第二节 化二次型为标准型
8.2化二次型为标准形
其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 例2.1 求一个正交变换X=CY，把二次型: f = 2x1x2 + 2x1x3 − 2x1x4 − 2x2 x3 + 2x2 x4 + 2x3x4
化为标准形.
0 1 解: 1)二次型的矩阵为 A = 1 −1
所用的线性变换为
x1 1 1 0 1 0 1 z1 x = 1 −1 0 0 1 2 z 2 2 x3 0 0 1 0 0 1 z3
13
1 1 3 z1 1 −1 −1z , = 2 0 0 1 z3
§2 化二次型为标准形
1. 用正交变换化实二次型为标准形 定理2.1(主轴定理). 对于任意实二次型 f(x)=XTAX ,存 定理 在正交变换X=CY，使f 化为标准形.
2 2 2 f = k1 y1 + k2 y2 + L + kn yn
其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 证明: 证明 由于A是实对称矩阵,由第5章定理3.1知有正交阵 C, 使CTAC=ding(k1,k2,…,kn),其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 作正交变换X=CY, 则实二次型 f =XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y=
1 0 −3 1 −3 A 0 E = 0 1 0 0 1 0 0 1 0
18
1 1 1 −2 1 −2 0 1 2 1 0 1 0 1 0 −3 −3 −3 1 −3 −2 −3 0 r1 + r2 1 −3 0 0 → → c1 + c2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0
化二次型为标准型
1 1 得基础解系 1 , 单位化即得 p1 1 1
1 1 1 . 2 1 1
当l l l 1时 , 解方程( I A ) x 0 ,
2 3 4
可得正交的基础解系 1 0 1 1 0 1 2 , 3 , 2 , 0 1 1 0 1 1 1 2 0 12 1 2 0 1 2 , p3 , p4 单位化即得 p2 1 2 12 0 1 2 1 2 0
T
T
3．将特征向量正交化 a 2 , 3 a2, 取 a 1 1 ,a 2 2 , a 3 3 a 2 ,a 2 得正交向量组
a 1 (1 2,1,1) , a 2 ( 2,1,0) , a 3 ( 2 5, 4 5,1) .
T T
T
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
6 2018/1/4
定理 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使
PT AP L
l1 l2 T P AP L
ln
P (e1 e2
en )
7 2018/1/4
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
一、用正交变换化二次型为标准型
在前面讲过, 对于任一个n阶实对称矩阵A, 一定 存在正交矩阵Q, 使得QTAQ=L. 由于Q1=QT, 所以有 QTAQ=diag(l1,l2,...,ln). 因此有下面的定理.
§6.2 二次型化为标准型的三种方法
定理 对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC 为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵.
上述定理的证明实绩上给出了一种化二次 型为标准型的方法：配方法.
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形 .
2a23x2x3 ... 2a2nx2xn ...... 2an1,n xn1xn
令
x1 y1
x
2 x3
y1 y 2 y3
...
xn y n
它是非退化线性的替换,代入后
f (x1, x2,..., xn ) 2a12y1(y1 y2) 2a13y1y3 ... 2a1ny1yn
1 1 01 0 1
C
C1C2
1
1
0
0
1
2
0 0 1 0 0 1
1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 2 0.
正交变换法
由实对称矩阵的理论，对任意n阶实对称阵
A, 存在正交矩阵Q使得
step3．将特征向量正交化
取 1 1,2 2, 3
得正交向量组
3
( 3 ( 2
,2 ,2
) )
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T ,
3 (2 5,4 5,1)T .
step4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P
5-2化二次型为标准型
例1 用正交变换化二次型
f ( x1, x2, x3 ) 2x12 3x22 3x32 4x2 x3
为标准形. 解：二次型的矩阵为
2 0 0
A
0
3
2
0 2 3
2 0 0
I A 0 3 2
0 2 3
( 2) ( 3)2 4 ( 1)( 2)( 5)。
A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 5。
令
z1 z2
y1 y2
y3
，即
z1 z2
1
0
0 1
1 y1
0
y2
z3 y3
z3 0 0 1 y3
则二次型就化为标准形：z12 z22 z32 .
例4 用配方法化二次型
f ( x1, x2 ) x12 x1 x2 x22
为标准形.
解：一种配方法为
f
令
x1 x2
x3
y1 y1 y3
y2 y2 ，即
x1 x2 x3
1
1
0
1 1 0
0
0
y1 y2
1 y3
则 f ( x1, x2, x3 ) y12 y22 y1 y3 y2 y3 y1 y3 y2 y3 y12 y22 2 y1 y3 y12 2 y1 y3 y32 y22 y32 ( y1 y3 )2 y22 y32，
解： 1 1 1
1
2
2
1 0
1
1
0 (1)
1
1 2 1
1 1 0
A I
=
1
0
-
0
-
-
-
1 1 1
0 1 0
0 1 0
二次型的标准型与规范型.ppt
范形是唯一的. 推论1 任一实对称矩阵A都与对角矩阵
Ep
合同,其中 1 和－1的个数
Er p
O
共有r个,r
为二次型的秩.
推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件
是它们具有相同的正惯指数和秩.
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状， 20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路 权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时 间上不一致。 答案：A
[典题例析] [例2] (2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销
中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
线性代数课件5-4二次型化标准形
无关的特征向量只有一个，可取为
0
q2
1
2
1 2
相应于 3 3 的特征向量满足 ( A 3E)x 0
2 0 0 1 0 0
A
3E
0
1
1
r
~
0
1
1
0 1 1 0 0 0
无关的特征向量只有一个，可取为
0
q3 1
2
1 2
正交矩阵为
1 0
Q 0 1
2
0 1 2
就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j),
则先作可逆线性变换
xi yi yj
x j yi yj
xk yk
化二次型为
含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.
例1
含有平方项
f 5 x12 2x22 2x2 x3 2x32
x 5 x12 (2x22 2x2 x3 ) 2x32 含有 2的项配方
（2）判断二次曲面 2x1x2 2x1x3 2x2x3 1 的形状。
（1）判断二次曲线
x12 x22 2 3 x1x2 1 的形状.
解： 令 f x12 x22 2 3x1x2
其矩阵为
1
A 3
A的特征多项式为
3 1
1 3
AE
1 3 1 3
3 1
故A的特征值为 1 1 3, 2 1 3
3
~
0
1
0
无关的特征向量只有一个，可取为
1
q2
1
2
2
正交矩阵为
1
1
Q
1
2 2
2
1
2
化二次型为标准型的初等变换法
b1
b2
,
bn
下面的n个行构成的方记作 P;
(4) f ( X )经非退化线性替换 X PY 得到的标准形为
f ( X ) X TAX
Y T(PT AP)Y
b y2 b y2
11
22
b y2. nn
例7 用初等变换法将下列二次型 f 化为标准形
f 2x12 9x22 15x32 8x1x2 4x1x3 14x2x3, 并求出所用的线性替换矩阵.
解 二次型 f 的矩阵为
2 4 2
A
4
9
7
.
2 7 15
2 4 2 2 0 2 2 0 2
4
9
7
4
1
7
0
1
3
A 2 7 15 2 3 15 2 3 15
I
3
1
0
0
1
2
0
1
2
0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
2 0 2 2 0 0 2 0 0
用初等变换化二次型为标准形的方法
nn
设 f ( X ) f (x1, x2, , xn)
aij xi xj 为n元二次型.
i1 j1
(1) 写出二次型 f ( X )的矩阵A (aij );
(2)
构造 ( 2n)
n 矩阵
H
A In
;
(3) 用相同的初等列变换与初等行变换将 H 上面的n个 行构成的方阵化为对角矩阵
1
2
1
1
2
5
1
2
5
二次型化为标准规定型的三种方法
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 (x2 x3)2 2x22 4x2x3 x32
x1 x2 x3 2 x22 2x2x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 x32
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
y
1
1
即
y
2
y 3
0
0
0 1 0
z 1 z 2 z 1
1 ,Y 2 3
实二次型f(x1, x2, , xn )=XT AX (AT A), 由于A为实对称，则存在正交矩阵Q使得
Q 1AQ QT AQ diag(1, 2, , n ),
于是线性替换X=QY(称为正交变换)化f为
标准型1y12
2y
2 2
n
y
2 n
.
定理 对于任意n元实二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A),都存在正交变换X=QY化f为
令
y1
y2
x1
x2 x2
x x3
3
y3 x3
即
x1 x2
y1 y2
y2 y3
x3 y3
1 1 0 C 0 1 1 1 0
第五章二节二次型的标准形和规范形
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
化二次型为标准型
化二次型为标准型二次型是代数学中一个重要的概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在矩阵理论中，我们经常需要将一个给定的二次型化为标准型，以便更好地进行计算和分析。
本文将介绍如何将一个二次型化为标准型的具体步骤和方法。
首先，我们来回顾一下什么是二次型。
在代数学中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常可以表示为一个对称矩阵的形式。
例如，对于n个变量x1, x2, ..., xn，一个二次型可以表示为以下形式：Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2(a12x1x2 + a13x1x3 + ... + ann-1,nxn-1xn)。
其中，aij表示对应的系数，对称矩阵的对角线上的元素为二次项的系数，非对角线上的元素为交叉项的系数的一半。
接下来，我们将介绍如何将一个二次型化为标准型。
要将一个二次型化为标准型，我们需要进行以下步骤：1. 对二次型进行配方法，即通过合适的线性变换将二次型化为平方项的和的形式。
2. 通过正交变换将平方项的和的形式化为标准型。
首先，我们来看第一步，即如何通过配方法将二次型化为平方项的和的形式。
对于一个n元二次型Q(x)，我们可以通过合适的线性变换将其化为以下形式：Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λnyn^2。
其中，λ1, λ2, ..., λn为二次型的特征值，y1, y2, ..., yn为相应的特征向量。
这个过程就是对二次型进行配方法，将其化为平方项的和的形式。
接下来，我们来看第二步，即如何通过正交变换将平方项的和的形式化为标准型。
对于一个平方项的和的形式，我们可以通过正交变换将其化为标准型。
具体来说，我们可以找到一个正交矩阵P，使得P^TQP为对角矩阵，即将二次型化为标准型。
通过以上两个步骤，我们就可以将一个给定的二次型化为标准型。
这样做的好处在于，标准型更容易进行计算和分析，可以更清晰地展现二次型的性质和特征。
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ=-?=+?? （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++??=++=++?? （4）称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法
解 由于所给二次型中无平方项，所以
记X=BY
得 再把所有含y1的项集中,配平方;同样地 把含有y2的项集中,配平方,就得到
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型
都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和）
证明பைடு நூலகம்
对变量个数进行归纳。
平方项的系数不全为零，不妨设
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
4、没有改变二次型的秩，事实上，二 次型的系数中正负项的个数也没有被 正交变换改变。
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
例3
解
含有平方项
去掉配方后多出来的项
所用变换矩阵为
例4 用配方法化二次型
为标准型，并求出所用的可逆线性变换。 解
令
(1)
则
(2)
(2)是可逆线性变换，使
2 2 9 2 f (x1, x2, x3) y1 + y2 - 4 y3
例5
化为标准形,并指出方程f =1表示何种二 次曲面.
解 写出 f 的系数矩阵A，求出A的特征 值和特征向量
由
得
,
当
时,解方程组
得基础解系 当 得基础解系 时,解方程组
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵 由 构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
2--正交变化法化二次型为标准型
1 1 1 1 1 ,2 2 ,3 3 . 3 3 3
2 1 2 1 于是所求正交变换的矩阵为 Q 1 2 2 , 3 2 1 2
2 2 令 X QY，则二次型化为标准形 y12 4 y2 2 y3 .
练 习
用正交变换法将二次型
y 2 y n y .
2 1 1 2 2 2 n
1 , 1 , , n为 f 的矩阵 A的特征值。 n
正交变换法将二次型化为标准形的一般步骤：
(i) 写出二次型的矩阵 A；
(ii ) 求出A的所有相异的特征值1, 2 , , m ; (iii) 对每一个重特征值i，求出对应的ri 个线性无关的特征向量
0 2 2 3 5 4 3 5 5 3 5 1 3 2 . 3 2 3
2 2 令 X QY，则二次型化为标准形 2y12 2 y2 7 y3 .
正交变换法将二次型化为标准形的一般步骤：
(i) 写出二次型的矩阵 A；
(ii ) 求出A的所有相异的特征值1, 2 , , m ; (iii) 对每一个重特征值i，求出对应的ri 个线性无关的特征向量
i
(v) 将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个 n 阶方阵 Q，则Q即为所求的正交方阵。此时 Q 1 AQ QT AQ 为对角阵。
(vi) 作正交变换 X QY , 即可将二次型化为标准形
f X T AX (QY )T A(QY ) Y T (QT AQ)Y Y T Y .
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 2 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
二次型化为标准型的三种方法
f
(x1, x2,..., xn )
a11
x121
2x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
a
x2
22 2
...
2a2n xn2
配方
...... ann xn2
a11 x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
2
1
a11
a12x2 a13x3 ... a1n xn
x1
x1
xxx2222xxx3332222xxx22222x344xx32去324掉4xx2配x2 3x方3 后多出来的项
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
例1 化二次型 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形,并求所用的变换矩阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
B
1
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
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第二节 化二次型为标准形
若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式
,2
222211n n y b y b y b
则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.
由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵
n b b b B 21
则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222
2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵.
内容分布图示
★ 二次型的标准性
★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形
★ 例5 ★ 例6
★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形
★ 例7 ★ 例8
★ 二次型与对称矩阵的规范形
★ 例9 ★ 例10
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回
内容要点：
一、用配方法化二次型为标准形.
定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤:
(1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;
(2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k
k j
i j j i i
且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.
注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得:
定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
二、用初等变换化二次为标准型
设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已
知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是
s P P EP C 21
s T
T T s T P P AP P P P AC C 2112.
由此可见, 对n n 2矩阵
E A 施以相应于右乘s P P P
21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘T
s T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可逆矩阵C .
三、用正交变换化二次型为标准形
定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r
注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即
.),,,(2
222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y
定理3 任给二次型),(1,ij ji n
j i j i ij a a x x a f 总有正交变换,PY X 使f 化为标准形
,2222211n n y y y f
其中n ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形
(1) 将二次型表成矩阵形式,AX X f T 求出A ; (2) 求出A 的所有特征值 n ,,,21 ; (3) 求出对应于特征值的特征向量 n ,,,21 ;
(4) 将特征向量n ,,,21 正交化, 单位化, 得n ,,,21 , 记);,,,(21n C
(5) 作正交变换CY X ,则得f 的标准形
.2
222211n n y y y f
四、二次型与对称矩阵的规范型
将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为
)1(2
2112211r r p p p p x d x d x d x d 其中).,,2,1(0r i d i
定理4 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.
注: 把规范形中的正项个数p 称为二次型的正惯性指数,负项个数p r 称为二次型的负惯性指数, r 是二次型的秩.
注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形
0000000p r p
E E
定理5 设A 为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵Q C ,，且,Q C 使得
00
000
00p
r p T
E E AC C ，
00
000
00
q
r p T
E E AQ Q 则 .q p
注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。
例题选讲:
例1(讲义例1) 将2332223121214222x x x x x x x x x 化为标准形.
用配方法化二次型为标准形.
例2 化二次型3231212322
2162252x x x x x x x x x f 为标准形, 并求所用的变换矩阵. 例3 (讲义例2) 化二次型323121622x x x x x x f 成标准形, 并求所用的变换矩阵.
例4 用配方法将以下二次型化为标准型.
.22),,,(4342324131214321x x x x x x x x x x x x x x x x f
用初等变换化二次为标准型
例5(讲义例3) 设,121221111
A 求非奇异矩阵C , 使AC C T 为对角矩阵.
例6 求一可逆线性变换将323121422x x x x x x 化为标准形.
用正交变换化二次型为标准形
例7 (讲义例4) 将二次型3231212322
21844141417x x x x x x x x x f 通过正交变换,Py x 化成标准形.
例8 设434232413121222222x x x x x x x x x x x x f , 求一个正交变换,Py x 把该二次型化为标准形.
二次型与对称矩阵的规范型
例9 将标准型23
2
2212
122y y y 规范化. 例10 (讲义例5) 化二次型323121622x x x x x x f 为规范形, 并求其正惯性指数.
课堂练习
1. 求一正交变换,将二次型
3231212
32221321662355),,(x x x x x x x x x x x x f 化为标准形, 并指出1),,(321 x x x f 表示何种二次曲面.。