数列求和经典题型总结

三、数列求和

数列求和的方法.

（1）公式法：等差数列的前n 项求和公式

n S =__________________=_______________________.

等比数列的前n 项和求和公式⎩⎨⎧≠===)1(___________________)1(__________q q S n

（2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”.

（3）n n n C a b =⋅，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.

（4）1n n n

C a b =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n

n 1-=的类型。举例如下： ()()()5050

1297989910012979899100222222=++⋅⋅⋅++++=-+⋅⋅⋅+-+-=

n S 常见的裂项公式：

（1）

111)1(1+-=+n n n n =+-)

12)(12(1n n 11++n n _____________

题型一 数列求解通项公式

1. 若数列{a n }的前n 项的和1232+-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。

2. 已知对任意的正整数n

于_____________。

3. 。

4. 已知数列{a n}中，a1＝1。

5. 已知数列{a n}。

6. 已知数列{a n}。

7. 若数列{a n}的前n{a n}。

8. 已知数列{a n}的前n。

是数列{a n}的前n项和，已知a1＝1，a n＝－S n－1 (n≥2)，则S n＝．

9. 设S

10. ________________。

11. ________________。

12. ________________。

13. ________________。

14. ________________。

15. ________________。

16. 10项，且其和为240，则

。

17. 已知数列{a n}100项之和

。

18. 其前n则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0，在y轴上的截距为________________。

题型二分组转化求和

1. 已知数列{a n}

（1）写出数列{a n}的通项公式；

（2）求其前n

2.

3. 数列{a n}的前n

（1）当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列；

（2）在（1n

题型三错位相减法求和

1. 3项和为6，前8项和为-4.

（1）

（2）n

2. 已知数列{a n}

（1）

（2）n

3. n

（1）

（2）n

4. 已知数列{a n}的各项均为正数，其前n

（1）求证：数列{a n}是等差数列；

（2）

题型四裂项求和

1. 设数列{a n}

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）n

2.

（1）（2n

（3n恒成立的整数m的取值集合。

3.

（1）

（2

（3）在（2n

所有的正整数n 都成立的最小正整数m 。

4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n 2n +1，n N*．

（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求{a n }的前n 项和为S n

（3）设b n = log 2S n n ，n T 是数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有T n >k

12

恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．