计算关键路径
项目管理举例--如何计算关键路径
项目管理举例--如何计算关键路径下图表明了项目中涉及的所有时间。
首先，我们从网络起始处从左往右来计算最早开始时间点(ES)和最早完成时间点(EF)。
然后，我们在网络中间处从右往左计算最晚完成时间点(LF)和最晚开始时间点(LS)。
注意所有的项目都是从时间O开始，而不是从1开始。
活动E和活动D在同一事件处会合，这意味着必须完成E和D之后，活动F才可以开始。
两个或两个以上活动在同一事件处完成是很常见的。
发生这种情况时，下一活动(活动F)的最早开始时间点(ES)就是其前提活动的最早完成时间点(EF)中的最大值。
如果前面的活动未能全部完成，后面的活动就无法开始。
网络中部从右往左推算，得到最晚完成时间点和最晚开始时间点，我们看到三个活动(B、C、H)是从同一事件开始的。
这时，三者最晚开始时间点( LS)中的最小值就是活动A的最晚完成时间点(LF)。
这里两周就是活动A的最晚完成时间点。
网络中的最长路径是关键路径，在这条路径上，活动彼此相连，没有闲置。
在上面的例子中，项目的关键路径由活动A- B- E- F- G-K组成。
每个活动时间上的延迟都会导致整个项目的延迟。
项目经理必须密切关注关键路径上的活动，因为这条路径上的活动绝不能出现闲置现象。
闲置时间定义为最晚开始时间点和最早开始时间点的差(LS- ES)或者最晚完成时间点和最早完成时间点的差(LF- EF)，是活动在不延误整个项目的条件下允许时间延迟的最大值。
在关键路径上的活动(A、B、E、F、G、K)不允许有任何闲置时间，非关键路径上的活动允许有闲置时间。
项目经理关心的是项目的路径闲置时间，即在不造成整个项目延误的条件下，整条路径中所允许时间延迟的总量。
在我们的案例中有三条路径，下表表明三条路径各自的路线和时间，其中，A-B-E-F-G-K是最长路径，为25.2周。
在这条路径上，不允许有任何闲置时间的现象出现。
路径的跨度等于该路径上各项活动的期望活动时间的总和。
运筹学关键路径
运筹学关键路径
关键路径是指项目中具有最长完成时间的路径，它决定了整个项目的最短完成时间。
在运筹学中，关键路径通常用于确定项目的最早开始时间和最晚完成时间，以确保项目能按时完成。
计算关键路径的步骤如下：
1. 确定项目的工作项和它们之间的依赖关系。
用箭头表示工作项的依赖关系，箭头指向后续工作项。
2. 为每个工作项确定工期，即完成该项工作所需的时间。
3. 为每个工作项确定最早开始时间（ES）和最早完成时间（EF）。
最早开始时间为该项工作前面的所有工作项的最早
完成时间中的最大值，最早完成时间为最早开始时间加上工期。
4. 为每个工作项确定最晚开始时间（LS）和最晚完成时间（LF）。
最晚完成时间为该项工作后面的所有工作项的最晚
开始时间中的最小值，最晚开始时间为最晚完成时间减去工期。
5. 计算每个工作项的总浮动时间（TF），即最晚开始时间减
去最早开始时间或最晚完成时间减去最早完成时间。
如果某个工作项的总浮动时间为0，则它是关键路径上的节点。
6. 确定关键路径，即由所有没有浮动时间的工作项组成的路径。
这些工作项的最早开始时间和最晚完成时间相等。
关键路径分析可以帮助项目管理者确定项目的关键节点，从而优化资源分配和任务安排，确保项目按时完成。
关键路径计算方法
关键路径计算方法关键路径是项目管理中的一个重要概念，通过关键路径的计算可以确定项目的最短工期和关键任务，帮助项目经理和团队成员合理安排工作，提高项目的执行效率和成功率。
本文将介绍关键路径计算的方法和步骤。
一、关键路径的定义关键路径是指在项目网络图中，连接起始节点和终止节点的最长路径。
在这条路径上的任务被称为关键任务，它们的完成时间直接影响整个项目的工期。
如果关键任务延迟完成，整个项目的工期将延迟。
二、关键路径的计算方法关键路径的计算方法有两种，分别是前置法和后置法。
下面将详细介绍这两种方法的步骤。
1. 前置法的计算步骤：（1）绘制项目网络图，标注任务和其所需时间。
（2）计算每个任务的最早开始时间（EST）和最早完成时间（EFT）。
（3）计算每个任务的最晚开始时间（LST）和最晚完成时间（LFT）。
（4）根据计算得到的EST、EFT、LST、LFT，确定每个任务的浮动时间（TF）。
（5）找出浮动时间为0的任务，这些任务即为关键任务。
（6）按照关键任务的排列顺序，确定关键路径。
2. 后置法的计算步骤：（1）绘制项目网络图，标注任务和其所需时间。
（2）计算每个任务的最晚开始时间（LST）和最晚完成时间（LFT）。
（3）计算每个任务的最早开始时间（EST）和最早完成时间（EFT）。
（4）根据计算得到的EST、EFT、LST、LFT，确定每个任务的浮动时间（TF）。
（5）找出浮动时间为0的任务，这些任务即为关键任务。
（6）按照关键任务的排列顺序，确定关键路径。
三、关键路径计算的应用关键路径计算可以帮助项目经理和团队成员合理安排工作，提高项目的执行效率和成功率。
具体应用包括以下几个方面：1. 确定项目的最短工期：通过关键路径的计算，可以确定项目的最短工期，避免工期延误和浪费资源。
2. 优化资源分配：关键路径计算可以帮助项目经理合理安排资源，避免资源过度或不足，提高资源利用率。
3. 提前预警和风险控制：通过关键路径的计算，可以提前预警可能延误的任务，及时采取措施进行调整和风险控制。
关键路径法tf计算方式
关键路径法tf计算方式关键路径法（Critical Path Method，简称CPM）是一种项目管理中常用的工具，用于确定项目中的关键路径和关键活动。
在CPM中，关键路径是指完成整个项目所需的最长时间路径，关键活动则是指影响项目完成时间的活动。
在计算关键路径时，需要计算每个活动的最早开始时间（Early Start，ES）、最晚开始时间（Late Start，LS）、最早完成时间（Early Finish，EF）和最晚完成时间（Late Finish，LF），以及活动的总浮时（Total Float，TF）。
1. 最早开始时间（Early Start，ES）最早开始时间是指一个活动可以开始的最早时间。
对于第一个活动来说，其最早开始时间为0；对于后续的活动，其最早开始时间取决于前驱活动的最早完成时间。
最早开始时间可以通过以下公式计算：ES = Max{EF(前驱活动)}2. 最晚开始时间（Late Start，LS）最晚开始时间是指一个活动必须开始的最晚时间，以不影响整个项目的完成时间。
对于最后一个活动来说，其最晚开始时间等于其最晚完成时间；对于其他活动，其最晚开始时间取决于后继活动的最晚开始时间。
最晚开始时间可以通过以下公式计算：LS = Min{LS(后继活动)} - 活动持续时间3. 最早完成时间（Early Finish，EF）最早完成时间是指一个活动可以完成的最早时间。
最早完成时间等于最早开始时间加上活动持续时间：EF = ES + 活动持续时间4. 最晚完成时间（Late Finish，LF）最晚完成时间是指一个活动必须完成的最晚时间，以不影响整个项目的完成时间。
对于最后一个活动来说，其最晚完成时间等于其最早完成时间；对于其他活动，其最晚完成时间取决于后继活动的最晚完成时间。
最晚完成时间可以通过以下公式计算：LF = Min{LF(后继活动)}5. 总浮时（Total Float，TF）总浮时是指一个活动可以延迟多久而不影响整个项目的完成时间。
关键路径法例题
关键路径法例题（实用版）目录1.关键路径法的定义和作用2.关键路径法的计算步骤3.关键路径法的应用实例4.关键路径法在项目管理中的重要性正文一、关键路径法的定义和作用关键路径法（Critical Path Method，CPM）是一种计划和控制项目进度的方法，主要用于确定项目中各个活动的时间安排和关键路径。
关键路径是指项目中影响总工期最大的一条活动路径，通过找出关键路径，可以有效地对项目进度进行管理和控制。
二、关键路径法的计算步骤关键路径法的计算步骤如下：1.列出项目的所有活动，并为每个活动确定持续时间。
2.绘制项目的网络图，将各个活动之间的依赖关系表示出来。
3.计算各个活动的最早开始时间（Earliest Start Time，EST）和最早完成时间（Earliest Finish Time，EFT）。
4.计算各个活动的最迟开始时间（Latest Start Time，LST）和最迟完成时间（Latest Finish Time，LFT）。
5.计算各个活动的总浮动时间（Total Float Time，TFT），即 LST 与EST 之间的差值和 LFT 与 EFT 之间的差值。
6.确定关键路径：找出具有最长总工期的路径，即为关键路径。
三、关键路径法的应用实例以一个简单的项目为例，项目包括三个活动：A、B 和 C。
活动 A 的持续时间为 10 天，活动 B 的持续时间为 15 天，活动 C 的持续时间为 20 天。
活动 B 需要在活动 A 完成后开始，活动 C 需要在活动 B 完成后开始。
通过关键路径法计算，可以得出以下结果：- 活动 A 的最早开始时间为 0，最早完成时间为 10。
- 活动 B 的最早开始时间为 10，最早完成时间为 25。
- 活动 C 的最早开始时间为 25，最早完成时间为 45。
根据计算结果，可以得出关键路径为 A-B-C，总工期为 45 天。
四、关键路径法在项目管理中的重要性关键路径法在项目管理中具有重要意义，主要表现在以下几个方面：1.有助于找出影响项目总工期的关键活动，从而对这些活动进行重点管理和控制。
关键路径计算简单例题讲解
关键路径计算简单例题讲解关键路径计算简单例题讲解计划是人类行动的基础。
对于工程项目而言，计划更是必不可少的。
关键路径方法(CPM)是一种重要的工程计划方法，通过分析一个项目中所有任务之间的时间关系和依赖关系，确定整个项目的关键路径，从而实现对项目时间进度和资源的控制。
本文通过一个简单的例子来介绍如何计算关键路径。
1. 建立项目网络图首先，我们需要根据项目的任务及其完成顺序，建立项目网络图。
以项目“完成一篇短文”为例，该项目包括5个任务：主题确定、资料搜集、草稿写作、文章修改和定稿。
它们的完成顺序如下：主题确定-----> 资料搜集-----> 草稿写作-----> 文章修改-----> 定稿在建立项目网络图时，需要将各个任务用活动节点(A)表示，在每个活动节点上标明活动的名称；同时，需要使用箭头(Arrow)表示各个任务之间的联系，即需要完成一个任务才能开始下一个任务。
在箭头上标明任务之间的时间。
例如，主题确定任务需要1天完成，那么从主题确定的活动节点向资料搜集的活动节点画一条箭头并在箭头上标明时间为1天。
如此，可以完成整个项目的网络图绘制。
2. 确定活动的持续时间接下来，我们需要确定每个活动的最短时间，即该活动所需的最小时间。
以“完成一篇短文”为例，各个活动的持续时间如下：主题确定（1天）-----> 资料搜集（3天）-----> 草稿写作（2天）-----> 文章修改（2天）-----> 定稿（1天）3. 计算最早开始时间和最晚开始时间计算最早开始时间和最晚开始时间是确定关键路径的重要一步。
在这一步中，我们需要确定任务的开始时间和结束时间。
其中，最早开始时间是指一个任务开始的最早时间，最晚开始时间是指一个任务可以推迟的最晚时间，而不影响项目的整体完成时间。
以“完成一篇短文”为例，我们可以算出各个任务的最早开始时间和最晚开始时间如下表所示：任务名称最早开始时间最晚开始时间主题确定 0 0资料搜集 1 4草稿写作 4 4文章修改 6 6定稿 8 84. 计算总时差和自由时差最后，我们需要计算总时差和自由时差，从而确定关键路径。
关键路径的计算
关键路径的计算从源点到汇点路径长度最长的路径为该project的关键路径，即关键路径可以保证全部路径的活动都可以完毕。
ok，再次进⼊我们的作业题：例如以下图所看到的的AOE⽹（弧上权值代表活动的持续天数）1）完毕此project最少所须要多少天？2）哪些是关键活动，在图中表⽰出关键路径我们先计算最早发⽣时间ve和最迟发⽣时间vl：12345678910Ve05612151616192123Vl09612152116192123⾸先呢，编号1和编号10分别为该project的源点和汇点，我们规定最早发⽣时间ve（源点）=0，最迟发⽣时间vl（汇点）=ve（汇点）。
那么这两个量该怎样计算呢，看图：对于事件i来说，ve(i) = Max{ve(m) + dut(<m, i>)}，vl(i) = Min{vl(j) – dut(<i, j>)}；当中ve(m)代表i前⼀个事件的最早发⽣时间，dut(<m, i>)表⽰从m到i的持续时间，⼤家能够把它看成⼀个递归算法，⼀直调⽤ve()，直到ve(源点)为⽌，然后取其最⼤值，由于它要保证全部路径上的活动都能完毕；⽽最迟发⽣时间和前者⼀样，⼀直递归调⽤vl()，直到vl(汇点)为⽌，然后取其最⼩值就可以。
回到原题中对⽐例图能够⾮常快地得到表格所看到的内容。
我们再来看两个概念：e(i)和l(i)，前者为活动ai 的最早可能開始时间，后者为活动ai的最迟同意開始时间。
差别于前边的ve和vl，e和l为标识的是某活动的时间，⽽前者是某事件的时间。
假如从事件m到事件i的活动为af，则有e(f)=ve(m), l(f)=vl(i)–dut(<m,i>) ，即活动af的最早可能開始时间为其弧尾事件最早可能发⽣时间；最迟同意開始时间为其弧尾事件最迟发⽣时间与两个事件的持续时间之差。
是不是感觉有点别扭，但仅仅要理解了这⼏个关键词也就⾮常easy看懂了。
关键路径法
关键路径法（CPM）一、关键路径法参数计算1.最早可以开始的时间（Earliest Start Time，ES）该活动如果有前序活动，那么需要等前序活动完成，它才能开始。
ES就是该活动最早可以开始的时间，取决于前序活动结束的时间。
2.活动历时（Duration，DU）活动历时是用类比法、专家判断法、三点估算法等方法估算出来的完成活动需要的持续的时间。
3.最早可以结束的时间（Earliest Finish Time，EF）我们用最早可以开始的时间（ES）加上活动历时（DU），就可以得到活动最早可以结束的时间（EF）。
EF=ES+DU4.最晚必须结束的时间（Latest Finish Time，LF）如果该活动有后序活动，而且受总工期制约，必须给后序活动留出足够的时间，那么该活动就必须在某个时间点完成，这个时间点就是最晚必须结束的时间。
5.最晚必须开始的时间（Latest Start Time，LS）我们用最晚必须结束的时间（LF）减去活动历时（DU），就可以得到该活动最晚必须开始的时间（LS）6.总浮动时间（Total Float，TF）总浮动时间是LF与EF之差，或者LS与ES之差，这两个差值相等。
总浮动时间反映的是在不影响总工期的前提下，该活动可以拖延的总时间。
●关键路径决定了项目的总工期●关键路径所需要的时间最长●关键路径上的浮动时间最少●活动延误可能导致关键路径变化二、项目的三种浮动时间1.自由浮动时间：不影响后续工作最早可以开始时间的前提下，这项工作可以拖延的时间叫自由浮动时间。
不影响别人。
2.总浮动时间：不影响项目总工期的前提下，活动可以拖延的总时间。
3.项目浮动时间：总工期计划上甲方主动给出的时间。
三、资源优化：1.资源平衡：数量有限，或过度分配，如一个资源在同一时段内分配两个或多个活动，就需要进行资源平衡，资源平衡往往导致关键路径改变。
2.资源平滑：对进度模型中的活动进行调整，从而使项目资源需求不超过预定的资源限制的一种技术，资源平滑不会改变项目关键路径，完工日期也不会延迟。
求关键路径的简单方法
求关键路径的简单方法引言在项目管理中，关键路径是指项目中最长的路径，决定了项目的最短完成时间。
关键路径分析是项目管理中的一项重要技术，通过确定关键路径可以帮助项目团队合理安排资源和时间，保证项目按时完成。
本文将介绍求关键路径的简单方法，帮助读者理解和应用该技术。
什么是关键路径关键路径是指在项目网络图中，连接起始事件和结束事件的路径，该路径上的活动都是项目的关键活动，其总时差为0。
关键路径决定了整个项目的最短完成时间，如果关键路径上的任何一个活动延误，整个项目的完成时间都会延误。
活动的时差在关键路径分析中，活动的时差是指活动的最早开始时间与最晚开始时间之差。
如果一个活动的最早开始时间等于最晚开始时间，则该活动为关键活动，对项目的完成时间有直接影响。
求关键路径的简单方法求关键路径的简单方法包括以下几个步骤：步骤一：绘制项目网络图首先，需要将项目的活动及其依赖关系绘制成网络图。
网络图由节点和箭头组成，节点表示活动，箭头表示活动之间的依赖关系。
步骤二：确定活动的持续时间对于每个活动，需要确定其持续时间。
持续时间是指完成该活动所需的时间，可以根据历史数据或专家判断进行估算。
步骤三：计算最早开始时间（ES）和最晚开始时间（LS）根据活动的依赖关系和持续时间，可以计算出每个活动的最早开始时间（ES）和最晚开始时间（LS）。
最早开始时间（ES）是指在没有任何限制的情况下，活动可以开始的最早时间。
对于起始事件，其最早开始时间为0。
对于其他活动，其最早开始时间等于前置活动的最早开始时间加上前置活动的持续时间。
最晚开始时间（LS）是指在不影响项目完成时间的前提下，活动可以开始的最晚时间。
对于结束事件，其最晚开始时间等于项目的最早完成时间。
对于其他活动，其最晚开始时间等于后继活动的最晚开始时间减去自身的持续时间。
步骤四：计算总时差（TF）总时差（TF）是指活动的最晚开始时间减去最早开始时间，即LS减去ES。
总时差表示了活动的弹性，即该活动可以延误的时间。
求关键路径的简单方法
关键路径的简单方法关键路径是项目管理中的重要概念之一，能够帮助项目经理确定项目的最长时间，以及哪些活动是最为关键的。
但是有时候求关键路径会让人感到头疼，因为需要按照完整的流程进行计算，犯了一些小错误就容易出现问题。
下面介绍一个简单的方法，能够更快捷地求得关键路径。
Step 1：确定任务首先需要确定所有的任务及其之间的关系，这一步需要由项目经理来完成。
将所有的任务列在一个表格里，然后标出各任务之间的先后关系。
比如，任务A要在任务B完成后才能开始，那么就要在A和B 之间画一条箭头。
Step 2：计算最早开始时间从第一个任务开始，计算每个任务的最早开始时间。
最早开始时间是指，在没有任何限制的情况下，该任务可以开始的最早日期。
这个时间可以通过如下公式计算：最早开始时间 = 前置任务的最早完成时间 + 该任务的耗时其中，前置任务的最早完成时间可以通过前置任务的最早开始时间加上前置任务的耗时来计算。
最初，第一个任务的最早开始时间为0。
Step 3：计算最晚开始时间接着，从最后一个任务开始，计算每个任务的最晚开始时间。
最晚开始时间是指，在不影响整个项目完成时间的情况下，该任务必须要开始的最晚日期。
这个时间可以通过如下公式计算：最晚开始时间 = 后置任务的最晚开始时间 - 该任务的耗时其中，后置任务的最晚开始时间可以通过后置任务的最晚完成时间减去后置任务的耗时来计算。
最初，最后一个任务的最晚开始时间即为整个项目的最长时间。
Step 4：计算关键路径通过计算两个时间，就可以得到每个任务的“浮动时间”，即在最早开始时间和最晚开始时间之间的时间差。
关键路径上的任务没有浮动时间，因为一旦这些任务延误，整个项目的完成时间就会推迟。
因此，只需要找出所有浮动时间为0的任务，即可得到关键路径。
最后，需要对关键路径上的任务进行分析，找出可能的风险点，以及如何解决这些风险点，保证项目按时、按质、按量完成。
工程中时间参数的计算公式
工程中时间参数的计算公式时间参数的计算公式。
在工程中，时间参数的计算是非常重要的。
无论是在项目规划、进度控制还是资源分配上，时间参数都扮演着至关重要的角色。
因此，掌握时间参数的计算公式对于工程师来说是必不可少的技能。
本文将介绍一些常见的时间参数计算公式，并探讨它们在工程中的应用。
1. 关键路径的计算公式。
在项目管理中，关键路径是指在项目网络图中最长的路径，它决定了整个项目的最短完成时间。
计算关键路径的公式如下：Earliest Start Time (ES) = Max{EF of all immediate predecessors}。
Earliest Finish Time (EF) = ES + Duration。
Latest Start Time (LS) = Min{LS of all immediate successors Duration}。
Latest Finish Time (LF) = LS of all immediate successors。
Total Float (TF) = LS ES or LF EF。
这些公式可以帮助工程师确定项目的关键路径，从而有效地进行进度控制和资源分配。
2. 进度偏差的计算公式。
在项目执行过程中，工程师需要不断地监控项目的进度，及时发现并纠正偏差。
进度偏差的计算公式如下：Schedule Performance Index (SPI) = EV / PV。
Cost Performance Index (CPI) = EV / AC。
其中，EV代表挣值，PV代表计划值，AC代表实际成本。
SPI和CPI的数值可以帮助工程师评估项目的进度和成本绩效，及时调整项目计划，确保项目按时完成。
3. 资源利用率的计算公式。
在资源分配和调度中，工程师需要关注资源的利用率，以确保资源的合理分配和高效利用。
资源利用率的计算公式如下：Resource Utilization Rate = (Actual Work / Available Work) x 100%。
关键路径的计算方法及例题
关键路径的计算方法及例题摘要：一、关键路径的定义与作用二、关键路径的计算方法1.列出所有路径2.计算各路径的持续时间3.找出最长路径4.确定关键路径三、关键路径的应用场景四、例题解析五、总结与建议正文：一、关键路径的定义与作用关键路径是指在项目管理中，影响项目完成时间的关键任务序列。
它决定了项目整体的进度，一旦关键路径上的任务出现延误，整个项目的完成时间都会受到影响。
因此，识别和掌握关键路径对于项目管理者来说至关重要。
二、关键路径的计算方法1.列出所有路径：首先，我们需要将项目的所有任务进行排序，并确定它们之间的依赖关系，从而得出所有可能的路径。
2.计算各路径的持续时间：根据项目任务的顺序，计算每条路径的总持续时间。
这里需要注意的是，要考虑到任务之间的等待时间和缓冲时间。
3.找出最长路径：通过计算得到的各路径持续时间，找出最长的一条路径，这条路径就是关键路径。
4.确定关键路径：分析其他路径与最长路径的差异，找出对项目进度有最大影响的关键任务。
三、关键路径的应用场景关键路径法（Critical Path Method，CPM）主要用于以下场景：1.项目管理：通过分析项目进度，找出影响项目完成时间的关键任务，以便采取相应的措施进行优化。
2.生产调度：在制造业领域，关键路径法可以帮助企业优化生产计划，提高生产效率。
3.工程管理：在建筑、土木等领域，关键路径法有助于合理安排工程进度，降低项目风险。
四、例题解析以下是一个简单的关键路径例题：某项目包含四个任务，分别是A、B、C、D。
任务间的依赖关系如下：1.A -> B2.B -> C3.C -> D任务A的持续时间为10天，任务B的持续时间为8天，任务C的持续时间为6天，任务D的持续时间为4天。
根据上述信息，我们可以计算出各路径的持续时间：1.A->B->C->D：10+8+6+4=28天2.A->D：10+4=14天由此可知，关键路径为A->B->C->D，总持续时间为28天。
关键路径理解及计算
关键路径是项目管理中进度控制的一个术语。
在项目的网络图中，从项目开始到项目完成有许多条路径可以走，就像从798 艺术区到北京大学一样。
如果20 个人同时从798 艺术区出发，每个人走不同的路（乘坐地铁、公交车或是自驾），但只有20 个人全部到达北京大学，才能完成聚会。
这最后一个到达的人就是走最长路径（花费时间最多）的人。
相似的，只有最长（花费时间最多）的路径完成之后，项目才算结束。
这条在整个网络图中最长的路径就叫关键路径（critical path ）。
我们来总结一下关键路径法的 4 个关键点：（1）关键路径是项目网络图中最长的路径，他决定了项目的总耗时时间；（2）项目经理必须把注意力集中在那些优先等级较高的任务，确保他们准时完成，关键路径上任何活动的推迟都将导致整个项目推迟；（3）项关键路径要时间，向非关键路径要资源；（4）调整进度，平衡资源册22勲抽节鯛円31例如，某项目的网络图如图3-22所示。
如果该项目的规定完工时间为42天，试用两种方法确定该项目的关键路径。
A.运用“时差最小值”来确定项目的关键路径，项目活动情况如表3-12所示表3-12时差计算表P131活动最早最迟活动工期DU开始时间ES 完成时间开始时间完成时间总时差EF LS LFA303474B103137174C83118165D153189246E7132017244F20113116365G12203224364H6323836424计算过程详解:，、先在表中的“活动”和“活动工期”栏目中根据节点图中填入有关数据相应的数值，即：A、B、C、D、E、F、G H 以及3、10、8 15、7、20、12、6。
、由A 开始逐步推算出各活动的最早开始时间和最早完成时间基本原理（规则）：I 、对于一开始就进行的活动，其最早开始时间为0 某项活动的最早开始时间必须等于或晚于直接指向这项活动的所有活动的最早完成时间中的最晚时间。
II 、计算每项活动的最早开始时间时，应以项目预计开始时间为参照点进行正向推算。
关键路径法计算公式
关键路径法计算公式
关键路径法（CPM）是一种用于项目管理的方法，主要通过识别项目中关键活动并计算其所需时间，以确定项目的总工期。
以下是关键路径法的计算步骤：
1. 确定项目中的所有活动，并按照逻辑关系确定它们的先后顺序。
2. 确定每个活动的工期（完成所需时间）。
3. 找出项目中的关键活动，关键活动是指那些工期最长或对项目完成时间影响最大的活动。
4. 根据关键活动，确定项目的关键路径，即总时长最长的路径。
5. 根据关键路径，计算项目的总工期。
总工期是指从项目开始到完成所需的总时间。
请注意，在实际应用中，由于项目资源的分配、工作效率的变化和外部环境的不确定性，关键路径可能会发生变化。
因此，项目管理团队需要定期审查和更新关键路径，以确保项目顺利进行。
施工进度规划中的关键路径分析及应用
施工进度规划中的关键路径分析及应用施工进度规划是在建设项目中至关重要的一环。
它确定了施工活动的时间安排和顺序，确保项目按时完成。
在施工进度规划中，关键路径分析是一个关键的工具。
本文将探讨关键路径分析的定义、计算方法以及在施工进度规划中的实际应用。
一、关键路径分析的定义关键路径分析是一种用来确定项目中最长时间路径的技术。
它通过计算每个活动的最早开始时间和最晚开始时间，找出项目中不能延误的关键活动和关键路径。
关键路径是指在没有任何延误的情况下，项目完成所需的最短时间。
二、关键路径分析的计算方法关键路径分析的计算方法主要包括以下几个步骤：1. 绘制网络图：将每个活动表示为节点，并用箭头表示活动之间的依赖关系。
活动之间的箭头表示一个活动的完成需要依赖另一个活动的开始。
2. 确定活动持续时间：对于每个活动，估计完成该活动所需的时间。
每个活动的持续时间应根据实际情况进行合理估计。
3. 计算最早开始时间（EST）：从网络图中确定每个节点的最早开始时间。
最早开始时间是指在没有任何限制条件的情况下，活动可以最早开始的时间。
4. 计算最晚开始时间（LST）：从网络图中确定每个节点的最晚开始时间。
最晚开始时间是指在不影响项目完成时间的前提下，活动必须开始的最晚时间。
5. 计算总时差：总时差是指每个活动的最晚开始时间与最早开始时间之间的差距。
若某活动的总时差为0，则该活动为关键活动，活动所在路径即为关键路径。
三、关键路径分析的应用关键路径分析在施工进度规划中有广泛的应用。
以下是关键路径分析在实际应用中的一些例子：1. 资源分配：通过关键路径分析，可以了解到哪些活动对整个项目的完成时间有最大的影响。
在资源分配时，可以将更多的资源分配给关键路径上的活动，以确保项目的按时完成。
2. 进度调整：在施工过程中，难免会遇到一些不可预见的情况，可能会造成项目的延误。
通过关键路径分析，可以及时调整进度，合理安排活动的顺序和时间，以尽量减少延误对整个项目的影响。
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【例题】计算能影响整个计划完成时间的关键活动 例题】
工厂的工程计划用一张有向图表示，有向图的结点表示事件，有向边表示活动，边上的权 标明一项活动需要的时间。结点所表示的事件实际上就是它入边代表的活动均已完成， 出边代表的活动可以开始这样一种状态。例如
上图含12项活动、9个事件。其中事件v1表示开始时活动a1、a2、a3并行实施；事件v5代表 活动a4、a5已经完成，活动a7、a8可以开始。V9表示整个计划完成。活动依事件的顺 序要求进行。例如活动a4、a5、a6只有当事件v2、v3、v4分别发生后才能进行，而它们 的完成又标志事件v5、v6的Байду номын сангаас生。当活动a10、a11、a12完成后，整个计划完成。上述有 向图存在唯一的入度为0的开始结点v1，表明整个计划从该事件开始；存在唯一的出度 为0的完成结点vn，表明该事件完成后，整个计划结束。现在的问题是，整个计划完成 至少需要多少时间，为提前完成计划应该加快哪些活动的速度。 输入： 输入： n(事件数，1≤n≤100) e(活动数，1≤e≤4000)。以下为e行，每行为连接两个事件的 序号以及活动需要的时间 输出： 输出：完成整个计划的最少时间。以下k行，每行为一个关键活动（i，j）和目前花费的时 间wij，加快该活动的速度能提前完成计划
for t←1 to k do {枚举每一个关键活动} Begin a0←a；a0[b[t].x，b[t].y]←0；{在有向图a中去除第t个关键活动} fillchar(f，sizeof(f)，false)；nopath←true；{访问标志和成功标 志初始化} dfs(1)；{通过深度优先搜索判断v1与vn间是否有路} if nopath then输出关键活动（b[t].x，b[t].y）和目前花费b[t].l ； end；{for}
显然活动ak的最大可利用时间是l[k]-e[k]。若最 大可利用时间等于ak边所带的权wk(即为计划时 间)，则ak是关键活动。ak延期，则整个计划将 顺延。若最大可利用时间大于wk，则ak不是关 键活动，ak的完成时间允许超过wk。只要不超 过最大可利用时间，无妨于整个计划完成的进 度。我们可以采取以下步骤，计算上面定义的 几个变量值，从而找到关键活动：
⑴关键路径的由来 如果有向图的结点表示活动，有向边表示活动间的优先关系，那 么我们通过拓扑排序将图中的结点排成一个满足活动先后顺序 要求的线性序列。如果有向有权图满足下述条件 ⑴存在唯一的入度为0的结点和唯一的出度为0的结点； ⑵可通过拓扑排序将图中的结点排成一个满足活动先后顺序要求 的线性序列（即有向图没有回路） 则称该有向有权图为AOV网（活动结点网络）。 利用AOV网可以估算出整个计划完成至少需要多少时间，为 提前完成计划应该加快哪些活动的速度等问题。解决这些问题 有一种有效的方法——求关键路径方法。由于AOV网中的活动 可以并行进行，因此完成整个计划的最少时间是从开始结点v1 到完成结点vn的最长路径长度（路径上各边权的和）。具有最 大长度的路径称作关键路径。在上图中v1→v2→v5→v8→v9 是 一条关键路径，长度为18。换句话说，整个计划至少需要18个 时间单位完成。关键路径上的活动又称关键活动。如果不能按 期完成这些活动会贻误整个计划。找出关键活动后就可以适当 调度，集中力量于关键活动，以保证计划如期或提前完成。
⑵关键路径的计算
为了找出关键活动，我们先定义几个变量： n—AOV网的结点数； m—AOV网的有向边数； ee[i]—vi事件可能发生的最早时间，即从开始结点v1至结点vi的 最长路径长度。我们从ee(1)=0开始向前递推 ee[j]=max{ee[i]+wij|(i,j)E}； le[i]—在保证完成结点vn所代表的事件在ee[n]时刻发生的前提 下，事件vi允许发生的最晚时 间，即le[i]=ee(n)-vi至vn最长路 径长度。我们从le[n]=ee[n]出发向后递推 le[i]=min{le[j]-wij |(i,j)E} e[k]—活动ak（对应边<vi，vj>）可能的最早开始时间，即等于 事件vi的可能的最早发生时间ee[i]； l[k]—活动ak(对应边<vi，vj>)允许的最晚完成时间，即等于事件vj 允许最晚发生时间le[j]； (1≤i， j≤n， 1≤k≤m)]
由上可见，影响整个计划完成的关键活动为所有关键 路径共用的边，这些公共边称之为“桥”。寻找 “桥”的方法很多，我们给出的方法仅是其中的一 种，虽然思路比较简单，但时间效率并不高 （O(k*n2)）。关于更高效的算法，可参阅有关图论 的书籍。
⑶计算能影响整个计划完成时间的关键活动
在找出关键活动后，只要将所有的非关键活动从AOV网中去掉，这时从开 始结点至完成结点的所有路径都是关键路径。AOV网中的关键路径可能不止 一条。并不是加快任一关键活动就可以缩短整个计划的完成时间。只有加快 并不是加快任一关键活动就可以缩短整个计划的完成时间。 并不是加快任一关键活动就可以缩短整个计划的完成时间 那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到目的的。 那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到目的的。设 a为关键路径组成的01矩阵，a0为辅助矩阵；b为关键活动序列，其中b[k].x、 b[k].y和b[k].l分别为第k项关键活动的两个顶点序号和花费；nopath为v1至vn间 有路可走的标志； 首先计算关键活动序列b和关键活动组成的有向图a。然后逐一地在a图中去 除一条关键活动边，看一看是否存在v1至vn的路径。如果v1至vn间无路可走,则 说明这个关键活动为影响整个计划完成的关键活动。判别过程采用深度优先 搜索
procedure dfs(i:integer)；{深度优先搜索a0图中由顶点i出发的所有可能路径。若存在一条 到达顶点n的路径，则nopath设为false；否则为true} begin f[i]←true； if i=n then begin nopath←false；exit；end{then} for j←1 to n do begin if (not(f[j]))and(a0[i,j]=1) then dfs(j)； end；{for} end；{dfs}
由此得出算法 活动的时间矩阵w初始化为0； 输入带权有向图的信息（顶点数n、活动数e和活动的时间矩阵w）； if 图中的所有顶点不能排成一个拓扑序列 then 失败退出； fillchar(ee，sizeof(ee)，0)； for i←1 to n-1 do for j←1 to n do {计算各个事件的最早发生时间表ee} if ((i,j)∈E)and(ee[j]<ee[i]+wij) then ee[j]←ee[i]+wij； 输出完成整个计划的最少时间ee[n]； for i←1 to n do le[i]←ee[n]； {所有事件的最晚发生时间初始化} k←0； {关键活动数初始化} for i←n-1 downto 1 do {计算各个事件的最晚发生时间表le} for j←1 to n do if (wij<>0)and(le[i]>ee[j]-wij) then le[i]←ee[j]-wij； fillchar(a,sizeof(a),0)； {由关键活动组成的有向图a初始化} for i←1 to n-1 do {计算关键活动和由关键活动组成的有向图a} for j←1 to n do if (wij<>0 )and(le[j]-ee[i]=wij) then begin k←k+1；b[k].x←i；b[k].y←j；b[k].l←wij；a[i,j]←1；end；{then}