特殊类型方程解法

因此，一个重要的新发现就成了一件论争中 处于不败之地的有力武器。最后直到其临终前， 大约1510年左右，他才将自己的这一“杀手锏” 传给两个人：他的女婿和他的一个学生。他那不 学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的 学生菲奥尔以这一“杀手锏”唯一传人的角色在 我们的故事中作为第二个人物露面了.菲奥尔本人 的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而 以之炫耀于世。只不过他“独此一家，别无分店” 的招牌却没有挂太长的时间，一个厉害的挑战者 塔尔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia, 14991557) 出现在他的面前。
程 f ( x) 0 的各根的 k 倍. （k为非零常数） 推论 （负根变换）把n次方程
f ( x) an xn an1xn1
an x n an 1 x n 1
a1x a0 0
n
的各个根都改变符号，对应的方程是
a1 x 1 a0 0 .
3. 倒根变换 定理9 如果方程 f ( x) 0的各根都不为零, 则方程
例3 解三次方程 解：利用三次方程求根公式可得三个根 为： 6 2 , 2 2 , 2 6 .
x3 12x 8 2 0 .
q 8 2 ， 详解： p 12 ，
p p 32 64 32 0 2 3
2 3
这种情形适宜用三角方法求解．
1. 差根变换 定理7 方程 f ( x h) 0 的各根，分别等于 f ( x) 0 的各根减去h. (差根变换定理）
例1 求一方程，使它的各根比已知方程 4 3 2 f ( x) x 2 x 2x 2 0 的各根少2.
2. 倍根变换
定理8 方程
y f 0 的各根，分别等于方 k
p 应满足 uv 3 4
u1 2 cos i sin 12 12
3 3 u2 2 cos i sin 4 4
17 2 cos 17 i sin 17 17 u3 2 cos i sin 12 12 12 12
1 f 0的各根分别等于 y
f ( x) 0 的各根
之和.(倒根变换定理） 推论 如果n次方程 g ( x) 0 的各根分别是 n次方程 n n1
f ( x) an x an1x a1x a0 0
的各根的倒数，则
g ( x) a0 xn a1xn1 an1x an 0 .
例2 设 , , . 试求以
f ( x) x3 3x2 6x 2 0 的三个根为
x1 , x2 , x3 2 2 2
为根的三次方程. （注意利用根与系数的关系） 解法一： 解法二： （注意到三个根的结构相同） 答案：54 x3 27 x2 2 0
二、一元三次方程 实系数一元三次方程的一般形式 ① ax3 bx2 cx d 0 , (a 0)
即
b 2 c d x x x 0. a a a
3
运用差根变换，各根减去
，可得缺二次 项的三次方程（未知元仍用x表示）： 3 ② x px q 0 其中 3ac b 2 2b3 9abc 27a 2 d p ,q . 2 3 3a 27a
b 3a
为此，只要讨论方程②的解法就可以了. ② x3 px q 0
据说，16世纪发现一元三次方程解法 的数学家，是将方程②和恒等式
u v
3
3uv u v u v ,
3 3
③
3 3 v u (其中把u-v看成x，把3uv看成p，把 看成q)联系在一起悟出了如下解法： 令②和③的对应系数相等，即得 p 3 3 uv 且 u v q . 3
满足 uv 4 的对应 v 的值是：
v1 2 cos i sin 12 12
3 3 v2 2 cos i sin 4 4
7 7 v3 2 cos i sin 12 12
原方程的三个根是：
即得方程组
3 3 p3 u v 27 u 3 v3 q
，解这个方程组得： ④ ⑤ ⑥
2 3 q q p u 3 2 2 3 2 3 3 q q p v 2 2 3
uv
p 3
设 u1是④的任意一个解，则 u 的另外两 2 u u u u 解为： 2 1 ，3 1 其中 是1的三次单位 根，即 1 3i

2
p v1 , 由⑥得： 3u1
v2 v1 2 , v3 v1 .
3 x 因此， px q 0
的三个根是
1494年，意大利数学家卢卡.帕西奥利 （1445-1409）对三次方程进行过艰辛的探 索后作出极其悲观的结论。他认为在当时 的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方 问题一样，是根本不可能的。这种对以前 失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学 家迎接挑战的号角。以此为序曲引出了我 们要讲述的关于三次方程求解的故事。即 16世纪意大利代数学家和它们求解三次方 程的故事。
塔尔塔利亚为这次胜利所激励，更加 热心于研究一般三次方程的解法。到1541 年，终于完全解决了三次方程的求解问题。 或许是出于与费罗同样的考虑，或许是想 在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法 的书的缘故，塔尔塔利亚没有将自己的成 果很快发表。于是，风波骤起，本应进入 尾声的故事，由于又一个重要人物的出场 而被引入了一个完全不同的方向。
3
解，可得
b x1 x2 x3 a c x1 x2 x2 x3 x3 x1 a d x1 x2 x3 a
附录一：一元三次方程求解的历史故事 人类很早就掌握了一元二次方程的解 法， （在中学数学中初一和初二就会学习 到有关内容）但是对一元三次方程的研究， 则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等 地的数学家，都曾努力研究过一元三次方 程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅 能够解决特殊形式的三次方程，对一般形 式的三次方程就不适用了。
q q p u 4 2 4 2i 8 cos i sin 2 4 4 2 3
3 2 3
3 3 v 4 2 4 2i 8 cos i sin 4 4
3
其中 u 和 v
q p 0 , 2 3
u 3 v3 0
2 2 3
(1) 如果
3 3 v u 则 和 都
是实数，且 . 此时方程②有一个实 根和两个共轭虚数根.
(2) 如果
q p 0 , 2 3
3
此时方程②有
三个实根且其中两个相等.
这是我们故事中出 场的第三个人物，其原 名丰塔纳。1512年，在 一次战乱中他被一法国 兵用刀砍伤脸部，头部 口舌多处受伤，其后虽 侥幸活命，却留下了口 吃的后遗症。于是就得 了“塔尔塔利亚”的绰 号， 意大利语就是“口 吃者”的意思。那时他 还只有13岁。
然而这并没有妨碍这位有才能的顽强的少 年主要通过自学的方式在数学上达到极高 的成 3 2 x mx n 就。1534年他宣称自己得到了形如 这类没有一次项的三次方程的解的方法。 不久，菲奥尔就听到了挑战者的叫板声， 于是我们故事中的两位人物开始碰面了。二人 相约在米兰进行公开比赛。双方各出三十个三 次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜。 塔尔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕 经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三 次方程的解法。
§4.2 几种特殊类型 的方程的解法
本节将研究方程的几种重 要的变换，一元三次方程、倒 数方程、二项方程和三项方程、 含有参数的方程的解法
一、方程的变换
常用的方程变换有三种： 差根变换、 倍根变换、和倒根变换. 下面讨论的对象是一般形式的一元 n 次方程
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 0 , (an 0 , n N )
这位半路杀出来的 “程咬金”叫卡尔达诺 (卡当)(Girolamo Cardano, 1501 -1576)， 一位或许是数学史中最 奇特的人物。他的本行 是医生，并且是一个颇 受欢迎的医生。但其才 能并没有局限于此，他 在各种知识领域里显示 出自己的天赋。除了是 一个极好的医生外，他 还是哲学家和数学家， 同时是一个占星术家， 并在这些知识领域里都 获得了重要成果。
3
q q p q q p 3 x1 u1 v1 2 2 3 2 2 3
3
2
2
3
q p 23 q q q p x2 u2 v2 3 2 2 3 2 2 3
于是在比赛中，他只用了两个小时的 时间就轻而易举地解出了对方的所有题目， 而对方对他的题目却一题都做不出来。这 样他以30:0的战绩大获全胜。作为酬报， 倒霉的菲奥尔应以丰盛的酒宴款待塔尔塔 利亚30次；但是塔尔塔利亚却以一种宽宏 的姿态免却了这此约定。与受到的羞辱相 比，省下的钱财对于菲奥尔来说是在是微 不足道。这次辉煌的胜利为塔尔塔利亚带 来了轰动一时的荣誉，同时也意味着菲奥 尔可以在我们的故事中以不体面的方式先 行退场了。
(3) 如果
q p 0 , 则 2 3
2
3
3 和 v u
3
是共轭虚数.这是可用三角方法求出②的三 个相异实根，但在这种情形下，无法用在 根号下仅出现实数的根式形式来表示．这 一惊异的现象在16世纪就已经发现，并被 当时的数学家称为三次方程的不可约形式.