计算关键路径

显然活动ak的最大可利用时间是l[k]-e[k]。若最 大可利用时间等于ak边所带的权wk(即为计划时 间)，则ak是关键活动。ak延期，则整个计划将 顺延。若最大可利用时间大于wk，则ak不是关 键活动，ak的完成时间允许超过wk。只要不超 过最大可利用时间，无妨于整个计划完成的进 度。我们可以采取以下步骤，计算上面定义的 几个变量值，从而找到关键活动：
由上可见，影响整个计划完成的关键活动为所有关键 路径共用的边，这些公共边称之为“桥”。寻找 “桥”的方法很多，我们给出的方法仅是其中的一 种，虽然思路比较简单，但时间效率并不高 （O(k*n2)）。关于更高效的算法，可参阅有关图论 的书籍。
for t←1 to k do {枚举每一个关键活动} Begin a0←a；a0[b[t].x，b[t].y]←0；{在有向图a中去除第t个关键活动} fillchar(f，sizeof(f)，false)；nopath←true；{访问标志和成功标 志初始化} dfs(1)；{通过深度优先搜索判断v1与vn间是否有路} if nopath then输出关键活动（b[t].x，b[t].y）和目前花费b[t].l ； end；{for}
五、 计算关键路径
【例题】计算能影响整个计划完成时间的关键活动 例题】
工厂的工程计划用一张有向图表示，有向图的结点表示事件，有向边表示活动，边上的权 标明一项活动需要的时间。结点所表示的事件实际上就是它入边代表的活动均已完成， 出边代表的活动可以开始这样一种状态。例如
上图含12项活动、9个事件。其中事件v1表示开始时活动a1、a2、a3并行实施；事件v5代表 活动a4、a5已经完成，活动a7、a8可以开始。V9表示整个计划完成。活动依事件的顺 序要求进行。例如活动a4、a5、a6只有当事Βιβλιοθήκη Baiduv2、v3、v4分别发生后才能进行，而它们 的完成又标志事件v5、v6的发生。当活动a10、a11、a12完成后，整个计划完成。上述有 向图存在唯一的入度为0的开始结点v1，表明整个计划从该事件开始；存在唯一的出度 为0的完成结点vn，表明该事件完成后，整个计划结束。现在的问题是，整个计划完成 至少需要多少时间，为提前完成计划应该加快哪些活动的速度。 输入： 输入： n(事件数，1≤n≤100) e(活动数，1≤e≤4000)。以下为e行，每行为连接两个事件的 序号以及活动需要的时间 输出： 输出：完成整个计划的最少时间。以下k行，每行为一个关键活动（i，j）和目前花费的时 间wij，加快该活动的速度能提前完成计划
由此得出算法 活动的时间矩阵w初始化为0； 输入带权有向图的信息（顶点数n、活动数e和活动的时间矩阵w）； if 图中的所有顶点不能排成一个拓扑序列 then 失败退出； fillchar(ee，sizeof(ee)，0)； for i←1 to n-1 do for j←1 to n do {计算各个事件的最早发生时间表ee} if ((i,j)∈E)and(ee[j]<ee[i]+wij) then ee[j]←ee[i]+wij； 输出完成整个计划的最少时间ee[n]； for i←1 to n do le[i]←ee[n]； {所有事件的最晚发生时间初始化} k←0； {关键活动数初始化} for i←n-1 downto 1 do {计算各个事件的最晚发生时间表le} for j←1 to n do if (wij<>0)and(le[i]>ee[j]-wij) then le[i]←ee[j]-wij； fillchar(a,sizeof(a),0)； {由关键活动组成的有向图a初始化} for i←1 to n-1 do {计算关键活动和由关键活动组成的有向图a} for j←1 to n do if (wij<>0 )and(le[j]-ee[i]=wij) then begin k←k+1；b[k].x←i；b[k].y←j；b[k].l←wij；a[i,j]←1；end；{then}
procedure dfs(i:integer)；{深度优先搜索a0图中由顶点i出发的所有可能路径。若存在一条 到达顶点n的路径，则nopath设为false；否则为true} begin f[i]←true； if i=n then begin nopath←false；exit；end{then} for j←1 to n do begin if (not(f[j]))and(a0[i,j]=1) then dfs(j)； end；{for} end；{dfs}
⑶计算能影响整个计划完成时间的关键活动
在找出关键活动后，只要将所有的非关键活动从AOV网中去掉，这时从开 始结点至完成结点的所有路径都是关键路径。AOV网中的关键路径可能不止 一条。并不是加快任一关键活动就可以缩短整个计划的完成时间。只有加快 并不是加快任一关键活动就可以缩短整个计划的完成时间。 并不是加快任一关键活动就可以缩短整个计划的完成时间 那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到目的的。 那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到目的的。设 a为关键路径组成的01矩阵，a0为辅助矩阵；b为关键活动序列，其中b[k].x、 b[k].y和b[k].l分别为第k项关键活动的两个顶点序号和花费；nopath为v1至vn间 有路可走的标志； 首先计算关键活动序列b和关键活动组成的有向图a。然后逐一地在a图中去 除一条关键活动边，看一看是否存在v1至vn的路径。如果v1至vn间无路可走,则 说明这个关键活动为影响整个计划完成的关键活动。判别过程采用深度优先 搜索
⑴关键路径的由来 如果有向图的结点表示活动，有向边表示活动间的优先关系，那 么我们通过拓扑排序将图中的结点排成一个满足活动先后顺序 要求的线性序列。如果有向有权图满足下述条件 ⑴存在唯一的入度为0的结点和唯一的出度为0的结点； ⑵可通过拓扑排序将图中的结点排成一个满足活动先后顺序要求 的线性序列（即有向图没有回路） 则称该有向有权图为AOV网（活动结点网络）。 利用AOV网可以估算出整个计划完成至少需要多少时间，为 提前完成计划应该加快哪些活动的速度等问题。解决这些问题 有一种有效的方法——求关键路径方法。由于AOV网中的活动 可以并行进行，因此完成整个计划的最少时间是从开始结点v1 到完成结点vn的最长路径长度（路径上各边权的和）。具有最 大长度的路径称作关键路径。在上图中v1→v2→v5→v8→v9 是 一条关键路径，长度为18。换句话说，整个计划至少需要18个 时间单位完成。关键路径上的活动又称关键活动。如果不能按 期完成这些活动会贻误整个计划。找出关键活动后就可以适当 调度，集中力量于关键活动，以保证计划如期或提前完成。
⑵关键路径的计算
为了找出关键活动，我们先定义几个变量： n—AOV网的结点数； m—AOV网的有向边数； ee[i]—vi事件可能发生的最早时间，即从开始结点v1至结点vi的 最长路径长度。我们从ee(1)=0开始向前递推 ee[j]=max{ee[i]+wij|(i,j)E}； le[i]—在保证完成结点vn所代表的事件在ee[n]时刻发生的前提 下，事件vi允许发生的最晚时 间，即le[i]=ee(n)-vi至vn最长路 径长度。我们从le[n]=ee[n]出发向后递推 le[i]=min{le[j]-wij |(i,j)E} e[k]—活动ak（对应边<vi，vj>）可能的最早开始时间，即等于 事件vi的可能的最早发生时间ee[i]； l[k]—活动ak(对应边<vi，vj>)允许的最晚完成时间，即等于事件vj 允许最晚发生时间le[j]； (1≤i， j≤n， 1≤k≤m)]