固体物理第一章习题
固体物理第一章习题
第一章 晶体的结构习题一、填空题1.固体一般分为_____ _____ _____2.晶体的三大特征是_____ _____ _____3._____是晶格中最小的重复单元，_____既反映晶格的周期性又反映晶格的对称性。
4._____和_____均是表示晶体原子排列紧密程度。
5.独立的对称操作有______二、证明题1.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
2.证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++ 垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
3.对于简方晶格，证明密勒单立指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。
4.证明不存在5度旋转对称轴。
5.证明正格矢和倒格矢之间的关系式为：()为整数m m R G π2=⋅三、计算题1.已知某种晶体固体物理学原胞基矢为（1）求原胞体积。
（2）求倒格子基矢。
（3）求第一布里渊区体积。
2.一晶体原胞基矢大小m a 10104-⨯=，m b 10106-⨯=，m c 10108-⨯=，基矢间夹角90=α， 90=β， 120=γ。
试求：（1）倒格子基矢的大小； （2）正、倒格子原胞的体积； （3） 正格子(210)晶面族的面间距。
j 2a 3i 2a a 1+=j 2a 3i 2a -a 2+=k c a 3=3.如图1.所示，试求： （1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数；（2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数；（3） 画出晶面（120），（131）。
a 2xy zA B D C G F E OIH y x Aa 2K O GLNM z图1.4.矢量a ，b ，c 构成简单正交系。
求：晶面族)(hkl 的面间距。
5.设有一简单格子，它的基矢分别为i a 31=，j a 32=，)(5.13k j i a ++=。
《固体物理》第一章作业题
解 以 H2 为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 Lennard—Jones 势相互作
用，则晶体的总相互作用能为：
U = 2N i
Pij −12
R
12
−
j
Pij
−6
R
6
.
Pij−6 = 14.45392; Pij−12 = 12.13188,
→ →→→
c = a1+ a2 − a3
晶列
→
a+
→
b−
2
→
c
可化为
→
a+
→
b−
2
→
c
=
−2
→
a1
+
→
a2
−
2
→
a3
由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为 112
题4.对于晶格常数为a的简单立方晶格，考虑晶格中的一
个晶面(hkl)，证明该晶面所属的晶面族的面间距：
a2 dhkl = h2 + k 2 + l 2
b−
→
c)
2
2
→
BC
=
→
OC −
→
OB
=
→c +
1 2
→
(a+
→b )
−
1 2
→
(b+
→
c)
=
1 2
→
(a+
→
c)
→ → 1 → → → 1→ → a→ → →
BA BC = (2 a+ b− c) (a+ c) = (a− 3 b− c)
固体物理习题解答
的离子实势场中运动。通过绝势近似将电子系统和原子核 (离子实)系统分开考虑。 平均场近似视固体中每个电子所处的势场都相同，使每个电子 所受势场只与该电子位置有关，而与其它电子位置无关。 通过平均场近似使所有电子都满足同样的薛定鄂方程。 通过绝热近似和平均场近似，将一个多粒子体系问题简化为单 电子问题。绝热近似和平均场近似也称为单电子近似。 周期势场假定则认为电子所受势场具有晶格平移周期性。 通过以上近似和假定，最终将一个多粒子体系问题变成在晶格 周期势场中的单电子的薛定鄂方程定态问题。
复式格子？
3
第一章 思考题
3、引入倒格子有什么实际意义？对于一定的布拉菲格子，基 矢选择不唯一，它所对应的倒基矢也不唯一，因而有人说 一个布拉菲格子可以对应于几个倒格子，对吗？复式格子 的倒格子也是复式格子吗？
答：
引入倒格子概念，对分析和表述有关晶格周期性的各种问题 非常有效，如：晶体X射线衍射，晶体周期函数的傅里 叶变换。
方 (110)晶面的格点面密度最大。根据
dhkl
h2
a k2 l2
，有面心立 d11方 1 a3，体心立d1方 10
a 2
因此，最大格点面密度表达式，
dh1h2h32 /G h1h2h3
面心立 11方 1a43 a343a23，体心立 11方 0a23a2a2 2
13
第一章 习题
1.7 证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子。
7
第一章 习题
1.1 何谓布拉菲格子？画出NaCl晶格所构成的布拉菲格子，说 明基元代表点构成的格子是面心立方晶体，每个原胞中含 几个格点？
解： 由基元代表点-格点-形成的晶格称为布拉菲格子或布拉菲点
固体物理习题1
固体物理习题1第⼀章晶体结构和倒格⼦1. 画出下列晶体的惯⽤元胞和布拉菲格⼦，写出它们的初基元胞基⽮表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原⼦个数和配位数。
(1) 氯化钾（2）氯化钛（3）硅（4）砷化镓（5）碳化硅（6）钽酸锂（7）铍（8）钼（9）铂2. 对于六⾓密积结构，初基元胞基⽮为→1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22 求其倒格⼦基⽮，并判断倒格⼦也是六⾓的。
3．⽤倒格⽮的性质证明，⽴⽅晶格的[hkl]晶向与晶⾯（hkl ）垂直。
4. 若轴⽮→→→c b a 、、构成简单正交系，证明。
晶⾯族（h 、k 、l ）的⾯间距为 2222)()()(1c l b k a h hkl d ++= 5．⽤X 光衍射对Al 作结构分析时，测得从(111)⾯反射的波长为1.54?反射⾓为θ=19.20 求⾯间距d 111。
6．试说明：1〕劳厄⽅程与布拉格公式是⼀致的；2〕劳厄⽅程亦是布⾥渊区界⾯⽅程；7．在图1－49（b ）中，写出反射球⾯P 、Q 两点的倒格⽮表达式以及所对应的晶⾯指数和衍射⾯指数。
8．求⾦刚⽯的⼏何结构因⼦，并讨论衍射⾯指数与衍射强度的关系。
9．说明⼏何结构因⼦S h 和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择⽆关。
10. 能量为150eV 的电⼦束射到镍粉末上，镍是⾯⼼⽴⽅晶格，晶格常数为3.25×10-10m,求最⼩的布拉格衍射⾓。
附：1eV=1.602×10-19J, h=6.262×10-34J ·s, c=2.9979×108m/s第⼆章晶体结合1．已知某晶体两相邻原⼦间的互作⽤能可表⽰成nm r b r a r U +-=)( (1) 求出晶体平衡时两原⼦间的距离；(2) 平衡时的⼆原⼦间的互作⽤能；(3) 若取m=2,n=10,两原⼦间的平衡距离为3?,仅考虑⼆原⼦间互作⽤则离解能为4ev ，计算a 及b 的值；（4）若把互作⽤势中排斥项b/r n 改⽤玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作⽤势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。
固体物理第一章习题
固体物理学第一章习题一、简要回答下列问题(answer the following questions)：1、晶体的解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面？为什么？2、什么是布喇菲格子（布格子）？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。
为什么说金刚石结构是复式格子？3、在14种布格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方？（请画图说明）4、二维布喇菲点阵只有五种。
试列举并画图表示之。
5、体心立方元素晶体，［111］方向上的结晶学周期为多大？实际周期为多大？6、非晶态材料的基本特点是什么？7、什么是密勒指数？当描述同一晶面时、密勒指数与晶面指数一定相同吗？8、简述晶面角守恒定律，并说明晶体的晶面角守恒的原因。
二、填空题(fill in the blanks)1、构成阵点的具体原子、离子、分子或其集团，都是构成晶体的基本结构单元，当晶体中含有数种原子时，这数种原子构成的基本结构单元，称为。
2、布喇菲格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线上而无遗漏，这样的直线叫 , 晶列的取向称为 , 一组能表示晶列方向的数称为。
3、布喇菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、间距相等的平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为；而那些相互平行、间距相等、格点分布情况相同的总体，称为；同一格子可能有个取向的晶面族。
能够标志晶面取向的一组数，称为。
4、使晶体恢复原状的操作，称为；对称操作的集合，称为；保持空间某一点不动的操作称为。
三、解释下列物理概念（explain the following physics concepts）：1、空间点阵2、固体物理学原胞和结晶学原胞3、密堆积和配位数四、基矢为 1a ai = ，2a aj = ，3()2a a i j k =++ 的晶体为何种结构? 若33()22a a a j k i =++ , 又为何种结构? 为什么?五、如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明结 构 x简单立方 π／6≈0.52体心立方面心立方六角密排金 刚 石六、试求面心立方结构（110）和（111）晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a .七、试证明金刚石结构原子的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，都是109028’.八、证明：任何点群中两个二重旋转轴之间的夹角只能是300、450、600、和900.九、在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil ）表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面族在互成1200的共面轴123,,a a a 上的截距为123/,/,/a h a k a i ，第四个指数表示该晶面在六重轴c 上的截距为/c l 。
固体物理考题第一章晶体的结构
第一章晶体的结构简单回答下面的问题：1 a原胞与单胞有什么不同？何谓布拉菲格子？何谓倒格子？以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六面体可作为晶格的一个重复单元．体积最小的重复单元，称为原胞或固体物理学原胞.它能反映晶格的周期性．原胞的选取不是惟一的，但它们的体积都相等．为了同时反映晶体对称的特征，结晶学上所取的重复单元，体积不一定最小，结点不仅在顶角上，还可以是体心或面心．这种重复单元称作晶胞、惯用晶胞或布喇菲原胞．晶体内部结构可以看成是由一些相同的点子在空间作规则的周期性无限分布，这些点子的总体称为布喇菲点阵。
布拉菲格子：由基元代表点（格点）在空间中的周期性排列所形成的晶格。
倒格子*（Reciprocal Lattice，Reciprocal有相互转换的含意）已知有正格子基矢，定义倒格矢基矢为:；； .其中为正格子原胞体积。
由平移操作所产生的格点叫倒格点：为倒格矢;倒格点的总体叫倒格子，叫一组倒格基矢。
由与所决定的点阵为互为倒格子b晶体的宏观对称性可以概括为多少点群？晶体中有几种基本对称素？多少个晶系？这些晶系分别包括哪些布拉菲格子？晶体学中共有32种点群八种基本对称素C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、Ci (i)、CS (m)和 S4七大晶系十四种布拉菲格子c什么是晶体、准晶体和非晶体？晶体:组成固体的原子（或离子）在微观上的排列具有长程周期性非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻或次近邻原子间的键合：如配位数、键长和键角等具有一定的规律性），无长程周期性准晶:有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向有准周期性，但无长程周期性2试推导面心和体心立方点阵的x射线衍射的系统消光规律3多晶体与单晶体的x射线衍射图有什么区别？多晶（衍射环对应一个晶面）；单晶（衍射点对应一个晶面）4a）何谓晶体、准晶体及非晶体？它们的x光或电子衍射有何区别？黄昆第45页晶体：衍射图样是一组组清晰的斑点非晶体：由于原子排列是长程无序的，衍射图样呈现为弥散的环，没有表征晶态的斑点准晶体：衍射图样具有五重对称的斑点分布，斑点的明锐程度不亚于晶体的情况(b)何谓布拉菲格子、晶体学点群、晶系和晶体学空间群？C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)及S1，S2，S3，S4，S5这十种对称素组成32个不同的点群结晶学中把a, b, c满足同一类要求的一种或数种布喇菲格子称为一个晶系。
固体物理习题课第一章可打印
维格纳 —— 塞茨原胞
—— 14面体 —— 八个面正 六边形 —— 六个面正 四边形
(111)面与(110)面的交线的晶向
—— 晶向指数
补充例题 001 试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立 方晶格的维格纳 — 塞茨原胞(Wingner-Seitz) 维格纳 — 塞茨原胞：选取某一个格点为中心，做出最近各 点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间 —— 维格纳 — 塞茨原胞 如图所示为一种二维格子 的维格纳 — 塞茨原胞
1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的 晶向 (111)面与(100)面的交线的AB
—— AB平移，A与O点重合
B点位矢 (111)面与(100)面的交线的晶向
—— 晶向指数
(111)面与(110)面的交线的AB
—— 将AB平移，A与原点O重合，B点位矢
《固体物理学》例题与习题
1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方； 面心立方晶格的倒格子是体心立方 由倒格子定义
体心立方格子原胞基矢
倒格子基矢
同理
可见由
为基矢构成的格子为面心立方格子
面心立方格 子原胞基矢
倒格子基矢
同理
可见由 为基矢构成的格子为体心立方格子
1.4 证明倒格子原胞体积
其中vc为正格子原胞体积
倒格子基矢
倒格子体积
1.5 证明：倒格子矢量
垂直于密勒指数
为 因为
的晶面系
容易证明
与晶简单正交系，证明晶面族
并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理 简单正交系 倒格子基矢
倒格子基矢
倒格子矢量
晶面族
的面间距
—— 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格 点的密度越大，这样的晶面越容易解理
固体物理第一章习题
8．六角晶胞的基矢
3 a 3 a a ai j , b ai j , c ck 2 2 2 2
求其倒格基矢． [分析]
2 a b c a 2 b c 2 c a b
(hkl ) 1 {(h1 h2 h3 )(h1 h2 h3 )(h1 h2 h3 )} p
其中p'是(-h1+h2+h3)(h1-h2+h3)(h1+h2-h3)的公约数。
20
20. 讨论六角密堆积结构，X光衍射消光的条件。
[分析]
(hkl)晶面族引起的衍射光总强度
即：
d hkl 1 h l 2hl cos k 2 2 2 2 sin a c ac b
2 2 2 1 2
16
15. 对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为 (hkl) 求对应的原胞坐标系中的面指数(h1h2h3)。 若已知(h1h2h3)，求对应的密勒指数(hkl)。 [分析] 这类问题可以用倒格矢来处理，因为是同一组晶 面在两种不同坐标系的表示，其对应的倒格矢应 相互平行。 步骤：（1）两种不同倒格基矢的变换关系 （2）将与晶面垂直的倒格矢由一种坐标表示变 为另一种坐标表示 （3）由两种坐标表示的倒格矢平行求相互关系
2
9
[思路2] 利用倒格矢的模与面间距的关系
2 d hkl 1) 设沿立方晶系晶轴a, b, c的单位矢量分别为
a ai, b a j, c ak ,
倒格子基矢为
2 2 2 a i, b j, c k a a a
由已知条件可得
(整理)固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
(参考资料)固体物理习题带答案
D E ( ) ，其中 ， 表示沿 x ， y ， z 轴的分量，我们选取 x ， y ， z
沿立方晶体的三个立方轴的方向。
显然，一般地讲，如果把电场 E 和晶体同时转动， D 也将做相同转动，我们将以 D' 表示转
动后的矢量。
设 E 沿 y 轴，这时，上面一般表达式将归结为：Dx xyE, Dy yyE, Dz zy E 。现在
偏转一个角度 tg 。（2）当晶体发生体膨胀时，反射线将偏转角度
tg ， 为体胀系数
3
解：（1）、布拉格衍射公式为 2d sin ，既然波长改变，则两边同时求导，有
2d cos ，将两式组合，则可得 tg 。
（2）、当晶体发生膨胀时，则为 d 改变，将布拉格衍射公式 2d sin 左右两边同时对 d
考虑把晶体和电场同时绕 y 轴转动 / 2 ，使 z 轴转到 x 轴， x 轴转到 z 轴， D 将做相同
转动，因此
D'x Dz zy E
D'y Dy yyE
D'z Dx xy E 但是，转动是以 E 方向为轴的，所以，实际上电场并未改变，同时，上述转动时立方晶体
的一个对称操作，所以转动前后晶体应没有任何差别，所以电位移矢量实际上应当不变，即
第一章：晶体结构 1． 证明：立方晶体中，晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。
证 明 ： 晶 向 [hkl] 为 h1 k2 l3 ， 其 倒 格 子 为
b1
2
a1
a2
a3
(a2 a3 )
b2
2
a1
a3 a1 (a2 a3)
b3
2
a1
a1
a2
(a2 a3)
。可以知道其倒格子矢量
固体物理参考答案(前七章)
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
固体物理课后习题答案
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
a1 a2 a3 , , ，第四个指数表示该晶面 h k i
在六重轴c上的截距为
c 。证明： l
i = −(h + k )
并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：
2
第一章 晶体的结构
( 001) , (133) , (110 ) , ( 323) , (100 ) , ( 010 ) , ( 213) .
固体物理题库第一章晶体的结构
固体物理题库第一章晶体的结构(总14页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章晶体的结构一、填空体（每空1分）1. 晶体具有的共同性质为长程有序、自限性、各向异性。
2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，，原胞与晶胞的体积比 1：1 ，配位数为6 。
3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：2 ，配位数为 8 。
4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：4 ，配位数为 12 。
5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。
6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。
7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。
8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。
9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。
10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素： 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ， m ，3，4，6，其中3和6不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32个点群。
11. 晶体按照其基元中原子数的多少可分为复式晶格和简单晶格，其中简单晶格基元中有 1 个原子。
12. 晶体原胞中含有 1 个格点。
13. 魏格纳-塞茨原胞中含有 1 个格点。
二、基本概念1. 原胞原胞：晶格最小的周期性单元。
固体物理 第一章 晶体结构习题
第一章晶体结构1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。
非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。
准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。
另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。
当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。
晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵＋基元＝实际晶体结构3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。
解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。
从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。
（b）“边心”立方不是布喇菲格子。
从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。
虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。
固体物理-第一章习题解答参考ppt课件
d 2 r
a
G h h 1 h 2 h 3 2 h 1 h 2 h 3 2 h 1 h 2 h 3 2
上式中等效晶面指数{1,0,0}晶面族、（1,1,1)、(-1,-1,-1)晶面 对应的面间距最大，面间距，
d a 3
格点体密度，
1 4
a3
最大面密度，
d.a 43
a 3
4 3a2
1/2属于该等边三角形
2a
(111)
a
2a
(111)
1/6属于该等边三角形
等边三角形面积，
S12a2asin600 3a2
2
2格点面密度，2 4S 3a.21.5 求立方晶系晶面族 h的k l面 间距；
cb
a
晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
倒格子基矢 a r2 ir,b r2 r j,c r2 k r
界面方程：
kx
ky
2 a
kx
ky
2 a
2 kx ky a
kx
ky
2 a
与第1布里渊区界面围成的区域为第2布里渊区
.
第3布里渊区：
离原点再次远有４个倒格点 (h12,h20)(,h12,h20), (h10,h22)(,h10,h22)
界面方程：
kx
2
a
,kx
2
a
,
ky
2
a
,ky
2
a
与第1、2布里渊区界面围成区域为第3布里渊区
b
1 2
(b3
b1 )
c
1 2
(b1
b2)
与晶面族(hlk垂)直的倒格矢：
G hkl
h a
固体物理习题和解答-2010.5.13
第一章 晶体结构习题2010.3.151. 画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钠 （2）硅 （3）砷化镓2. 对于六角密积结构，初基元胞基矢为→1a =→→+j i a 3(2) →→→+-=j i a a 3(22)求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
3．用倒格矢的性质证明，立方晶格的[hkl]晶向与（hkl ）晶面垂直。
4. 若轴矢→→→c b a 、、构成简单正交系，证明。
晶面族（hkl ）的面间距为2222)()()(1c l b k a h hkld++=证：对于正交晶系，晶胞基矢相互垂直，但晶格常数c b a ≠≠. 设沿晶轴的单位矢量分别为k j i,,，则正格子基矢为：倒格子基矢为：k cc j b b i aa πππ2,2,2***===与晶面族()hkl 正交的倒格矢为：***cl b k a h K hkl++=由晶面间距与倒格矢的关系式：hkl hkl K d π2=得：21222-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=c l b k a h d hkl（2分）c b a ,,k c c j b b i a a ===,,5．用X 光衍射对Al 作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54Å反射角为θ=19.20 求面间距d 111。
6. 能量为150eV 的电子束射到镍粉末上，镍是面心立方晶格，晶格常数为3.25×10-10m,求最小的布拉格衍射角。
附：1eV=1.602×10-19J, h=6.262×10-34J ·s, c=2.9979×108m/s7．试证明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的； 2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程；1） 证：lk a k k a h k a πππ222321=∆⋅=∆⋅=∆⋅ijj i a b πδ2=⋅ 321b k b k b h G++=02)(222'=+⋅=+=+=∆G G k k G k k G k G k22sin 2)90cos(2GG k G G k ==-θθ（2分）（2分）8．Ewald 反射球是在哪种空间画的，如何画？起什么作用？倒格子空间（波矢空间）形象展示衍射最大条件（Laue 方程的几何描述）λθλθn d ndd d hkl hkl ===sin 2sin 2λπππθλπθ2,22sin 222/sin ===∴=k Gd d G k hklhkl9. 原子散射因子和几何结构因子是如何表示的，它的物理意义如何？与哪些因素有关？原子形状因子反映一个原子对于（HKL ）布拉格(Bragg)衍射的衍射能力大小。
固体物理：第一章典型习题
FGIHGK： E
(111)
I A
H B
消光现象
• 点阵消光 • 起源于体心或者面心上有附加点阵而引起的结构因子F=0
的消光现象。如对于体心晶格，衍射hkl中，h+k+l=奇数的 衍射将系统消失；对于面心晶格，hkl为异性数（非同奇同 偶的数）时衍射线消失。这一类消光称为点阵消光。
1.6证明简立方的（hkl）晶面系的面间距:
d2
a2
h2 k 2 l 2
证明思路： d 2
G
证明：设正格子基矢为
倒格子基矢易计算得到：
a1 ai
a2 a j
a3 ak
b1 b2 b3
2
a
2
a
2
a
i
j
k
G hb1 kb2
2 (hi k j
a
l b3 lk)
代入公式可得：
（hkl）晶面系的面间距
d
2
G
2
a
2
h2 k 2 l 2
a h2 k 2 l 2
1.7立方格子的特征
项目 晶胞体积
每个晶胞所含格点数
原胞体积 最近邻数 最近邻距离 次近邻数 次近邻距离
简立方 体心立方
面心立方
a3
a3
a3
1
2
4
(即1+8×1/8) (即 8 × 1/8+6 × 1/2)
a3
简立方体心立方面心立方晶胞体积18612原胞体积12最近邻距离次近邻数1218画出体心立方和面心立方晶格结构在100110111面上的原子排列1001101111体心立方晶格2面心立方晶格10011011119指出立方晶格111面与100面111面与110面交线的晶向写出晶列
固体物理1-6章习题及答案
立方元素晶体的衍射规律. 18. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同?
[解答] 取几何结构因子的(1.44)表达式
t
Fhkl =
f e i2n (hu j +kvj +lw j ) j
j =1
,
其中 uj,vj,wj 是任一个晶胞内,第 j 个原子的位置矢量在 a, b, c 轴上投影的系数. 金刚石和 硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的 a, b, c 大小不相同, 但第 j 个原子的位置矢量在 a, b, c
1 2
0
）（
00
1 2
）（
1 2
1 2
1 2
）
由（1.45）式可求得衍射强度 Ihkl 与衍射面(hkl)的关系
Ihkl={ f K+ [ 1+cos n (h + k) + cosn (k + l) + cosn (l + h)] +
fCl- [cosnh + cosnk + cosnl + cosn (h + k + l)]}
[解答]
正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)与倒格式 K h = h1 b1 +h2 b2 +h3 b3 垂直,
则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢 Rl = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a3 正交. 即晶列[l1l2l3]与倒格面(l1l2l3) 垂直. 9. 9. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?
[解答] 对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得
为 ( 111 ), p’=1. 由 (1.33) 式 可 知 , K h = 2K hkl ; 由 (1.16) 和 (1.18) 两 式 可 知 ,
固体物理习题及答案
固体物理第一章习题及参考答案1．题图1－1表示了一个由两种元素原子构成的二维晶体，请分析并找出其基元，画出其布喇菲格子，初基元胞和W －S 元胞，写出元胞基矢表达式。
解：基元为晶体中最小重复单元，其图形具有一定任意性（不唯一）其中一个选择为该图的正六边形。
把一个基元用一个几何点代表，例如用B 种原子处的几何点代表（格点）所形成的格子 即为布拉菲格子。
初基元胞为一个晶体及其空间点阵中最小周期性重复单元，其图形选择也不唯一。
其中一种选法如图所示。
W －S 也如图所示。
左图中的正六边形为惯用元胞。
2.画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 解：基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。
11.对于六角密积结构，初基元胞基矢为→1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
倒空间 ↑→ji i (B)由倒格基失的定义，可计算得Ω⨯=→→→3212a a b π=a π2)31(→→+j i →→→→→+-=Ω⨯=j i a a a b 31(22132ππ→→→→=Ω⨯=k ca ab ππ22213正空间二维元胞（初基）如图（A ）所示，倒空间初基元胞如图（B ）所示（1）由→→21b b 、组成的倒初基元胞构成倒空间点阵，具有C 6操作对称性，而C 6对称性是六角晶系的特征。
（2）由→→21a a 、构成的二维正初基元胞，与由→→21b b 、构成的倒初基元胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。
12．用倒格矢的性质证明，立方晶格的（hcl ）晶向与晶面垂直。
证：由倒格矢的性质，倒格矢→→→→++=321b l b k b h G hkl 垂直于晶面（h 、k 、l ）。
《固体物理学》第一二章参考答案
第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
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第一章 晶体的结构习题一、填空题1.固体一般分为晶体 非晶体 准晶体2.晶体的三大特征是 原子排列有序 有固定的熔点 各向异性3.___原胞__是晶格中最小的重复单元， 晶胞 既反映晶格的周期性又反映晶格的对称性。
4.__配位数___和_致密度____均是表示晶体原子排列紧密程度。
5.独立的对称操作有 平移、旋转、镜反射、中心反演 二、证明题1.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
解：我们知体心立方格子的基矢为：2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a k j i a k j i a a a a根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：3.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=Ω⨯=+=Ω⨯=+=Ω⨯=)(2][2)(2][2)(2][2213132321j i a a b k i a a b k j a a b a a aππππππ 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。
同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子4.证明倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
解答:因为ij j i b a πδ2=⋅,332211b h b h b h G ++=3311h a h a CA -=,3322h ah a CB -= 很容易证明:0=⋅CA G ，0=⋅CB G 即321h h h G 与晶面族(321h h h )正交5.对于简方晶格，证明密勒单立指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。
证明如下:晶面方程可以写为：n x b h b h b h π2)(332211=⋅++，n 取不同整数代表晶面系中不同的晶面，各晶面到原点的垂直距离||||2332211b h b h b h n d n ++=π,面间距为:|||2332211b h b h b h d n ++=π=||2321h h h G π,剩下的东西就是代公式了6.证明不存在5度旋转对称轴。
7.证明正格矢和倒格矢之间的关系式为： ()为整数m m R G π2=⋅三、计算题1.已知某种晶体固体物理学原胞基矢为（1）求原胞体积。
（2）求倒格子基矢。
（3）求第一布里渊区体积。
j 2a 3i 2a a 1+=j2a3i 2a -a 2+=kc a 3=2.一晶体原胞基矢大小m a 10104-⨯=，m b 10106-⨯=，m c 10108-⨯=，基矢间夹角90=α， 90=β， 120=γ。
试求：（1） 倒格子基矢的大小； （2） 正、倒格子原胞的体积； （3）正格子(210)晶面族的面间距。
解：(1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：ai =1a)2321(2j i a +-=bk a c =3由此可知：][2321321a a a a a b ⨯⋅⨯=π=abc bc 23)2123(2j i +π=)31(2j i +a π][2321132a a a a a b ⨯⋅⨯=π=abc ac 232j π=j 322⋅b π ][2321213a a a a a b ⨯⋅⨯=π=abc ab23232kπ=k ⋅c π2 所以1b ＝22)31(12+⋅a π＝110108138.134-⨯=m a π 2b ＝2)32(2⋅b π＝110102092.134-⨯=m b π 3b ＝212⋅c π＝110107854.02-⨯=m cπ (2) 正格子原胞的体积为：][321a a a ⨯⋅=Ω＝)]()2321([)(k j i i c b a ⨯+-⋅＝328106628.123m abc -⨯=倒格子原胞的体积为：][321b b b ⨯⋅=Ω*＝)](2)32(2[)31(2k j j i c b a πππ⨯⋅+＝3303104918.1316-⨯=m abc π (3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：h h d K π2==3210122b b b ++π=j i )3434(42ba a ππππ++ =m ba a 1022104412.1)3131()1(142-⨯=++⋅ππ3.如图1.所示，试求：（1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数； （2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。
a2xyzAB DCGFEO I HyxAa2KOGLNMz图1.解：（1）根据晶列指数的定义易求得晶列ED 的晶列指数为[111]，晶列FD 的晶列指数为[110]，晶列OF 的晶列指数为[011]。
（2）根据晶面密勒指数的定义晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为1:1:111:11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）。
晶面FGIH 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1/2，∞和1，则其倒数之比为1:0:211:1:2/11=∞，故该晶面的密勒指数为（201）。
晶面MNLK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1/2，-1和∞，则其倒数之比为0:1:21:11:2/11=∞-，故该晶面的密勒指数为（210）。
（3）晶面（120），（131）分别如下图中晶面AMLk 和晶面ABC 所示：b3xyzA BCOyxAb2KOLMz4.矢量a ，b ，c 构成简单正交系。
求：晶面族)(hkl 的面间距。
由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：⎪⎩⎪⎨⎧===k a j a i a c b a 321由此可求得其倒格子基矢为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⨯⋅⨯===⨯⋅⨯===⨯⋅⨯=k k a a a a a b j j a a a a a b i i a a a a a b c ab abc b ac abc a bc abc πππππππππ2)(2][][22)(2][][22)(2][][2321213321132321321根据倒格子矢量的性质有：32122b b b K l k h d hkl hkl ++==ππ 222)()()(12222clb k a h l ck b h a ++=++=k j i ππππ5.设有一简单格子，它的基矢分别为i a 31=，j a 32=，)(5.13k j i a ++=。
试求： （1） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ （2） 该晶体的倒格子基矢；（3） 密勒指数为（121）晶面族的面间距； （4） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。
（2）由倒格子基矢的定义可知：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⨯⋅⨯=-=-⋅=⨯⋅⨯=-=-⋅=⨯⋅⨯=kk a a a a a b k j k j a a a a a b k i k i a a a a a b 5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][][2)(325.13)(5.42][][2321213321132321321πππππππππ （3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为3211121122122b b b K -+⋅==ππd103030352(322==-+=k j i ππ（4）由于面密度d ρβ=，其中d 是面间距，ρ是体密度。
对布喇菲格子，ρ等于常数。
因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为)(321h h h ，则该晶面族的面间距321h h h d 应为最大值，所以有33221122321321b b b K h h h d h h h h h h ++==ππmax )2(3])2([3222132121321=--++=--++=kj i k j i h h h h h h h h h h ππ由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距2/3，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。
（5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为321321321321111111111111)()(arccosa a a a a a a a a a a a R R R R -+⋅++-+⋅++=⋅⋅=α53.485.15.15.15.15.45.4)5.15.15.1()5.15.45.4(arccos =-+⋅++-+⋅++=kj i k j i k j i k j i。