2014年上海高考理科数学试题及参考答案
2014年高考上海理科数学试题及答案（解析版）
2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）【2014年上海，理1，4分】函数212cos (2)y x 的最小正周期是．【答案】2【解析】原式＝cos4x ，242T．（2）【2014年上海，理2，4分】若复数12i z ，其中i 是虚数单位，则1zzz．【答案】6【解析】原式＝211516z z z．（3）【2014年上海，理3，4分】若抛物线22ypx 的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．【答案】2x 【解析】椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x．（4）【2014年上海，理4，4分】设2(,)()[,)x x a f x xx a ，若(2)4f ，则a 的取值范围为．【答案】2a 【解析】根据题意，2[,)a ，∴2a ．（5）【2014年上海，理5，4分】若实数x ，y 满足1xy ，则222xy 的最小值为．【答案】22【解析】2222222xyx y．（6）【2014年上海，理6，4分】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为．（结果用反三角函数值表示）【答案】1arccos3【解析】设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r ，∵3S S 侧底，∴23r R r ，即3Rr ，∴1cos3，即母线与底面夹角大小为1arccos 3．（7）【2014年上海，理7，4分】已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1，则C 与极轴的交点到极点的距离是．【答案】13【解析】曲线C 的直角坐标方程为341xy，与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为13．（8）【2014年上海，理8，4分】设无穷等比数列n a 的公比为q ，若134lim n n a a a a L ，则q ．【答案】512【解析】223111510112a a qa qq qqq，∵01q，∴512q．P2P5P 6P7P 8P4P3P1B A（9）【2014年上海，理9，4分】若2132()f x x x，则满足()0f x 的x 的取值范围是．【答案】(0,1)【解析】2132()f x x x，结合幂函数图像，如下图，可得x 的取值范围是(0,1)．（10）【2014年上海，理10，4分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是．（结果用最简分数表示）【答案】115【解析】3108115PC．（11）【2014年上海，理11，4分】已知互异的复数,a b 满足0ab，集合22,,a ba b，则a b ．【答案】1【解析】第一种情况：22,a a b b ，∵0ab ，∴1a b ，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,ab ba ，∴431a a a ，∴210a a ，即1ab ．（12）【2014年上海，理12，4分】设常数a 使方程sin 3cos xxa 在闭区间[0,2]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ．【答案】73【解析】化简得2sin()3x a ，根据下图，当且仅当3a 时，恰有三个交点，即12370233x x x ．（13）【2014年上海，理13，4分】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩该游戏的得分．若()4.2E ，则小白得5分的概率至少为．【答案】0.2【解析】设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ，且123451p p p p p ，∴12345444444p p p p p ，与前式相减得：1235320.2p p p p ，∵0ip ，∴1235532p p p p p ，即50.2p ．（14）【2014年上海，理14，4分】已知曲线2:4C xy ，直线:6l x ．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ u u u r u uu r r，则m 的取值范围为．【答案】1615【解析】根据题意，A 是PQ 中点，即622PQP x x x m，∵20P x ，∴[2,3]m ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．（15）【2014年上海，理15，5分】设,a b R ，则“4a b ”是“2a 且2b ”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】充分性不成立，如5a ，1b ；必要性成立，故选B ．（16）【2014年上海，理16，5分】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i L 是上底面上其余的八个点，则(1, 2,, 8)i AB AP i uu u r u u u rK 的不同值的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8【答案】AACBD【解析】根据向量数量积的几何意义，i ABAP u uu ru uu r 等于AB uu u r 乘以i AP u u u r 在AB u uu r 方向上的投影，而i AP uu u r 在AB uu u r方向上的投影是定值，AB u u u r 也是定值，∴i AB AP u uu ru u u r 为定值1，故选A ．（17）【2014年上海，理17，5分】已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1ykx （k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a xb y的解的情况是（）（A ）无论12,,k P P 如何，总是无解（B ）无论12,,k P P 如何，总有唯一解（C ）存在12,,k P P ，使之恰有两解（D ）存在12,,k P P ，使之有无穷多解【答案】B 【解析】由已知条件111b ka ，221b ka ，11122122a b D a b a b a b 122112(1)(1)0a ka a ka a a ，∴有唯一解，故选B ．（18）【2014年上海，理18，5分】设2(),0,()1,0.xa xf x xa xx若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（）（A ）[1,2]（B ）[1,0]（C ）[1,2]（D ）[0,2]【答案】D【解析】先分析0x 的情况，是一个对称轴为xa 的二次函数，当0a 时，min()()(0)f x f a f ，不符合题意，排除AB 选项；当0a 时，根据图像min ()(0)f x f ，即0a符合题意，排除C 选项，故选D ．三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（19）【2014年上海，理19，12分】底面边长为2的正三棱锥P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图．求123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V ．解：根据题意可得12,,P B P 共线，∵112ABP BAP CBP ，60ABC，∴11260ABP BAP CBP ，∴160P ，同理2360P P ，∴123PP P 是等边三角形，P ABC 是正四面体，所以123PP P 边长为4；∴3222123VAB．（20）【2014年上海，理20，14分】设常数0a，函数2()2x xa f x a ．（1）若4a，求函数()yf x 的反函数1()yfx ；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()yf x 的奇偶性，并说明理由．解：（1）∵4a，∴24()24x xf x y ，∴4421xyy ，∴244log 1y x y，∴1244()log 1xyfx x ，(,1)(1,)xU ．……６分（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x ，∴2222x x xxa a aa ，整理得(22)0xxa ，∴0a ，此时为偶函，若()f x 为奇函数，则()()f x f x ，∴2222x x xxaaa a，整理得210a，∵0a，∴1a，此时为奇函数，当(0,1)(1,)a时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数．……14分（21）【2014年上海，理21，14分】如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为和．（1）设计中CD 是铅垂方向．若要求2，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12，18.45，求CD 的长（结果精确到0.01米）．BA CP 3P 1P 2解：（1）设CD 的长为x 米，则tan,tan3580x x ，∵202，∴tantan 2，∴22tan tan1tan，∴2221608035640016400x x x xx，解得020228.28x ，∴CD 的长至多为28.28米．……６分（2）设,,DBa DAb DCm ，180123.43ADB，则sinsina AB ADB，解得115sin38.1285.06sin123.43a∴2280160cos18.4526.93maa ∴CD 的长为26.93米．……14分（22）【2014年上海，理22，16分】在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c 和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c ．若0，则称点12,P P 被直线l 分割．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线．（1）求证：点(1,2),(1,0)A B 被直线10x y 分割；（2）若直线ykx 是曲线2241x y 的分割线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线．解：（1）将(1,2),(1,0)A B 分别代入1x y ，得(121)(11)40，∴点(1,2),(1,0)A B 被直线10x y 分割．……3分（2）联立2241xy ykx，得22(14)1k x，依题意，方程无解∴2140k，∴12k或12k．……8分（3）设(,)M x y ，则22(2)1x y x，∴曲线E 的方程为222[(2)]1xy x①当斜率不存在时，直线0x ，显然与方程①联立无解，又12(1,2),(1,2)P P 为E 上两点，且代入0x ，有10，∴0x 是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y kx ，代入方程得：2432(1)4410kxkxx，令2432()(1)441f x kxkx x，则(0)1f ，22(1)143(2)f kkk，22(1)143(2)f kkk，当2k 时，(1)0f ，∴(0)(1)0f f ，即()0f x 在(0,1)之间存在实根，∴ykx 与曲线E 有公共点当2k时，(0)(1)0f f ，即()0f x 在(1,0)之间存在实根，∴ykx 与曲线E 有公共点，∴直线ykx 与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x 是E 的分割线．……16分（23）【2014年上海，理23，18分】已知数列n a 满足1133nnn a a a ，*n N ，11a ．（1）若2342,,9a a x a ，求x 的取值范围；（2）设n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a L ．若1133nnn S S S ，*n N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且121000ka a a L ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L 的公差．解：（1）依题意，232133a a a ，∴263x ，又343133a a a ，∴327x ，综上可得36x ．……3分（2）由已知得1n na q ，又121133a a a ，∴133q ，当1q 时，n S n ，1133n nn S S S ，即133n nn ，成立；当13q时，11nnq S q ，1133nnn S S S ，即1111133111nn nq qqq q q ，∴111331n nqq ，此不等式即1132032n n n nq q qq，∵1q ，∴132(31)2220n nnnqqq q q ，对于不等式1320n nq q，令1n ，得2320qq ，解得12q ，又当12q 时，30q ，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n nnq qq q q qq q 成立，∴12q ，当113q 时，11nnqS q，1133nnn S S S ，即1111133111nn nq qq q q q，即11320320n n n nq q qq ，310,30q q，∵132(31)2220n nnnq qq q q，132(3)2(3)2(1)(2)n nnqqq q q q q q∴113q 时，不等式恒成立，综上，q 的取值范围为123q．……10分（3）设公差为d ，显然，当1000,0kd 时，是一组符合题意的解，∴max 1000k ，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3kdk dkd ，∴(21)2(25)2k d kd，当1000k 时，不等式即22,2125d dk k，∴221dk，12(1) (10002)kk kd a a a k，∴1000k时，200022(1)21k dk kk ，解得10009990001000999000k ，∴1999k ，∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999kdk k ．……18分。
2014高考真题理科数学(上海卷)
2014高考真题理科数学（上海卷）函数【答案解析】若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.【答案解析】 6若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.【答案解析】x=-2设若，则a的取值范围为_____________.【答案解析】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.【答案解析】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）。
【答案解析】已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是。
【答案解析】设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= 。
【答案解析】【答案解析】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）。
【答案解析】已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则a+b= 。
【答案解析】-1设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则。
【答案解析】某游戏的得分为1,2,3,4，5，随机变量表示小白玩游戏的得分。
若=4.2，则小白得5分的概率至少为。
【答案解析】已知曲线C：，直线l：x=6。
若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q 使得，则m的取值范围为。
【答案解析】设,则“”是“”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件【答案解析】 B如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）（A）1 (B)2 (C)4 (D)8【答案解析】 A已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）（C）存在k，，使之恰有两解（D）存在k，，使之有无穷多解【答案解析】 B若是的最小值，则的取值范围为（）。
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)0，2]【答案解析】 D底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.【答案解析】4,4,4；设常数，函数（1）若=4，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案解析】(1)(1)(2)如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？【答案解析】(1) (2)(1)(2)在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若0，则称点被直线分隔。
2014上海高考数学(理)
2014高考数学【上海卷（理）】解析版一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数()212cos 2y x =-的最小正周期是_________________.2. 若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则1___________z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭. 3. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则抛物线的准线方程为___. 4. 设()()[)2,,,,,,x x a f x x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()24f =，则a 的取值范围为_________________. 5. 若实数,x y 满足1,xy =则222x y +的最小值为_________________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_____________.（结果用反三角函数值表示）7. 已知曲线C 的极坐标方程为()3cos 4sin 1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是_______________.8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim ,n n a a a a →∞=+++则__________q =.9. 若()2132f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是___________.10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随即选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________（结果用最简分数表示）.11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则________a b +=.12. 设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ，则123________x x x ++=.13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为_____________.14.已知曲线:C x =直线:6l x =. 若对于点(),0,A m 存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=,则m 的取值范围为________________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 设,a b ∈R ，则“+4a b >”是“2a >且2b >”的（ ）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=的不同值的个数为 （ ）A. 1B. 2C. 4D. 817. 已知()111,P a b 与()222,Pa b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 的解的情况是 （ ）.A. 无论12,,k P P 如何，总是无解B. 无论12,,k P P 如何，总有唯一解C. 存在12,,k P P ，使之恰有两解D. 存在12,,k P P ，使之有无穷多解18. 设()()2,0,1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ）. A. []1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. []0,2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123P P P ，如图. 求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .B1P 220. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数()22x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数()1y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设点A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向，若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12α=，18.45β=，求CD 的长（结果精确到0.01米）.22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点()()111222,,,P x y P x y ，记()()1122ax by c ax by cη=++++. 若0η<，则称点12P P 、被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. (1) 求证：点()()1,21,0A B -，被直线10x y +-=分隔；(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；(3) 动点M 到点()0,2Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分, 第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n a *+≤≤∈=N .（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++，若1133n n n S S S+≤≤，n *∈N ，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.参考答案一、选择题1．π2【解析】()212cos 2cos4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解—公式法 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 4．2a ≤【解析】由()24f =，可得224=，所以[)2,a ∈+∞得2a ≤，【考点】对分段函数概念的理解5．【解析】222x y +≥=【考点】基本不等式求最值 6．1arccos 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与底面所成角为θ.由已知得：233rl r l r ππ=⇒=，则1cos 3r l θ==，所以1arccos 3θ=. 【考点】直线与平面所成角、反余弦函数、解三角形7．13【解析】10313θρρ=⇒=⇒= 【考点】极坐标的基本概念8【解析】由题意得231111a a q a q q==--且01q <<，则q =【考点】无穷递缩等比数列的各项和 9．()0,1【解析】首先注意定义域：()0,+∞；再由()0f x <得2132x x -<，作图即得结果为()0,1【考点】幂函数与数形结合10．115【解析】3108115P C ==. 【考点】古典概型 11．-1【解析】由已知可得()()()()()()()()()()222222,0,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,1,,,,a a a ba b or a b w w w w b b b a ⎧⎧==⎪⎪⇒=⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩由0ab ≠且互异，21a b w w +=+=-，其中12w =- 【考点】集合相等的含义、复数的运算 12．7π3【解析】三角方程sin x x a =在一个周期(]0,2π内的解至多有两个，所以原方程在闭区间[]0,2π恰有三个解可知，sin 0a =，即a =[]sin 0,2x x x π+=∈，可得12312370,,233x x x x x x πππ===⇒++=【考点】三角函数的图像和性质、三角方程 13．0.2【解析】设小白得1,2,3,5分的概率分别为[][]12351235,,,0,1,0,1p p p p p p p p ∈+++∈则()12312355512323415 4.20.2320.2p p p p p p p p p p p p +++----+=⇒=+++≥当1230p p p ===时等号成立. 【考点】数学期望另解：注意到()()4.24,5E ξ=∈.要使得得5分的概率最少，则小白得1,2,3分的概率为0，设小白得5分的概率为x ，则()415 4.20.2x x x -+=⇒= 14．23m ≤≤【解析】由已知得曲线C 为以原点为圆心，2为半径的左半圆. A 为P Q 、的中点. 设()6,Q n ，则()26,P m n --. 因为()26,P m n --在曲线C 上，则2260m -≤-≤即23m ≤≤. 【考点】向量与解析几何 15．B【解析】由“2a >且2b >”可以推出“+4a b >”；由“+4a b >”推不出“2a >且2b >”，故选B.【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件 16．A【解析】()1,2,i AP i =在AB 上的投影为AB ，所以()21,2,1i AB AP i AB ⋅===, 值只有一个.【考点】平面向量的数量积、向量的投影 17．B【解析】易得原点O 不在直线1y kx =+上，所以()()()111222,,0,0,,P a b P a b O 不在同一直线上，故向量1OP 与向量2OP 不平行，所以1221a b a b ≠，方程组有唯一解，故选B. 【考点】二元、三元线性方程组解的讨论 18．D【解析】当0x >时，()12f x x a a x=++≥+，()20f a =，所以[]221,2a a a +≥⇒∈-，当0x ≤时，()()2f x x a =-，二次函数对称轴为x a =，要使得0x =时有最小值，则0a ≥， 综上[]0,2a ∈【考点】分段函数，二次函数的对称轴、单调性、最值，基本不等式 19．在△123PP P 中，13PA P A =，23P C P C =，所以AC 是中位线， 故1224PP AC ==. ……3分 同理，234P P =，314P P =. 所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. ……6分 设Q 是△ABC 中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =PQ =. ……9分从而，13ABC V S PQ =⋅△. ……12分【考点】椎体体积的计算解析二：解析：（1）因为三棱锥P A B C -为正三棱锥，所以13,,3BAC ABC CBA P AB P AC π∠=∠=∠=∠=∠又因为13133BAC P AB P AC P AB P AC ππ∠+∠+∠=⇒∠=∠=，11,P A PB =故三角形1P AB 为等边三角形，同理可证三角形23,P BC P AC 为等边三角形，故1233PP P π∠=∠=∠=,所以123PP P ∆的各边长12231324PPP P PP AB ====（2）、由（1）易得该三棱锥是棱长为2的正四面体，如右图所示，过点P 作PO ABC ⊥面交平面ABC 于点O ，联结AO 并延长交BC 于H ，因为O 为底面正三角形的中心，所以2233233AO AH AB PO ==⋅===所以三棱锥P ABC -的体积为111233233V sh ==⋅⋅=20．(1) 因为2424x x y +=-，所以4(1)21x y y +=-， ……3分得1y <-或1y >，且24(1)log 1y x y +=-. 因此，所求反函数为124(1)()log 1x f x x -+=-，1x <-或1x >. ……6分 (2) 当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ……8分 当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数； ……11分当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数. ……14分 【考点】反函数、函数的奇偶性、分类讨论解析二：解析：（1）若4a =，则2424x x y +=-，()()2244441242421442log log 2111xx x x y y y y y y x y y y +++-=+⇒-=+⇒=⇒==+---所以()y f x =的反函数为()()()()121log 2,11,1x f x x x -+=+∈-∞-+∞-（2）、当0a =时，()()212xx f x x R ==∈，()f x 是偶函数当0a ≠时，则0a >，()22x x af x a+=-，因为220log x a x a -≠⇒≠，所以函数()f x 定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞，当()()0,11,a ∈+∞时，2log 0a ≠，函数()f x 定义域不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数，当1a =时，()()21021x x f x x +=≠-，因为()()()()()()()()()()21212121212100212121212121x x x xx x x x x x x xf x f x ------+-+-+++-+=+===------所以函数()f x 为奇函数。
2014年高考理科数学上海卷有答案
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2.若复数12i z =+,其中i 是虚数单位,则1(z )z z+= .3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .4.设2,(,),(),[,),x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =,则a 的取值范围为 .5.若实数x ,y 满足1xy =,则222x y +的最小值为 .6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7.已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=,则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若134lim()n n a a a a →∞=+++,则q = .9.若2132()f x x x =-,则满足()0f x ＜的x 的取值范围是 .10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 11.已知互异的复数a ,b 满足0ab ≠,集合22{,}{,}a b a b =,则a b += . 12.设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解1x ,2x ,3x ,则123x x x ++= .13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=,则小白得5分的概率至少为 .14.已知曲线C：x =,直线l ：6x =.若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP AQ +=0,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设,a b ∈R ,则“4a b +＞”是“2a ＞且2b ＞”的( ) A .充分条件 B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点,则(1,2,,8)i AB AP i =的不同值的个数为( )A .1B .2C .4D .817.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组11221,1,a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 ( )A .无论k ,1P ,2P 如何,总是无解B .无论k ,1P ,2P 如何,总有唯一解姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）C .存在k ,1P ,2P ,使之恰有两解D .存在k ,1P ,2P ,使之有无穷多解18.设2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++⎪⎩≤＞若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 ( )A .[1,2]-B .[1,0]-C .[1,2]D .[0,2]三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ,如图.求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数2()2x x af x a+=-.（Ⅰ）若4a =,求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（Ⅱ）根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A ,B 两地连线上的定点C 处建造广告牌,其中D 为顶端,AC 长35 米,CB 长80 米.设点A ,B 在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（Ⅰ）设计中CD 是铅垂方向,若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（Ⅱ）施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α=,18.45β=,求CD 的长（结果精确到0.01 米）.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l ：0ax by c ++=和点111(,)P x y ,222(,)P x y ,即1122()(c)ax by c ax by η=++++.若0η＜,则称点1P ,2P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点1P ,2P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.（Ⅰ）求证：点(1,2)A ,(1,0)B -被直线10x y +-=分隔；（Ⅱ）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,求实数k 的取值范围；（Ⅲ）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E .求证：通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n ∈N ,11a =. （Ⅰ）若22a =,3a x =,49a =,求x 的取值范围； （Ⅱ）设{}n a 是公比为q 的等比数列,12n n S a a a =+++,1133n n n S S S +≤≤,*n ∈N ,求q 的取值范围；（Ⅲ）若1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 成等差数列,且121000k a a a +++=,求正整数k 的最大值,以及k 取最大值时相应数列1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 的公差.数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）1(1z z z ⎫=+=+⎪⎭【提示】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可),n a ++即【提示】由已知条件推导出a ，由此能求出数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）【提示】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连33π⎛⎫【解析】解：设小白得5分的概率至少为x ，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1x -，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，() 4.2E ξξ=，4(1)5 4.2x x -+=.，又因为0AP AQ +=，数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）【提示】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明23568(0,0,1)(0,1,1)(0,2,1)(1,0,1)(1,1,1)(1,2,1)(2,0,1)(2,2,1)B P P P P P ，，，，，，，，，，则(0,0,1)AB =，1(0,1,1)AP =，2(0,2,1)AP =，3(1,0,1)AP =(1,1,1)AP =5(1,2,1)AP =，(2,0,1)AP =7(2,1,1)AP =8(2,2,1)AP =i(i 1,2,,8)AB AP =的值均为1，故选A.根据向量数量积的几何意义，i AB AP 等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而AP 在AB 方向上的投影是定值，||AB 也是定值，∴i AB AP 为定值【提示】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案.数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）223ABC PQ =【提示】利用侧面展开图三点共线，判断,0)(0,),+∞2)(log ,)a +∞关于原点不对称，）根据反函数的定义，即可求出cos BC BD β，【提示】（1）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭2(2)||1y x +-=，即2]1x =)不是上述方程的解，即1,2)(1,2)-和2]10x -=得2]10x -=，21-，2(0)(2)(1)[16(1)15]0f k =--+<，所以方程与曲线E 有公共点，故直线综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是【提示】（1）把A.B 两点的坐标代入η，再根据0η<，得出结论. （2）联立直线y kx =与曲线2241x y -=可解.2]1x =数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）131nq q-- ,,k a 的公差为(1)]1,2,,1n d k -≤-.1,2,,1k -2,3,,1k -时，由1(1)221k k ka k -=+-，即12,,,k a a a 的公差为的范围（3）依题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a 的公差.【考点】等比数列的性质，数列的求和。
032014年上海高考数学理科卷解析版
数学（理）2014 第1页（共4页）2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是____________.12π 2. 若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭____________. 考点：复数代数形式的乘除运算分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可 解答：解：复数z=1+2i，其中i 是虚数单位11(12)(12)612z zi i i z ⎛⎫+⋅=++-= ⎪-⎝⎭3. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为分析215y +=的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p ，再由抛物线的性质求出它的准线方程2 解答215y =，故它的右焦点坐标是（2，0），215y =故P=4∴抛物线的准线方程为x=-2．4. 设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =，则a 的取值范围为____________.5. 若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为____________. 分析：由已知可得y =1=得222222x y x x+=+≥。
得x =答案是6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为__________（结果用反三角函数值表示）3径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．cos θ==得arccos θ=半径的3倍，是解答的关键．7. 已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是____________.∴C 与极轴的交点到极点的距离是13ρ=8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q =________.分析：由已知条件推导出11111a a a a q q=---由此能求出q 的值．411111112(1)lim 111011n x a q aa a a q a a qq qq q q q →∞⎛⎫-=--=-- ⎪--⎝⎭∴+-=--==得或（舍）9. 若32()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是_____________.()036621()0,1x x x x f x x -<<==得得；是增函数得x 得解集为10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_______________（结果用最简分数表示）. 恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案． 解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有310120C =种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种， 115= 11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=__________.5}{}22,,a b a b=2201b a b b a b⎨⎨⎨====⎪⎪⎩⎩⎩或得：或 ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a 2，a=b 2，则两式相减得a 2-b 2=b-a ， ∵互异的复数a ，b ， ∴b-a ≠0，即a+b=-1， 故答案为：-1．的关键，注意要进行分类讨论． 12. 设常数a 使方程sin cos x x a =在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123xx x ++=____________.分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数2sin()3y x π=+的图象，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x 1，x 2，x 3最后相加即可．123sin 0,,2323x x x x πππ⎛⎫+==== ⎪⎝⎭12373x x x π++=13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，6 则小白得5分的概率至少为____________.此能求出结果．则由题意知小白得4分的概率为1-x ，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分， E （ξ）=4.2， ∴4（1-x ）+5x=4.2， 解得x=0.2． 故答案为：0.2．变量的数学期望的合理运用14. 已知曲线:C x =，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P和l上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为____________. 分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=说明A 是PQ 的中点，结合x 的范围，求出m 的范围即可．解答：解：曲线:C x =[]2,0p x ∈-对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x=6，[]62,32xpm +=∈ 故答案为：[2，3]7P 2P 5P 6P 7P 8P 4P 3P 1BA二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的[答]（ ）(A) 充分条件. (B) 必要条件.16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为[答]（ ） (A) 1. (B) 2. (C) 4.(D) 8.计算可得答案．则A （2，0，0），B （2，0，1），P 1（1，0，1），P 2（0，0，1），P 3（2，1，1），P 4（1，1，1），P 5（0，1，1），P 6（2，2，1），P 7（1，2，1），8 P 8（0，2，1），11(1,2,,8)AB AP i ==故选择A数量积运算是解题的常用手段．17. 已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x和y 的方程组11221,1a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是[答]（ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解. (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解. (C) 存在,,k P P ，使之恰有两解.(D) 存在,,k P P ，使之有无穷多解.111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上且斜率存在。
2014年上海市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年上海市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．8．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．417．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23．（16分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）=﹣[2cos2（2x）﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=6．【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•==（1+2i）（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x=﹣2．【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2] ．【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解答】解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos （结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=8．（4分）设无穷等比数列{a．【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a=（a3+a4+…a n）1=（﹣a﹣a1q）=，∴q2+q﹣1=0，解得q=或q=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2．【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E（ξ）=4.2，∴4（1﹣x）+5x=4.2，解得x=0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3] ．【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．【解答】解：=，则•=（）=||2+，∵，∴•=||2=1，∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选：A．【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．【解答】解：（1）∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f（x）=，满足条件；当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β＞0，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔．（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或k≥．曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔．（3）证明：设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y ﹣2）2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx ﹣2）2]x2=1，令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．（16分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x 的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求求出S n分别代入不等式S n≤S n+1出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差．【解答】解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n≤3S n，即，+1∴不等式∵q＞1，故3q n+1﹣q n﹣2=q n（3q﹣1）﹣2＞2q n﹣2＞0对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n=1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴q n+1﹣3q n+2=q n（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，≤3S n，即，，S n≤S n+1∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3q n+1﹣q n﹣2=q n（3q﹣1）﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2=q n（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…a k的公差为d．由，且a1=1，得即当n=1时，﹣≤d≤2；当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k 的公差为﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．第21页（共21页）。
2014年上海市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年上海市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=．
3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线
的准线方程．
4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为．
5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．
6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为
（结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．
8．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…ａn），则q=．
9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．
11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．
13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．
14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在
C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．
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2014年高考理数真题试卷(上海卷)
第1页，总16页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2014年高考理数真题试卷（上海卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 四 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共4题)1. （2014•上海）设f （x ）= ，若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围为（ ）A . [﹣1，2]B . [﹣1，0]C . [1，2]D . [0，2]2. （2014•上海）设a ，b∈R ，则“a+b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的（ ） A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件3. （2014•上海）已知P 1（a 1 ， b 1）与P 2（a 2 ， b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组 的解的情况是（ ）A . 无论k ，P 1 ， P 2如何，总是无解B . 无论k ，P 1 ， P 2如何，总有唯一解C . 存在k ，P 1 ， P 2 ， 使之恰有两解D . 存在k ，P 1 ， P 2 ， 使之有无穷多解4. （2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i （i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）答案第2页，总16页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 1B . 2C . 3D . 4第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共14题)1. （2014•上海）已知互异的复数a ，b 满足ab≠0，集合{a ，b}={a 2 ， b 2}，则a+b= ．2. （2014•上海）设f （x ）= ，若f （2）=4，则a 的取值范围为 ．3. （2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．4. （2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．5. （2014•上海）设常数a 使方程sinx+ cosx=a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1 ， x 2 ， x 3 ， 则x 1+x 2+x 3= ．6. （2014•上海）函数y=1﹣2cos 2（2x ）的最小正周期是 ．7. （2014•上海）若f （x ）=﹣，则满足f （x ）＜0的x 的取值范围是 ．8. （2014•上海）若实数x ，y 满足xy=1，则x 2+2y 2的最小值为 ． 9. （2014•上海）若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆 +=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．10. （2014•上海）若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则（z+ ）• = ．11. （2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 ．12. （2014•上海）已知曲线C 的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C 与极轴的交点到极点的距离是 ．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (理科)解析版
2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。
在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期 2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________.【答案】6【解析】61)41(11(∴21=++=+=•++=z z z zz i z 3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.【答案】x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为 4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】]2,∞-(【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f += 5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.【答案】22【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=xx x x x xy 6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）。
2014年上海市高考数学试卷(理科)解析
2014年上海市高考数学试卷（理科）解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 . 【答案】2π 【解析】由题意cos 4y x =-，242T ππ== 2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z +z ⋅=___________.【答案】6 【解析】由题意21()1(12)(12)11(2)16z z z z i i i z +⋅=⋅+=+-+=-+= 3. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.5. 若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 【答案】22 【解析】22222222222x y x y xy +≥⋅=⋅=，当且仅当222x y =时等号成立. 6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3.【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 【答案】115【解析】任意选择3天共有310120C =种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为8112015P ==． 11. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .【答案】1-13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】0.2【解析】设ξ＝1,2,3,4,5的概率分别为12345,,,,P P P P P ，则由题意有123452345 4.2PP P P P ++++=，123451P P P P P ++++=，对于1234234P P P P +++，解得50.2P ≥．14. 已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【解析】由0AP AQ +=知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --， 26m x -=，解得23m ≤≤．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若2,2a b >>，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题就选B ．16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8【答案】A【解析】如图，AB 与上底面垂直， cos 1i i i AB AP AB AP BAP AB AB ⋅=∠=⋅=．17. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） （A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解【解析】由于当0x >时，1()f x x a x =++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的， 22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．。
2014年上海市高考数学试卷理科
实用文档文案大全2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_________4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是_________8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）．11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=_________13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为_________二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014?上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）第2页共 9 页 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件要条件非充分又必要条16．（5分）（2014?上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 417．（5分）（2014?上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）（2014?上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A． [﹣1，2] B． [﹣1，0] C． [1，2] D． [0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014?上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）（2014?上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．第3页共 9 页21．（14分）（2014?上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23．（16分）（2014?上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．第4页共 9 页2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=63．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣24．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为26．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣112．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.214．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014?上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非第5页共 9 页必要条件解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，，则必a+，即必要性成立故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．16．（5分）（2014?上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）解答解：如图建立空间直角坐标系2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），P8（0，2，1），，=（﹣1，0，1），=（﹣2，0，1），=（0，1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣2，1，1），=（0，2，1），=（﹣1，2，1），=（﹣2，2，1），易得?=1（i=1，2，…，8），∴?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选A．17．（5分）（2014?上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）解答：解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a2b1﹣a1b2）x=b2﹣b1，即（a2﹣a1）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．18．（5分）（2014?上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）解答：解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a≤2+a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，第6页共 9 页故选：D．点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014?上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．解答：解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC 是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==20（14分）（2014?上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．解答：解：（1）∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，第7页共 9 页此时f（x）=，满足条件；综上所述a=时）是偶函数a=时）是奇函数点评本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题21．（14分）（2014?上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．解答解）C的长米，tatataαtanta解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．22．（16分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．分析：（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．第8页共 9 页（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．解答）证明：把点（）分别代x+1可得1+（∴点（）被直x+1=分隔（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或 k≥．（3）证明：设点M（x，y），则?|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，）=有实数解，y=k有公共点y=k不的分隔线∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线的分隔线23．（16分）（2014?上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．分析：（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S n分别代入不等式S n≤S n+1≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差．解答：解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6 （2）由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n+1≤3S n，即，第9页共 9 页∴不等，3n+2=3）2对于不等n+3+，n=3q+解，又n+3+2=++2成立时n+3，∴此不等式33n+2=3）2n+3+2=++2）0时，不等式恒成立上的取值范围）的公差．，=n=时，n=时，，所所1000=，2000k+1001999所的最大值199k=199时的公差。
2014年高考理科数学(上海卷)
2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则}1{zz +z ⋅=___________.3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__ 4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= 。
9. 若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 。
10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）。
11.已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a+b= 。
12.设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= 。
13.某游戏的得分为1,2,3,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分。
若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 。
14.已知曲线C ：x =l ：x=6。
2014上海数学理科解析完整版
2014年上海理数参考答案1、函数()212cos2y x =-的最小正周期是_________________.【知识点】三角函数的最小正周期；【考查能力】本题主要考查了学生对于最小正周期公式的求法，以及倍角公式的应用. 【思路方法】()()212cos2=cos 4y x x =--，所以最小正周22T ππϖ==.【得分点】正确得全分，错误得0分2、若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1___________z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭. 【知识点】复数的运算【考查能力】本题主要考查了学生对于复数中共轭复数的运算； 【思路方法】()()11121216z z z z i i z ⎛⎫+⋅=⋅+=+-+= ⎪⎝⎭. 【得分点】正确得全分，错误得0分3、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则抛物线的准线方程为___. 【知识点】抛物线的概念与椭圆焦点的概念.【考查能力】本题主要考查了学生对于圆锥曲线基本概念的理解. 【思路方法】椭圆的右焦点坐标为()2,0，得：22p=，所以抛物线的准线方程为22px =-=- 【得分点】正确得全分，错误得0分4、设()()[)2,,,,,,x x a f x x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()24f =，则a 的取值范围为_________________.【知识点】分段函数的相关概念；【考查能力】本题主要考查了学生对于分段函数的理解；【思路方法】由题意可知，由()24f =，得[)2,a ∈+∞，所以(],2a ∈-∞. 【得分点】正确得全分，错误得0分5、若实数,x y 满足1,xy =则222x y +的最小值为_________________. 【知识点】基本不等式【考查能力】考查学生基本不等式的应用.【思路方法】由基本不等式可得：222x y +≥=x =时，222x y +取到最小值，最小值为【得分点】正确得全分，错误得0分6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_____________. 【知识点】圆锥的基本概念；【考查能力】考查学生对圆锥的表面积相关概念，特别是底面与侧面的面积表示.【思路方法】底面圆的半径为r ，母线长为l ，得：21=3S ,23,2S r l r ππ⋅⋅=侧底得：3l r =，所以母线与底面角为：1cos 33r r l r θ===.得：1arccos 3θ=. 【得分点】正确得全分，错误得0分7、已知曲线C 的极坐标方程为()3cos 4sin 1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离为_______________.【知识点】极坐标的概念【考查能力】考查极坐标与直角坐标的转换;【思路方法】曲线C 可化为直角坐标方程为：3410x y --=，曲线C 与极轴交点到极点及距离，即为直线方程在直角坐标系中横坐标的绝对值，即为13. 【得分点】正确得全分，错误得0分8、设无穷等比数列公比为q ，若()134lim ,n a a a →∞=++则__________q =.【知识点】无穷等比数列【考查能力】无穷等比数列的前n 项和公式，以及公比的取值范围的考查.【思路方法】由题意可得：231111a a q a q q==--，由10a ≠，得21q q =-，且()()1,0,1q ∈-即q =【得分点】正确得全分，错误得0分 9、若()2132f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是___________.【知识点】幂函数的概念【考查能力】幂函数定义域的考查，函数图像的画法【思路方法】由解析式可得定义域为()0,x ∈+∞交点坐标为为()1,1，所求取值范围为()0,1. 【得分点】正确得全分，错误得0分10、为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随即选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好是连续3天的概率是_____________（结果用最简分数表示）.【知识点】组合数，概率的相关概念【考查能力】考查学生对于古典概率的相关知识.【思路方法】10天中任意取出3天的情况为310C ，连续3天在一起的情况为8种，所以概率23x=为3108115P C ==. 【得分点】正确得全分，错误得0分11、已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则________a b +=. 【知识点】集合的性质，复数方程【考查能力】集合互异性的考查，实系数方程的根的求解，分类讨论思想【思路方法】由于0ab ≠，则2a a ≠，所以22,a b b a ==，有4a a =，得：10a =（舍）21,a =（舍），3411,22a a =-+=-，所以1a b +=-.【得分点】正确得全分，错误得0分12、设常数a使方程sin cos x x a =在闭区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ，则123________x x x ++=.【知识点】三角函数图像及其应用【考查能力】主要考察学生对三角函数图像的画法及其应用图像解决问题的能力【思路方法】[]sin 2sin ,0,23a x x x x ππ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，由图像可知3=a 此时可解出37,2,3,0321πππ答案为⇒===x x x 【得分点】正确得全分，错误得0分13、某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分。
2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷带解析)答案解析
数学答案解析
1、
【答案】
【解析】由题意 ，
【考点】三角函数的周期.
2、
【答案】6
【解析】由题意
【考点】复数的运算.
3、
【答案】 .
【解析】椭圆 的右焦点为 ，因此 ， ，准线方程为 .
【考点】椭圆与抛物线的几何性质合题意，因此 ，此时 时， ，满足 .
试题解析：（1）由题得， ，∴ 被直线 分隔.
（2）由题得，直线 与曲线 无交点
即 无解
∴ 或 ，∴ .
又对任意的 ，点 和 在曲线 上，满足 ，被直线 分隔，所以所求 的范围是 ．
（3）由题得，设 ，∴ ，
化简得，点 的轨迹方程为
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为 .
联立方程， .
令 ，因为 ，
所以方程 有实解，直线 与曲线 有交点．直线 不是曲线 的分隔线．
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为 .
显然 与曲线 没有交点，又曲线 上的两点 对于直线 满足 ，即点 被直线 分隔．所以直线 是 分隔线．
试题解析：（1）由 ，解得 ，从而 ，
∴ ，
∵ 且
∴①当 时， ，
∴对任意的 都有 ，∴ 为偶函数
②当 时， ， ，
∴对任意的 且 都有 ，∴ 为奇函数
③当 且 时，定义域为 ，
∴定义域不关于原定对称，∴ 为非奇非偶函数
【考点】反函数，函数奇偶性．
21、
【答案】（1） 米；（2） 米．
【解析】
试题分析：这属于解三角形问题，条件 可转化为 ，即 ，而 可用 的长表示出来，从而得到关于 的不等式，解之可得所求结论；（2）根据已知条件，要求 的长，可在 或 中解得，由此要求得 或 的长，然后利用余弦定理，求得 ， 而 或 两边要 中，可用正弦定理求得．
(上海市)2014年高考真题数学(理)试题(WORD高清精校版)
2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是__________．2、若复数12z i =+， 其中i 是虚数单位, 则1z z z ⎛⎫+∙= ⎪⎝⎭___________．3、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为_____．4、设2, (,),(), [,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =, 则a 的取值范围为____________．5、若实数x ， y 满足1xy =, 则222x y +的最小值为___________．6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为____（结果用反三角函数值表示）．7、已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=, 则C 与极轴的交点到极点的距离是___．8、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若134lim()n n a a a a →∞=+++, 则q =___________．9、若2132()f x x x-=-, 则满足()0f x <的x 的取值范围是___________．10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续3天的概率是________________（结果用最简分数表示）． 11、已知互异的复数a ， b 满足0ab ≠, 集合22{, }{, }a b a b =, 则a b +=___________．12、设常数a 使方程s i n c o s x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123, , x x x , 则123x x x ++= ___13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=, 则小白得5分的概率至少为___________．14、已知曲线:C x =直线:6l x =．若对于点(,0)A m , 存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=, 则m 的取值范围为___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．A1P CB2P 3P A1P B2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P 15、设, a b R ∈, 则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ ）．(A) 充分条件(B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, (1, 2, , 8)i P i =是上底面上其余的八个点, 则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）．(A) 1(B) 2(C) 4(D) 817、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点, 则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 （ ）．(A) 无论k , 12, P P 如何, 总是无解 (B) 无论k , 12, P P 如何, 总有唯一解 (C) 存在k , 12, P P , 使之恰有两解(D) 存在k , 12, P P , 使之有无穷多解18、设2(), 0,()1, 0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值, 则a 的取值范围为 （ ）． (A) [1,2]- (B) [1,0]-(C) [1,2](D) [0,2]三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P , 如图．求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V ．20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数0a ≥, 函数2()2x x af x a+=-． (1)若4a =, 求函数()y f x =的反函数1()y f x -=;(2)根据a 的不同取值, 讨论函数()y f x =的奇偶性, 并说明理由。
2014上海高考数学理科解答题含答案
三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥, zxxk 其表面展开图是三角形，如图，求△的各P ABC -321p p p 321p p p 边长及此三棱锥的体积.V20.（本题满分14分）本题有2个小题，学科网第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数，函数0≥a a a x f x x -+=22)(（1）若=4，求函数的反函数；a )(x f y =)(1x fy -=（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.a )(x f y =21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35A B 、C CD D AC 米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.CB A B 、A B D βα和（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少学科网（结果精确到CD βα2≥CD 0.01米）？（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得zxxk 求的CD ，，45.1812.38==βαCD 长（结果精确到0.01米）？22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记xoy l 0ax by c++=),,(),,(22211y x P y x P i 若<0，则称点被直线分隔。
若曲线C 与直线没有公1122)().ax by c ax by c η=++++、η21,P P l l 共点，且曲线C 上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C 的一条分隔线.21P P ，l l ⑴ 求证：点被直线分隔；），（），（012,1-B A 01=-+y x ⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；kx y =1422=-y x k ⑶动点M 到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明）（2,0Q y轴为曲线E 的分隔线.y 23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.{}n a 1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=（1）若，求的取值范围；zxxk 2342,,9a a x a ===x （2）若是等比数列，且，求正整数的最小值，学科网以及取最小值时相应{}n a 11000m a =m m 的公比；{}n a （3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.12100,,,a a a 12100,,,a a a 19.解：∵由题得，三棱锥是正三棱锥P ABC -∴侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形ABC ∆∴由题得，，3ABC BCA CAB π∠=∠=∠=112233PBA P AB P BC P CB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠又∵三点恰好在构成的的三条边上,,A B C 123,,P P P 123PP P ∆∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴1122332P A PB P B P C PC P A ======∴，三棱锥是边长为2的正四面1213234PP PP P P ===P ABC -体∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于P ABC O BO AC D ∴为中点，为的重心，底面D AC O ABC ∆PO ⊥ABC ∴，23BO BD ==PO=112232V =⋅⋅⋅=20.解：（1）由题得，248()1(,1)(1,)2424x x x f x +==+∈-∞-+∞-- ∴，121()2log 1x f x x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ （2）∵且2()2x x a f x a +=-0a ≥∴①当时，，0a =()1,f x x R =∈∴对任意的都有，∴为偶函数x R ∈()()f x f x =-()y f x =②当时，，，1a =21(),021x x f x x +=≠-2112()2112x x x x f x --++-==--∴对任意的且都有，∴为奇函数0x ≠x R ∈()()f x f x =--()y f x =③当且时，定义域为，0a ≠1a ≠{2log ,}x x a x R ≠∈∴定义域不关于原定对称，∴为非奇非偶函数()y f x =21.解：（1）由题得，∵，且，2αβ≥022πβα<≤<tan tan 2αβ∴≥即，解得，，∴米2403516400CD CD CD ≥-CD ≤28.28CD ≈（2）由题得，，18038.1218.45123.43ADC ∠=--= ∵，∴米3580sin123.43sin18.45AD += 43.61AD ≈∵，∴米22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅ 26.93CD ≈22.证明：（1）由题得，，∴被直线分隔。
2014年上海高考数学文理科卷解析版
数学（理）2014 第1页（共4页）2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是____________.2142T ππ==2. 若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭____________. 11(12)(12)612z z i i i z ⎛⎫+⋅=++-= ⎪-⎝⎭3. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为____________.准线方程为x=-2．4. 设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =，则a 的取值范围为____________.答案为：（-∞，2]．5. 若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为____________.答案是6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为__________（结果用反三角函数值表示）得1arccos3θ= 7. 已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离2是____________.是13ρ=8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q =________.11111112(1)lim 11101122n x a q a a a a q a a qq qq q q q →∞⎛⎫-=--=-- ⎪--⎝⎭∴+-=--==得或（舍） 9. 若2132()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是_____________.()2551036621()0,1x x x x f x x -<<==得得；是增函数得x 得解集为10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_______________（结果用最简分数表示）.115= 11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=__________. 答案为：-1．12. 设常数a使方程sin x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++=____________.12373x x x π++=13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为____________. 答案为：0.2．3P 2P 5P 6P 7P 8P 4P 3P 1BA14. 已知曲线:4C x y =--，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l上的Q 使得0APAQ +=，则m 的取值范围为____________. 分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=说明A 是PQ 的中点，结合x 的范围，求出m 的范围即可．解答：解：曲线:C x =[]2,0p x ∈-对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x=6，[]62,32xpm +=∈二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的[答]（ ）(A) 充分条件. (B) 必要条件.16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB4是一条侧棱，(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为[答]（ ）(A) 1. (B) 2. (C) 4.(D) 8.考点：平面向量数量积的运算．分析：建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．解答：解：如图建立空间直角坐标系， 则A （2，0，0），B （2，0，1），P 1（1，0，1），P 2（0，0，1），P 3（2，1，1），P 4（1，1，1），P 5（0，1，1），P 6（2，2，1），P 7（1，2，1）， P 8（0，2，1），11(1,2,,8)AB AP i == 故选择A点评：本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17. 已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是[答]（ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解. (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解. (C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解.(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解.考点：一次函数的性质与图象．分析：判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a 1，b 1，P 2，a 2，b 2的关系，然后求解方程组的解即可． 解答：因为111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上且斜率存在。
2014年高考理科数学上海卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2.若复数12i z =+,其中i 是虚数单位,则1(z )z z+= .3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .4.设2,(,),(),[,),x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =,则a 的取值范围为 .5.若实数x ,y 满足1xy =,则222x y +的最小值为 .6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7.已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=,则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若134lim()n n a a a a →∞=+++,则q = .9.若2132()f x x x =-,则满足()0f x ＜的x 的取值范围是 .10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 11.已知互异的复数a ,b 满足0ab ≠,集合22{,}{,}a b a b =,则a b += . 12.设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解1x ,2x ,3x ,则123x x x ++= .13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=,则小白得5分的概率至少为 .14.已知曲线C：x =,直线l ：6x =.若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP AQ +=0,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设,a b ∈R ,则“4a b +＞”是“2a ＞且2b ＞”的( ) A .充分条件 B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点,则(1,2,,8)i AB AP i =的不同值的个数为( )A .1B .2C .4D .817.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组11221,1,a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 ( )A .无论k ,1P ,2P 如何,总是无解B .无论k ,1P ,2P 如何,总有唯一解姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）C .存在k ,1P ,2P ,使之恰有两解D .存在k ,1P ,2P ,使之有无穷多解18.设2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++⎪⎩≤＞若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 ( )A .[1,2]-B .[1,0]-C .[1,2]D .[0,2]三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ,如图.求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数2()2x x af x a+=-.（Ⅰ）若4a =,求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（Ⅱ）根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A ,B 两地连线上的定点C 处建造广告牌,其中D 为顶端,AC 长35 米,CB 长80 米.设点A ,B 在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（Ⅰ）设计中CD 是铅垂方向,若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（Ⅱ）施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α=,18.45β=,求CD 的长（结果精确到0.01 米）.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l ：0ax by c ++=和点111(,)P x y ,222(,)P x y ,即1122()(c)ax by c ax by η=++++.若0η＜,则称点1P ,2P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点1P ,2P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.（Ⅰ）求证：点(1,2)A ,(1,0)B -被直线10x y +-=分隔；（Ⅱ）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,求实数k 的取值范围；（Ⅲ）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E .求证：通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n ∈N ,11a =. （Ⅰ）若22a =,3a x =,49a =,求x 的取值范围； （Ⅱ）设{}n a 是公比为q 的等比数列,12n n S a a a =+++,1133n n n S S S +≤≤,*n ∈N ,求q 的取值范围；（Ⅲ）若1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 成等差数列,且121000k a a a +++=,求正整数k 的最大值,以及k 取最大值时相应数列1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 的公差.数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）1(1z z z ⎫=+=+⎪⎭【提示】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可),n a ++即【提示】由已知条件推导出a ，由此能求出数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）【提示】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连33π⎛⎫【解析】解：设小白得5分的概率至少为x ，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1x -，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，() 4.2E ξξ=，∴4(1)5 4.2x x -+=，解得0.2x =.，又因为0AP AQ +=，数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）【提示】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明23568(0,0,1)(0,1,1)(0,2,1)(1,0,1)(1,1,1)(1,2,1)(2,0,1)(2,2,1)B P P P P P ，，，，，，，，，，则(0,0,1)AB =，1(0,1,1)AP =，2(0,2,1)AP =，3(1,0,1)AP =(1,1,1)AP =5(1,2,1)AP =，(2,0,1)AP =7(2,1,1)AP =8(2,2,1)AP =i(i 1,2,,8)AB AP =的值均为1，故选A.根据向量数量积的几何意义，i AB AP 等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而AP 在AB 方向上的投影是定值，||AB 也是定值，∴i AB AP 为定值【提示】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案.数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）223ABC PQ =【提示】利用侧面展开图三点共线，判断,0)(0,),+∞2)(log ,)a +∞关于原点不对称，）根据反函数的定义，即可求出cos BC BD β，【提示】（1）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭2(2)||1y x +-=，即2]1x =)不是上述方程的解，即1,2)(1,2)-和2]10x -=得2]10x -=，21-，2(0)(2)(1)[16(1)15]0f k =--+<，所以方程与曲线E 有公共点，故直线综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是【提示】（1）把A.B 两点的坐标代入η，再根据0η<，得出结论. （2）联立直线y kx =与曲线2241x y -=可解.2]1x =数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）131nq q-- ,,k a 的公差为(1)]1,2,,1n d k -≤-.1,2,,1k -2,3,,1k -时，由1(1)221k k ka k -=+-，即12,,,k a a a 的公差为的范围（3）依题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a 的公差.【考点】等比数列的性质，数列的求和。
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2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（理科）及参考答案 满分150分;考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 ．2、若复数12z i =+， 其中i 是虚数单位, 则1z z z ⎛⎫+•= ⎪⎝⎭ ．3、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为 ．4、设2, (,),(), [,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =, 则a 的取值范围为 ．5、若实数x ， y 满足1xy =, 则222x y +的最小值为 ．6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．7、已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=, 则C 与极轴的交点到极点的距离是 ． 8、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若)(431lim n n a a aa +++=∞→ , 则q = .9、若2132()f x x x-=-, 则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）． 11、已知互异的复数a ， b 满足0ab ≠, 集合22{, }{, }a b a b =, 则a b += ． 12、设常数a 使方程a x x =+cos 3sin 在闭区间[0,2π]上恰有三个解123, , x x x , 则123x x x ++= .13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=, 则小白得5分的概率至少为 ．14、已知曲线24:y x C --=, 直线:6l x =．若对于点(,0)A m , 存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0=+AQ AP , 则m 的取值范围为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．15、设, a b R ∈, 则“4a b +>”是“2a >且2b >”的(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱,)8,,2,1( =i P i 是上底面上其余的八个点, 则)8,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为(A) 1(B) 2(C) 4(D) 817、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点, 则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是(A) 无论k , 12, P P 如何, 总是无解 (B) 无论k , 12, P P 如何, 总有唯一解 (C) 存在k , 12, P P , 使之恰有两解 (D) 存在k , 12, P P , 使之有无穷多解 18、设2(), 0,()1, 0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值, 则a 的取值范围为 (A) [1,2]- (B) [1,0]-(C) [1,2] (D) [0,2]三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P , 如图．求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V ．20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 设常数0a ≥, 函数2()2x x af x a+=-． (1)若4a =, 求函数()y f x =的反函数1()y f x -=;(2)根据a 的不同取值, 讨论函数()y f x =的奇偶性, 并说明理由。
21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图, 某公司要在A , B 两地连线上的定点C 处建造广告牌, 其中D 为顶端, AC 长35米, CB 长80米. 设点A , B 在同一水平面上, 从A 和B 看D 的仰角分别为α和β． (1)设计中CD 是铅垂方向．若要求2αβ≥, 问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ (2)施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α︒=,18.45β︒=, 求CD 的长（结果精确到0.01米）．22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系xOy 中, 对于直线:0l ax by c ++=和点111(,)P x y , 222(,)P x y , 即1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<, 则称点12, P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点, 且曲线C 上存在点12, P P 被直线l 分隔, 则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． (1)求证: 点(1,2)A , (1,0)B -被直线10x y +-=分隔;(2)若直线y kx =与曲线2241x y -=的分隔线, 求实数k 的取值范围;(3)动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1, 设点M 的轨迹为曲线E 。
求证: 通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是E 的分隔线.23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤, *N n ∈, 11a =．(1)若22a =, 3a x =, 49a =, 求x 的取值范围;(2)设{}n a 是公比为q 的等比数列, n n a a a S +++= 21．若1133n n n S S S +≤≤, *N n ∈,求q 的取值范围;(3)若k a a a ,,,21 成等差数列, 且100021=+++k a a a , 求正整数k 的最大值, 以及k 取最大值时相应数列k a a a ,,,21 的公差．参考答案：一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、π21； 2、6； 3、2-=x ； 4、2≤a ； 5、22；6、31arccos ；7、31； 8、215-； 9、（0,1）； 10、151； 11、-1； 12、37π； 13、0.2； 14、[]3,2. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．15、B; 16、A; 17、B; 18、D;三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19、(本题满分12分)解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴由题得，3ABC BCA CAB π∠=∠=∠=，112233PBA P AB P BC P CB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上 ∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴1122332P A PB P B P C PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC ∴2233BO BD ==，26PO =11326222232V =⋅⋅⋅= 20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）由题得，248()1(,1)(1,)2424x xx f x +==+∈-∞-+∞-- ∴121()2log 1x fx x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞∵2()2x x af x a+=-且0a ≥∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x xx xf x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数 ③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈， ∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）由题得，∵2αβ≥，且022πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥即2403516400CDCD CD≥-，解得，CD ≤28.28CD ≈米 由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=，∵3580sin123.43sin18.45AD +=，∴43.61AD ≈米∵22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅，∴26.93CD ≈米22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．（1）证明：由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。
（2）解：由题得，直线y kx =与曲线2241x y -=无交点即222241(14)10x y k x y kx⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2140k -=或221404(14)0k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴11(,][,)22k ∈-∞-+∞（3）证明：由题得，设(,)M x y ，∴1x =，化简得，点M 的轨迹方程为2221:(2),0E x y x x +-=≠。
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =。
联立方程，2222221(2)1(1)44x y k x kx x x y kx ⎧+-=⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩。
令22()(1)44F x k x kx =+-+，21()G x x=，显然()y F x =是开口朝上的二次函数 ∴由二次函数与幂函数的图像可得，()()F x G x =必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =。