∠AC DC =∴△DCM ≌△ACN ( AAS ) . . …………………..(2分) ∴AN DM =且BC CE =∴21S S = . . …………………..(3分)(3)3432或=BF . . …………………..(5分) 23．（1）解：当0y =时，2280x x -++=∴12x =-，24x =点A 在x 轴负半轴上∴A (－2,0),OA =2点A 在一次函数y x b =-+的图象上∴02=+b∴2b =- ..........................................(1分)∴一次函数表达式为2y x =--设直线AB 交y 轴于点E ，则E (0,－2), OE=OA=2PC x ⊥轴交AB 于点C22S ANCE S ACE =⋅=∆12S DMBC S BCD =⋅=∆ ABC DEN M图3yxEA BDC O P初三数学模拟试卷第16页（共7页）∴PC //y 轴∴AEO ACP ∠=∠=45º ∴2245sin sin =︒=∠ACP .......................................................(2分) （2）解：点P 在二次函数228y x x =-++图象上且横坐标为m∴P (m , 228m m -++)，PC ⊥x 轴且点C 在一次函数2y x =--的图象上∴C （m ,－m －2）..........................................................(3分) ∴PC =2310m m -++. (4))PD ⊥AB 于点D∴在Rt △CDP 中，2sin 2PD ACP PC ∠==∴PD=22325222m m -++..........................................................(5分) （3）m 的值为－1和2 ..........................................................(7分) 24. （1）D E '=MF ； ..........................................................(1分)（2）D E '与MF 的相等关系依然成立 证明：连接DE 、DF 、D D 'D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点 ∴DE //BC ，DE =12BC ，DF //AC ，DF =12AC ∴四边形DFCE 为平行四边形△ABC 是等边三角形 ∴BC =AC ，∠C =60º∴DE =DF ，∠EDF =∠C =60º...................(2分)D'FE DCABM初三数学模拟试卷第17页（共7页）MD=D M '，D DM '∠=60º..................(3分)∴△D DM '是等边三角形 ∴︒='∠60D MD ，D D MD '=∴EDF D MD ∠='∠D FD D MD MDF '∠-'∠=∠D FD EDF D ED '∠-∠='∠∴D ED MDF '∠=∠ ..........................................................(4分)∴△E D D '≌△DMF （SAS ）∴D E '=MF ..........................................................(5分)（3）D E '与MF 的相等关系依然成立....................................................(6分)画出正确图形 ..............................................(7分)25．（1）解：连接ACA 为半圆的圆心，OB =8∴4AC AO ==60COA ∠=︒∴ △AOC 为等边三角形∴(2,23)C ......................................(1分)易知(4,0),(8,0)A B∴二次函数图象的对称轴为x =6将点(4,0)A ，(2,23)C 分别代入2(6)y a x k =-+解得：36a =D'FEDC ABMyxQDCABOP初三数学模拟试卷第18页（共7页）2323(6).63y x ∴=--.........................................................(2分) （2）(1,3).P ..........................................................................(4分) （3）连接BC 、 DB ，延长DB 、PQ 交于点E t OP = ，t OQ 2=8,4==OB OCOBOQOC OP =∴COB POQ ∠=∠∴△OPQ ∽△OCB ∴∠OPQ =∠OCBOB 为半圆的直径∴∠OCB =90º ∴∠OPQ =90º在Rt △OPQ 中，PQ =t 3 ..........................................................................(5分) 连接CD点D 是点C 关于二次函数图象对称轴的对称点 ∴CD ∥OB(2,23)C 且对称轴为x =6 ∴)32,10(D ∴CD =OB =8∴四边形OCDB 为平行四边形 ∴OC ∥DB∴∠DEP =∠OPQ =90º在Rt △BEQ 中，∠BQE==∠OQP 30º，t BQ 28-=∴ t BE -=4yxEQDC ABOP初三数学模拟试卷第19页（共7页）t DE -=∴8 ............................................(6分)∴S △DPQ =)8(32121t t DE PQ -⋅=⋅ 即.38)4(232+--=t y ............................................(7分) ∴当t =4时，△DPQ 的面积的最大值为 38.........................................(8分)。
11、2014年北京市各城区中考一模数学—代数综合23题
2014年北京市各城区中考一模数学—代数综合1、（2014年门头沟一模）23.已知关于x 的一元二次方程04)15(22=+++-m m x m x .（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m 的取值范围；（3）抛物线m m x m x y --++-=224)15(与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），现坐标系内有一矩形O CDE ，如图11，点C （0，-5)，D （6，-5) ，E （6，0),当m 取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移h 个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE 有两个交点，请结合图形写出h 的取值或取值范围（直接写出答案即可）．2、（2014年丰台一模）23.已知二次函数21:2L y x bx c =-++与x 轴交于A （1,0）、B （3,0）两点；二次函数22:43L y kx kx k =-+(k ≠0)的顶点为P. (1)请直接写出：b=_______，c=___________； (2)当90APB ∠=，求实数k 的值;(3)若直线15y k =与抛物线2L 交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不发生变化，请求出EF 的长度；如果发生变化，请说明理由.3、（2014年平谷一模）23．如图，在平面直角坐标系中，直线1y x与抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）=+交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1:2．若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．4、（2014年顺义一模）23．已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式； （3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式．5、（2014年石景山一模）23. 已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负整数.（1）求m 的值；（2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的表达式； （3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转︒180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线121+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围．6、（2014年海淀一模）23．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠=，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．7、（2014年西城一模）23. 抛物线23y x kx =--与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中点B 的坐标为(10)k +，.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上，记该抛物线为G ，求抛物线G 所对应的函数表达式；（3）将线段BC 平移得到线段B C ''（B 的对应点为B '，C 的对应点为C '），使其经过（2）中所得抛物线G 的顶点M ，且与抛物线G 另有一个交点N ，求点B '到直线OC '的距离h 的取值范围。
2014年北京市中考数学试题(含答案)
2014年北京市高级中等学校招生考试模拟卷数 学 试 卷学校姓名准考证号1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟。
招 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
生 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。
知5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
6．转载请注明学而思培优首发。
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的. 1．在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出 了共计约 3 960 亿元的投资计划，将 3 960 用科学记数法表示应为 A ． 39.6 ⨯102 2． - 3 的倒数是 4 A ． 4 3 B ． 3.96 ⨯103 B ． 3 4 C ． 3.96 ⨯104 C ． - 3 4D ． 0.396 ⨯104D ． - 43 3．在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号大于 2 的概率为 A ． 1 5 B ． 25 C ． 35D ． 454．如图，直线 a ， b 被直线 c 所截， a ∥b ， ∠1 = ∠2 ，若 ∠3 = 40︒ ， 则 ∠4 等于 A ． 40︒ B ． 50︒ C ． 70︒ D ．80︒ 5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A ，在近 岸取点 B ，C ， D ，使得 AB ⊥ BC ，CD ⊥ BC ，点 E 在 BC 上， 并 且 点 A ， E ， D 在 同 一条 直线 上， 若测 得 BE = 20 m ， BE = 10 m ， CD = 20 m ，则河的宽度 AB 等于 A ． 60 m B ． 40 m C ． 30 m D ． 20 m 6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是c 3 a 2 1 4bABEC DAB C D7．某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：A ． 6.2 小时B ． 6.4 小时 PC ． 6.5 小时D ．7 小时 8．如图，点 P 是以 O 为圆心， AB 为直径的半圆上的动点， AB = 2 ， 设弦 AP 的长为 x ，△APO 的面积为 y ，则下列图象中，能表示 y A OB与 x 的函数关系的图象大致是ABCD二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．分解因式： ab 2 - 4ab + 4a = . 10．请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解 析式， y = .AMD11．如图， O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， M 是 AD 的中点，若 AB = 5 ， AD = 12 ，则四边形 ABOM 的周长为. O12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l ： y = -x - 1 ，双曲BC线 y = 1 ，在 l 上取一点 A ，过 A 作 x 轴的垂线交双曲线于点x1 1yB 1 ，过 B 1 作 y 轴的垂线交 l 于点 A 2 ，请继续操作并探究：过 A 2作 x 轴的垂线交双曲线于点 B 2 ，过 B 2 作 y 轴的垂线交 l 于点A 3 ，…，这样依次得到 l 上的点 A 1 ， A 2 ， A ，…， A n ，….记点 A n 的横坐标为 a n ， 若 a 1 = 2 ， 则 a 2 =，a 2013 =；若要将上述操作无限次地进行下云，则 a 1 不1 B 1A 2O1xA 1 l能取的值是 . 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）C13．已知：如图，D 是 AC 上一点，AB = DA ，DE ∥AB ，∠B = ∠DAE .E D求证： BC = AE .14．计算： (1 0 + | -2 c os 45︒ + ( 1 )-1 .4A B3x > x - 2 ，15．解不等式组：x x 231>+16．已知 x 2- 4x -1 = 0 ，求代数式 (2x - 3)2 - (x + y )(x - y ) - y 2 的值.17．列方程或方程组解应用题：某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了 2 名工 人，结果比计划提前 3 小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿 化面积.18．已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + 2x + 2k - 4 = 0 有两个不相等的实数根.（1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值.四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，在 ABCD 中， F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E ， 使 CE = 1BC ，连接 DE ， CF .2A F D （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）若 AB = 4 ， AD = 6 ， ∠B = 60︒ ，求 DE 的长. 20．如图 AB 是 O 的直径， PA ， PC 与 O 分别相切于点 A ， C ，PC 交 AB 的延长线于点D ，DE ⊥ PO 交 PO 的延长线 于点 E .（1）求证： ∠EPD = ∠EDO ； （2）若 PC = 6 ， tan ∠PDA = 3，求 OE 的长.421．第九界中国国际园林博览会（园博会）已于 2013 年 5 月 18B CEPC BAO DE日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分。
北京市2014年中考数学模拟试卷含答案
北京市2014年中考数学模拟测试题（考试用时：120分钟 满分： 120分）说明：1．试题卷共4页，答题卡共4页。
考试时间120分钟，满分120分。
2．请在答题卡上填涂学校．班级．姓名．考生号，不得在其它地方作任何标记。
3．本卷选择题1—12，每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卷选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卷指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡．．．．．．．一并交回。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）． 1．2011的倒数是（ ）． A ．12011 B ．2011 C ．2011- D ．12011- 2．在实数2、0、1-、2-中，最小的实数是（ ）． A ．2 B ．0 C ．1- D ．2- 3．下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（ ）．4．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（ ）．5．下列运算正确的是（ ）．A. 22232x x x -= B ．22(2)2a a -=- C ．222()a b a b +=+ D ．()2121a a --=-- 6．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC=3, AC=4， 则sinA 的值为（ ）． A ．34 B ．43 C ．35 D ．457．如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（ ）．8．直线1y kx =-一定经过点（ ）．A ．(1，0)B ．(1，k)C ．(0，k)D ．(0，－1) 9．下面调查中，适合采用全面调查的事件是（ ）．A ．对全国中学生心理健康现状的调查．B ．对我市食品合格情况的调查．C ．对桂林电视台《桂林板路》收视率的调查．D ．对你所在的班级同学的身高情况的调查．10．若点 P （a ，a －2）在第四象限，则a 的取值范围是（ ）． A ．－2＜a ＜0 B ．0＜a ＜2 C ．a ＞2 D ．a ＜11．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．A ．2(1)2y x =-++B ．2(1)4y x =--+C ．2(1)2y x =--+D ．2(1)4y x =-++12．如图，将边长为a 的正六边形A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6在直线l 上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 1第一次滚动到图2位置时，顶点A 1所经过的路径的长为（ ）．A.43a + B. 83a +C.43a + D. 46a +二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡．．．上）． 13．某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为 ．14．如图，已知菱形ABCD 的边长为5，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD =6，则菱形ABCD 的面积为 ．15．如图，将三角板的直角顶点放在⊙O 的圆心上，两条直角边分别交⊙O 于A 、B 两点，点P 在优弧AB 上，且与点A 、B 不重合，连结PA 、PB .则∠APB 的大小为 °．（第15题）16．活动课上，小华从点O 出发，每前进1米，就向右转体a °(0＜a ＜180)，照这样走下去，如果他恰好能回到O 点，且所走过的路程最短，则a 的值等于_ ． 三、解答题：本大题共9小题，共72分．请在题后空白区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分6分）计算：01121)2sin 30()2--++︒-；18. （本题满分6分） 化简：3a b a ba b a b-++--.19．（本题满分6分）已知三个一元一次不等式：2x ＞4，2x ≥x －1，x －3＜0．请从中选择你喜欢的两个不O BDCA（第14题）（1）你组成的不等式组是⎩⎨⎧_______________①_______________②；（2）解：20.（本题满分7分）．如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是 AB.21．（本题满分7分）如图，平面直角坐标系中，直线1122y x =+与x 轴交于点A ，与双曲线x k y =在第一象限内交于点B ，BC ⊥x 轴于点C ，OC =2AO ．求双曲线的解析式．22．（本题满分8分）2011年7月1日，中国共产党90华诞，某校组织了由八年级700名学生参加的建党90周年知识竞赛．李老师为了了解学生对党史知识的掌握情况，从中随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计，并绘制成了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出） 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）求被抽取的部分学生的人数；（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数； （3）请估计八年级的700名学生中达到良好和优秀的总人数．B23．（本题满分10分）为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个．已知篮球每个80元，排球每个60元．设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？24．（本题满分10分）四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ．请解答下列问题：（1）如图（1），当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上（对角线AC 与BD 的交点Q 除外）时，证明△PAC ≌△PDB ；（2）如图（2），当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2；（3）若矩形ABCD 在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3），如图（3）所示，设△PBC 的面积为y ，△PAD 的面积为x ，求y 与x 之间的函数关系式．25．（本题满分12分）如图1，抛物线y ＝nx 2－11nx ＋24n (n ＜0) 与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），抛物线上另有一点A 在第一象限内，且∠BAC ＝90°．图（2）A图（1） MN QABCDP（1）填空：点B 的坐标为（_ ），点C 的坐标为（_ ）； （2）连接OA ，若△OAC 为等腰三角形．①求此时抛物线的解析式；②如图2，将△OAC 沿x 轴翻折后得△ODC ，点M 为①中所求的抛物线上点A 与点C 两点之间一动点，且点M 的横坐标为m ，过动点M 作垂直于x 轴的直线l 与CD 交于点N ，试探究：当m 为何值时，四边形AMCN 的面积取得最大值，并求出这个最大值．参考答案与评分标准一、选择题：二、填空题13．11214．24 15．45 16．120三、解答题17．解：原式＝2＋1＋1－2 ………………4分＝2 ………………6分 18.解：原式3a b a ba b -++=-………………3分22a ba b -=- ………………4分 2()2a b a b-==- ………………6分19．解法一：（1）不等式组：⎩⎨⎧2x ＞4①2x ≥x －1②………………1分（2）解：解不等式组①，得x ＞2，解不等式组②，得x ≥－1， ………………3分 ∴不等式组的解集为x ＞2， ………………4分图1图2………………6分解法二：（1）不等式组：⎩⎨⎧2x ＞4①x －3＜0②………………1分（2）解：解不等式组①，得x ＞2，解不等式组②，得x ＜3， ………………3分 ∴不等式组的解集为2＜x ＜3， ………………4分………………6分20．解：∵∠AOB ＝120°，C 是 AB 的中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60° ………………2分 ∵AO ＝BO ＝OC∴△AOC ，△BOC 都是等边三角形 ………………4分 ∴AO ＝BO ＝BC ＝AC ………………6分 ∴四边形OACB 是菱形 ………………7分21．解：∵直线1122y x =+与x 轴交于点A ，∴11022x +=．解得1x =-．∴AO =1． ………………2分 ∵OC =2AO ，∴OC =2． ………………3分∵BC ⊥x 轴于点C ，∴点B 的横坐标为2．∵点B 在直线1122y x =+上，∴1132222y =⨯+=．∴点B 的坐标为3(22，）． ………………5分∵双曲线xk y =过点B 3(22，），∴322k =．解得3k =．∴双曲线的解析式为3y x=． ………………7分 22．解：（1）100（人）； ………………2分（2）如图所示：扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数是108° ………………5分第19题第19题（3）∵4020700420100+⨯=（人） ………………7分 ∴700名学生中达到良好和优秀的总人数约是420人． ………………8分23．解：（1）y ＝80x ＋60(20－x )＝1200＋20 x ………………3分 （2）x ≥3(20－x ) 解得x ≥15 ………………5分 要使总费用最少，x 必须取最小值15 ………………6分 y ＝1200＋20×15＝1500 ……………8分答：购买篮球15个，排球5个，才能使总费用最少 ……………9分 最少费用是1500元． ……………10分24．（1）证明：作BC 的中垂线MN ，在MN 上取点P ，连接PA 、PB 、PC 、PD ， 如图（1）所示，∵MN 是BC 的中垂线，所以有PA =PD ，PC =PB ， 又四边形ABCD 是矩形，∴AC =DB∴△PAC ≌△PDB （SSS ） ……………2分（2）证明：过点P 作KG //BC ，如图（2） ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC ，DC ⊥BC ∴AB ⊥KG ，DC ⊥KG ， ∴在Rt △PAK 中，PA 2=AK 2+PK 2同理，PC 2=CG 2+PG 2；PB 2= BK 2+ PK 2，PD 2=+DG 2+PG 2PA 2+PC 2= AK 2+PK 2+ CG 2+PG 2， ，PB 2+ PD 2= BK 2+ PK 2 +DG 2+PG 2 AB ⊥KG ，DC ⊥KG ，AD ⊥AB ，可证得四边形ADGK 是矩形，∴AK =DG ，同理CG =BK ，∴AK 2=DG 2，CG 2=BK 2∴PA 2+PC 2=PB 2+PD 2……………5分（3）∵点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3） ∴BC =4，AB =2 ∴ABCD S 矩形=4×2=8 作直线HI 垂直BC 于点I ，交AD 于点H ①当点P 在直线AD 与BC 之间时421=⋅=+∆∆HI BC S S PBCPAD 即x +y =4，因而y 与x 的函数关系式为y =4－x ……………7分②当点P 在直线AD 上方时，421=⋅=-∆∆HI BC S S PAD PBC 即y －x =4，因而y 与x 的函数关系式为y =4+x ……………8分图（3） 图（1） MN QABCDP图（2）③当点P 在直线BC 下方时， 421=⋅=-∆∆HI BC S S PBC PAD 即x － y =4，因而y 与x 的函数关系式为y =x －4 ……………10分25．解：（1）B （3，０），C （8，０） ………………3分（2）①作AE ⊥OC ，垂足为点E ∵△OAC 是等腰三角形，∴OE ＝EC ＝12×8＝4，∴BE ＝4－3＝1 又∵∠BAC ＝90°，∴△ACE ∽△BAE ，∴AE BE ＝CEAE∴AE 2＝BE ·CE ＝1×4，∴AE ＝2 ………………4分 ∴点A 的坐标为 (4，2) ………………5分 把点A 的坐标 (4，2)代入抛物线y ＝nx 2－11nx ＋24n ，得n ＝－12∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋112x －12 ………………7分②∵点M 的横坐标为m ，且点M 在①中的抛物线上∴点M 的坐标为 (m ，－12m 2＋112m －12)，由①知，点D 的坐标为（4，－2），则C 、D 两点的坐标求直线CD 的解析式为y ＝12x －4∴点N 的坐标为 (m ，12m －4)∴MN ＝（－12m 2＋112m －12）－（12m －4）＝－12m 2＋5m －8 …………9分∴S 四边形AMCN ＝S △AMN ＋S △CMN ＝12MN ·CE ＝12（－12m 2＋5m －8）×4＝－(m －5)2＋9 ……………11分 ∴当m ＝5时，S 四边形AMCN ＝9 ……………12分。
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北京市中考数学模拟试题（考试用时：120分钟 满分： 120分）注意事项：1．试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无效．．．．．．．．．．。
2．答题前，请认真阅读答题卡．．．上的注意事项。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡．．．．．．．一并交回。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）． 1．2011的倒数是（ ）． A ．12011 B ．2011 C ．2011- D ．12011- 2．在实数2、0、1-、2-中，最小的实数是（ ）． A ．2 B ．0 C ．1- D ．2- 3．下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（ ）．4．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（ ）．5．下列运算正确的是（ ）．A. 22232x x x -= B ．22(2)2a a -=- C ．222()a b a b +=+ D ．()2121a a --=-- 6．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC=3, AC=4， 则sinA 的值为（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．457．如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）．8．直线1y kx=-一定经过点（）．A．(1，0) B．(1，k) C．(0，k) D．(0，－1)9．下面调查中，适合采用全面调查的事件是（）．A．对全国中学生心理健康现状的调查．B．对我市食品合格情况的调查．C．对桂林电视台《桂林板路》收视率的调查．D．对你所在的班级同学的身高情况的调查．10．若点 P（a，a－2）在第四象限，则a的取值范围是（）．A．－2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a＜011．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x=++绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A．2(1)2y x=-++ B．2(1)4y x=--+C．2(1)2y x=--+ D．2(1)4y x=-++12．如图，将边长为a的正六边形A1 A2 A3 A4 A5 A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（）．A.4233aπ+B.8433aπ+C. 433aπ+D.4236aπ+二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡．．．上）．13．因式分解：22a a+=．14．我市在临桂新区正在建设的广西桂林图书馆、桂林博物馆、桂林大剧院及文化广场，建成后总面积达163500平方米，将成为我市“文化立市”和文化产业大发展的新标志，把163500平方米用科学记数法可表示为 平方米．15．当2x =-时，代数式21x x -的值是 ．16．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC,BE ∥AD, 梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△BEC 的周长为 ． 17．双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ． 18．若111a m=-，2111a a =-，3211a a =-，… ；则2011a 的值为 ．（用含m 的代数式表示）三、解答题（本大题共8题，共66分，请将答案写在答题卡．．．上）． 19．（本题满分6分）计算：01(21)22452tan -︒+--+-20．（本题满分6分）解二元一次方程组：35382x y y x=-⎧⎨=-⎩21．（本题满分8分）求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.已知： 求证：证明：22．（本题满分8分）“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如下的统计图，请回答下列问题：（1）这次抽查的家长总人数为；（2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是．3．（本题满分8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？24．（本题满分8分）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒．（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）．（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？25．（本题满分10分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，12 AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．（1）求证：D是 AE的中点；（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ； （3）若12CEF OCD S S ∆∆=，且AC=4，求CF 的长.26．（本题满分12分）已知二次函数21342y x x =-+的图象如图.（1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由.参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADBCACCDDBBA① ②35382x y y x=-⎧⎨=-⎩ 二、填空题：13．(2)a a + 14．51.63510⨯ 15．43- 16．1817．26y x =18．11m- 三、解答题：19．(本题满分 6分)解：原式=112122--⨯+ ………4分（求出一个值给1分）=12……………………6分20．(本题满分6分)解： 把①代入②得：382(35)y y =-- ……………………1分 2y = ……………………3分把2y =代入①可得：325x =⨯- ……………………4分1x = ……………………5分所以此二元一次方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩. ……………………6分21．（本题满分8分）已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上任意一点，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E 、F ……………2分 求证：PE=PF ……………3分 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线∴∠POE=∠POF ……………4分 ∵PE ⊥OA ，PF ⊥OB∴∠PEO=∠PFO ……………………5分 又∵OP=OP ………………6分 ∴△POE ≌△POF ……………………7分 ∴PE=PF ……………………8分22．（本题满分8分）解：（1）100 ；………………2分（2）条形统计图：70，………………4分扇形统计图：赞成：10﹪，反对：70﹪；………………6分（3）25. ………………8分23．（本题满分8分）解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x………………1分根据题意得，22000(1)2420x+=…………3分得110%x=，22.1x=-（舍去）…………5分答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10﹪. …………6分（2）2012年需投入资金：22420(110%)2928.2⨯+=（万元）…………7分答：2012年需投入资金2928.2万元. …………8分24．（本题满分8分）解：（1）牛奶盒数：(538)x+盒…………1分（2）根据题意得:5386(1)55386(1)1x xx x+--<⎧⎨+--≥⎩…………4分∴不等式组的解集为：39＜x≤43 …………6分∵x为整数∴x=40，41，42，43答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人. …………8分25．（本题满分10分）证明：（1）∵AC是⊙O的直径∴AE⊥BC …………1分∵OD∥BC∴AE⊥OD …………2分∴D是 AE的中点…………3分（2）方法一：如图，延长OD 交AB 于G ，则OG ∥BC …4分 ∴∠AGD=∠B∵∠ADO=∠BAD+∠AGD …………5分 又∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO∴∠DAO=∠B +∠BAD …………6分 方法二：如图，延长AD 交BC 于H …4分 则∠ADO=∠AHC∵∠AHC=∠B +∠BAD …………5分 ∴∠ADO =∠B +∠BAD 又∵OA=OD∴∠DAO=∠B +∠BAD …………6分 （3） ∵AO=OC ∴12OCD ACD S S ∆∆=∵12CEF OCDS S ∆∆= ∴14CEF ACD S S ∆∆= …………7分 ∵∠ACD=∠FCE ∠ADC=∠FEC=90° ∴△ACD ∽△FCE …………………8分 ∴2()CEF ACD S CF S AC ∆∆= 即: 21()44CF = …………9分 ∴CF=2 …………10分26．（本题满分12分）解: （1）由21342y x x =-+得 32bx a=-= …………1分∴Ｄ（3，0）…………2分（2）方法一:如图1, 设平移后的抛物线的解析式为21342y x x k =-++ …………3分则C (0,)k OC=k令0y = 即 213042x x k -++=得 1349x k =++ 2349x k =-+ …………4分 ∴A (349,0)k -+，B (349,0)k ++∴22(493349)1636AB k k k =++-++=+………5分222222(349)(349)AC BC k k k k +=+-+++++22836k k =++……………………6分∵222AC BC AB += 即: 228361636k k k ++=+得 14k = 20k =(舍去) ……………7分∴抛物线的解析式为213442y x x =-++ ……………8分方法二:∵ 21342y x x =-+∴顶点坐标93,4⎛⎫⎪⎝⎭设抛物线向上平移h 个单位则得到()0,C h ,顶点坐标93,4M h ⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………………3分∴平移后的抛物线: ()219344y x h =--++……………………4分 当0y =时, ()2193044x h --++= 1349x h =-+ 1349x h =++∴ A (349,0)h -+ B (349,0)h ++ ……………………5分 ∵∠ACB=90° ∴△AOC ∽△COB∴2OC =OA ·OB ……………………6分()()2493493h h h =+-++ 解得 14h =,()20h =舍去 …………7分∴平移后的抛物线: ()()22191253434444y x x =--++=--+…………8分（3）方法一:如图2, 由抛物线的解析式213442y x x =-++可得 A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M 25(3,)4…………9分 过C 、M 作直线，连结CD ，过M 作MH 垂直y 轴于H则3MH = ∴2225625()416DM == 22222252253(4)416CM MH CH =+=+-= 在Rt △COD 中,CD=22345+==AD∴点C 在⊙D 上 …………………10分 ∵2225625()416DM == 2222225256255()16416CD CM +=+== ……11分 ∴222DM CM CD =+∴△CDM 是直角三角形，∴CD ⊥CM∴直线CM 与⊙D 相切 …………12分方法二:如图3, 由抛物线的解析式可得A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M25(3,)4…………9分作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H则3MH=,254 DM=由勾股定理得154 CM=∵DM∥OC∴∠MCH=∠EMD∴Rt△CMH∽Rt△DME …………10分∴DE MDMH CM=得5DE=…………11分由(2)知10AB=∴⊙D的半径为5∴直线CM与⊙D相切…………12分。