专题训练 规律探究型问题

专题训练规律探究型问题►类型一数式规律型

1．下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第n个数是()

A．2n B．2n＋1

C．2n－1D．2n－2

2．观察下列单项式：x，3x2，5x3，7x，9x2，11x3，…，则第2019个单项式是________．

3．观察下列关于自然数的等式：

32－4×12＝5；①

52－4×22＝9；①

72－4×32＝13；①

根据上述规律解决下列问题：

(1)完成第①个等式：92－4×()2＝()；

(2)写出你猜想的第个等式(n是正整数，用含n的式子表示)．

►类型二图形规律型

4．下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成的，图4－ZT－1①中有2个黑色正方形，图①中有5个黑色正方形，图①中有8个黑色正方形，图①中有11个黑色正方形……按此规律，图①中黑色正方形的个数是()

图4－ZT－1

A．32 B．29 C．28 D．26

5．2019·浦东新区将一些半径相同的小圆按图4－ZT－2所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆……

图4－ZT－2

依此规律填空：

(1)第5个图形有________个小圆，第6个图形有________个小圆；

(2)第n个图形有________个小圆．

6．如图4－ZT－3是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中，有________根火柴棒．(用含n的代数式表示)

图4－ZT－3

7. 如图4－ZT－4所示的图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成的，图案①需8根火柴棒，图案①需15根火柴棒……

图4－ZT－4

(1)按此规律，图案①需________根火柴棒；图案需________根火柴棒(n为正整数)．

(2)用2019根火柴棒能按以上规律恰好拼搭成一个图案吗？若能，说明是第几个图案；若不能，说明理由．

详解详析

1．C[解析] 设该组数列第n个数为a n(n为正整数)，观察发现规律：a1＝1＝20，a2＝2＝21，a3＝4＝22，a4＝8＝23，a5＝16＝24，…，∴a n＝2n－1.故选C.

2．4035x2

3．[解析]由①①①三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．

解：(1)92－4×42＝17，故所填的数字为4，17.

(2)(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.

4．B[解析] 因为图①中有2个黑色正方形，2＝3－1，图①中有5个黑色正方形，5＝6－1，图①中有8个黑色正方形，8＝9－1，所以第n个图形中有(3n－1)个黑色正方形，所以图①中黑色正方形的个数是3×10－1＝29.故选B.

5．(1)3446(2)(n2＋n＋4)

[解析] 由题意可知第1个图形有小圆4＋2＝6(个)；

第2个图形有小圆4＋(2＋4)＝10(个)；

第3个图形有小圆4＋(2＋4＋6)＝16(个)；

第4个图形有小圆4＋(2＋4＋6＋8)＝24(个)；

第5个图形有小圆4＋(2＋4＋6＋8＋10)＝34(个)；

第6个图形有小圆4＋(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝46(个)．

所以第n 个图形有小圆4＋(2＋4＋6＋8＋…＋2n )＝(n 2＋n ＋4)个．

6．2n (n ＋1) [解析] 横向有n (n ＋1)根火柴棒，竖向有n (n ＋1)根火柴棒，故共有2n (n ＋1)根火柴棒．

7．解：(1)①图案①需火柴棒：8根；

图案①需火柴棒：8＋7＝15(根)；

图案①需火柴棒：8＋7＋7＝22(根)；

∴图案需火柴棒：8＋7(n －1)＝(7n ＋1)根；

当n ＝7时，7n ＋1＝7×7＋1＝50，

∴图案①需50根火柴棒．

故答案为：50，(7n ＋1)．

(2)不能，令7n ＋1＝2019，解得n ＝28827

，不合题意，故用2019根火柴棒不能按以上规律恰好拼搭成一个图案．