电路分析基础教案第4章

(t)
可见电容在某一时刻的储能只与该时刻的电容电压有关， 与电容电流无关。故电容电压是表征电容储能状态的物理量，称为 电容的状态变量。
例：电路如图(a) ， u(t )波形如图(b)，求电流 的iC波形。
iC
+
u(t) C
2F
–
(a)
u(t) / V
0.5
0 1 2 3 4 t/
-
s
0.5
(b)
iC
若uc，ic 取非关联参考方向，则
iC
C
duC dt
➢ 电容电压的记忆性和连续性：
iC
C
duC dt
电容电压的记忆性:
uC
t
1 C
t
iC
d
1 C
i t0
C
d
1 C
t
it0 C d
uC
t 0
1 C
t
it0 C d
电容电压的连续性:
uC
t
uC
t0
1 C
t t0
iC
d
t
三. 一阶电路的全响应 y(t) :
已知 ：uC 0 U0
求 ：uC t ? t 0
解： 根据线性电路叠加定理，有 ：
uC (t ) uCzi (t ) uCzs (t )
1t
1t
U0e RC Us (1 e RC )
四. 响应的分解： 全响应可有如下三种分解方式。
➢ 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
＋－
uC (0 )
u（。0＋）
iL(0 )
解： ① t 0 :
求状态u量C 0 、iL (0 )
。
uC (0 ) 0 , iL (0 ) 0 零状态
② t 0 : uC 0 uC 0 0 iL 0 iL 0 ， 0
作 图0。
=0 ×
=0 ×
u(0 ) 3V
求初始值的步骤：
C
duC dt
iC /A
1
0 1 2 3 4 t/ s
-1
二. 电感元件 (inductor) ➢电感元件及其VAR
(t )
iL N匝
(t) N(t) —— 磁链，单位：韦伯（Wb)
(t) Li(t)
比例系L 称为电感 单位：亨利（H)
iL +
uL
L
–
对于线性电感，设 uL , iL 取关联参考方向:
uL
L
diL dt
iL
t
1 L
t
uL
d
1
L
t0
uL
d
1 L
t t0
uL
d
iL
t0
1 L
t
u t0 L d
电感电流的连续性
iL
t
iL
t0
1 L
t t0
uL
d
iL
0
iL
0
1 L
u 0
0 L
d
iL 0 iL 0
电感电流不能突变，即电感电流具有连续性。
➢电感的储能 :
一般情况下，电路的响应是由输入激励信号和内部储 能元件初始储能共同作用产生。
零输入响应yzi(t)：输入激励为零，仅由电路初始储 能引起的响应。
零状态响应yzs(t)：初始储能为零，仅由输入激励引 起的响应。
一．零输入响应 y：zi (Zte)ro input response
➢ 一阶RC电路：（RC放电电路）
RC , L
R
全响应由这三个参量确定，称这一方法为三要素法。
例 : 电路如图，求电流 （i t）。t 0
（i t）
＋
uC (0 )
－
解： ① t 0 :
求状态u量C 0 （。稳态：C
开路）
uC 0 10V
② t 0:
的三要素。
uC
0
uC
0
10V
（i t）
，求
求 i(0 ) : 作 0图 。 C uC 0
uC (t ) uCzi (t ) uCzs (t )
1t
1t
U0e RC Us (1 e RC )
➢ 全响应 = 稳态响应 + 暂态响应
1t
uC t Us (U0 Us )e RC
➢ 全响应 = 强制响应 + 固有响应（自然响应）
1t
uC t Us (U0 Us )e RC
1A
求: L
R
R 8 L 2 1 s
R84
R : 为从储能元件两端看进去的戴维南等效电阻。
③ 写出全响应解式。
i
t
i
i
0
i
e
1
t
1 (2 1)e4t 1 e4t A t 0
注：在一个直流一阶电路中，只有一个时间常数。
例 : 电路如图，求 i(t) 。t 0
i(t)
＋
uC (0 )
i(t)
－
解：
① t 0 :
求状态u量C 0 。uC 0 0V
② t 0:
的三要素。
uC
0
uC
0
0V
（i t）
，求
求
i(0
)
:
作
0
图。
C uC 0
电压源
i(t) i(t)
0V i(0 ) 0.8A
求 i() : 作 图。 （稳态：C 开路）
i() 0.5A
i(t) i(t)
例 : 电路如图，原已处于稳态，在
试求电流 i(t) t 。0
时开t 关0打开，
iL 0
解：
① t 0 :
求状态i量L (0 ) （。稳态：L
iL 0 2A
短接 ）
② t 0:
三要素。
iL 0
iL 0
2A,
（i t）
求 i(0 ) :
作
0
图。
L
iL 0
求的 电流源
2A
2A
求 i() : 作 图。 （稳态：L 短接 ）
+ + + + +q
–
– –
– –q
q(t) Cu(t)
比例系数C称为电容
单位：法拉（F）
1F 106μF 1012 pF
➢
VAR：
iC
dq dt
C
duC dt
ic的大小取决于 uc 的变化率, 电容元件是动态元件。
如果电容电压 uC不变，那么
duC 0 dt
iC 0
在直流电路中，电容相当于开路，具有隔直流的作用。
令: t0 0 , t 0
uC
0
uC
0
1 C
i0
0 C
d
uC 0 uC 0
即电容电压不能突变，即电容电压具有连续性。
➢电容的储能 :
WC (t1, t2 )
t2 p( )d
t1
t2 t1
uC
iC d
Leabharlann Baidut2 t1
uC
C
duC
d
d
1 2
C
uC2
t2
uC2
t1
WC
(t)
1 2
CuC2
① t 0 :
求状态u量C 0 、iL (0 )
。
（稳态：C
开路，L 短接 ）
②t
图,
0
:
uC 0 uC 0
iL 0 iL 0，
0
,作
求初始值。
C uC 0
源
电压源，iLL 0
电流
§4.3 直流一阶电路时域分析 Time-domain analysis methods of dc first-order 一阶电路：可用一阶微分方程描述的电路。 从电路直观判断：仅含一个储能元件的电路。
WL(t1, t2 )
t2 p( )d
t1
t2 t1
uLiLd
t2 t1
L
diL
d
iL d
1 2
L iL2
t2
iL2
t1
WL (t )
1 2
LiL2 (t )
电感在某一时刻的储能只与该时刻的电感电流有关，与 电感电压无关。故电感电流是表征电感储能状态的物理量，称为 电感的状态变量。
§ 4.2 换路定律及初始值的计算
求状态u量C 0 、iL (0 )
。
uC (0 ) 6V , iL(0 ) 2A
iL + uL –
L
uL
dψ dt
d(LiL ) dt
L diL dt
uL的大小取决于 如果电感电流
i的L 变化率，电感元件是动态元件。
i
不变，那么
L
diL 0 dt
uL 0
在直流电路中，电感元件相当于短路。
若uL , iL
的参考方向非关联，则
uL
L
diL dt
➢电感元件的记忆性和连续性
电感电压的记忆性:
§4.6 求解直流一阶电路的三要素法 Three-parameter methods of dc first-order circuits
直流一阶RC电路的全响应 ：
1t
1t
uC (t ) U0e RC Us (1 e RC )
1t
Us (U0 Us )e RC
uC
uC
0
uC
e
1
t
t0
直流一阶线性电路全响应的一般表达式为
yt y y0 y ueC 01 t U0
直流一阶线性电路全响应的一般表达式为
yt
y
y 0
y e
1
t
y 0 : 初始值 initial value
y : 稳态值 steady-state value
: 时间常数 time constant
电压源
i0 5A
10V
求 i() : 作 图。 （稳态：C
开路）
i() 2.5A
（i t）
求 : RC
R 1 RC 1s
R : 为从储能元件两端看进去的戴维南等效电阻。
（i t）
③ 写出全响应解式。
i
t
i
i
0
i
e
1
t
2.5 (5 2.5)e t
2.5 2.5e t A t 0
原始状态(original state): 换路前电路所处的状态。
uC 0 , iL 0
初始状态(initial state): 换路后瞬间电路的状态。
uC 0 , iL 0
零状态(zero state): 初始贮能为零。
uC 0 0
iL
0
0
换路定律: ① 在电容电流为有限值条件下，换路瞬间电容电压
RC
duC dt
uC (t )
Us
(※)
uC t uCh t uCp t
齐次解
特解
➢ 求 uCh t : 对应的齐次微分方程的解。
RC
uCh (
duC dt
t)
Ae
uC (t )
st
Ae
0
1 RC
t
★
➢ 求 uCp t : 具有与输入激励相同的形式。
令 uCp t Q
，将其带入※式中，有
switching law and calculation of initial value 一 . 换路：
换路
信号突然接入或改变 电路的通断 电路参数的改变
二 . 换路定律：
状态量：能够反映电路在某一时刻贮能状况的物理量。
WC
(t)
1 2
CuC2
(t)
WL ( t )
1 2
LiL2 (t )
uC (t ) iL(t)
RC
dQ dt
Q
Us
Q Us
uCp (t ) Us
★
于是
uC
t
uCh t
uCp t
Ae
1t RC
Us
➢ 由初始条件确定待定系数A：
uC 0 0 Ae 0 Us
A Us
1t
1t
uC (t) Use RC Us Us (1 e RC )
➢ 作变化曲线。
uC t
Us
0
对于一阶电路，其零输入响应具有如下形式：
t
yzi (t ) y(0 )e
二. 零状态响应 yzs (t) ：Zero state response
➢ 一阶RC电路：（RC充电电路）
已知 ：uC 0 0
Ri(t ) uC (t ) Us
RC
duC dt
uC (t ) Us
一阶常系数非齐次微分方程
Chapter4 动态电路的时域分析 Time-domain analysis methods of the dynamic cicuit
重点： 动态元件：电容元件和电感元件 换路定律及初始值的计算 零输入响应、零状态响应和全响应 求解直流一阶电路的三要素法
§4.1 电容元件和电感元件
Capacitors and Inductors 一．电容元件：
求 : RC
R 5 4
i0
RC 1s
i(t)
u0
i(t)
③ 写出全响应解式。
i
t
i
i
0
i
e
1
t
0.5 0.8 0.5et
0.5 0.3et A t 0
例 : 电路如图，原已处于稳态， 开t关 0闭合,求S t 0时的 i。(t )
iL(0 )
解：
＋
uC (0 )
－
① t 0 :
uC (0 ) 2V
×
× uC (0 )
iL(0 )
解： ① t 0 :
求状态u量C 0 、iL (0 )
。
（稳态：C 开路，L 短接 ）
② t 0 : uC 0 uC 0 2V iL 0 iL 0 ，1A
作 0图 。源 C uC 0
电压源，iLL 0
电流
例 : 电路如图，求初始值
已知 ：uC 0 U0
Ri t uC t 0
有：
RC
duC dt
uC (t )
0
一阶常系数齐次微分方程
RC
duC dt
uC (t ) 0
特征方程： RCs 1 0
特征根 s 1
uC (t)
Ae st
Ae
1t RC
t0
RC
由初始条件确定待定系数A：
uC (0 ) U0 Ae 0
1t
uC (t ) U0e RC
t0
i(t) C
duC
U0
e
1t RC
dt R
t0
1t
uC (t ) U0e RC
i(t)
C
duC
U0
e
1t RC
dt R
U0 U0/R
0
uc(t) i(t)
t
RC 具有时间量纲，称为时间常数。
time constant
又 s 1 RC
具有频率的量纲，称为固有频率。 natural frequency
是连续的，不会突变。
② 在电感电压为有限值条件下，换路瞬间电感电流 是连续的，不会突变。
uC (0 ) uC (0 )
iL
(0
)
iL
(0
)
实质：电容所储存的电场能和电感所储存的磁场能
不能突变。即电路的储能状态不能突变。
三 . 初始值的计算： 例 : 电路如图，求初始值
4 i（C、0＋） iL(0u、（L) 0＋2）。（2i 0＋1）A