2020高考数学(理)二轮专题复习《四 第2讲 概率与统计(大题)》

(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的 所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及 期望.
解 由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人， 其工作出色的概率为35， 显然 X 可取 0,1,2,3，且 X～B3，35，则 P(X＝0)＝253＝1825， P(X＝1)＝C13351252＝13265，
(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在 区间[61,80]的人数，求X的分布列和期望. (附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋ 2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
P(X＝2)＝C23352251＝15245， P(X＝3)＝353＝12275.
所以X的分布列为
X0 1 2 3
P
8 36 125 125
54 27 125 125
所以期望 E(X)＝0×1285＋1×13265＋2×15245＋3×12275＝95.
跟踪演练1 (2019·河北省五个一名校联盟联考)《山东省高考改革试点方案》规定： 从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语 数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始 成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级.参照正态分布 原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科 目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则， 分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30] 八个分数区间，得到考生的等级成绩. 某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行 测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).
例1 (2019·怀化模拟)在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫， 携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.A镇有基层干部 60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分 层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将 走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如下频率 分布直方图. (1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计三镇基 层干部平均每人走访多少贫困户.(同一组中的数 据用该组区间的中点值作代表)；
板块二 专题四 概率与统计
内容索引
NEIRONGSUOYIN
热点分类突破 真题押题精练
1
PART ONE
热点一 以二项分布为背景的期望与方差 热点二 以超几何分布为背景的期望与方差 热点三 统计与统计案例的交汇问题
热点一 以二项分布为背景的期望与方差
利用二项分布解题的一般步骤： (1)根据题意设出随机变量. (2)分析随机变量服从二项分布. (3)找到参数n，p. (4)写出二项分布的概率表达式. (5)求解相关概率.
(1)求物理原始成绩在区间(47,86]的人数；
解 因为物理原始成绩ξ～N(60,132)， 所以P(47<ξ≤86) ＝P(47<ξ≤60)＋P(60<ξ≤86) ＝12P(60－13<ξ≤60＋13)＋12P(60－2×13<ξ≤60＋2×13) ≈0.6822 7＋0.9524 5 ≈0.818 6. 所以物理原始成绩在(47,86]的人数为2 000×0.818 6≈1 637.
所以X的分布列为
X0
1
2
3
P
27 54 36 125 125 125
8 125
所以期望 E(X)＝3×25＝65.
热点二 以超几何分布为背景的期望与方差
求超几何分布的分布列的一般步骤： (1)确定参数N，M，n的值. (2)明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率. (3)列出分布列.
例2 (2019·茂名质检)2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某 赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进 行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. (1)求该样本的中位数和方差；
解 样本数据按从小到大的顺序排列为59,67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96. 数据的中位数为81＋2 82＝81.5， 平均数为 x ＝59＋67＋73＋76＋78＋81＋ 1282＋84＋85＋86＋93＋96＝80， 方差为
P(X＝0)＝CC31382＝25260＝1545， P(X＝1)＝CC28C31214＝2282×04＝2585， P(X＝2)＝CC18C31224＝82×206＝1525， P(X＝3)＝CC31342＝2420＝515，
解 由题意得，随机抽取 1 人，其成绩在区间[61,80]内的概率为25. 所以随机抽取三人，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，且 X～B3，25， 所以 P(X＝0)＝353＝12275， P(X＝1)＝C13·25·352＝15245， P(X＝2)＝C23·252·35＝13265， P(X＝3)＝253＝1825.
s2＝112×(212＋132＋72＋42＋22＋12＋22＋42＋52＋62＋132＋162)＝1 11286≈98.83.
(2)若把成绩不低于85分(含85分)的作品认为是优秀作品，现在从这12件作品中任意 抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.
解 设抽到优秀作品的个数为X，则X的可能值为0,1,2,3，
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解 因为A，B，C三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人， 利用分层抽样的方法选40人， 则 C 镇应选取 80×24000＝16(人)， 所以这40人中有16人来自C镇，
因为 x ＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋ 50×0.1＝28.5，
所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户.