薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程

一． 定义及重要性

薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理

学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。

二． 表达式

三． 定态方程

()()2

22V r E r m ηψψ+⎡⎤-∇=⎢⎥⎣⎦

所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。

其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2

2

22222z y x ∂∂

∂∂∂∂++=∇

可化为d 0)(222=-+ψψ

v E h m dx

薛定谔方程的解法

一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法

二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法

龙格库塔法（对欧拉法的完善）

给定初值问题

).()()((3)

)

,()

,()

( ,,(2)

)()

,( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy

i i i i i i i i =-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==⎪⎩⎪⎨⎧

=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法

的值及确定常数ββα

βα

.))(,(,,(3) )()(2

)()( ,))(,())(,())(,()( ))

(,()( )()(2

)()()( )( 32

132

11处的函数值分别表示相应函数在点其中得

代入上式将

处展成幂级数

在首先将i i y t y t i i y t i i i i i i t y t f f f h O ff f h hf t y t y t y t f t y t f t y t f t y t y t f t y h O t y h t y h t y t y t t y '++++=+'=''='+''+'+=+++.

)(2

1 1 ,,02

1,01 ),()()())(2

1()1()( ,)( 322121221311322

2111的计算公式局部截断误差为可得到但只有两个方程，因此方程组有三个未知数，满足条件

即常数当且仅当要使局部截断误差得

下假设在局部截断误差的前提h O c c c c c c c c h O y t y h O ff f c h f c c h y t y t y y i i y t i i i i ==+=-=-+=-++-+-+-=-=++++ββββ

有限元方法

有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研

究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。